离散数学期末试卷及部分答案 (2)

2020年

离散数学试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R

证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R

((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R

2)x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)

证明 ：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

（P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R)

(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)

m0∨m1∨m2∨m7

M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1） C∨D, (C∨D) E, E(A∧B), (A∧B)(R∨S)R∨S

证明：(1) (C∨D)E

(2) E(A∧B)

(3) (C∨D)(A∧B)

(4) (A∧B)(R∨S)

(5) (C∨D)(R∨S)

(6) C∨D

(7) R∨S

2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明（1）xP(x)

(2)P(a)

(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))

(4)P(a)Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍

证明 设1a，2a，…，1ma为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知，1a，2a，…，1ma这m＋1个整数中至少存在两个数sa和ta，它们被m除所得余数相同，因此sa和ta的差是m的整数倍。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）

证明 ∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（xB∧xC） （x A∧xB）∧（x A∧xC） x（A-B）∧x（A-C） x（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x,yN∧y=x2}，S={| x,yN∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}]（10分）

解：R-1={| x,yN∧y=x2}，R*S={| x,yN∧y=x2+1}，S*R={| x,yN∧y=（x+1）2}，

七、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。 2020年

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1存在z（∈g-1∈f-1）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

八、（15分）设是半群，对A中任意元a和b，如a≠b必有a*b≠b*a，证明：

(1)对A中每个元a，有a*a＝a。

(2)对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。

(3)对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。

证明 由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。

(1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以a*a＝a。

(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有a*b*a＝a。

(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c＝a*c。

九、给定简单无向图G＝，且|V|＝m，|E|＝n。试证：若n≥21mC＋2，则G是哈密尔顿图

证明 若n≥21mC＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。

若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝Vwwd)(＜m＋(m－2)(m－3)＋m＝m2－3m＋6，与（1）矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m，所以G是哈密尔顿图。

离散数学试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入)

2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))

证明 x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10分）

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS

证明：（1）R 附加前提

(2)R∨P P

(3)P T(1)(2),I

(4)P(QS) P

(5)QS T(3)(4),I

(6)Q P

(7)S T(5)(6),I (8)RS CP

2) x(P(x)∨Q(x))，xP(x)x Q(x)

证明：(1)xP(x) P

(2)P(c) T(1),US

(3)x(P(x)∨Q(x)) P

(4)P(c)∨Q(c) T(3),US

(5)Q(c) T(2)(4),I

(6)x Q(x) T(5),EG

四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超2020年

过1/8（10分）。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）

证明：∵x A∩（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（xB∨xC）（ x A∧xB）∨（x A∧xC） x（A∩B）∨x A∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、={A1，A2，…，An}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈Ai，I=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。

证明：a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。

a,b∈A，若aRb ，则a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R对称。

a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈Ai及b,c∈Aj。因为i≠j时Ai∩Aj=，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射（15分）。

证明: 对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f-1。所以,f-1是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f-1且∈f-1,则有∈f且∈f。因为f是函数，则y1=y2。所以，f-1是单射。 因此f-1是双射。

八、设是群，和是的子群，证明：若A∪B＝G，则A＝G或B＝G（10分）。

证明 假设A≠G且B≠G，则存在aA，aB，且存在bB，bA（否则对任意的aA，aB，从而AB，即A∪B＝B，得B＝G，矛盾。）

对于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，a-1A，从而a-1 * (a*b)＝b A，所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB，综合有a*bA∪B＝G。

综上所述，假设不成立，得证A＝G或B＝G。

九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的（10分）。

证明 设无向图G是不连通的，其k个连通分支为1G、2G、…、kG。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支iG（1≤i≤k）中，在不同于iG的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，，因而[u，w]和[w，v]都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。

一、 选择题.(每小题2分，总计30)

1. 给定语句如下：

（1）15是素数（质数）

（2）10能被2整除，3是偶数。

（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！

（4）2x+3>0.

（5）只有4是偶数，3才能被2整除。

(6)明年5月1日是晴天。

以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E）

A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)（6） B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5)

C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题 ③（5） D: ①(1)(2) ②无假命题 ③(1)(2)(4)(5)

E: ①(4)(6) ②（6） ③ 无真值待定的命题