高中知识点大全——理科专用

第一章

空间向量与立体几何

01 空间向量的基本概念

1.与平面向量一样，在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小称为向量的

长度或模.

2.长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB=0.

模为1的向量称为单位向量.

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为一a.

方向相同且模相等的向量称为相等向量.

02 空间向量的运算

1.空间向量的加减运算

(1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.已知空间

向量a,b,我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O为起点，作向量OA=a,OB=b.类似

于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算：

OC=OI+OB=a+b,BA=OI-OB=a-b

(2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：

交换律： a+b=b+a;

结合律： (a+b)+c=a+(b+c) .

2.空间向量的数乘运算

(1)与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

当λ>0时，a与向量a方向相同；当λ<0时，a与向量a方向相反；ia的长度是a的长度的

lx |倍.

空间向量的数乘运算满足分配率及结合律： 知识详解 LABEL

分配率： λ(a+b)=2a+Ab;

结合律： λ(pa)=(λp)a.

( 2 ) 共 线 向 量

①如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量.

②类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a,b(b≠0),a//b的充要条件是存

在实数λ,使a=Ab.

(3)共面向量

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.空间任意两个向量总是共面的.

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数

对(x,y),使p=xa+yb .

3.空间向量的数量积运算

(1)夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则ZAOB叫做向量a,b的夹

角，记作.

如果(,那么a,b互相垂直，记作a工b.

( 2 ) 空 间 向 量 的 数 量 积

(2)空间向量的数量积

①已知两个非零向量a,b,则 |a | |b |cos(a,b>叫做a,b的数量积，记作a,b.即a · b=

a| b| cos.

特别地， a · a= | a | la | cos(a,a)= | a | ² .

②向量数量积的运算律

(xa) ·b=λ(a ·b);

a · b=b · a(交换律);

a · (b+c)=a · b+a · c(分配律) .

03 空间向量的正交分解及其坐标表示

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa

+yb+zc.

由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p

lp=xa+yb+c,x,y,x∈R).这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，把(a,b,c)叫做空间的一

个基底，a,b,c都叫做基向量.

空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

2.空间向量的坐标表示

设ei,e2,es为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以ei,

e2,eg的公共起点O为原点，分别以ei,e2,ea的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向

量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组(r,y,≈),使得p=xei+ye2+ze3.把x,y,z

称为向量p在单位正交基底ei,ez,eg下的坐标，记为p={x,y,z}.

3.空间向量运算的坐标表示

设a=(ai,az,ag),b=(b,b₂,b₃),则

(1)a+b=(ai+b,az+bz,a3+b3).

(2)a-b=(ai-b,az-b₂,aa—b3).

(3)xa=(λai,λaz,xag).

(4)a ·b=aib+a₂b₂+aab3.

(5)a//b=a=λb=ai=λb,az=λb2,a₃=λb₃(A ∈R,b≠0).

(6)a工b=a · b=0=aib+a₈b₂+a₃b₃=0 .

(7)|a|=√a ·a=√ai+a²+a.

(9)在空间直角坐标系中，已知点A(ai,b,ci),B(a,b2,cg),则A,B两点间的距离

dm=|AB|=√(ag=a1)²+(b2=b)²+(c2=c1).

04方向向量与法向量

1.点的位置向量

如图1,在空间中，取一定点○作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量○F来

表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

2.空间中直线的向量表示

空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.如图2,点A是

直线l上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量).在直线l上取AB=a,那么对于直线l上任

意一点P,一定存在实数t,使得Ap=tAB.

图 1

图 2

3.空间中平面的向量表示

(1)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图3,设这两条直线相交于点

O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实 数对(x,y),使得OP=xa+yb .

图 3

图 4

(2)平面的法向量：如图4,直线l工α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.

4.设直线I,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则

l//m=a//b=a=kb,k ∈R;

l工m=a工b=a · b=0;

l//a=a工u≥a · u=0;

l工α=a//u=a=ku,k ∈R;

a//β=u//v=u=kv,k ∈R;

a上β=u工v=u · v=0 .

(05用空间向量解决立体几何问题

1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体

几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题.

(3)把向量的结果“翻译”成相应的几何意义.

2.用空间向量求距离

空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模.向量u的模满足关系式

|ul²=u · u=u².立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积解决.

3.用空间向量求夹角

(1)求异面直线所成的角

已知l,m为两异面直线，A,C与B,D分别是l,m上的任意两点(如图),

l,m所成的角为θ,则

(2)求直线和平面所成的角

设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线l与平面α所成的角为0,a与u的夹角 名师点拨

求平面法向量的步骤

求平面法向量的步骤

求平面的法向量时，要在平面

内选取两相交的向量AB,AC.

设平面法向量的坐标为n=(x,y;z)

n ·AC=0,

联立方程 并求解

求出的向量中三个坐标不是具体的值

而是比例关系.设定某个坐标为常数而

得到其他坐标(非零常数). 进向

设坐后>

解方

(得结论 n ·AB=0,

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为p,则有

(3)求二面角

如果，若PALa于A,PBLβ于B,平面PAB交l于E,则LAEB为二面角a - l - β 的平面

角， LAEB+LAPB=180° .若n,n2分别为平面α,β 的法向量，则LAEB=

①当法向量nj与n2 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ等于法向量nj,n。的

夹角

②当法向量n,n2的方向同时指向二面角的内侧(外侧)时，二面角θ等于法向量n1,n2 的 夹

角的补角π-

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1.定积分

(1)定积分的有关概念

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点α=x₉

分为n个小区间，在每个小区间[x-1,x;]上任取一点s(i=1,2, … ,n)作和式： 工

),当n→ α时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]

上的定积分，记作 ,即

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函

数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

(2)定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分]:f(x)dx表示

由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(r)所围成的曲边梯形(图中的阴影部分)的面积.

(3)定积分的性质

为常数);

(其中a

2.微积分基本定理

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F'(x)=f(x),那么

F(x) | '=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.

3.定积分的应用——求曲边梯形的面积

定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0:

①当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；②当对

应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；③当位于

x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0,且等于位于x

轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

LABEL 第二章

02 定积分及其简单应用