三角形探究性问题的探究
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三角形探究性问题的探究 安徽 李庆社 三角形是基本的几何图形，也是历年各地中考的必考知识，由于近年来研究性学习的不
断深人，各地中考中又出现了许多有关三角形的操作与探究型问题，这使不少同学更加感到
困惑，为方便同学们的学习，现举几例说明这类问题的解答方法.
一、三角形内角和问题的探究
例1（2012贵州贵阳）如图，在第1个△ABA
1中，∠B=20°,AB=A
1B,在A1B上取一点C，延
长AA
1到A
2，使得A
1A
2=A
1C；在A
2C上取一点D，延长A
1A
2到A
3，使得A
2A
3=A
2D；„„，按此
做法进行下去，第n个三角形的以A
n为顶点的内角的度数为 .
【解析】 可得到∠AA
1B=80°, ∠A
1A
2C=40°=
21
×80°, ∠A
2A
3D=
21
×40°=20°=(
21
)2×
80°,„„，故可猜想第n个三角形的以A
n为顶点的内
角的度数为(
21
)n-180°.
答案：(
21
)n-180°.
【点评】本题用到的知识点有等腰三角形的性质、三角
形的内角和以及三角形的内角与外角的关系，但更重要
的是解决本题的从特殊到一般的归纳思想方法，运用归
纳思想解题的一般步骤是先求出几种特殊情况下问题
的解，然后从中观察归纳得出蕴含的一般规律，最后用所得规律解题.
二、三角形边长最小值问题的探究
例2（2012山东莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最
小值是 .
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，
因为AB=AC=5，BC=6，所以BD=3，所以AD=4，
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP 有最小值.
根据ACBPBCAD得到，BP564, BP=
524
【答案】
524
.
【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生解决等
腰三角形解决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强.
三、三角形作图性问题的探究
例3（2012·哈尔滨）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小A
A
1 B
C
D
E
A
2 A
3 A
4 A
n
2
正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个
即可)；
(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个
即可)；
【解析】本题考查网格中的作图能力、勾股定理以及等腰三角形性质.
（1）可以分三种情况来考虑：
以A（Ｂ）为直角顶点，过A（Ｂ）作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上）
以C为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是3、4或5、20；
（2）也分可分三情况考虑：
以A（B）为等腰三角形顶点：以A（B）为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；
以Ｃ为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C（点Ｃ不能落在格点上）.
【答案】
【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、直角三角
形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错解
和漏解．
四、三角形分割问题的探究
例4（2012山东省青岛市）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）
个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情
形入手：
探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成
多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.
探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分
割成多少个互不重叠的小三角形？
3
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置
会有两种情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如
图③；
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分
割成 个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图.
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成
个互不重叠的小三角形。
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割
成 个互不重叠的小三角形。
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点，可把△ABC分割
成 个互不重叠的小三角形。
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个点，可把八边形分割成多
少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）
【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)
或2m+n-2.根据根据规律逐一解答.
【答案】探究三：7
分割示意图.（答案不唯一）.
探究四：3+2（m-1）或2m+1
探究拓展：4+2（m-1）或2m+2
问题解决：n+2(m-1)或2m+n-2
实际应用：把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030.
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律
才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想．
五、全等三角形开放性问题的探究
例5（2012浙江省义乌市）如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及
其延长线上分别取点E、F,连结CE、BF. 添加一个条件,
使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是 （不添加辅助线）.
【解析】已知一对应边相等，一组对顶角相等，可以在添加一个条件一边或一角对应相等，
用SAS或AAS判定两三角形全等．
（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）
（2）证明：（以第一种为例，添加其它条件的证法酌情给分）．
∵BD=CD，∠EDC=∠FDB ，DE=DF，∴△BDF≌△CDE ． 4
【点评】此题考查了三角形全等的判定,一般三角形全等三角形的判定方法有SSS，SAS，
ASA，AAS，直角三角形全等的判定方法是HL.
六、三角形动态性问题的探究
例6（2012贵州遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A
向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB
延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化
请说明理由．
【解析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠
QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
PC=QC，即6﹣
x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速
度相同，可知AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四
边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，
DE=AB，由等边△ABC的边长为6
可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴
PC=QC，即6﹣
x=（6+x），解得x=2；
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，
∴
