电磁感应现象中“杆+导轨”模型梳理

■河南省郑州市第三十一高级中学 董卫刚 王梦娜 电磁感应现象中的“杆+导轨”模型是近

几年高考中的常见考点之一,比如2020年高

考全国Ⅰ卷第21题、全国Ⅲ卷第24题,2021

年高考全国乙卷第25题、北京卷第7题,2022年高考全国甲卷第20题、辽宁卷第15

题,2023年高考全国甲卷第25题、湖南卷第14题、辽宁卷第10题等。涉及“杆+导轨”

模型的物理试题几乎涵盖了高中物理所有的

核心内容,综合性较强,区分度较高。下面将

涉及“杆+导轨”模型的物理试题进行系统梳

理,总结求解此类问题的思路和方法,为同学

们的复习备考提供参考。

一、电磁感应核心知识梳理1.感应电流方向的判断方法:

2.感应电动势大小的求法:

法拉第电磁感应定律的三种表达式分别

为E=nΔΦΔt,E=nΔBΔtS(面积不变,磁感应

强度变化),E=nBΔSΔt(磁感应强度不变,面

积变化)。如图1所示,当一段直导线(等效

直导线)垂直磁场做切割磁感线运动时,产生

的感应电动势E=Blv。如图2所示,当绕一

端转动的一段导体棒在磁场内做切割磁感线

运动时,产生的感应电动势E=12Bl2ω。如

图3所示,当绕与磁场方向垂直的轴转动的

导线框在磁场中做切割磁感线运动产生交变

电流时,从图示时刻开始计时产生的感应电

动势E=nBSωcosωt

。图1 图2 图3

3.感应电荷量的计算:

因磁通量变化而产生的感应电荷量q=

IΔt=ERΔt=nΔΦRΔtΔt=nΔΦR,说明感应电荷

量q仅由回路电阻R和磁通量的变化量ΔΦ

决定。4.动量定理在“杆+导轨”模型中的应用:

对单根导体棒应用动量定理得mv-mv0=-BIL·Δt=-BLq。

二、“杆+导轨”模型梳理

模型一:单杆,无电源,受恒定外力

图4如图4所示,金属杆MN放在水平放置的光

滑导轨上,空间存在垂直

于导轨平面向上的匀强

磁场,金属杆MN受到恒

定的外力作用。以金属杆MN为研究对象,根据牛顿第二定律得

F-B2L2vR=ma,解得a=Fm-B2L2mRv,因此

随着速度v的增大,加速度a逐渐减小,当a=0的时候,金属杆MN达到平衡状态,以恒定的速度做匀速直线运动。上述规律不仅适用于水平面内的运动,竖直平面内的运动或斜面上的运动也适用,只不过是将恒力稍微变化了一下。例1 如图5所示,两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,顶端接阻值为R的电阻。匀强磁场方向垂直于导轨所在平面

63 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月

图5(纸面)向里,磁感应强度为

B,质量为m、电阻为r的金

属棒在距磁场上边界某处由

静止释放,金属棒和导轨始

终接触良好。不计导轨的电

阻,重力加速度为g,则下列

说法中正确的是( )。

A.金属棒在磁场中运动时,通过电阻R

的电流方向为a→bB.金属棒刚进入磁场时一定做加速运动C.金属棒的速度为v时,金属棒所受的

安培力大小为B2L2vRD.金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R

的热功率为mgBL 2R

思路点拨:金属棒进入磁场后,产生的感

应电动势E=BLv,回路中的感应电流I=ER+r=BLvR+r,通过电阻R的电流方向为b→

a,金属棒所受的安培力大小F=BIL=B2L2vR+r,当金属棒稳定下滑时,F=mg,电阻R

的热功率P=BLvR+r 2R,解得P=mgBL 2R。

答案:D

模型二:单杆,无电源,有初速度

如图6所示,给金属杆ef一个初速度

图6(初始冲量),让金属杆ef

运动起来,金属杆ef切

割磁感线,在回路cbef中

产生感应电流,金属杆ef

相当于电源,此时金属杆ef受到一个与运动方向

相反的安培力,阻碍金属杆ef的运动,金属

杆ef做减速运动,速度减小会让安培力随着

减小,加速度就跟着减小,因此金属杆ef做

加速度减小的减速运动,直到速度减为零,停

止运动。若导轨是光滑的,则金属杆ef的初

动能全部转化为电阻R产生的焦耳热,即

Q=12mv20,金属杆ef通过克服安培力做功

把机械能转化为了电能。同时还可以根据动量定理得-BILΔt=0-mv0,又有q=I·Δt,求出在此过程中通过电阻R的电荷

量q=mv0BL。

图7例2 (2021年高考

北京卷)如图7所示,在竖

直向下的匀强磁场中,水

平U型导体框左端连接

一阻值为R的定值电阻,

质量为m、电阻为r的导

体棒ab置于导体框上。不计导体框的电阻、

导体棒与框间的摩擦。导体棒以水平向右的

初速度v0开始运动,最终停在导体框上。在

此过程中( )。

A.导体棒做匀减速直线运动B.导体棒中感应电流的方向为a→b

C.电阻R消耗的总电能为mv20R2(R+r)

D.导体棒克服安培力做的总功小于12mv20

思路点拨:导体棒做加速度减小的减速

运动,导体棒中感应电流的方向为b→a。安

培力的变化会引起加速度的变化,根据能量

守恒定律和动能定理可知,电阻R消耗的总

电能为mv20R2(R+r),导体棒克服安培力做的总

功等于12mv20。

答案:C

模型三:单杆,有电容,受恒定外力

如图8所示,水平放置的光滑平行导轨

左侧接电容为C的电容器,空间存在垂直于

导轨平面向上的匀强磁场,金属棒MN和导

图8轨的电阻忽略不计,摩擦

力不计,金属棒MN在水

平向右的恒定拉力F的

作用下,由静止开始做加

速运动,持续对电容器充

电,则存在充电电流时,

有F-BIl=ma,I=ΔQΔt,ΔQ=CΔU,ΔU=

ΔE=BlΔv,整理得F-CB2l2ΔvΔt=ma,其中

73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月

ΔvΔt=a,解得a=Fm+CB2l2,因此金属棒MN

做加速度恒定的匀加速直线运动。从能量的

角度分析,存在功能关系WF=12mv2+E电。

例3 如图9所示,间距为L的金属导

图9轨竖直平行放置,空间存在

垂直于导轨所在平面向里的

匀强磁场,磁感应强度为B,

在导轨上端接一电容为C

的电容器,一质量为m的金

属棒与导轨始终保持良好接

触。将金属棒距地面高度为h处由静止开始释放,已知重力加速度为g,

一切摩擦及电阻均不计。在金属棒下滑至地

面的过程中,下列说法正确的是( )。

A.若h足够大,则金属棒最终匀速下落B.金属棒下滑至地面时,电容器储存的

电势能为mghC.金属棒做匀加速直线运动,加速度为mgmg+C2B2L2D.金属棒下滑至地面时,电容器储存的

电势能为mghCB2L2m+CB2L2

思路点拨:根据牛顿第二定律得mg-

BIL=ma,又有BLv=QC,v=at,Q=It,解

得a=mgm+CB2L2,金属棒在下降过程中做匀

加速直线运动,金属棒下滑至地面时的动能

Ek=12mv2,又有v2=2ah=2mghm+CB2L2,根

据能量守恒定律得电容器储存的电势能E=

mgh-12mv2=mghCB2L2m+CB2L2。

答案:D

模型四:双杆,等长,有初速度

图10如图10所示,光滑导

轨上放置两根导体棒,给

导体棒1一个初速度,导

体棒1受安培力的作用做

加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加

速运动,最后两导体棒以相同的速度做匀速

直线运动,对两导体棒运用动量守恒定律可

以求出最终的共同速度。从能量的角度分

析,导体棒1动能的减少量=导体棒2动能

的增加量+焦耳热。例4 如图11所示,两根足够长的平

图11行光滑导轨固定在绝缘

水平面上,所在空间存在

方向垂直于水平面、磁感

应强度为B、范围足够大

的匀强磁场,导轨的间距

为L,电阻不计;导轨上

静置两根有效长度均为L的导体棒PQ和MN,其中导体棒PQ的质量为2m、阻值为

R,导体棒MN的质量为m、阻值为2R。若

在t=0时刻给导体棒PQ一个平行于导轨

向右的初速度v0,不计运动过程中两导体棒

的相互作用,则( )。

A.t=0时刻,两导体棒的加速度大小

相等B.t=0时刻,导体棒PQ两端的电压为23BLv0

C.导体棒PQ匀速运动时的速率为13v0D.从t=0时刻到导体棒PQ匀速运动的

过程中,导体棒MN中产生的焦耳热为29mv20

思路点拨:导体棒PQ向右运动,产生的

感应电动势E=BLv0,此时路端电压为

23BLv0,回路中的感应电流I=ER+2R,两导

体棒受到的安培力大小均为F=BIL,则

aMN=Fm,aPQ=F2m,因此t=0时刻,两导体

棒的加速度大小不相等,受到的安培力大小

相等,方向相反,两导体棒在运动过程中满足

动量守恒定律,则2mv0=(m+2m)v共,最终

两导体棒以速度v共=23v0做匀速直线运动。

两导体棒中的电流相等,产生的焦耳热分别

为QMN=2I2有Rt,QPQ=I2有Rt,则QMN∶

83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月

QPQ=2∶1。根据能量守恒定律可知,在整个

运动过程中产生的总热量等于系统总动能的

减少量,即Q=12×2mv20-12×(m+

2m)v2共,解得QMN=29mv20。

答案:BD

模型五:双杆,等长,受恒定外力

如图12所示,足够长的光滑导轨上放置

图12两根导体棒,导体棒1受

到一个恒定的力F的作

用,导体棒1做加速度逐

渐减小的加速运动,导体

棒2做加速度逐渐增大的

加速运动,最终两导体棒

以相同的加速度做匀加速直线运动,两导体

棒的速度差恒定,回路中存在恒定的感应电

流,两导体棒受到的安培力大小相等,对整体

有F=(m1+m2)a,对导体棒2有B2L2(v1-v2)R1+R2=m2a,联立以上两式可以求

出两导体棒的速度差值。从能量的角度分

析,外力做的功=导体棒1的动能+导体棒2

的动能+焦耳热。例5 (2020年高考全国Ⅰ卷)如图13

所示,U型光滑金属框abcd置于水平绝缘平

图13台上,ab边和dc边平行,

和bc边垂直。ab、dc边足

够长,整个金属框的电阻可

忽略。一根具有一定电阻

的导体棒MN置于金属框

上,用水平恒力F向右拉动金属框,运动过

程中,装置始终处于竖直向下的匀强磁场中,

导体棒与金属框保持良好接触,且与bc边保

持平行。经过一段时间后( )。

A.金属框的速度大小趋于恒定值B.金属框的加速度大小趋于恒定值C.导体棒所受安培力的大小趋于恒定值D.导体棒到金属框bc边的距离趋于恒

定值思路点拨:金属框向右的加速度与导体

棒的加速度不同,同一时刻两者速度也不同,设金属框的质量为m1,速度为v1,导体棒的

质量为m2,速度为v2,则回路中的感应电流

i=Bl(v1-v2)R,感应电流从0开始增大,导

体棒的加速度a2从零开始增大,金属框的加

速度a1从Fm1开始减小,二者的加速度差值减

小,当a1=a2时,有F=(m1+m2)a,则a=Fm1+m2恒定,根据F安=m2a可知,安培力不

再变化,感应电流不再变化,金属框与导体棒

的速度差保持不变,但导体棒的速度小于金

属框的速度,则导体棒到金属框bc边的距离

越来越大。

答案:BC

模型六:双杆,不等长,有初速度

如图14所示,光滑导轨水平放置,匀强

磁场垂直于水平面向下,左侧导轨间距为L,

图14右侧导轨间距为2L,且

两侧导轨均足够长。现

给金属杆cd一水平向右

的初速度v0,金属杆cd

做切割磁感线运动,产生

感应电流,金属杆cd受到的安培力阻碍它的

运动,金属杆ab受到的安培力使它做加速运

动,两金属杆长度不同,所受安培力大小不相

等,系统动量不守恒,一旦金属杆ab开始运

动,金属杆ab也要做切割磁感线运动,产生

一个反电动势,使得回路中的感应电流减小,

当感应电流为零时,两金属杆均做匀速运动,

此时两金属杆的速度关系为vab=2vcd,分别对

两金属杆应用动量定理可以求出最终的速度。例6 如图15所示,光滑导轨水平放