2019-2020高三数学一轮复习不等式专项检测试题(1)及解析-精编试题

2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 基本不等式（含解析）1、(xx·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为 ( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2＝－⎝⎛⎭⎫1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1. 答案：B2、已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．8解析：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx＝8. 当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案：D3、(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是A.245B.285 C ．5D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 A.43B.53C ．2D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)C (2)C 4、设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为A ．4B ．4 3C ．9D ．16解析 由32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案 D5．(xx·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab 解析 因为ab ＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋ab ≥2b a ×ab＝2. 答案 C6、设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )．A ．2 B.14C ．4D ．8解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 C7．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 B8．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )．A ．－3B ．2C ．3D ．8解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案 C9．若正实数a ，b 满足ab ＝2，则(1＋2a )·(1＋b )的最小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号． 答案 910．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______．解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y ＝2时取等号． 答案 311．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 412．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； 解：∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.13．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D14．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 615．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．2解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D16．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．答案 C17．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为( )． A.256 B.83 C.113D ．4 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6.所以2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·2a ＋3b6＝136＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A18．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 6 19．已知f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0， 由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以－2－3＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞.考点：基本不等式的实际应用1．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm2．某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000， 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500. 即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x≥22x 500×1 000x＝4， 当且仅当2x 500＝1 000x，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．3．(xx·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 答案 B4、 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S△ABO⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程．解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1.∴1＝3a ＋2b≥26ab，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.5、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时， L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15， 此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．6、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在xx 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k 2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知xx 年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家xx 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家xx 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1. ∴y ＝1.5×6＋12x x×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋ ⎝⎛⎭⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12≥2 9t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12＝t ＋12， 即t ＝2.5时等号成立， 故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋ ⎝⎛⎭⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5. 当且仅当9t ＋12＝t ＋12时，等号成立，即t ＝2.5时，y 有最大值21.5.所以xx 年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．7．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y＝1x[y＋(25－x)]＝1x(－x2＋19x－25)＝19－⎝⎛⎭⎫x＋25x，而19－⎝⎛⎭⎫x＋25x≤19－2x·25x＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0＜S≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．.。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式习题理选修[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值范围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值范围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值范围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值范围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)= f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)= f(x)min=fa-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值范围是[-2,0].3.(10分f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值范围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值范围是.4.(10分已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。

绝密★启用前2019-2020学年度《不等式》专项练习题附答案及解析数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共15道小题，每小题0分，共0分）1.当1>x 时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (－∞,2] B.[2,+∞)C. [3,+∞)D. (－∞,3]2.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A. 11a b< B. 22a b >C. 1122+>+c bc a D. ||||c b c a >3.不等式()()120x x -->的解集为（ ）A. {}12x x x 或B. {}|12x x <<C. {}21x x x --或D. {}|21x x -<<-4..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A. 9B. 4C.12D.14答案第2页，总32页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）．A. 32B. 2C.52D.926.己知()()4,0,0,4M N -，点(),P x y 的坐标x ，y 满足0034120x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则MP NP u u u vu u u v ⋅的最小值为（ ）．A. 25B.425C. 19625-D.457.已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A. A B ⋂=∅B. B A ⊆C. {}0,1A B =ID. A B ⊆8.不等式ax ２＋bx +2＞0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则a －b 等于 A.－4 B.14 C.－10 D.10 9.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+0002y x y x ，则y x z 2+=的最大值为A ．4B ．3 C. 0 D ．2 10.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………不等式()(2)0x y x y -+->表示的平面区域（用阴影表示）为（ ）A. B.C. D.11.已知0,0x y >>，且211x y+=，若对任意的正数x ，y ，不等式222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. 4m ≥或2m ≤- B. 2m ≥或4m ≤- C. 24m -<< D. 42m -<<12.若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ） A. (－1,1) B. (0,1)C.(－∞,1)∪(1,+∞)D. (－1,0]13.设0a >，0b >，若333a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）A. 2B.83C. 3D. 3214.若不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是（ ）. A. 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [-2，3]D. [-3，2]15.设集合{}260A x x x =--≥，集合{}01234B =，，，，，则A ∩B =（ ）. A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4}D. {0,1,2,3,4}答案第4页，总32页第II卷（非选择题）二、填空题（本题共15道小题，每小题0分，共0分）16.若0a>，0b>，25a b+=，则ab的最大值为__________．17.若变量x，y满足约束条件2242x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则z x y=-的最大值为___________.18.已知实数0,0x y>>，且412x y+=，则xy的最小值为，x y+的最小值为．19.若全集RU=，集合{}21|4,|03xM x x N xx+⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则M∩N= ，UC N=．20.已知实数x，y满足3260204y xx yx+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y=-+的最大值为__ _____.21.若x，y满足约束条件1050yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则z＝x＋3y的最大值为。

第8单元 不等式第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22a b > B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅【答案】D【解析】选项A ：由不等式性质220a b a b >>⇒>可知，是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B ：若2,1-=-=b a ，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的； 选项C ：11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性， 所以本选项不正确；选项D ：若0c =，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D ．2．不等式2620x x --+≤的解集是（ ）A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 D ．1223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】2620x x --+≤Q ，2620x x ∴+-≥，即(21)(32)0x x -+≥， 解得23x ≤-或12x ≥，故选B ． 3．不等式102x x+≤-的解集为（ ）A ．{}|12x x -≤≤B ．{}|12x x -≤<C ．{}12x x x ≤-≥或 D ．{}12x x x 或≤-> 【答案】D 【解析】因为102x x+≤-，所以102x x +≥-，即得1x ≤-或2x >，故选D ． 4．不等式2601x x x -->-的解集为（ ） A ．{}23x x x <>－或 B ．{}213|x x x <-<<或C ．{}1|23x x x <<->或 D ．{}2113x x x -<<<<或【答案】C【解析】不等式2601x x x -->-的解集等价于不等式的解集，由数轴标根法可知，不等式的解集为{}1|23x x x <<->或，故选C ．5．设0a >，0b >，若333a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．83C ．3D ．32【答案】C 【解析】因为333a 与3b 的等比中项，所以23(33)333b a ⋅==，故3a b +=，因为0a >，0b >，所以41411411()145233334b a b a b a b a b a b a a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4b aa b=，即1,2a b ==时，取等号，故选C ． 6．已知,x y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数，即2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为min 2022z =⨯+=． 综上可得2z x y =+的最大值与最小值之和为8．故选C ． 7．已知(),M x y 是圆221x y +=上任意一点，则2yx +的取值范围是（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,3⎡⎤-⎣⎦C ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U D ．(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U【答案】A 【解析】2yx +表示圆上一点()x y ，与点(2,0)-连线的斜率，由图可知，当过(2,0)-的直线与圆221x y +=相切时，目标函数取得最值，设过(2,0)-且与圆221x y +=相切的直线方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，解得k =．所以323y x -≤≤+，故选A ． 8．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]【答案】B【解析】令m x y =-，4n x y =-，343n m x n my -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩，则85933z x y n m =-=-，41m -≤≤-Q ，5520333m ∴≤-≤，又15n -≤≤Q ，8840333n ∴-≤≤，因此85192033z x y n m -≤=-=-≤， 故本题选B ．9．设0a b >>，且2=ab ，则21()a a ab +-的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为0a b >>，∴()0a a b ->， 又由2=ab ，所以221112()2()()()a a ab a a b a a b a a b a a b +=-++=-++---2224≥=+=，当且仅当()1a a b -=，即a =332=b 时等号成立，所以21()a a ab +-的最小值是4，故选D ．10．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a <-或12a >B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a -<<【答案】C【解析】显然a =0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a Δ>⎧⎨<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩，解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >．故选C ． 11．在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令，因为，即，也就是，在时，，取最大值为6，所以，解得，故选C ．12．已知函数，若对任意的正数，满足，则31a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】因为所以定义域为，因为()221log 1f x x x =++，所以为减函数，因为()221log 1f x x x=++，，所以为奇函数， 因为，所以，即，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为9926b a b a a b a b +≥⨯=，所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立）， 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____．【答案】94【解析】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得034x =，032y =，94b =，故答案为94． 14．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则20ax bx c -+>的解集为_____．【答案】122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由题意，关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则0122122a b a c a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得52b a =，c a =，所以不等式20ax bx c -+>，即为22551022ax ax a a x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，即25102x x -+<，即1(2)02x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得122x <<，即不等式20ax bx c -+>的解集为122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 15．已知不等式：①；②110a b>>；③，如果且，则其中正确不等式的个数是_______． 【答案】2 【解析】因为且，所以，①化简后是，显然正确；②110a b>>显然正确；③化简后是，显然不正确．故正确的不等式是①②，共2个，故答案为2． 16．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2213sin cos αα+的最小值为__________． 【答案】【解析】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，，所以()2222222213cos 3sin sin cos 4sin cos s cos in αααααααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭2222cos 3sin 42423si cos n αααα≥+⋅=+， 当且仅当2222cos 3sin sin cos αααα=，即41tan 3α=时等号成立．所以22min13423sin cos αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知下列三个不等式：①；②c da b>；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？ 【答案】可组成3个正确命题． 【解析】（1）对②变形，得0c d bc ada b ab->⇔>， 由，得②成立，即①③②．（2）若00bc adab ab->>，，则，即①②③．（3）若0bc adbc ad ab->>，，则，即②③①．综上所述，可组成3个正确命题．18．（12分）已知函数2()45()f x x x x =-+∈R ． （1）求关于x 的不等式()2f x <的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}13x x <<；（2）(2,4)．【解析】（1）由()2f x <，得2430x x -+<，即13x <<， 所以()2f x <的解集为{}13x x <<．（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，由22()45(2)1f x x x x =-+=-+，得()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<， 所以实数m 的取值范围为(2,4)．19．（12分）若变量x ，y 满足约束条件20360x y x y x y +-≥-≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，求：（1）23y z x +=+的取值范围； （2）的最大值．【答案】（1）25,56z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）．【解析】作出可行域，如图所示：由2036x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得点；由20x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得点；由360x y x y -=-=⎧⎨⎩，解得点．（1）23y z x +=+，可看作可行域内的点与定点连线的斜率．所以在点，处取得最优解．所以min 022235AM z k +===+，max 325336CM z k +===+． 所以23y z x +=+的取值范围为25,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）由，可得1322zy x -=+， 故在点处取得最大值，则．20．（12分）已知,a b 是正实数，且2a b +=，证明： （1）2a b +≤； （2）33(4)()a b a b ++≥． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）,a b Q 是正实数，2a b ab ∴+≥，1ab ∴≤， ∴()224a ba b ab +=++≤，2a b ∴+≤，当且仅当1a b ==时，取""=． （2）222a b ab +≥Q ，∴()()22222224a b a b ab a b +≥+=+=，∴222a b +≥，∴()()()233443344222224a b a b a b a b ab a b a b a b ++=+++≥++=+≥，当且仅当221a ba b =⎧⎨=⎩，即1a b ==时，取""=． 21．（12分）雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元．（1）若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形；11（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】（1）详见解析；（2）用万元投资甲项目，万元投资乙项目．【解析】（1）由题意，知x ，y 满足的条件为90.20.1 1.400x y x y x y +≤+≤≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意可知目标函数为， 在上图中，作直线：，平移直线， 当经过直线与的交点A 时，其纵截距最大， 解方程与，解得，，即， 此时万元， 所以当，时，z 取得最大值， 即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大22．（12分）已知不等式212x -<的解集与关于x 的不等式20x px q --+>的解集相同．（1）求实数,p q 值；12 （2）若实数,a b +∈R ，满足4a+b =p+q ，求14a b+的最小值． 【答案】（1）31,4p q =-=；（2）92． 【解析】（1）212x -<，解得1322x -<<， 又20x px q --+>20x px q ⇒+-<，解集为1322x -<<， 故12-和32是方程的两根，根据韦达定理得到1134p p q -=⎧⎪⇒=-⎨-=-⎪⎩，34q =． （2）2a b +=，则14114149()5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当4b a a b =，即2b a =时取等号，即23a =，43b =时有最小值92．。

2019高三数学一轮复习单元练习题：不等式（Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设R b a ∈,，且b a >，则（ ）A.22b a > B.1<a bC.0)lg(>-b aD.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 2. 下列不等式中解集为实数集R 的是（ ）A. 0442>++x x B. 02>x C. 012≥+-x x D. xx 111<- 3. 不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A ．{}10<≤x x B. {}1,0-≠<x x x C. {}11<<-x x D. {}1,1-≠<x x x 4. 已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．22D ．23 5. 已知R b a ∈,，且0<ab ，则（ ）A. b a b a ->+B. b a b a -<+C. b a b a -<-D. b a b a +<- 6.下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>xx x 时当C ．21,2的最小值为时当x x x +≥ D ．无最大值时当xx x 1,20-≤< 7.已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值（ ）A. 大于零B. 小于零C. 不大于零D.不小于零 8. 不等式1312>+-x x 的解集是（ ） A. ),4(+∞ B. ),21(+∞ C. ),21()3,(+∞--∞ D. ),4()3,(+∞--∞9. 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. )2,(-∞B. []2,2-C. ]2,2(-D.)2,(--∞ 10. 已知0>a ，0>b 则不等式b xa ->>1的解是（ ） A.b x a 11<<-B.bx a 11-<< C.01<<-x b ,或a x 1> D.b x 1-<，或a x 1>11. 已知集合{}01032≥++-=x x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若∅≠B A ，则m 的 取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21 B.),4()21,(+∞-∞ C. []4,2 D.)4,2(12 若a 、b 为实数，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的 （ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 函数)2(log 221--=x x y 的单调递增区间是 .14. 不等式221<-+-x x 的解集是 .15. 的解集为不等式13x 1-2x >+ 不等式 0322322<--+-x x x x 解集为_______________16.若21<<-a ，12<<-b ，则a －|b|的取值范围是 ．三.解答题（本大题共5小题，共70分.） 17、（12分）解不等式1|55|2<+-x x . 18、（12分）用数学归纳法证明： n n ≤-+++++1214131211 ； 19、（14分）(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++ . (2)已知a,b 都是正数，x,y∈R，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2。

2019高考数学文一轮：第7章 不等式一、选择题：1.不等式-2x 2＋x<-3的解集为( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x<1B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x<32C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x<－32或x>1D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x<－1或x>322.已知不等式ax 2-5x ＋b>0的解集为{x|-3<x<2}，则不等式bx 2-5x ＋a>0的解集是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13<x<12B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x<13C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x<－13或x>12D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x<－12或x>133.若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞，-2) B.(-2，＋∞) C.(-6，＋∞) D.(-∞，-6)4.已知0<a<b<1，则( )A.1b >1aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12bC.(lg a)2<(lg b)2D.1lg a >1lg b5.当x>0时，函数f(x)=2xx 2＋1有( )A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值26.已知直线ax ＋by-6=0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2-2x-4y=0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( ) A.9 B.4.5 C.4 D.257.已知点(-3，-1)和点(4，-6)在直线3x-2y-a=0的两侧，则a 的取值范围为( )A.(-24，7)B.(-7，24)C.(-∞，-7)∪(24，＋∞)D.(-∞，-24)∪(7，＋∞)8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z=3x-y 的最小值为( )A.-1B.1C.3D.2二、填空题:9.若关于x 的不等式x 2-ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________.10.当且仅当a ∈(m ，n)时，2－ax ＋x21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n=________.11.已知a>0，b>0，a ＋2b=3，则2a ＋1b的最小值为________.12.一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为________.13.设a ，b>0，a ＋b=5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.14.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z=3x-4y 的最小值为________.15.若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x>－1，则(x-2)2＋y 2的最小值为________.16.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z=y ＋2x －5的最大值为________.17.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z=ax ＋by(a>1，b>2)的最大值为5，则1a －1＋4b －2的最小值为________.三、解答题：18.已知函数f(x)=ax 2＋(b-8)x-a-ab ，当x ∈(-∞，-3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x ∈(-3，2)时，f(x)>0. (1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围.19.实数x 、y 满足-1<x ＋y<4，2<x-y<3，求3x ＋2y 的取值范围.20.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4＋1t，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值.21.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.22.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？参考答案解析1.解析：选D.-2x 2＋x<-3，即为2x 2-x-3>0，Δ=25>0，方程2x 2-x-3=0的两实根为x 1=-1，x 2=32，所以2x 2-x-3>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x<－1或x>32.2.解析：选C.由题意得方程ax 2-5x ＋b=0的两根分别为-3，2，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－－5a ，－3×2＝b a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30.则不等式bx 2-5x ＋a>0，即为30x 2-5x-5>0，即(3x ＋1)(2x-1)>0，⇒x<-13或x>12.故选C.3.解析：选A.不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max .令g(x)=x 2-4x-2，x ∈(1，4)，所以g(x)<g(4)=-2，所以a<-2，故选A.4.解析：选D.因为0<a<b<1，所以1b -1a =a －b ab <0，可得1b <1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ；(lg a)2>(lg b)2；因为lg a<lg b<0，所以1lg a >1lg b ，综上可知D 正确，另解：取a=14，b=12，排除验证，故选D.5.解析：选B.f(x)=2x ＋1x≤22x ·1x=1.当且仅当x=1x ，x>0即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.6.解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2＋(y-2)2=5，圆心坐标为(1，2)，半径r=5，故直线过圆心，即a ＋2b=6，所以a ＋2b=6≥2a ·2b ，可得ab ≤4.5，当且仅当a=2b=3时等号成立，即ab 的最大值是4.5，故选B.7.解析：选B.根据题意知(-9＋2-a)·(12＋12-a)<0.即(a ＋7)(a-24)<0，解得-7<a<24.8.解析：选C.如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z=3x-y 的几何意义是直线3x-y-z=0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值.由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A(1，0).故z 的最小值为3×1-0=3.故选C. 9.解析：令f(x)=x 2-ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜2.5.答案：[2，2.5)10.解析：因为1-x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2-ax ＋x 2<3(1-x ＋x 2)， 即2x 2＋(a-3)x ＋1>0恒成立.所以Δ=(a-3)2-8<0，3-22<a<3＋2 2.依题意有m=3-22，n=3＋22，所以m ＋n=6.答案：611.解析：由a ＋2b=3得13a ＋23b=1，所以2a ＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b =43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a =83. 当且仅当a=2b=32时取等号.答案：8312.解析：设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y=L ，面积S=xy ，因为x ＋2y ≥22xy.所以xy ≤（x ＋2y ）28=L 28.当且仅当x=2y=L 2，即x=L 2，y=L 4时，S max =L 28.答案：L2813.解析：设a ＋1=m ，b ＋3=n ，则m ，n 均大于零，因为m 2＋n 2≥2mn ，所以2(m 2＋n 2)≥(m ＋n)2，所以m ＋n ≤2·m 2＋n 2， 所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3=32，当且仅当a ＋1=b ＋3，即a=72，b=32时“=”成立，所以所求最大值为3 2.答案：3 214.解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x-4y=0，平移直线l ，当直线z=3x-4y 经过点A(1，1)时，z 取得最小值，最小值为3-4=-1.答案：-115.解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z=(x-2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C(0，1)，此时z min =(x-2)2＋y 2=4＋1=5.答案：516.解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4).目标函数z=y ＋2x －5表示过点Q(5，-2)与点(x ，y)的直线的斜率，且点(x ，y)在△ABC 平面区域内.显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5=-12.答案：-0.5.17.解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x －y －2＝0，解得A(1，1).由z=ax ＋by(a>1，b>2)，得y=-a b x ＋zb ，由图可知，z max =a ＋b=5.可得a-1＋b-2=2.所以1a －1＋4b －2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋4b －2(a-1＋b-2)=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋b －2a －1＋4（a －1）b －2≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2b －2a －1×4（a －1）b －2=4.5. 当且仅当b=2a 时等号成立，并且a ＋b=5，a>1，b>2即a=53，b=103时上式等号成立.所以1a －1＋4b －2的最小值为4.5.答案：4.5.18.解：(1)因为当x ∈(-∞，-3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x ∈(-3，2)时，f(x)>0.所以-3，2是方程ax 2＋(b-8)x-a-ab=0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba，所以a=-3，b=5.所以f(x)=-3x 2-3x ＋18=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x=-12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max =f(0)=18，f(x)min =f(1)=12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18].(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为-3x 2＋5x ＋c ≤0，要使-3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤-2512， 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.19.解：设3x ＋2y=m(x ＋y)＋n(x-y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y=52(x ＋y)＋12(x-y)，又因为-1<x ＋y<4，2<x-y<3，所以-52<52(x ＋y)<10，1<12(x-y)<32，所以-32<52(x ＋y)＋12(x-y)<232，即-32<3x ＋2y<232，所以3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.20.(2)求该城市旅游日收益的最小值.解：(1)W(t)=f(t)g(t)=⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120-|t-20|)=⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20.559＋140t －4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1，20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t=441(t=5时取最小值).当t ∈(20，30]时，因为W(t)=559＋140t -4t 递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=44323，所以t ∈[1，30]时，W(t)的最小值为441万元.21.解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.(2)设利润为z 万元，则目标函数为z=2x ＋3y.考虑z=2x ＋3y ，将它变形为y=-23x ＋z 3， 这是斜率为-23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z=2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24).所以z max =2×20＋3×24=112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元. 22.解：设AP=x 米，AQ=y 米.(1)则x ＋y=200，△APQ 的面积S=12xy ·sin 120°=34xy.所以S ≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22=2 500 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x=y=100时取“=”.(2)由题意得100×(x ＋1.5y)=20 000，即x ＋1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2＋y 2-2xycos 120°=x 2＋y 2＋xy=(200-1.5y)2＋y 2＋(200-1.5y)y=1.75y 2-400y ＋40 000=1.75⎝ ⎛⎭⎪⎫y －80072＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y<4003，当y=8007时，PQ 有最小值200217，此时x=2007.所以当AP 为2007米，AQ 为8007米时，用料最省.。

2019-2020年高三数学一轮复习阶段检测卷三数列与不等式理(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列结论正确的是( )A.ac2<bc2B.<C.>D.a2>ab>b22.若集合A={x|x(x-2)<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0},且A∩B=B,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<3B.0<a<3C.0<a<4D.1<a<43.已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.844.已知{a n}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{a n}的第n项到第n+5项的和为T n,则|T n|取得最小值时的n的值为( )A.5或6B.4或5C.6或7D.9或105.设变量x,y 满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( )A.-7B.-4C.1D.26.已知函数f(x)=若数列{a n}(n∈N*)的前n项和为S n,且a1=,a n+1=f(a n),则S2 016=( )A.895B.896C.897D.8987.已知定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若函数f(x+1)为奇函数,则不等式f(1-x)>0的解集为( )A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(1,+∞)8.已知不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-10,+∞)B.(-∞,-10)C.(-∞,+∞)D.(-∞,-8)9.已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则+的最小值为( )A.-3B.3C.16D.410.函数y=f(x)为定义在R上的减函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若x,y满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,则当1≤x≤4时,·的取值范围为( )A.[12,+∞)B.[0,3]C.[3,12]D.[0,12]11.已知数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N*),设S n为{b n}的前n项和,若a12=a5>0,则当S n取得最大值时n的值为( )A.15B.16C.17D.18 12.在数列{a n}中,对于任意n∈N*,若存在常数λ1,λ2,…,λk,使得a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+…+λk a n(λi≠0,i=1,2,…,k)恒成立,则称数列{a n}为k阶数列.现给出下列三个结论:①若a n=2n,则数列{a n}为1阶数列;②若a n=2n+1,则数列{a n}为2阶数列;③若a n=n2,则数列{a n}为3阶数列.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=.14.已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若曲线y=x a过点P,则a的值为.15.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1-a n=sin,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 016= .16.已知公差为2的等差数列{a n}及公比为2的等比数列{b n}满足a1+b1>0,a2+b2<0,则a3+b3的取值范围是.三、解答题(共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a2=2,S4=4,a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在平面直角坐标系中,设u=(4,S2),v=(4k,-S3),若u∥v,求实数k的值.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)当c∈R时,解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(用c表示).19.(本小题满分12分)设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(a n-a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x满足f '=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=2,求数列{b n}的前n项和S n.20.(本小题满分12分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.在xx 年“双十一”网购狂欢节前,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足p=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润. 21.(本小题满分12分)已知正项数列{a n},{b n},{c n}满足b n=a2n-1,c n=a2n,n∈N*,数列{b n }的前n项和为S n,(b n+1)2=4S n,数列{c n}的前n项和T n=3n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和A n.22.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=2,S5=15,数列{b n}满足:b1=,b n+1=b n(n∈N*),数列{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和;(2)求数列{b n}的通项公式及前n项和;(3)记集合M=,若M的子集个数为16,求实数λ的取值范围.阶段检测三数列与不等式一、选择题1.D 因为a<b<0,所以>,<1,>1,故<,>均不成立;当c2=0时,ac2<bc2不成立.故选D.2.B 因为集合A={x|x(x-2)<3}={x|-1<x<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0}={a,a-1},且A∩B=B,所以B⊆A,即B中的两个元素a,a-1都在集合A中,则-1<a<3且-1<a-1<3,那么a的取值范围是0<a<3.3.B 由于a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21,a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.4.A 由得从而等差数列{a n}的通项公式为a n=40-5n,得T n=(40-5n)+…+(15-5n)=165-30n,因为|T n|≥0,且n∈N*,故当n=5或6时,|T n|取得最小值15.5.A 解法一:将z=y-2x化为y=2x+z,作出可行域和直线y=2x(如图所示),当直线y=2x向右下方平移时,直线y=2x+z在y轴上的截距z减小,数形结合知当直线y=2x+z经过点B(5,3)时,z取得最小值3-10=-7.故选A.解法二:易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,0),(5,3),分别代入z=y-2x得z的值为1,-4,-7,故z的最小值为-7.故选A.6.B a1=,a2=f =,a3=f =-3=-,a4=,……,可得数列{a n}是周期为3的数列,一个周期内的三项之和为,又2 016=672×3,所以S2 016=672×==896.7.B 令x1<x2,因为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数.由f(x+1)为奇函数,得f(x)的图象关于点(1,0)对称,由不等式f(1-x)>0,得1-x>1,即x<0.8.A 解法一:不等式2x+m+>0可化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x-1)+≥2×2=8,当且仅当x=3时取等号.∵不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,∴-m-2<8,解得m>-10,故选A.解法二:不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立可化为m>,x∈(1,+∞),令f(x)=-2x-,x∈(1,+∞),则f(x)=--2≤-2-2=-2×4-2=-10,当且仅当x=3时取等号, ∴m>-10,故选A.9.C 因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以=,即2m+n=-6,又>0,>0,所以+≥2=2=2=16,当且仅当即2m=n=-3时取等号.10.D由题意得函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,得f(x2-2x)≤f(-2y+y2),又y=f(x)为定义在R上的减函数,所以x2-2x≥-2y+y2,即(x-y)(x+y-2)≥0.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易得·=x+2y,设t=x+2y.易知当直线t=x+2y过点C(4,-2)时,t取得最小值0,当直线过点B(4,4)时,t取得最大值12,即·的取值范围为[0,12].11.B 设{a n}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,d<0,所以a n=d,从而当1≤n≤16时,a n>0,当a≥17时,a n<0,所以当1≤n≤14时,b n>0,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,当n≥17时,b n<0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故当S n取得最大值时n=16.12.D ①∵a n=2n,∴∃k=1,λ=2,使a n+k=λa n+k-1成立,∴{a n}为1阶数列,故①正确;②∵a n=2n+1,∴∃k=2,λ1=2,λ2=-1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2成立,∴{a n}为2阶数列,故②正确;③∵a n=n2,∴∃k=3,λ1=3,λ2=-3,λ3=1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+λ3a n+k-3成立,∴{a n}为3阶数列,故③正确.二、填空题13.答案(2,3]解析因为A={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以A∩B=(2,3]. 14.答案解析+=(m+n)=17++≥17+2=25,当且仅当n=4m=时取等号,故点P,由于曲线y=x a过点P,所以=,从而可得a=.15.答案 1 008解析由a n+1-a n=sin⇒a n+1=a n+sin,∴a2=a1+sin π=1+0=1,a3=a2+sin=1+(-1)=0,a4=a3+sin2π=0+0=0,a5=a4+sin=0+1=1,如此继续可得a n+4=a n(n∈N*),数列{a n}是一个以4为周期的数列,而2 016=4×504,因此S2 016=504×(a1+a2+a3+a4)=504×(1+1+0+0)=1 008.16.答案(-∞,-2)解析由题意可得该不等式组在平面直角坐标系a1Ob1中表示的平面区域如图中阴影部分所示.当直线a3+b3=a1+4+4b1经过点(2,-2)时a3+b3取得最大值-2,又(2,-2)不在平面区域内,则a3+b3<-2.三、解答题17.解析(1)∵a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立,∴数列{a n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d,∵a2=2,S4=4,∴解得∴a n=a1+(n-1)d=-2n+6.(2)S n=·n=·n=-n2+5n,∴S2=6,S3=6,∴u=(4,6),v=(4k,-6),∵u∥v,∴4×(-6)=6×4k,∴k=-1.18.解析(1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b≥1,a>0,所以解得(2)由(1)得原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,所以当c>2时,所求不等式的解集为{x|2<x<c},当c<2时,所求不等式的解集为{x|c<x<2},当c=2时,所求不等式的解集为⌀.19.解析(1)由题设可得f '(x)=a n-a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x.对任意n∈N*, f '=a n-a n+1+a n+2-a n+1=0,即a n+1-a n=a n+2-a n+1,故{a n}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,求得{a n}的公差d=1,所以a n=2+(n-1)×1=n+1.(2)b n=2=2=2n++2,故S n=b1+b2+…+b n=2n+2·+=n2+3n+1-.20.解析(1)由题意知y=p-x-(10+2p),将p=3-代入,化简得y=16--x(0≤x≤a).(2)由(1)知y=17-,当a≥1时,y≤17-2=13,当且仅当=x+1,即x=1时取等号.所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,最大利润为13万元.当a<1时,函数y=17-在[0,a]上单调递增,所以当x=a时,函数有最大值,所以促销费用投入a万元时,厂家的利润最大,最大利润为万元.综上,当a≥1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,且最大利润为13万元;当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,且最大利润为万元.21.解析(1)由(b n+1)2=4S n,得(b1+1)2=4b1,∴b1=1.又(b n-1+1)2=4S n-1,n≥2,则(b n+1)2-(b n-1+1)2=4S n-4S n-1=4b n,n≥2,化简得-=2(b n+b n-1),n≥2,又b n>0,所以b n-b n-1=2,n≥2,则数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,所以b n=1+2(n-1)=2n-1=a2n-1,所以当n为奇数时,a n=n.由T n=3n-1得c1=2,T n-1=3n-1-1,n≥2,则c n=3n-3n-1=2×3n-1,n≥2,当n=1时,上式也成立,所以c n=2×3n-1=a2n,所以当n为偶数时,a n=2×.所以a n =(2)①当n为偶数时,A n中有个奇数项,个偶数项,奇数项的和为=,偶数项的和为=-1,所以A n=+-1;②当n为奇数时,n+1为偶数,A n=A n+1-a n+1=+-1-2×=+-1.综上,可得A n =22.解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意得解得所以a n=n,S n=.(2)由题意得=·,当n≥2时,b n=··…··b1=·=,又b1=也满足上式,故b n=.故T n=+++…+①,T n=+++…++②,①-②得T n=+++…+-=-=1-,所以T n=2-.(3)由(1)(2)知=,令f(n)=,n∈N*,则f(1)=1, f(2)=, f(3)=, f(4)=, f(5)=.因为f(n+1)-f(n)=-=,所以当n≥3时, f(n+1)-f(n)<0, f(n+1)<f(n),因为集合M的子集个数为16,所以M中的元素个数为4,所以不等式≥λ,n∈N*的解的个数为4,所以<λ≤1.。

绝密★启用前 2019-2020学年度高考数学5月月考卷 不等式专题 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知()2cos f t t =，,2t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式222x x m mx -+>+恒成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()(),24,-∞-+∞U B ．()2,4- C ．()(),02,-∞+∞U D ．()0,2 2．已知(),0,x y ∈+∞,且满足1112x y +=,那么4x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．3+C ．3+ D ． 3．集合2|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|()()0}B x x a x b =--<，若“2a =-”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <- B ．1b >- C ．1b ≤- D ．12b -<<- 4．已知集合2{|60}A x x x =--<,(){|2}B x y lg x ==-,则A B =I ( ) A ．(2,3) B ．(2,3)- C ．(2,2)- D ．∅ 5．已知函数()23236,034,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+-<⎩，设()(){}|0,A x x f x m x Z =-≤∈，若A 中有且仅有3个元素，则满足条件的整数m 的个数为（ ） A ．9 B ．10 C ．2 D ．12 6．已知集合{}2|450A x x x =-+>，203x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ）A ．(2,3)-B ．[2,3]-C ．[2,3)-D ．∅ 7．已知305x <<，则()35x x -取最大值时x 的值为（ ） A ．310 B ．910 C ．95 D ．12 8．“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ）条件． A ．充分必要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要9．若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为( )A ．12B ．14C ．18D ．2410．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]二、多选题11．下列说法正确的有（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22ab c c >，则a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >12．已知函数()42221x x af x x ++=+（x ∈R ）的值域为[,)m +∞，则实数a 与实数m 的取值可能为（ ）A ．0a =，0m =B ．1a =，1m =C ．3a =，3m =D ．a =m =13．已知关于x 的不等式23344a x x b ≤-+≤，下列结论正确的是（ ）A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当1a =，4b =时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为{}04x x ≤≤C ．当2a =时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集可以为{}x c x d ≤≤的形式D ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么43b = E.不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么4b a -= 14．已知a ，b ，c 满足c a b <<，且0ac <，那么下列各式中一定成立（ ） A ．()0ac a c -> B ．()0c b a -< C ．22cb ab < D ．ab ac > 15．已知关于x 的不等式230ax bx ++>,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是( ) A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}3x x > B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是∅ D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}13x x -<< E.不等式230ax bx ++>的解集可以是{3x x <-，或}1x > 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 三、双空题 16．己知动点(,)P m n 在圆22 1O x y +=：上，则31n m --的取值范围是____________，若点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点(1,1)B ，则2||||PA PB +的最小值为____________. 17．设实数,x y 满足条件30x y -≥，22x y +≤，则可行域面积为______，xy 最大值为______. 18．已知函数()21f x x =-，()()2g x x a a R =+∈，则不等式()3f x ≤的解集为______；若不等式()()6f x g x +≥对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为______. 19．若,x y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______，最大值为_____. 21当k 取得最小值时，l 的方程是________. 四、填空题 21．设点(),x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数 2 z x y =+的最大值是________. 22．若,x y 满足约束条件220100x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为________.23．设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________．24．定义在R 上的函数()y f x =为减函数，且函数()1y f x =-的图像关于点()1,0对称，若()()22220f s s f b b -+-≤且02s ≤≤，则s b -的取值范围是______.25．若变量x y ，满足22330x yx y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,且2z x y =+,则z 的最大值是_____．五、解答题26．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，都有()()()f m n f m f n +=⋅，当0x >时，()01f x <<.（1）求()0f 的值；（2）证明：当0x <时，()1f x >.（3）证明：()f x 在R 上单调递减.（4）若()()33921x x x f k f ⋅⋅-->对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围. 27．已知函数2()4f x x =+.（1）设()()f x g x x =，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[2,)+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式2()(1)2(1)f x a x a x >-++.28．已知椭圆E 的方程是221y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，…订…………○………____考号：___________…订…………○………与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值. 29．用20m 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 30．如图，已知椭圆2213x C y +=：，过动点M （0，m ）的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于A ，P （其中P 在第一象限，N 在椭圆内），且M 是线段PN 的中点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，延长QM 交C 于点B ，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2．（1）当113k =时，求k 2的值； （2）当1213k k =-时，求直线AB 斜率的最小值．参考答案1．A【解析】【分析】先求出()f t 值域即得到实数m 的范围，[]2,2m ∈-，再将222x x m mx -+>+变形为 ()21220m x x x -+-->，设()()2122g m m x x x =-+--，所以解不等式组()()2020g g ⎧>⎪⎨->⎪⎩ 即可求出． 【详解】 因为,2t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2cos 2,2f t t =∈-，即[]2,2m ∈-． 222x x m mx -+>+变形为()21220m x x x -+-->，设()()2122g m m x x x =-+-- 所以()0g m >在[]2,2m ∈-上恒成立，故()()2020g g ⎧>⎪⎨->⎪⎩， 即224040x x x ⎧->⎨->⎩ 解得，4x >或2x <-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用余弦函数单调性求值域，一元二次不等式的的解法，不等式恒成立问题的解法，以及更换主元法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 2．B【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出结果.【详解】解：∵(),0,x y ∈+∞,且满足1112x y+=, 那么()11442x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。