第九讲牛吃草问题

牛吃草问题的详细解法一、牛吃草问题基础概念。

1. 问题描述。

- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。

典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

2. 基本公式。

- 设每头牛每天的吃草量为1份。

- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。

- 吃的天数 = 原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数 = 原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

二、牛吃草问题示例及解析。

1. 题目1。

- 有一片牧场，草每天都在匀速生长。

如果放养24头牛，6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。

问：- 要使草永远吃不完，最多放养多少头牛？- 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？- 解析：- 设每头牛每天吃草量为1份。

- 首先求草的生长速度：(21×8 - 24×6)÷(8 - 6)=(168 - 144)÷2 = 12（份/天）。

要使草永远吃不完，那么牛每天的吃草量不能超过草的生长速度，所以最多放养12头牛。

- 由知草的生长速度为12份/天，先求原有草量：24×6 - 12×6 = 144 - 72 = 72（份）。

- 当放养36头牛时，设可以吃x天，根据原有草量 = 牛头数×吃的天数- 草的生长速度×吃的天数，可得72 = 36x-12x，24x = 72，解得x = 3天。

2. 题目2。

- 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么这片草地可供21头牛吃几周？- 解析：- 设每头牛每周吃草量为1份。

- 草的生长速度(23×9 - 27×6)÷(9 - 6)=(207 - 162)÷3 = 15（份/周）。

牛吃草问题一、知识梳理英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．二、方法归纳同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．三、课堂精讲（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：例1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头牛吃多少天？【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1. 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。

假定草的生长速度不变，那么供19头牛几周吃完？2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？3.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃几周？例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可吃多少天？【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。

第九讲“牛吃草”问题有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

练习：牧场上有一片均匀生长的草地，可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10周.那么它可供25头牛吃几天例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？练习：一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？例3 进入冬季后，牧场上的草开始枯萎。

因此草会均匀地减少。

现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完。

如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天练习：进入冬季后，牧场上的草开始枯萎。

因此草会均匀地减少。

草地上的草可供32头牛吃24天。

或者供27头牛吃28天。

如果在这片草地上养21头牛，那么可以吃多少天？例4 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？练习：33亩的草地可供22头牛吃54天，28亩的草地可供17头牛吃84天.40亩的草地可供几头牛吃24天（每亩长速一样，原有相同）？例5 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？练习：一块草地，每天生长的速度相同.若14头牛30天将草吃完，70只羊16天也可将草吃完.（ 4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的草量），那么17头牛与20只羊一起吃可以吃多少天？练习：一块草地，草每天都在匀速的生长.如果在这片草地上放20头牛和24只羊，那么18天可以吃完，如果在这片草地上放15头牛和54只羊，那么15天可将草吃完。

第9讲牛吃草问题基本数量关系：草每天生长量= （牛的头数⨯吃得较多的天数- 牛的头数⨯吃得少的天数）÷天数的差草的原有量= 牛的头数⨯吃的天数- 草每天生长量⨯吃的天数(一)例题1、坝上牧场长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问可供25头牛吃几天？（答案：5）2、一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12只，如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天吃草量，那么10头牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？（答案：8）3、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么11头牛可吃几天？（答案：8）4、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，如果使用3台抽水机，36分钟可以抽完，如果使用5台抽水机，20分钟可以抽完，现在12分钟内要抽完井水，至少需要抽水机多少台？（答案：8）5、某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。

如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始多少分钟后没有人排队？（答案：3）6、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车的速度是每小时24千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？（答案：19）7、11头牛10天可以吃完5公亩牧场上的全部牧草，12头牛14天可以吃完6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以吃完8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量相等）（答案：8）（二）练习1、某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，则只要24天便可割尽。

假设草每天匀速生长，每人每天割草量相同。

牛吃草问题通常也被称为消长问题，它涉及到草的生长速
度和牛的数量及它们吃草的时间。

在解决这类问题时，常用
的工具有四个基本公式，它们分别是：
1. 草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应
的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）
2. 原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天
数
3. 吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）
4. 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
这些公式是解决消长问题的基础，由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变
化中找到不变量。

在牧场上原有的草是不变的，新长的草虽
然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该
是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基
本公式。

牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。