山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试 文科数学

2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析） 一、选择题1．已知全集R U =,{|A y y ==,则U C A =( )A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞2．已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等3．向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos()2πα+=( )A.13 B. 13-C. 3-D. 3-4．在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )6．定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7．已知,x y 满足10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值是( )A ．72B ．4-C ．7-D ．8- 8．已知函数()sin f x x ω=在304π［，］恰有4个零点，则正整数ω的值为( ) A ．2或3 B ．3或4 C ．4或5 D ．5或6 9．函数()4230y x x x=-->的最大值是( )A.2-2- C.2+ D.2+10．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是( ) A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形11．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ） A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12．已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-===＜＜且，现给出如下结论：①(0)(1)0f f ＞；②(0)(1)0f f ＜；③(0)(2)0f f ＞；④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题13．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 .14．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A ，则直线l 的方程为 . 15．已知函数()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16．若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①22(,)f x y x y =+；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =④(,)sin()f x y x y =-.能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题17．已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．求()y g x =在区间[0,10]π上零点的个数．18．在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222cos ()bc A a b c =-+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ．19．已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k a k M ∈的和.20．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.21．某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;（2）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．已知函数()()()221ln 1x a x x f +-+=在()1,2--上是增函数，()2,-∞-上是减函数．（1）求函数()x f 的解析式； （2）若]1,11[--∈e ex 时，()m x f <恒成立，求实数m 的取值范围； （3）是否存在实数b ，使得方程()b x x x f ++=2在区间]2,0[上恰有两个相异实数根，若存在，求出b 的范围，若不存在说明理由．2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析）参考答案1．B 【解析】试题分析：因为，R U =，{|{|0}A y y y y ===≥，所以，U C A ={|0}y y <，故选B.考点：集合的运算 2．D 【解析】试题分析：A ：m ．n 可以都和平面垂直，不必要 ； B ：m ．n 可以都和平面平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面内，不必要 ；D ：平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分考点：充要条件，平行关系，垂直关系. 3．B 【解析】试题分析：因为，向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，所以，11cos tan 03αα⨯-=，11sin ,cos()sin 323πααα=+=-=-，故选B.考点：共线向量，三角函数诱导公式.4．A 【解析】试题分析：因为，正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，由对数运算法则及等比数列的性质，有6363693696lg 6,10,10a a a a a a a ===，6100a =，22111610010000a a a ===，故选A. 考点：等比数列的性质，对数运算. 5．C 【解析】试题分析：a 是直线y x a =+的纵截距.根据指数函数、对数函数的性质，1a >时，函数log ,,x a y x y a y x a===+的图象同时上升；01a <<时 图象同时下降.对照选项可知，A,B,D 均矛盾，C中01a <<，选C.考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 6．D 【解析】试题分析：由新定义，2()(1)(3)2()43f x x x x x x =-+--=+-，图象的对称轴为2x =-.为使其在(,)m -∞上单调递减，须2m ≤-，选D.考点：新定义，二次函数的性质. 7．C 【解析】试题分析：根据10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线30x y -=（如图），平移直线30x y -=，当直线经过点A （2,3）时，3z x y =-的最小值为-7，故选C.考点：简单线性规划的应用 8．C 【解析】考点：正弦函数的图象和性质 9．B 【解析】试题分析：因为 0x >，所以，43x x +≥=43x x--≤-， 因此，函数()4230y x x x=-->的最大值是2-，故选B. 考点：基本不等式的应用 10．B 【解析】试题分析：由正弦定理、余弦定理，sin sin cos cos sin A A C A C -=可化为222222(1)22a b c b c a a c ab bc+-+--=⋅，整理得，a b =，所以，ABC ∆的形状是等腰三角形，选B.考点：正弦定理、余弦定理的应用 11．A 【解析】试题分析：因为，a 、b 都是非零向量,,||||a ba b分别是,a b 的单位向量，0||||a b a b += 意味着,a b 方向相反 .所以，一定能使0||||a b a b +=成立的是13a b =-，选A.考点：单位向量，共线向量，向量的线性运算.12．D 【解析】试题分析：由题意得，2f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（），∴当x 1＜或x 2＞时，f x 0'（）＞，当1x 2＜＜时，f x 0'（）＜， ∴函数f x （）的增区间是12-∞+∞（，），（，），减区间是12（，）， ∴函数的极大值是5f 12abc =-（），函数的极小值是f 22abc=-（）， ∵a b c ＜＜，且f a f b f c 0===（）（）（）， ∴a 1b 2c f 10＜＜＜＜，（）＞且f 20（）＜，解得2abc ＜＜∴f 0abc 0=-（）＜，则f 0f 10f 0f 20（）（）＜,（）（）＞， 故选D ．考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点. 13．28836π+ 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是组合体：一个长方体与一个半圆柱.根据图中数据得到其体积为2166838288362ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=+，答案为28836π+. 考点：三视图，几何体的体积. 14．90x y --= 【解析】试题分析：由已知，A 在幂函数ny x =的图象上，即=，3n =，3y x =.由导数的几何意义，切线的斜率为12|39n x nx -⨯=，所以，由直线方程的点斜式得直线l 的方程为90x y --=.考点：幂函数，导数的几何意义. 15．-1 【解析】试题分析：∵()f x 的图象关于直线1x =对称,∴f x f 2x =-（）（）， 又()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数，∴f x f x 2=--（）（）， ∴f x 4f x 2[f x ]f x +=-+=--=（）（）（）（），即4为()f x 的周期， ∴f 2013f 45031f 1f 2014f 45032f 2=⨯+==⨯+=（）（）（），（）（）（）. 由[1,0]x ∈-时，()f x x =-，得f 1f 11=--=-（）（）， 由f x f 2x =-（）（），得f 2f 00==（）（）， ∴f 2013f 2014101+=-+=-（）（）， 故答案为1-．考点：函数的奇偶性、周期性 16．① 【解析】试题分析：①对于函数22(,)f x y x y =+：满足非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号；满足对称性：(,)(,)f x y f y x =；∵222222f x z f z y x z z y x y f x y +=+++≥+=（，）（，）（，），对任意的实数z 均成立，因此满足三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+．可知(,)f x y 能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数．②2(,)()f x y x y =-0≥，但是不仅x y 0==时取等号，x y 0=≠也成立，因此不满足新定义：关于的x 、y 的广义“距离”的函数；③(,)f x y =(,)f x y =y x -=（）即不满足对称性；④同理(,)sin()f x y x y =-不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数． 故答案为①．考点：新定义，函数的概念与表示. 17．（Ⅰ）)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． （Ⅱ）()g x 在[]0,10π上有20个零点. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意得，首先化简函数.得到()2sin(2)3f x x π=-.根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈．（Ⅱ）根据“左加右减，上加下减”，得到()2sin 21g x x =+，根据()0g x =得到712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈函数在每个周期上恰有两个零点, []0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点.试题解析：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω=-=- 2分由周期为π，得1ω=.得()2sin(2)3f x x π=- 4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． 6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ 8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈ 10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点,[]0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点 12分考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质. 18．（Ⅰ）23A π=；（Ⅱ）4b c ==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理确定得到1cos 2A =-， 根据角的范围0A π<<，即得23A π=.解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力.（Ⅱ）根据三角形面积、余弦定理，建立,b c 的方程组16,8bc b c =+=，求得4b c ==. 试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 2分代入222cos ()bc A a b c =-+得4cos 2bc A bc =-， 4分∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π= 6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= 8分 222222cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+= 10.解得：4b c == 12分考点：三角形面积公式，余弦定理的应用. 19．（Ⅰ）1222n nn a -=⨯=；（Ⅱ）所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=-.【解析】试题分析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意可建立其方程组，不难求得.（Ⅱ）根据1(1)1(2)nnn n c a =--=--, 要注意分n 为偶数， n 为奇数，加以讨论，明确{}()k a k M ∈是首项为112，公比为4的等比数列,利用等比数列的求和公式，计算得到所有()k a k M ∈的和. 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 所以42911()a q a q =，解得1a q = 2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = 4分 所以1222n n n a -=⨯= 6分（Ⅱ）则1(1)1(2)nnn n c a =--=--,当n 为偶数，122014nn c =-≥，即22013n≤-，不成立 8分 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ 10分 {}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列,则所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=- 12分考点：等比数列的通项公式、求和公式20．(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.【解析】试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，得到四边形BB 1D 1D 是平行四边形，从而B 1D 1∥BD ，由直线与平面平行的判定定理即得证.(2)注意到BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，推出BB 1⊥AC.又BD ⊥AC ，即得AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，故得证.(3)分析预见当点M 为棱BB 1的中点时，符合题意.此时取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，证得BN ⊥DC.又DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，推出BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得，O 是NN 1的中点，由四边形BMON 是平行四边形，得出OM ⊥平面CC 1D 1D ，得证.试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD.而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD.(2)∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC.又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，∴MD ⊥AC.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC.又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可证得，O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM=ON ，即四边形BMON 是平行四边形，∴BN ∥OM ，∴OM ⊥平面CC 1D 1D ，因为OM ⊂面DMC 1，所以平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.考点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，四棱柱的几何特征.21．（I ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元.【解析】试题分析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. （II ）通过确定2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈，求导数得到2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，求得驻点，根据13a ≤≤，2026833a ≤+≤.讨论 ①当2367,132a a +≤≤≤时，②当2673a +>，332a <≤时，导数值的正负，求得最大值.试题解析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈， 2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，得263x a =+或10x =， 因为，13a ≤≤，所以，2026833a ≤+≤. ①当2367,132a a +≤≤≤时，[7,9]x ∈，'()0L x ≤， 2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈是单调递减函数.故max ()(7)279L x L a ==- 10分 ②当2673a +>，即332a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '< ()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减， 故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- 答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大, 最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元. 考点：生活中的优化问题举例，应用导数研究函数的单调性、最值. 22．⑴()()()221ln 1+-+=x x x f ；⑵()212-=->e e f m ；⑶3ln 232ln 32-≤<-b 【解析】试题分析：⑴求导数，求驻点，根据驻点函数值为0，得到a 的方程，进一步得到函数解析式.⑵通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使()212-=->e e f m ⑶构造函数()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1，即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ．利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间(]2,1，减区间[)1,0．从而要使方程有两个相异实根，须有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，得解.试题解析：⑴()()()()1212112222+-+=++-+='x a x x a x x x f 依题意得()0222=+-='a f ，所以1=a ，从而()()()221ln 1+-+=x x x f 2分⑵ ()()()12212122++=+-+='x x x x x x f 令()0='x f ，得0=x 或2-=x （舍去），所以()212-=->e e f m 6分 ⑶设()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1， 即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ． 7分 又()11121+-=+-='x x x x F ，令()0>'x F ，得21<<x ；令()0<'x F ，得10<<x ． 所以函数()x F 的增区间(]2,1，减区间[)1,0．要使方程有两个相异实根，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，解得3ln 232ln 32-≤<-b 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.。

2014山东省青岛市文科数学二模试题及答案解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()AB =ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．33. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为A ．1B ．0 CD5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 7. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人 8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32- 9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为A.表面积13)2S =B.表面积为12)2S = C.体积为1V = D. 体积为23V =10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ； 13. 已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3π，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x =，则(4)g '= ；15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积.17．（本小题满分12分） 已知函数4()f x ax x=+. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n nb a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．ACBE F20．（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.高三自评试题数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D D A C C D D A B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.7013. 14．316-15．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ=+=+，……………………………………………2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………………………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,P Q ∴ ……………………………………………………………………7分||||||OP PQ OQ ∴==从而cos 3||||OP OQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅sin POQ∴∠==，………………………………………………10分设OPQ∆的外接圆的半径为R，由||2sinPQRPOQ=∠||2sin2PQRPOQ⇒===∠∴OPQ∆的外接圆的面积292S Rππ==………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()2y f x=-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x-=，即2240ax x-+=有两个不同的正根1x和2x1212244160ax xax xaa≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩14a⇒<<………………………………………………………4分114()416P A∴==…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x>>，所以()f x≥()f x≥min()f x∴=，()2bxf>在()0,x∈+∞恒成立2b∴>……()*……………………………8分当1a=时，1b=适合()*；当2,3,4,5a=时，1,2b=均适合()*；当6a=时，1,2,3b=均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=. ………………………………………………10分而基本事件总数为6636⨯=，……………………………………………………………11分121()363P B∴==. ………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ) 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ……………………………………………………………………………4分 BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………………………5分(Ⅱ) 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ， ………………………………………………………………………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，EG ∴⊥平面ABCD ………………………………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …………………………………………10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCDV SEG =⨯=⨯…………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=……………………………………………………………………………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 …………………………………5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- …………………………………………………………………6分OACBE FG（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+- ……………………………12分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=- ………………………………………………………………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …………………………………………………………4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；………………………………………………………………………5分 若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……………………………………………………………6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>， 所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………………………………………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．……………………………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；………………………………………………………………………………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．…………………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==， 2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+ 由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-= 1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分 （III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =221156(1)||22716m S MN d m +∴=⋅=⨯=+…………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥=（当且仅当97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当m =时，S 取最大值14分。

山东省青岛二中2014届高三12月月考数学（文科）试卷第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，{|21}x A y y ==-,则U C A =( )A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞2.已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是（ ）A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等3.向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos()2πα+=( ）A. 13 B 。

13- C. 23- D. 223- 【答案】B【解析】试题分析：因为,向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ， 所以，11cos tan 03αα⨯-=，11sin ,cos()sin 323πααα=+=-=-,故选B. 考点：共线向量，三角函数诱导公式。

4.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=,则111a a 的值是( )A. 10000 B 。

1000 C 。

100 D. 10【答案】A【解析】试题分析：因为,正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，由对数运算法则及等比数列的性质，有6363693696lg 6,10,10a a aa a a a ===,6100a =，22111610010000a a a ===,故选A. 考点：等比数列的性质,对数运算。

5。

已知0,a >且1a ≠，函数log,,x ay x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )【答案】C【解析】试题分析：a 是直线y x a =+的纵截距.根据指数函数、对数函数的性质，1a >时，函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图象同时上升；01a <<时 图象同时下降.对照选项可知，A ，B ，D 均矛盾，C 中01a <<,选C.考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质6.定义运算a b ad bc c d=-,若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是（ )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.已知,x y 满足10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值是（ ）A ．72B ．4-C ．7-D ．8-【答案】C【解析】试题分析：根据10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线30x y -=（如图），平移直线30x y -=，当直线经过点A （2，3）时，3z x y =-的最小值为—7,故选C 。

2014年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．7．（5分）若f （x ）=2cos （ωx+φ）+m ，对任意实数t 都有f （t+）=f （﹣t ），且f （）=﹣1则实数m 的值等8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g．C D ．． π C π D ．11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx ﹣4y ﹣k=0与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到直线x+=0的距离等于（ ） ．D 12．（5分）已知函数f （x ）=e x+alnx 的定义域为D ，关于函数f （x ）给出下列命题： ①对于任意函数a ∈（0，+∞），函数f （x ）是D 上的减函数； ②对于任意函数a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）存在最小值； ③存在a ∈（0，+∞），使得对于任意的x ∈D ，都有f （x ）＞0． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定X 和Y 有关系可信度，214．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组若目标函数z=y ﹣ax （a ∈R ）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a 的取值范围是 _________ ．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为_________．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为_________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）=复数的虚部为﹣3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C DAC=PA=4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），））的符号，结合函数零点的存在性定理和函数=（=（==，是单调递减函数，是单调减函数，故存在唯一零点5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．）））×+1=，7．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等t+）（t+））8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．分别是双曲线离心率9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g ． C D ．．πCπD．，所以O===11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）．D，故可知直线恒过定点（的焦点坐标为（=x+=0=12．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定X和Y有关系可信度，214．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（1，+∞）．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．的值，由此求得|两个向量的夹角公式求得向量与+2向量，||=2||=1，则=|||×=+4|=2与+2的夹角为=，16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．，c=解：∵2A+=，可得的面积为S=bcsinA=，即×c=根据正弦定理，得=三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．的通项公式代入∴为首项，∴）由为首项为．公比为的等比数列．∴18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=，BC=PC=，，sinA=，的面积为CE=2，，等积法得．的高为19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．分以上的同学的概率，类资格的概率为20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．=3构造关于（b=c==，其标准方程为，=∵=3）•时，∵=3＜﹣，或＜，﹣21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．，函数）∵+=（）时，．又四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = （ ） A ．{|01}x x ≤≤B ．{|0x x >或1}x <-C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤2.已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，样本重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本重量落在[15,20]内的频数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．404.双曲线22145x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y x =C ．y x =D ．y x =5.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．116.函数22sin y x =图象的一条对称轴方程可以为（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．34x π=D ．x π=7.函数22)(3-+=x x f x在区间(0,2)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B8.已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．839.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ） A ．a α⊥，//b β，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ C ．a α⊂，b β⊥，//αβ D ．a α⊂，//b β，αβ⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：由a α⊥，//b β，αβ⊥，有可能a//b ，不一定得到a b ⊥，A 不正确；10.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()xx f x e e=*的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.复数12z i=+（其中i 为虚数单位）的虚部为 .12.从等腰直角ABC ∆的底边BC 上任取一点D ，则ABD ∆为锐角三角形的概率为 .考点：几何概型14.如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为.15.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2c o s c o s (t a n t a n 1A C A C -=.（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若a c +=，b =求ABC ∆的面积.（Ⅱ）由余弦17.（本小题满分12分）某公司销售A、B、C三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是21.0.（Ⅰ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求在C 款手机中抽取多少部？ （Ⅱ）若133,136≥≥z y ，求C 款手机中经济型比豪华型多的概率.18.（本题满分12分）如图几何体中,四边形ABCD 为矩形，36AB BC ==，2====DE AE CF BF ，4EF =，//EF AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且2CM =.（Ⅰ）证明：//AF 面BDG ；（Ⅱ）证明：面BGM ⊥面BFC ；（Ⅲ）求三棱锥F BMC -的体积V .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15-.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，得知O为AC的中点，连接OG19.（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，公差为d ，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 满足n b =212(2)2n n a d ---+，R a ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1n n b b +≤，n *∈N ，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知椭圆221121:1(1)x C y a a +=>与222222:1(01)x C y a a +=<<的离心率相等. 直线: (01)l y m m =<<与曲线1C 交于, A D 两点（A 在D 的左侧），与曲线2C 交于, B C 两点（B 在C 的左侧）,O 为坐标原点，(0,1)N -．（Ⅰ）当m ，54AC =时，求椭圆12, C C 的方程； （Ⅱ）若2||||ND AD ND AD ⋅=⋅ ，且AND ∆和BOC ∆相似，求m 的值．21.（本小题满分14分） 已知函数322()233f x x ax x =--. （Ⅰ）当0a =时，求曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程；（Ⅱ）对一切()+∞∈,0x ,2()4ln 31af x a x x a '+≥--恒成立,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，试讨论()f x 在(1,1)-内的极值点的个数.②当。

2014年山东省实验中学高考数学二模试卷（文科）（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U （M∪N）=（）A.{5，7}B.{2，4}C.{2，4，8}D.{1，3，5，6，7}【答案】C【解析】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴∁U（M∪N）={2，4，8}故选C先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2.等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.24【答案】A【解析】解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=-3，故此等比数列的前三项分别为-3，-6，-12，故此等比数列的公比为2，故第四项为-24，故选A．由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．3.在△ABC中，已知∠A=120°，且=，则sin C等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：已知等式==，变形得：c=2b，设b=x，得到c=2x，∵∠A=120°，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=x2+4x2+2x2=7x2，即a=x，利用正弦定理=，得：sin C===．故选C已知等式变形得到c=2b，设b=x，得到c=2x，由cos A的值，利用余弦定理表示出a，再利用正弦定理即可求出sin C的值．此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4.设s n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9=（）A.-6B.-4C.-2D.2【答案】A【解析】解：∵s n为等差数列{a n}的前n项和，s8=4a3，a7=-2，即．解得a1=10，且d=-2，∴a9=a1+8d=-6，故选A．由题意可得，解此方程组，求得首项和公差d的值，即可求得a9的值．本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．5.数列{x n}中，若x1=1，，则x2010的值为（）A.-1B.C.D.1【答案】B【解析】解：由题意，x1=1，x2=-，x3=1，x4=-，由此可知数列各项以2为周期，∴x2010=-故选B．根据递推式，写出前几项，可知数列各项以2为周期，成周期出现，进而可以求解．本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，关键是发现数列各项以2为周期，成周期出现．6.在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）A.充分非必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【答案】C【解析】解：在△ABC中，⇒2sin A•sin C-sin2A=2cos A•cos C+cos2A⇒2sin A•sin C-2cos A•cos C=cos2A+sin2A=1⇒-2cos（A+C）=1⇒cos（A+C）=-⇒A+C==2B⇒角A、B、C成等差数列当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，故不成立故是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．故选C．根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．利用三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与A、B、C成等差数列的等价关系是解答本题的关键．7.已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A.a3+a7＞2a5B.a3+a7＜2a5C.a3+a7=2a5D.a3+a7与2a5的大小与a有关【答案】A【解析】解：由题意可知a3+a7=a3+a7≥2=2a5又因为a＞0，a≠1，所以上式等号取不到即a3+a7＞2a5故选A．先表示出a3+a7，再根据基本不等式直接可得答案．本题主要考查基本不等式以及其成立的条件．8.已知函数f（x）=3+4，则函数f（x）的最大值为（）A.3B.4C.5D.不存在【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则，即3≤x≤4，则0≤x-3≤1，0≤4-x≤1，且4-x+x-3=1，∴可设4-x=sin2θ，则cos2θ=x-3，0≤θ≤90°则F（x）=3sina+4cosa=5sin（a+b）则函数f（x）等价为y=3sinθ+4cosθ=5（sinθ+cosθ），令，，则y=3sinθ+4cosθ=5（sinθ+cosθ）=5（sinθcosα+cosθsinα）=5sin（θ+α），∴当θ+α=90°时，函数取的最大值5，故选：C．先求函数的定义域，然后利用三角还原法转化为三角函数，利用三角函数的性质即可求函数的最大值．本题主要考查函数最值的求法，根据函数式子的特点，利用三角换元法是解决本题的关键，要求熟练掌握辅助角公式的应用，综合性较强，难度较大．9.已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A. B. C. D.-【答案】C【解析】解：因为角α在第一象限且cosα=，利用sin2α+cos2α=1得到sinα=，则原式====2×（cosα+sinα）=2×（+）=．故选C利用两角和与差的余弦函数公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ化简原式，然后根据同角三角函数的基本关系求出sinα，代入求出值即可．考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式的能力，以及掌握同角三角函数间基本关系的能力．10.如图，角α的顶点为原点O，始边为y轴的非负半轴、终边经过点P（-3，-4）．角β的顶点在原点O，始边为x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ=-2，则cos∠POQ的值为（）A.-B.-C.D.【答案】A【解析】解：依题意，角+α的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5∴cos（+α）=-，∴sinα=，即角α的正弦值为．cos∠POQ=cos（+α-β）=cos（+α）cosβ-sin（+α）sinβ又cos（+α）=-，sin（+α）=-∵tanβ=-2，β在第二象限，∴sinβ=，cosβ=-，∴cos∠POQ=（-）×（-）+（-）×=-，故选：A．由题意可求得cos（+α）=-，从而可求得sinα的值；利用∠POQ=（+α）-β，利用两角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（+α-β）；本题考查两角和与差的正弦函数，着重考察诱导公式及的作用及任意角的三角函数的定义，突出三角函数的综合应用，属于中档题．11.设a＞0，b＞0，c＞0下列不等关系不恒成立的是（）A.c3+c+1＞c2+c-1B.|a-b|≤|a-c|+|b-c|C.若a+4b=1，则+＞6.8D.ax2+bx+c≥0（x∈R）【答案】D【解析】解：A．∵c＞0，∴=＞，∴＞恒成立．B．由不等式的性质可得：|a-c|+|b-c|≥|a-c-（b-c）|=|a-b|，因此恒成立．C．∵a＞0，b＞0，∴=5+=9＞6.8恒成立．D．只有当＞时，ax2+bx+c≥0恒成立，否则不恒成立．故选：D．A．利用“作差法”和“配方法”可得=＞；B．由不等式的性质可得：|a-c|+|b-c|≥|a-c-（b-c）|=|a-b|．C．利用a＞0，b＞0，和基本不等式的性质可得：=5+，即可判断出．D．只有当＞时，ax2+bx+c≥0恒成立，否则不恒成立．本题考查了不等式的性质和基本不等式的性质、“作差法”比较两个数的大小等基础知识与基本技能方法，属于基础题．12.设函数=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=取函数f（x）=2-|x|．当K=时，函数f K（x）的单调递增区间为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，-1）D.（1，+∞）【答案】C【解析】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤-1或x≥1．∴函数f K（x）=，，，＜＜由此可见，函数f K（x）在（-∞，-1）单调递增，故选C．先根据题中所给的函数定义求出函数函数f K（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=，＞，那么不等式f（x）≥1的解集为______ ．【答案】（-∞，0]∪[3，+∞）【解析】解：∵函数在x＞0时为增函数，且故当[3，+∞）时，f（x）≥1∵函数在x≤0时为减函数，又知=1，故当（-∞，0]时，f（x）≥1故答案为（-∞，0]∪[3，+∞）利用特殊函数的单调性，分步讨论做这样的题一定要熟记某些特殊函数的单调性和单调区间14.已知函数f（x）=x3-3a2x+a（a＞0）的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是______ ．【答案】，∞【解析】解∵f′（x）=3x2-3a2（a＞0），∴由f′（x）＞0得：x＞a或x＜-a，由f′（x）＜0得：-a＜x＜a．∴当x=a时，f（x）有极小值，x=-a时，f（x）有极大值．由题意得：＜＞＞解得a＞．故答案为，∞先利用导数求函数的极大值和极小值，再解不等式．本题考查导数求函数的极值．解决函数的极值问题，导数是唯一方法．极值点左右两边的导数符号必须相反．15.设函数，，数列{a n}满，则数列{a n}的前n项和S n等于______ ．【答案】【解析】解：∵函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+a n x n-1，∴f（0）=a1=，f（1）=a0+a1+…+a n∵f（1）=n2•a n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=n2•a n，又∵a n=S n-S n-1=n2•a n-（n-1）2•a n-1，∴（n2-1）a n=（n-1）2•a n-1（n≥2），则利用叠乘可得，=××…××，∴=××…××，∴a n===1=故答案为：首先根据题干条件求出a1的值，然后根据f（1）=n2•a n，得到a1+a2+a3+…+a n=n2•a n，最后根据当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2•a n-（n-1）2•a n-1求出数列{a n}的通项本题主要考查数列递推式的应用，解答本题的关键是由（n2-1）a n=（n-1）2•a n-1，利用叠乘法求解通项公式，此题难度一般．16.已知：函数f（x）=2sin（x+）（x∈[0，]）的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3= ______ ．【答案】【解析】解：函数f（x）=2sin（x+）（x∈[0，]）的图象，可看作函数y=2sinx的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，∴x1+x2=2（-）=，x2+x3=2（-）=，∴x1+2x2+x3=（x1+x2）+（x2+x3）=故答案为：作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值，相加即可．本题考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题．三、解答题(本大题共5小题，共70.0分)17.已知函数f（x）=2asinxcosx+2bcos2x，且f（0）=8，f（）=12（1）求实数a，b的值．（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时的x值．【答案】解：（1）∵f（x）=2asinxcosx+2bcos2x=asin2x+b（1+cos2x）=asin2x+bcos2x+b，∴f（0）=2b=8，f（）=a+b=12，解得a=4，b=4；（2）∵f（x）=4sin2x+4cos2x+4=8sin（2x+）+4，∴当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴-≤sin（2x+）≤1，∴0≤8sin（2x+）+4≤12，∴f（x）的最小值为0，此时x=．【解析】（1）利用二倍角的正弦与余弦可求得f（x）=asin2x+bcos2x+b，利用f（0）=8，f（）=12即可求得实数a，b的值；（2）由（1）知f（x）=8sin（2x+）+4，x∈[0，]⇒2x+∈[，]⇒-≤sin（2x+）≤1⇒0≤8sin（2x+）+4≤12，从而可求得答案．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查二倍角的正弦与余弦与正弦函数的单调性与最值，属于中档题．18.数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，S n+1=2S n+n+1，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若a=1，b n=，{b n}的前n项和为T n已知M＞T n，M∈N*，求M的最小值．【答案】解：（1）当n≥2时，由S n+1=2S n+n+1，n∈N*可得S n=2S n-1+n．∴a n+1=2a n+1．∴a n+1+1=2（a n+1），∴当n≥2且a≠-3时，数列{a n+1}是从第2项开始的等比数列．a2=a+2．∴，∴．而a1=a不满足上式．当a=-3时，a1=-3；当n≥2时，a n=-1∴，，．（2）由a1=a=1得a n=2n-1（n∈N*），则=．∴T n=+…+，2T n=+…+，两式相减可得T n=1++…+=-=＜2．∴M的最小值是2．【解析】（1）当n≥2时，由S n+1=2S n+n+1，n∈N*可得S n=2S n-1+n．两式相减可得a n+1=2a n+1．变形为a n+1+1=2（a n+1），于是当n≥2且a≠-3时，数列{a n+1}是等比数列，即可得到a n．（2）利用（1）和“错位相减法”即可得出．本题考查了利用“n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n-S n-1”求a n、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了通过灵活变形转化为已经学过的有关知识解决问题的能力，属于难题．19.已知f（x）=x3-kx2+x-5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且a2+c2≥b2+ac（1）求实数k的取值范围；（2）求角B的取值范围；（3）若不等式f[m+sin2B+cos（A+C）]＜f（2）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵f（x）=x3-kx2+x-5在R上单调递增，∴f′（x）=3x2-2kx+1≥0对于x∈R恒成立．即△=（-2k）2-3×4≤0，∴．（2）∵a2+c2≥b2+ac，∴a2+c2-b2≥ac，由余弦定理得，，∴＜．（3））∵f（x）=x3-kx2+x-5在R上单调递增，∴m+sin2B+cos（A+C）＜2，又cos（A+C）=-cos B，∴＜，又-sin2B+cos B=cos2B+cos B-1=，∵＜，∴∴＜，且m≥0，计算得，m∈[0，16）．【解析】（1）由f（x）=x3-kx2+x-5在R上单调递增转化成f′（x）≥0对于x∈R恒成立，再进一步计算；（2）由余弦定理，得cos B，从而求解；（3）根据f（x）的单调性，得到m+sin2B+cos（A+C）＜2，结合着三角形中，cos （A+C）=-cos B，化简为＜-1，只需要＜（cos2B+cos B-1）min，再通过计算即可．本题是解三角形和函数知识的结合，属于常规题，题目中涉及到的知识点有用导数研究函数的单调性，余弦定理，三角函数的相关性质等等．只要熟知基本知识点，在处理的过程中就没有什么困难．需要提醒的是在计算（cos2B+cos B-1）min时，注意结合着三角形中角B的范围，以避免出错．20.已知函数f（x）=x3-3ax（a≥）．（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）．【答案】解：（1）当a=1时，f'（x）=3x2-3，令f'（x）=0，得x=±1．当x∈（-1，1）时f'（x）＜0，当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时f'（x）＞0．∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（1）=-2．…（4分）（2）因g（x）=|f（x）|=|x3+3ax|在[-1，1]上为偶函数，故只求在[0，1]上的最大值即可．∵，x∈[0，1]，∴f（x）=，∴g（x）=|f（x）|=-f（x）．′′．①当a≥1时，g'（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=g（1）=-f（1）=3a-1．…（8分）②当＜时，g（x）=|f（x）|=-f（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，故．…（12分）＜…（14分）【解析】（1）将a=1代入f（x），求出f'（x）=3x2-3，令f'（x）=0，得x=±1，判断出根左右两边导函数的符号．得到f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，求出极值．（2）判断出g（x）=|f（x）|=|x3+3ax|在[-1，1]上为偶函数，将g（x）x∈[-1，1]，的最大值问题转化为只求在[0，1]上的最大值即可．通过对a的分类讨论，将函数中的绝对值符号去掉，通过导数判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．不同考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．21.已知数列{a n}中，a1=2，a n-a n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{a n}的通项公式；（2）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式＞恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：（1）∵a1=2，a n-a n-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a2=6，a3=12（2分）当n≥2时，a n-a n-1=2n，a n-1-a n-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，∴a n-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，∴（5分）当n=1时，a1=1×（1+1）=2也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=n（n+1）（6分）（2）==（8分）令，则′，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3即当n=1时，（11分）要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式＞恒成立，则须使＞，即t2-2mt＞0，对∀m∈[-1，1]恒成立，∴＞＞，解得，＞或＜，∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）【解析】（1）由题设知a2=6，a3=12，a n-a n-1=2n，a n-1-a n-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，所以a n-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知数列{a n}的通项公式为a n=n（n+1）．（2）由题设条件可推出=，令，则′，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故f（x）min=f（1）=3，，要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式＞恒成立，则须使＞，即t2-2mt＞0，对∀m∈[-1，1]恒成立，由此可知实数t的取值范围．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。

2013-2014学年山东省某校高三（上）第二次诊断数学试卷（文科）一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ={−2, −1, 0, 1, 2, 3}，M ={0, 1, 2}，N ={0, 1, 2, 3}，则(C U M)∩N =( )A {0, 1, 2}B {−2, −1, 3}C {0, 3}D {3}2. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是（ ）A 不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0B 存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 C 存在x 0∈R ，x 03−x 02+1>0 D 对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>0 3. 下列函数中在区间(0, π)上单调递增的是（ ） A y =sinx B y =log 3x C y =−x 2 D y =(12)x4. 不等式|x +3|−|x −1|≥−2的解集为（ ）A (−2, +∞)B (0, +∞)C [−2, +∞)D [0, +∞) 5. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±16. 已知a =π13，b =log π3，c =log 3sin π3，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A a >b >c B b >c >a C c >a >b D c =a >b 7. 函数y =lg1|x+1|的大致图象为（ ）A B C D8. 函数f(x)=e x +x −2的零点所在的一个区间是( ) A (−2, −1) B (−1, 0) C (0, 1) D (1, 2) 9. 已知tanα=12，则(sinα+cosα)2cos2α=( )A 2B −2C 3D −310. 已知函数f(x)=2x −2x −a 的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A (1, 3)B (1, 2)C (0, 3)D (0, 2)11. 同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在(−π6, π3)上是增函数．”的一个函数是（ ）A y ＝sin(x2+π6) B y ＝cos(x2−π6) C y ＝cos(2x +π3) D y ＝sin(2x −π6)12. 对于任意a ∈[−1, 1]，函数f(x)=x 2+(a −4)x +4−2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A {x|1<x<3}B {x|x<1或x>3}C {x|1<x<2}D {x|x<1或x>2}13. 已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)＝2f(3)，y＝f(x−1)的图象关于点(1, 0)对称，则f(2013)＝（）A 10B −5C 5D 0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14. 已知角α的终边经过点P(m, −3)，且cosα=−45，则m=________．15. 函数y=√−x2−3x+4x的定义域为________．16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60∘，c=√33，则△ABC的面积为________．17. 已知定义域是(0, +∞)的函数f(x)满足；(1)对任意x∈(0, +∞)，恒有f(3x)=3f(x)成立；(2)当x∈(1, 3]时，f(x)=3−x．给出下列结论：①对任意m∈Z，有f(3m)=0；②函数f(x)的值域为[0, +∞)；③存在n∈Z，使得f(3n+1)=0；④“函数f(x)在区间(a, b)上单调递减”的充要条件是“∃k∈Z，使得(a, b)⊆(3k, 3k+1)．”其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6分，共74分.18. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且asinA =√3(Ⅰ)确定角C的大小；(Ⅱ)若c=√7，且△ABC的面积为3√32，求a2+b2的值．19. 已知a>0，设p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，q：实数x满足x−32−x≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围是________．20. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的图象与y轴的交点为(0, 1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0, 2)和(x0+2π, −2)．（1）求f(x)的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(4θ)的值．21. 已知f(x)=x3+ax2−a2x+2．（1）若a =1，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； （2）若a ≠0，求函数f(x)的单调区间；（3）若不等式2xlnx ≤f′(x)+a 2+1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)={10.8−130x 2(0<x ≤10)108x−10003x 2(x >10)(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）23. 已知函数f(x)=x 2−alnx ，g(x)=x −a √x ． （1）若a ∈R ，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在(1, 2)上是增函数，g(x)在(0, 1)上为减函数，求f(x)，g(x)的表达式； （3）对于（2）中的f(x)，g(x)，求证：当x >0时，方程f(x)=g(x)+2有唯-解．2013-2014学年山东省某校高三（上）第二次诊断数学试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. C5. D6. A7. D8. C9. C 10. C 11. D 12. B 13. D 14. −415. [−4, 0)∪(0, 1] 16. √36 17. ①②④ 18. （1）∵ asinA =√3，∴ 由正弦定理得asinA =csinC =√3∴ sinC =√32∵ △ABC 是锐角三角形，∴ C =π3（2）∵ c=√7，C=π3，△ABC的面积为3√32，∴ 由面积公式得12absinπ3=3√32∴ ab＝6由余弦定理得a2+b2−2abcosπ3=7∴ a2+b2＝1319. 1<a≤220. 解：（1）由题意可得：A=2,T2=2π，即2πω=4π∴ ω=12，f(x)=2sin(12x+φ)，f(0)=2sinφ=1，由|φ|<π2，∴ φ=π6．f(x0)=2sin(12x0+π6)=2，所以12x0+π6=2kπ+π2，x0=4kπ+2π3(k∈Z)，又∵ x0是最小的正数，∴ x0=2π3；（2）f(4θ)=2sin(2θ+π6)=√3sin2θ+cos2θ，∵ θ∈(0,π2)，cosθ=13，∴ sinθ=2√23，∴ cos2θ=2cos2θ−1=−79，sin2θ=2sinθcosθ=4√29，∴ f(4θ)=√3⋅4√29−79=4√69−79．21. 解：（1）∵ a=1，∴ f(x)=x3+x2−x+2，∴ f′(x)=3x2+2x−1，∴ k=f′(1)=4，又f(1)=3，所有切点坐标为(1, 3)．∴ 所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．（2）f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)由f′(x)=0，得x=−a或x=a3．①当a>0时，由f′(x)<0，得−a<x<a3；由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，此时f(x)的单调递减区间为(−a, a3)，单调递增区间为(−∞, −a)和(a3, +∞)．②当a<0时，由f′(x)<0，得a3<x<−a；由f′(x)>0，得x<a3或x>−a．此时f(x)的单调递减区间为(a3, −a)，单调递增区间为(−∞, a3)和(−a, +∞)．综上：当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−a, a3)，单调递增区间为(−∞, −a)和(a3, +∞)；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(a3, −a)，单调递增区间为(−∞, a3)和(−a, +∞)．（3）依题意x∈(0, +∞)，不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在(0, +∞)上恒成立，可得a≥lnx−32x−12x在(0, +∞)上恒成立，设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，则ℎ′(x)=1x−32+12x2=−(x−1)(3x+1)2x2．令ℎ′(x)=0，得x=1，x=−13（舍），当0<x<1时，ℎ′(x)>0；当x>1时，ℎ′(x)<0，当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：max∴ a的取值范围是[−2, +∞)．22. 解：(1)当0<x≤10时，W=xR(x)−(10+2.7x)=8.1x−x330−10；当x>10时，W=xR(x)−(10+2.7x)=98−10003x−2.7x．∴ W={8.1x−x330−10,(0<x≤10),98−10003x−2.7x,(x>10).(2)①当0<x<10时，由W′=8.1−x210=0，得x=9，且当x∈(0, 9)时，W′>0；当x∈(9, 10)时，W′<0，∴ 当x=9时，W取最大值，且W max=8.1×9−130×93−10=38.6.②当x>10时，W=98−(10003x +2.7x)≤98−2√10003x⋅2.7x=38，当且仅当10003x=2.7x，即x=1009时，W=38，故当x=1009时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．23. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，函数的导数为f′(x)=2x−ax，①若a≤0，f′(x)>0横成立，此时函数f(x)单调递增，无极值．②若a>0，则由f′(x)=2x−ax =2x2−ax>0，解得x>√2a2，此时函数f(x)单调递增．由f′(x)=2x 2−ax<0，解得0<x<√2a2，此时函数f(x)单调递减．所以当x=√2a2时，函数f(x)取得极小值f(√2a2)=12a(1−lna+ln2)．综上，若a≤0，函数f(x)无极值．若a>0，函数f(x)取得极小值f(√2a2)=12a(1−lna+ln2)．（2）若函数f(x)在(1, 2)上是增函数，则f′(x)=2x 2−ax≥0恒成立，即a≤2x2在(1, 2)上恒成立，所以a≤2．又g′(x)=1−2√x，要使g(x)在(0, 1)上为减函数，则g′(x)=1−2√x≤0在(0, 1)上恒成立，即a≥2√x在(0, 1)上恒成立，所以a≥2．综上a=2．（3）由f(x)=g(x)+2得f(x)−g(x)−2=0，设ℎ(x)=f(x)−g(x)−2=x2−2lnx−x+2√x−2，则ℎ′(x)=2x−2x −1√x，由ℎ′(x)=2x−2x−1+√x>0且x>0，得(√x−1)(2x√x+2x+√x+2)>0，解得x>1，此时函数ℎ(x)单调递增．由ℎ′(x)<0，解的0<x<1．此时函数ℎ(x)单调递减．所以函数ℎ(x)在x=1处取得极小值同时也是最小值ℎ(0)=0，当x>0时，且x≠1时，ℎ(x)>0，所以ℎ(x)=0在(0, +∞)上只有一个解，即当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯-解．。

2014青岛一模2套文科数学一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． １．复数21ii+（i 是虚数单位）的虚部为 A ．1- B ．i C ．1 D ．2２．已知全集R U =，集合{}2|0A x x x =->，{}|ln 0B x x =≤，则()U C A B =A ．(0,1]B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．∅D ．(0,1)3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A ．28B ．32C ．40D ．64 ４．命题“R,x ∃∈使得210x x ++<”的否定是A ．R,x ∀∈均有210x x ++<B ．R,x ∀∈均有210x x ++≥ C ．R,x ∃∈使得210x x ++≥ D ．R,x ∀∈均有210x x ++> ５．曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++= ６．抛物线28y x =的焦点坐标为A ．(2,0)B ．(2,0)-C ．1(0,)32D ．1(0,)16７．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，为了得到sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位８．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．3-B ．6-C ．3D ．69．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x x y 2⋅=的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A ．①④③② B ．④①②③ C. ①④②③． D ．③④②①10．若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅.给出下列说法：①12||||||||n OA OA OA OA ==== ；②||i OA 的最小值一定是||OB；③点A 、i A 在一条直线上．其中正确的个数是A ．0个.B ．1个.C ．2个.D ．3个. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知4x >，则14x x +-的最小值_________; 12. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心 到直线:3440l x y ++=的距离d = ; 13．已知3sin()65x π-=，则cos()3x π+= ; 14. 如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;15. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①2y x =;②1xy e =+;③2sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称. （Ⅰ）求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的取值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若()()212122A Af g ππ-++=7=+c b ，8=bc ，求边a 的长．17．（本小题满分12分） 在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A . 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，EA EB =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ； （Ⅱ）证明：AD PB ⊥PFEABD19．（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设n an n b 2⋅=,求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知函数2()2ln ,f x x x =-2().h x x x a =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()(),k x f x h x =-若函数()k x 在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知点P 在椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上，以P 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点2F ，且,22=⋅OF OP 2tan 2=∠OPF ，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =, 求直线l 的方程;（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D :222221x y a b+=交于不同的两点S ,T ,其中S 点的坐标为(2,0)-,若点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线上一点,且满足4GS GT ⋅=,求实数t 的值.数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A D B A C B B C B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 6 12. 3 13.35 14．2315．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得：)62sin(212sin 2322cos 1cos sin 3sin )(2π+-=--=-=x x x x x x x f 所以)62sin(21)(π---=x x g ……………………3分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx 所以当262ππ-=-x 即6π-=x 时，函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值为21.……………………6分（Ⅱ）由()()212122A Af g ππ-++=sin 2A =又因为π<<A 0，解得：21cos =A 或21cos -=A ……………………8分 由题意知 8=bc ，7=+c b所以A A bc c b A bc c b a cos 1633)cos 1(2)(cos 22222-=+-+=-+=则225a =或241a =故所求边a 的长为5 ……………………12分 17．（本小题满分12分）解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人……………………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=……………………4分（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………7分（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ……………………12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………5分 (Ⅱ)因为PA ⊥面ABCD所以PA AD ⊥……………………7分 因为EA EB =，所以ABE BAE ∠=∠ 又因为E 为BD 的中点 所以ADE DAE ∠=∠所以2()180BAE DAE ∠+∠=得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………………10分因为PA AB A = ，所以AD ⊥面PAB 所以AD PB ⊥……………………12分 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S nPFEABCD所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列 故n a n -=1.……………5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知: 12nn b n -=⋅所以n n b b b b T ++++= 32101231122232422n n ----=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅112341212223242(1)22n n n T n n -------⋅=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ……………………8分两式相减得：12341112222222n n n T n ------=++++++-⋅ 11122()()2(2)()222n n n n n =-⋅-⋅=-+.所以142(2)()2n n T n =-+.……………………12分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）)(x f 的定义域是),0(+∞，022)(=-='xx x f ，得1=x ……………………3分 )1,0(∈x 时，0)(<'x f ，(1,)x ∈+∞时，0)(>'x f ，所以()f x 在1=x 处取得极小值1 ……………………6分 （Ⅱ）)0(ln 2)()()(>--=-=x a x x x h x f x k所以2()1k x x'=-，令,0)(>'x k 得2>x 所以()k x 在)2,0(递减，在),2(+∞递增 ……………………9分⎪⎩⎪⎨⎧≥<≥∴0)3(0)2(0)1(k k k ……………………11分 所以22ln232ln3a -<≤- ……………………13分 21．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意知,在2OPF ∆中, 22OF PF ⊥ 由2tan 2=∠OPF 得: 36cos 2=∠POF设r 为圆P 的半径,c 为椭圆的半焦距因为,22=⋅OF OP 所以23622=⋅⋅+c r c 又2tan 2==∠rcOPF ,解得:1,2==r c ,则点P 的坐标为)1,2(±………………2分 因为点P 在椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上,所以有11)2(222=+±b a 又2222==-c b a ,解得: 2,422==b a所求椭圆C 的方程为12422=+y x .……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C 的方程为12422=+y x由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于QM 2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211ky x =-=∴ ……………………7分又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………………9分（Ⅲ）由题意知: D : 2214x y +=由(2,0)S -, 设11(,)T x y根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k+ 所以线段ST 的中点坐标为,418(22k k +-)4122kk+ (1)当0=k 时, 则有(2,0)T ,线段ST 垂直平分线为y 轴于是(2,),(2,)GS t GT t =--=-由244GS GT t ⋅=-+=,解得:22±=t ……………………11分(2) 当0≠k 时, 则线段ST 垂直平分线的方程为-y +-=+x kk k (14122)41822k k + 因为点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线的一点令0=x ,得:2416kkt +-= 于是11(2,),(,)GS t GT x y t =--=-由4211224(16151)2()4(14)k k GS GT x t y t k +-⋅=---==+ ,解得:714±=k 代入2416kkt +-=,解得: 5142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t .……………………14分。

2014年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（第2套）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数（i是虚数单位）的虚部是（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】解：复数===1+i，∴复数的虚部是1，故选A．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，写出复数的标准形式，虚部就是i的系数，得到结果．本题考查复数概念，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现．2.已知全集U=R，集合A={x|x2-x＞0}，B={x|lnx≤0}，则（∁U A）∩B=（）A.（0，1]B.（-∞，0）∪（1，+∞）C.∅D.（0，1）【答案】A【解析】解：由A中的不等式变形得：x（x-1）＞0，得到：x＞1或x＜0，即A=（-∞，0）∪（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=[0，1]，由B中的不等式变形得：lnx≤ln1，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则（∁U A）∩B=（0，1]．故选：A．分别求出A与B中不等式的解集，求出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为（）A.28B.32C.40D.64【答案】D【解析】解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，故选：D．根据分层抽样的定义，即可得到结论．本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．4.命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）A.“任意x∈R，均有x2+x+1＜0”B.“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”C.“存在x∈R，使得x2+x+1≥0”D.“不存在x∈R，使得x2+x+1≥0”【答案】B【解析】解：∵命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，∴否定命题为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0，故选B．根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”是一个特称命题，即可得到答案．本题主要考查全称命题与特称命题的转化，属于基础题．5.曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是（）A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x+y-2=0【答案】A【解析】解：由题意得，y′=3x2-2，∴在点（1，-1）处的切线斜率是1，∴在点（1，-1）处的切线方程是：y+1=x-1，即x-y-2=0，故选A．先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．6.抛物线y=8x2的焦点坐标是（）A.（2，0）B.（-2，0）C.（0，）D.（0，）【答案】C【解析】解：抛物线y=8x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．把抛物线y=8x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=8x2的方程化为标准形式，是解题的关键．7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ），＞，＞，＜的图象可得A=1，T==2=π，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．8.设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A.-3B.-6C.3D.6【答案】B【解析】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（-12，6），目标函数z=x+y在x=-12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=-12+6=-6，故选B．先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．9.现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A.①②③④B.②①③④C.③①④②D.①④②③【答案】D【解析】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．10.若A i（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在的平面内的点，且．给出下列说法：①；②的最小值一定是；③点A、A i在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确的个数是（）A.1个．B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：由，可得||•||cos∠A i OB=||•||cos∠AOB，故有||cos∠A i OB=||cos∠AOB，即和在上的投影相等，即点A、A i在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故③④正确，①不正确．再根据无最小值，故②不正确，故选：B．由条件利用两个向量的数量积的定义，可得和在上的投影相等，从而得出结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知x＞4，则的最小值______ ．【答案】6【解析】解：∵x＞4，x-4＞0∴，=6．当且仅当x-4=，即x=5时，等号成立．故答案为：6．化简=，利用基本不等式即可求解．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．12.圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= ______ ．【答案】3【解析】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：3先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．13.已知，则= ______ ．【答案】【解析】解：==．故答案为：．利用即可得出．本题考查了诱导公式的应用，属于基础题．14.如图是某算法的程序框图，若任意输入[1，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为______ ．【答案】【解析】解：由程序框图知：第一次运行x=2x-1，n=2；第二次运行x=2×（2x-1）-1．n=2+1=3；第三次运行x=2×[2×（2x-1）-1]-1，n=3+1=4，不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x-（4+2+1）=8x-7，由输出的x大于49，得x＞7，∴输入x∈（7，19]，数集的长度为12，又数集[1，19]的长度为18，∴输出的x大于49的概率为．故答案为：．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，求出输出x的值，再根据输出的x大于49，求出输入x的范围，根据几何概型的概率公式计算．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．15.如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=e x+1；③y=2x-sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为______ ．【答案】②③【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．②y=e x+1为增函数，满足条件．③y=2x-sinx，y′=2-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=，，．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，-cosx），设函数f（x）=•，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．（1）求函数g（x）在区间[-，]上的最大值，并求出此时x的取值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（-）+g（+）=-，b+c=7，bc=8，求边a的长．【答案】解：（Ⅰ）由向量，，，，且，得，，∴．∵，，∴，，∴当，即时，函数g（x）在区间，上的最大值为；（Ⅱ）∵，，由，得，∴．又∵0＜A＜π，解得：或，由题意知：bc=8，b+c=7，∴a2=b2+c2-2bccos A=（b+c）2-2bc（1+cos A）=33-16cos A，则a2=25或a2=41，故所求边a的长为5或．【解析】（Ⅰ）由向量的数量积运算求得f（x）的解析式，化简后取x=-x，y=-y求得g（x）的解析式，则函数g（x）在区间，上的最大值及取得最大值时的x的值可求；（Ⅱ）由求得角A的正弦值，利用同角三角函数的基本关系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求边a的长．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了三角函数的对称变换，训练了余弦定理的应用，是中档题．17.在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【答案】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．【解析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）证明：AD⊥PB．【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点，所以EF∥PB…（2分）因为EF⊂面AEF，PB⊄面AEF所以PB∥面AEF…（5分）（Ⅱ）证明：因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD…（7分）因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，又因为E为BD的中点，所以∠ADE=∠DAE，所以2（∠BAE+∠DAE）=180°，得∠BAE+∠DAE=90°，即BA⊥AD，…（10分）因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件得知一角形中位线定理推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E为BD的中点，推导出AD⊥面PAB，由此能证明AD⊥PB．本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.在数列{a n}（n∈N*）中，其前n项和为S n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）由题设得：，∴∴a n=S n-S n-1=1-n（n≥2）…（2分）当n=1时，a1=S1=0，∴数列{a n}是a1=0为首项、公差为-1的等差数列，∴a n=1-n．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴T n=b1+b2+b3+…+b n=1•20+2•2-1+3•2-2+4•2-3+…+n•21-n…（8分）两式相减得：=．∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）由，求出，再由a n=S n-S n-1，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20.已知函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x-，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．（Ⅱ）∵又∵k（x）=f（x）-g（x）=-2lnx+x-a，∴k′（x）=-+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分），∴＞，∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．∴＜＞所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）【解析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系＜，最后解之即可．＞本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21.已知点P在椭圆C：＞＞上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且，∠，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若，求直线l的方程；（Ⅲ）作直线l1与椭圆D：交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（-2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足，求实数t的值．【答案】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，由∠，得：∠，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，∵，∴，又，∠，解得：，，∴点P的坐标为，，…（2分）∵点P在椭圆C：＞＞上，∴，又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为，由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k），设Q（x1，y1），∵，∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），∴，，…（7分）又∵Q是椭圆C上的一点，∴，解得k=±4，∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）（Ⅲ）由题意知椭圆D：，由S（-2，0），设T（x1，y1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为，，（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，∴，，，，由，解得：．…（11分）（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-=-（x+），∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：，∴，，，，由，解得：，代入，解得：，综上，满足条件的实数t的值为或．…（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PF2⊥OF2，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，由，∠，求出，，再由点P，在椭圆，求出a2=4，b2=2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），，能求出直线l的方程．（Ⅲ）由题意知椭圆D：，设直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t 的值．本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。

青岛1中2013-2014学年度第一学期第二次模块考试高三数学文科（第Ⅰ卷 选择题 60分）一、选择题 1、已知复数312a ii+-是纯虚数，则实数a ＝（ ） A 、—2 B 、4 C 、—6 D 、62、已知集合2{|430}M x x x =-+<，集合{|lg(3)0}N x x =->，则M N ⋂=（ ） A 、{|23}x x << B 、{|13}x x << C 、{|12}x x << D 、∅ 3、函数2()(sin cos )f x x x =+的一条对称轴的方程是（ ） A 、4x π=B 、3x π=C 、2x π=D 、x π=4、抛物线212x y =的焦点到准线的距离是（ ） A 、2 B 、1 C 、12 D 、145、某几何体的三视图如右图，（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ） A 、9214π+ B 、8214π+ C 、9224π+ D 、8224π+6、等比数列{}n a 中，39a =前三项和为327S =，则公比q 的值是（ ） A 、1 B 、12-C 、1或12-D 、—1或12-7、执行右面的程序框图，那么输出S 的值为（ ） A 、9 B 、10 C 、45 D 、558、实数x 、y 满足1(1)0x y a a x y ≥⎧⎪≤>⎨⎪-≤⎩，若函数z x y =+的最大值为4，则实数a 的值为（ ）A 、2B 、3C 、32D 、49、已知三条不重合的直线m ，n ，l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A 、若,,m n n α⊂∥则m α∥B 、若,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n α⊥C 、若,,l n m n ⊥⊥则l m ∥D 、若,,l m αβ⊥⊥且l m ⊥，则αβ⊥10、某校高二年级100名学生期中考试数学成绩 的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间 是：[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90）， [90，100]，则这100名学生数学成绩在[70，100] 分数段内的人数为（ ）A 、45B 、50C 、55D 、6011、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，—b ），若||||BA BF BA BF +=-，则双曲线的离心率值为（ ）A 、312+ B 、512+ C 、512- D 、2 12、设函数3()4(02)f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则下列结论正确的是（ ）A 、11x >-B 、20x <C 、201x <<D 、32x >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB=3，BD=1，则________AB AD ⋅=14、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则双曲线的方程为_______________第10题15、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41S =，84S =，则13141516_______a a a a +++= 16、下列四种说法：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④若实数,[0,1]x y ∈，则满足：221x y +>的概率为4π；三、解答题17、设数列{}n a 是等差数列，且12a =，且234,,1a a a +成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设2(2)n n b n a =+的前n 项和n S18、已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-，设函数()()f x m n m =+⋅ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知,,a b c 分别是△ABC 的内角对应的三边，A 为锐角，1a =，c =()f A 恰是函数()f x 在[0,]2π上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积19、一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（2）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率20、如图，E 是AB 为直径的半圆弧上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该圆所在的平面，且AB=2AD=2 （1）求证：EA ⊥EC（2）设平面ABCD 与半圆弧的另一个交点为F ， ①求证：EF ∥AB②若EF ＝1，求三棱锥E —ADF 的体积21、已知函数()ln f x ex x =- （1）求函数()f x 的单调区间；（2）在区间1[,]e e内存在0x ，是不等式()f x x m <+成立，求m 的取值范围22、已知平面上的动点P （x ，y ）及两个定点A （—2，0）、B （2，0），直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，且1214k k ⋅=-（1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）设直线l ：y kx m =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，当OM ⊥ON 时，求O 点到直线l 的距离（O 为坐标原点）。