2015届高考数学(理)二轮复习过关测试：第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版含答案

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A ．。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

考点19 两角和与差的正弦、余弦和正切1．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知是直角三角形的斜边上的高，点在的延长线上，且满足.若，则的值为______.【答案】【解析】设∠DPC=,∠DPB=，由题得,所以|PB|所以=.故答案为：2．2．已知，，则______【答案】【解析】因为，，则，所以.故答案为．3．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．【答案】4.【解析】acosB﹣bcosA=c，由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得sinAcosB=4cosAsinB，两边同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，故.故答案为：44．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为____．【答案】.【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以.故答案为：．5．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）在斜△ABC中，若，则的最大值是____．【答案】.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.详解：在斜中，，，又，，所以，与同号，又在中，，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.6．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）已知536ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值是__________．【答案】410+ 【解析】5,03632ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，结合同角三角函数基本关系有： 4sin 35πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，则：3333334135252410sin sin sin cos cos sinππααππππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=7．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则________.【答案】【解析】 由题意，直线可得y=k(x-)恒过定点（，0），即x 2=∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（，0）对称，所以x 1+x 3=．∴，导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k所以切线方程：y-过（，0）所以 ，= =故答案为：．8．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）在ABC ∆中，已知3AC =，cos 14B =，3A π=.（1）求AB 的长； （2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2AB =（2）cos 614C π⎛⎫-=⎪⎝⎭【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos B =，所以02B π<<，所以sin B == 又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin sin cos cos sin 3337C A B A B B B B ππππ⎛⎫=-+=+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 由正弦定理，sin sin AB AC C B =，所以sin 2sin ACAB C B=∙=. （2）因为A B C π++=，所以()()cos cos cos cos 3C A B A B B ππ⎛⎫=-+=-+=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin sincos cos33B B ππ=-=所以cos cos cos sin sin 666C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 9．（江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值． 【答案】(1) . (2).【解析】：（1）在中，由余弦定理得，∴．（2）在中，由得，∴，在中，由正弦定理得，即，∴，又，故，∴，∴．10．（江苏省横林高级中学2018届高三数学）（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知()cos 1cos B C A -=-，且,,b a c 成等比数列．求： (1) sin ?sin B C 的值； (2) A 的值；(3) tan tan B C +的值．【答案】（1）12 （2）4π（3）2- 【解析】(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)．由cos(B －C)＝1－cosA ，得cos(B －C)＝1＋cos(B ＋C)， 展开，整理得sinB·sinC＝12. (2) 因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc.由正弦定理，得sin 2A ＝sinBsinC ，从而sin 2A ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以sinA＝2. 因为a 边不是最大边，所以A ＝4π . (3) 因为B ＋C ＝π－A ＝34π， 所以cos(B ＋C)＝cosBcosC －sinBsinC＝-， 从而cosBcosC＝12. 所以tanB ＋tanC ＝sin sin cos cos B C B C+＝()sin cos cos B C B C +2＝－211．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，， ()sin cos b ββ=-，，12c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若a b c +=，求()sin αβ-的值；（2）设5π6α=， 0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 【答案】(1) 12-；(2) π2β=.【解析】（1）∵向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,2c ⎛=- ⎝⎭∴1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-. ∵a b c += ∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α= ∴31,2a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 22b c ββ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭. ∵a // ()b c +∴311cos sin 02222ββ⎛⎫⎛⎫-+---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<<∴ππ2π333β-<-<． ∴ππ36β-=，即π2β=．12．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且．（1）求角的大小；（2）若△ABC 的外接圆的半径为，若，求的值【答案】(1) . (2)【解析】 （1）由，得，即． 所以，即， 所以． 因为，所以．（2）因为△ABC 的外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以． 由余弦定理知，，即，所以，即，因为所以所以△ABC 为直角三角形，且 所以.13．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角满足，求的值． 【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）角的终边经过点,,.（2），,，当时 ， ；当时 ，.综上所述：或.14．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由于角其终边经过点，故，..(2) .则，.15．（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．又因为β为锐角，所以cosβ＝．因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝，因此sin2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．16．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考）已知向量()sin ,cos a αα= ， ()1,3b =， 2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若a b ⊥，（1）求α的值； （2）若()3sin ,,562ππαββ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求角β的大小．【答案】（1）23πα=；（2.【解析】试题分析：（1）由a b ⊥，可得sin 0a b αα⋅==， 从而得sin tan cos ααα==，进而可得 23πα=；（2）由62ππβ<<且23πα=，可得62ππαβ<-<，可()4c o s 5αβ-=，根据()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦，利用两角差的正弦公式可得结果．()()()413sin sin sin cos cos sin 525βααβααβααβ⎛⎫⎡⎤∴=--=---=--⨯=⎪⎣⎦⎝⎭（1）a b ⊥， sin 0a b αα∴⋅==，sin αα∴=，（显然cos 0α≠，否则sin 0α=与22sin cos 1αα+=矛盾．）sintan cos ααα∴==,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭23πα∴=．（2）62ππβ<<且23πα=， 62ππαβ∴<-<，又()3sin 5αβ-=， ()4cos 5αβ∴-===．()()()413sin sin sin cos cos sin 525βααβααβααβ⎛⎫⎡⎤∴=--=---=--⨯= ⎪⎣⎦⎝⎭．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考）已知向量 ()()sin ,cos ,1,3,,2a b παααπ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ （1）求α的值；（2）若()3sin ,,562ππαββ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭ ，求角sin β的值.【答案】（1）23πα=;（2）310. 【解析】试题分析：（1）向量()()sin ,cos ,1,3,,2a b παααπ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥则sin 0a b αα⋅=+=即sin 3cos αα=-， sin tan cos ααα==即可求得α的值（2）62ππβ<<且23πα=，所以62ππαβ<-<，又()3sin 5αβ-=，所以()4cos 5αβ-= 所以()()()sin sin sin coscos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦代入各值可得解.（1）∵a b ⊥，∴sin 0a b αα⋅==，∴sin 3cos αα=，（显然cos 0α≠，否则sin 0α=与221sin cos αα+=矛盾.）∴sin tan cos ααα==， ∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23πα=. （2）∵62ππβ<<且23πα=，∴62ππαβ<-<，又∵()3sin 5αβ-=，∴()4cos 5αβ-===.∴()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦ 413525⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭.18．已知，，，，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）∵，，，得∴，则（2）由，，∴又∵，∴∴=由得：= =∵∴.。

课时作业(十九) [第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式](时间：45分钟 分值：100分)1．[2013²大连一模] 计算sin 47°cos 17°－cos 47°²cos 73°的结果为( ) A.12 B.33C.22 D.322．化简1＋tan 15°1－tan 15°等于( ) A. 3 B.32C ．3D ．1 3．已知sin α＝35，则cos 2α的值为( ) A ．－2425 B ．－725C.725D.24254.sin 110°sin 20°cos 155°－sin 155°的值为( ) A ．－12 B.12C.32 D ．－325．[2013²湖南师大附中月考] 已知锐角A ，B 满足2tan A ＝tan(A ＋B )，则tan B 的最大值为( )A ．2 2 B. 2C.22D.246．[2013²长安一中二检] 若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12B.12C ．2D ．－27．[2013²开封二检] 若sin θ＝45，sin θ－cos θ>1，则sin 2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225C ．－45 D.24258．[2013²石家庄一检] 若cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( ) A.14B.78C ．±14D ．±789．[2013²河南三门峡一模] 在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 为( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．60°10．[2013²河南十所名校三联] 已知函数f (x )＝1x －a ，若存在φ∈(π4，π2)，使f (sin φ)＋f (cos φ)＝0，则实数a 的取值范围是________．11．[2013²广州模拟] 已知α为锐角，且cos(α＋π4)＝35，则sin α＝________． 12．[2013²临沂模拟] 若tan(π－α)＝2，则sin 2α＝________．13．[2013²济南模拟] 函数y ＝sin(π2x ＋φ) (φ>0)的部分图像如图K19­1所示，设P 是图像的最高点，A ，B 是图像与________．14．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，点P (12，cos 2θ)在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →²OQ →＝－12. (1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．。

第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 考情分析1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．二、 知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .[微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 三、 经典例题考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cosα2－sinα22＋2cos α(0<α<π)＝________.【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2＋2sinα2cosα2·⎝⎛⎭⎪⎫cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝cosα2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cosα2>0，所以原式＝cos α.规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.考点二三角函数式的求值多维探究角度1给角(值)求值【例2－1】(1)计算：cos 10°－3cos（－100°）1－sin 10°＝________.【解析】cos 10°－3cos（－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin（10°＋30°）2·sin 40°＝ 2.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.【解析】①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.角度2 给值求角【例2－2】 (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<π2， 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. 【解析】 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，因为图象关于直线x ＝π对称， 所以2πω－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令k ＝1时，ω＝56符合要求，所以函数f (x )的最小正周期为2π2×56＝6π5. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＋λ＝0，则λ＝－ 2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤35π，知－π6≤53x －π6≤56π，∴当53x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值－1－ 2. 当53x －π6＝π2，即x ＝25π时，f (x )取最大值2－ 2. 规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. [方法技巧]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.3.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.4.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的.5.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.四、 课时作业1．（2020·渭南市尚德中学高一月考）化简22ππcossin 88-的值为（ ） A ．12B．2C．2D．42．（2019·贵州省高二学业考试）计算sin105cos75cos105sin 75-的值为（ ） A ．12-B ．12C．2-D．23．（2020·上海高一课时练习）若3sin cos 1=-θθ，则tan 2θ的值为（ ） A ．3-B ．13C ．3-或0D ．13-4．（2020·新疆维吾尔自治区高三其他（文））若角α的终边过点()3,4P -，则sin 2α的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若cos 22sin 4θπθ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则()sin cos θθ-的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．26．（2020·山西省高三其他（文））已知sin （π4x -）14=，则sin2x 的值为（ ）A ．58B ．68 C ．78D ．387．（2020·山西省高三其他（理））已知sin cos αα-=，α∈(0, π)，则tan α= A ．-1B．2-C．2D ．18．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知()3tan 5αβ+=，π1tan 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．17B ．113C ．1113D ．1179．（2020·渭南市尚德中学高一月考）cos15︒的结果是（ ）A ．2B ．4C ．4D ．210．（2020·福建省高三其他（理））已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．79B ．89 C ．79-D ．89-11．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-12．（2020·渭南市尚德中学高一月考）若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．2B ．C ．34 D ．34-13．（2020·常德市第二中学高三其他（文））设()sin 810a ︒=-，33tan 8b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1lg 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<14．（2019·延安市第一中学高三月考（文））设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则tan2y的值是（ ） A ．23- B ．32±C ．32-D ．2315．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3516．（多选题）（2020·福建省宁化第一中学高一期中）若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．sin 2sin 2αβ>B ．cos2cos2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．sin 2sin 2αβ<17．（多选题）（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）在ABC 中，120C =︒，tan tan A B +=列各式正确的是( ) A ．2A B C += B ．()tan A B +=C ．tan tan A B =D．cos B A =18．（多选题）（2020·山东省安丘市实验中学高一期中）下列各式中，值为2的是（ ） A ．2sin15cos15︒︒ B ．22cos 15sin 15︒︒- C ．212sin 15︒-D ．22sin 15cos 15︒︒+E.23tan151tan 15︒︒- 19．（2020·上海高一期中）已知2cos 3α=-且32ππα＜＜，则sin 2α=______. 20．（2020·上海高一期中）已知sin 2sin()αααϕ-=-（02πϕ<<），则ϕ等于________21．（2020·上海高一月考）已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，1tan()2πβ-=，求：（1）tan α和tan β的值； （2）tan(2)αβ-的值.22．（2020·湖南省高一月考）已知1tan 3α=，求： （1）tan2α； （2）2sin cos 2cos sin αααα+-23．（2020·宝鸡中学高一期中）已知sin α=，且tan 0α<. （1）求tan α的值；（2）求3sin(π)cos(2π)π3πcos sin 22αααα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 24．（2020·陕西省西安中学高一期中）计算（1）已知α，β均为锐角，cos α=，角β的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(1,3)P ，求cos()αβ-；（2）已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<，求cos sin αα-．。

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。

2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。

课时限时检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1.3－sin 70°2－cos 210°＝( )A.12B.22 C ．2 D.32 【解析】 原式＝3－sin 70°12(3－cos 20°)＝2(3－sin 70°)3－sin 70°＝2.【答案】 C2．(2014·淄博五中质检)已知sin θ＋cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos 2θ的值为( )A ．±32B ．－32 C.32D ．－12【解析】 又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，⇒θ＋π4＝5π6⇒θ＝7π12⇒2θ＝7π6，所以cos 2θ＝cos 7π6＝－32.【答案】 B3．(2014·成都模拟)若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( ) A ．5 B ．－1 C ．6 D.16【解析】 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12， ①sin αcos β－cos αsin β＝13， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512，cos αsin β＝112.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5. 【答案】 A4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，又0＜C ＜π，∴C ＝π3. 【答案】 A5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．7B ．－7 C.17D ．－17【解析】 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45， ∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34. ∴tan(π4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.【答案】 C6．(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43【解析】 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．【解析】 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2得 tan x ＋11－tan x ＝2， ∴tan x ＝13，∴tan x tan 2x ＝tan x2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49. 【答案】 498．(2014·南昌模拟)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝______.【解析】 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1－29＝79，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝－sin 2θ，∴－sin 2θ＝79，即sin 2θ＝－79. 【答案】 －79 9．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________． 【解析】 cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. ∴sin α＋cos α＝12. 【答案】 12三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，∴sin α＝513， f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.图3－5－111．(12分)(2014·广州模拟)如图3－5－1，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ⊥OQ ，求sin (α＋β)2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β. 【解】 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. (2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2.∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45.∴sin (α＋β)2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β＝45×45－35×3545－35＝72515＝75.12．(13分)(2014·桂林模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 ∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45. ∴cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45， 两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2. 由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。

§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识梳理：1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝ (C (α－β))；cos(α＋β)＝ (C (α＋β))； sin(α－β)＝ (S (α－β))；sin(α＋β)＝ (S (α＋β))； tan(α－β)＝ (T (α－β))；tan(α＋β)＝ (T (α＋β))． 2．二倍角公式sin2α＝ cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝ 试一试1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝ .2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝ .3．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为 ．考点一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为． (2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝.变式 (1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝.(2)计算：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)＝.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为．题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝，cos β＝.课堂练习：1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .2．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为 ．3．(2013·重庆)4cos50°－tan40°＝ .4．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ．5．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．两角和与差的正弦、余弦、正切公式作业1. 已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.2.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝_______.3.若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝_______.4.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为_______．5.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin2θ的值是_______．6. ．(2013·浙江高考改编)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________. 7. 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.8. (1)若tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝.(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝.9.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.10. 已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识梳理：1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝ (C (α－β))；cos(α＋β)＝ (C (α＋β))； sin(α－β)＝ (S (α－β))；sin(α＋β)＝ (S (α＋β))； tan(α－β)＝ (T (α－β))；tan(α＋β)＝ (T (α＋β))． 2．二倍角公式sin2α＝ cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为 tan α±tan β＝试一试1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝. 答案 －34解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin2α＝－3cos2α， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝－34. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝.答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.考点一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为． (2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝.答案 (1)－3 (2)539解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.(2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．变式 (1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝.(2)计算：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)＝.答案 (1)35 (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°2sin10°＝32. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为．答案 (1)cos α (2) 3 解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cosα2＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝，cos β＝.(2)(2013·课标全国Ⅱ改编)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝. 答案 (1)－1010 95010 (2)16解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．变式 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝. (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，7ππ4方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.课堂练习：1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝. 答案322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.2．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为．答案654解析 1＋cos2α＋8sin 2αsin2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654.3．(2013·重庆)4cos50°－tan40°＝. 答案3解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (50°＋30°)－sin40°cos40°＝3sin50°＋cos50°－sin40°cos40°＝3sin50°cos40°＝ 3.4．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 －1解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作业1. 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [解析] 由α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝35，得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α ＝－43＋11＋43＝－17. [答案] －172.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.3.若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝.答案7210解析 因为sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4)＝sin2θcos π4＋cos2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.4.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为． 答案3解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.5.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin2θ的值是．答案1665PD ＝1，根据函数的图象，可得AD ＝12，BD ＝32.在Rt △APD 和Rt △BPD 中，sin ∠APD ＝15，cos ∠APD ＝25，sin ∠BPD ＝313，cos ∠BPD ＝213.所以sin θ＝sin(∠APD ＋∠BPD )＝865，cos θ＝cos(∠APD ＋∠BPD )＝165，故sin2θ＝2sin θcos θ＝2×865×165＝1665.6. ．(2013·浙江高考改编)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________.[解析] 把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. [答案] －347.3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝.答案 －4 3解析 原式＝3sin12°cos12°－32(2cos 212°－1)sin12°23⎝⎛⎭⎫12sin12°－32cos12°cos12°＝23sin (－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24° ＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.8. (1)若tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝.(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝.解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π－α)，得α－β＝π－α，∴2α－β＝π2.9.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.(1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.10. 已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 11＝12(sin2x ＋cos2x )＋12. 由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 11. 10．已知f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6的值；(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值． [解] f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋12sin 2x ＋32cos 2x ＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝－32＋sin 2π3＝－32＋32＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∵α∈(0，π)，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3，又0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14<12， ∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－154， ∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3 ＝14×12＋154×32＝1＋358.。