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21.2.1《用配方法解一元二次方程》教学设计一、教材分析1、本节内容《用配方法解一元二次方程》是九年制义务教育人教版九年级上册第二十一章第二节第一课时的内容，是研究用配方法解一元二次方程的方法思路、方法与步骤。
2、对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础：同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。
3、本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。
二、学情分析1.知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义及刚刚学的直接开方法。
即如果X 2= a ，那么X = ±a ；（x+ n ）2= a （a ≥0），那么x = ± a –n ， 他们还学习了完全平方式X 2+2Xy+y 2=(X+y)2，这给配方法解一元二次方程奠定了基础。
2.学生学习本节的障碍是怎样配（给哪些项配，配上什么数），这是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析。
3.我们老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法姐一元二次方程奠定了基础。
《21.2.1 用配方法解一元二次方程》一．选择题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=22．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=73．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，194．用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（）A．加B．加C．减D．减5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣6．一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（）A．B． C． D．7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（）A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0 8．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5二．填空题9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为______．10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程______．11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=______．12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______．13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k=______．14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1的两个根是______．15．当x=______时，代数式的值是0．16．方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2=______．17．解方程：9x2﹣6x+1=0，解：9x2﹣6x+1=0，所以（3x﹣1）2=0，即3x﹣1=0，解得x1=x2=______．18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=______，k=______．三．解答题19．用配方法解方程（1）x2﹣6x﹣15=0（2）3x2﹣2x﹣6=0（3）x2=3﹣2x（4）（x+3）（x﹣1）=12．20．证明：不论x为何实数，多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值．21．分别按照下列条件，求x的值：分式的值为零．22．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为______；（2）请猜想：关于x的方程x+=______的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）《21.2.1 用配方法解一元二次方程》参考答案与试题解析一．选择题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x=7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32=7+32，∴（x﹣3）2=16；故选A．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7 【解答】解：由原方程，得x2﹣4x=3，在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，得x2﹣4x+4=3+4，即x2﹣4x+4=7，配方，得（x﹣2）2=7；故选D．3．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19【解答】解：∵x2﹣8x+3=0∴x2﹣8x=﹣3∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x﹣4）2=13∴m=﹣4，n=13故选C．4．用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（）A．加B．加C．减D．减【解答】解：∵x2+x=2∴x2+x+=2+故选：A．5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【解答】解：由原方程，得（a﹣1）2=0，∴a﹣1=0，即a=1；∴a2010=12010=1．故选A．6．一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（）A．B． C． D．【解答】解：∵2x2+3x+1=0∴2x2+3x=﹣12（x2+x）=﹣12（x2+x+）=﹣1+∴2（x+）2=即2（x+）2﹣=0故选B．7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（）A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0 【解答】解：∵3x2+6x﹣1=0∴3（x2+2x）﹣1=0∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1=0∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1=0∴3（x+1）2﹣4=0故选C．8．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5【解答】解：∵x2﹣6x+q=0∴x2﹣6x=﹣q∴x2﹣6x+9=﹣q+9∴（x﹣3）2=9﹣q据题意得p=3，9﹣q=7∴p=3，q=2∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2∴x2﹣6x=0∴x2﹣6x+9=9∴（x﹣3）2=9即（x﹣p）2=9故选：B．二．填空题9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为x1=x2=1 ．【解答】解：∵x2﹣2x+1=0∴（x﹣1）2=0∴x1=x2=1．10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程（x﹣2）2=5 ．【解答】解：把方程x2﹣4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=1+4配方得（x﹣2）2=5．11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n= 7 ．【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，移项得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴m=2，n=5，∴m+n=5+2=7，故答案为：7．12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是．【解答】解：由方程x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即5．则此三角形的三边都是5．则该三角形的面积为S=×5×5×sin60°=×5×5×=．13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k= ﹣2 ．【解答】解：∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，∴，解得﹣＜x＜﹣；又∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上，∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即k2﹣2k﹣8=0，∴k1=4（不合题意，舍去），k2=﹣2．故答案是：﹣2．14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1的两个根是x1=2+，x2=2﹣．【解答】解：由原方程，得x2﹣4x+2=0，移项，得x2﹣4x=﹣2，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=﹣2+4，配方，得（x﹣2）2=2，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣；故答案是：∴x1=2+，x2=2﹣．15．当x= ﹣1 时，代数式的值是0．【解答】解：由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0，由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1，∴x=﹣1或x=﹣3，由x+3≠0，得x≠﹣3．综上，得x=﹣1．故空中填：﹣1．16．方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2= ．【解答】解：∵4x2﹣4x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴x1=x2=．17．解方程：9x2﹣6x+1=0，解：9x2﹣6x+1=0，所以（3x﹣1）2=0，即3x﹣1=0，解得x1=x2= ．【解答】解：据题意得x1=x2=．18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h= ，k= ．【解答】解：原方程可以化为：，移项，得x2+x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=比较对应系数，有：；故答案是：、．三．解答题19．用配方法解方程（1）x2﹣6x﹣15=0（2）3x2﹣2x﹣6=0（3）x2=3﹣2x（4）（x+3）（x﹣1）=12．【解答】解：（1）移项得：x2﹣6x=15，配方得：x2﹣6x+9=15+9，（x﹣3）2=24，开方得：x﹣3=±，x1=3+2，x2=3﹣2；（2）移先得：3x2﹣2x=6，x2﹣x=2，配方得：x2﹣x+（）2=2+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，，；（3）x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=3+1（x+1）2=4，开方得：x=﹣1±2，x1=1，x2=﹣3；（4）整理得：x2+2x=15，配方得：x2+2x+1=15+1，（x+1）2=16，开方得：x=﹣1±4，x1=3，x2=﹣5．20．证明：不论x为何实数，多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值．【解答】解：2x4﹣4x2﹣1﹣（x4﹣2x2﹣3）=x4﹣2x2+2=（x2﹣1）2+1∵（x2﹣1）2≥0，∴（x2﹣1）2+1＞0，∴不论x为何实数，多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值．21．分别按照下列条件，求x的值：分式的值为零．【解答】解：根据题意得，x2﹣5x﹣6=0，即（x+1）（x﹣6）=0，∴x+1=0，x﹣6=0，解得x=﹣1或x=6，又x+1≠0，解得x≠﹣1，∴x的值是6．22．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为x1=5，；（2）请猜想：关于x的方程x+= （或）的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）【解答】解：（1）x1=5，；（2）（或）；（3）方程二次项系数化为1，得．配方得，，即，开方得，，解得x1=5，．经检验，x1=5，都是原方程的解．第2课时 二次函数的应用（2）【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力. 【教学重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题. 【教学难点】利用二次函数解决生活中的实际问题.一、情景导入，初步认知1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y ＝6x 2＋12x ； （2）y ＝－4x 2＋8x －102.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?【教学说明】通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题. 二、思考探究，获取新知上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式h=v 0t-21gt 2. 其中h 是物体上升的高度，v 0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g 是重力加速度（取=10m/s 2），t 是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s. （1）问排球上升的最大高度是多少？（2）已知某运动员在2.5米高度扣球时效果最佳，如果他要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多少时间扣球最佳？（精确到0.1s ）解：根据题意得 h=10t-21×10t 2=-5(t-1)2+5(t≥0)因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5） 答：排球上升的最大高度是5米. （2）当h=2.5时，得 10t-5t 2=2.5解方程得：t 1≈0.3s,t 2≈1.7s排球在上升和下降中，各有一次经过 2.5米高度，但第一次经过时排球被垫起仅0.3秒，要打快攻，选择此时扣球最好.答：该运动员在排球被垫起后0.3秒扣球最佳.【教学说明】解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果. 三、运用新知，深化理解1.教材P39例4.2.兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y)都在一个二次函数的图象上，(如图所示)，则6楼房子的价格为2080元/平方米.3.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t 2，那么小球运动中的最大高度h 最大=(4.9)米.4.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动.（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm 2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm 2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围.（3）t 为何值时s 最小，最小值是多少？ 解：（1）y=21(6-t)·2t=-t 2+6t (2)S=6×12-（-t 2+6t ）=t 2-6t+72(0＜t ＜6) (3)∵S=（t-3）2+63∴当t=3时，S 有最小值等于63.5.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图.现测得，当水面宽AB=1.6m 时，涵洞顶点O 与水面的距离为2.4m.ED 离水面的高FC=1.5m ，求涵洞ED 宽是多少？是否会超过1m ？(提示：设涵洞所成抛物线为y=ax 2(a ＜0))【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y=ax 2.根据AB=1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，那么B 点坐标应该是（0.8，-2.4），利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D 的坐标及ED 的长.解：∵抛物线y=ax 2（a ＜0）， 点B 在抛物线上，将B （0.8，-2.4）， 它的坐标代入y=ax 2（a ＜0）， 求得a=-415， 所求解析式为y=-415x 2. 再由条件设D 点坐标为（x ，-0.9）， 则有：-0.9=-415x 2， 解得：x=24.0＜25.0，故宽度为224.0=562， ∴x＜0.5，2x ＜1， 所以涵洞ED 不超过1m.【教学说明】通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.4”中第4、5题.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.期中检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1．函数y ＝2－x ＋1x －3中，自变量x 的取值范围是( A ) A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x≠3 D ．x ≠3 2．方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－33．(2019·重庆)如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，则AB 的长是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第3题图第5题图第6题图第9题图4．(2019·荆州)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第二象限，则关于x 的方程x 2＋kx ＋b ＝0的根的情况是( A )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 5．实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简a 2－4ab ＋4b 2＋|a ＋b|的结果为( B )A ．2a －bB ．－3bC ．b －2aD ．3b6．(随州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BD AD的值为( C )A ．1B ．21C ． 2 －1D ． 2 ＋1 7．(2019·鄂州)关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根分别为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝5，则m 的值为( A )A ．74B ．75C ．76D ．08．(2019·鸡西)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( C )A ．4B ．5C ．6D ．79．(2019·毕节)如图，在一块斜边长30 cm 的直角三角形木板(Rt △ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为( A )A ．100 cm 2B ．150 cm 2C ．170 cm 2D ．200 cm 210．(2019·广东)如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB ＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连结AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点N ，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG ；③FN＝2NK ；④S △AFN ∶S △ADM ＝1∶4.其中正确的结论有( C )A .1个B ．2个C ．3个D ．4个二、细心填一填(每小题3分，共15分)11．(2019·盘锦)计算：(2 5 ＋3 2 )(2 5 －3 2 )＝__2__．12. (2019·镇江)若关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于__1__．13．(2019·张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多__12__步．14．(2019·本溪)在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为__(2，1)或(－2，－1)__．15．(2019·泸州)如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为__9 2 __．三、用心做一做(共75分) 16．(8分)计算：(1)(3 2 ＋48 )×(18 －4 3 )； (2) (2019·南充)(1－π)0＋| 2 － 3 |－12 ＋(12)－1.解：－30 解：1－ 317．(9分)解方程：(1)5(x ＋3)2＝2(x ＋3); (2)(梧州中考)2x 2－4x －30＝0.解：x 1＝－3，x 2＝－135解：x 1＝5，x 2＝－318．(9分)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.解：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE，∴AB CE ＝DBAB，∴AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC19．(9分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 和△DEF 的顶点坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，D(4，3)，E(6，5)，F(4，7).按下列要求画图：以点O 为位似中心，将△ABC 向y 轴左侧放大2倍得到△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，并解决下列问题：(1)顶点A 1的坐标为________，B 1的坐标为________，C 1的坐标为________；(2)请你利用旋转、平移两种变换，使△A 1B 1C 1通过变换后得到△A 2B 2C 2，且△A 2B 2C 2恰与△DEF 拼成一个平行四边形(非正方形).写出符合要求的变换过程．解：图略．(1)(－2，0)；(－6，0)；(－4，－2) (2)将△A 1B 1C 1先向上平移一个单位，再绕点A 1顺时针旋转90°后，沿x 轴正方向平移8个单位，得△A 2B 2C 220．(9分)(2019·贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年均增长率；(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？解：(1)设这两年藏书的年均增长率是x ，则由题意可得5(1＋x)2＝7.2，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)，答：这两年藏书的年均增长率是20% (2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2－5)×20%＝0.44(万册)，到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5×5.6%＋0.447.2 ×100%＝10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%21．(10分)(2019·黄石)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(4m ＋1)＝0有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝4，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(4m ＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，解得：m≤2 (2)∵方程x 2－6x ＋(4m ＋1)＝0的两个实数根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4m ＋1，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42，即32－16m ＝16，解得：m ＝122．(10分)(上海中考)已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是点E ，F.(1)求证：EF ＝AE －BE ；(2)连结BF ，如果AF BF ＝DFAD.求证：EF ＝EP.题图答图解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，∴∠BEA ＝∠AFD＝90°，∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA＝∠AFD，∠1＝∠3，AB ＝DA ， ∴△ABE ≌△DAF ，∴BE ＝AF ，∴EF ＝AE －AF ＝AE －BE (2)如图，∵AF BF ＝DF AD ，而AF ＝BE ，∴BE BF ＝DF AD ，∴BE DF ＝BFAD ，∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1，∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5，∵BE ⊥AP ，∴∠BEF ＝∠BEP＝90°，又BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEP ∴EF ＝EP23．(11分)(苏州中考)问题1：如图①，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，DE ∥BC ，交AC 于点E ，连结CD.设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S′.(1)当AD ＝3时，S′S＝____；(2)设AD ＝m ，请你用含字母m 的代数式表示S′S.问题2：如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ∥BC ，AD ＝12 BC ，E 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，EF ∥BC ，交CD 于点F ，连结CE.设AE ＝n ，四边形ABCD 的面积为S ，△EFC 的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n 的代数式表示S′S.解：问题1：(1)∵AB＝4，AD ＝3，∴BD ＝4－3＝1，∵DE ∥BC ，∴CE EA ＝BD AD ＝13 ，∴S △DEC S △ADE ＝EC AE ＝13 ＝39 ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝(34 )2＝916 ，∴S △DECS △ABC ＝316 ，即S′S ＝316 (2)解法一：∵AB＝4，AD ＝m ，∴BD ＝4－m ，∵DE ∥BC ，∴CE EA ＝BD AD ＝4－m m ，∴S △DEC S △ADE ＝CE AE ＝4－m m ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝(m 4 )2＝m216 ，∴S △DEC S △ABC ＝S △DEC S △ADE ·S △ADE S △ABC ＝4－m m ·m 216 ＝－m 2＋4m 16 ，即S′S ＝－m 2＋4m 16 ；解法二：过点B 作BH⊥AC 于H ，过D 作DF⊥AC 于F ，则DF∥BH，∴△ADF ∽△ABH ，∴DF BH ＝AD AB ＝m4 ，∴S △DEC S △ABC ＝12CE·DF 12CA·BH ＝4－m 4 ×m 4 ＝－m 2＋4m 16 ，即S′S ＝－m 2＋4m 16问题2：分别延长BA ，CD 交于点O ，∵AD ∥BC ，∴△OAD∽△OBC，∴OA OB ＝AD BC ＝12，∴OA ＝AB ＝4，∴OB ＝8，∵AE ＝n ，∴OE ＝4＋n ，∵EF ∥BC ，由问题1的解法可知：S △CEF S △OBC ＝S △CEF S △OEF ·S △OEF S △OBC ＝4－n4＋n×(4＋n 8 )2＝16－n 264 ，∵S △OAD S △OBC ＝(OA OB )2＝14 ，∴S 四边形ABCD S △OBC ＝34 ，∴S △CEF S 四边形ABCD ＝S △CEF 34S △OBC ＝43×16－n 264 ＝16－n 248 ，即S′S ＝16－n 248。
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。
