浦东新区2016学年第一学期期末考试高一数学试卷

上海市浦东新区2016年高一下学期数学期末统考试卷一、填空题（本大题共有12道小题，满分36分。

请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，每题3分）1、函数1cos2y x =-的最小正周期是 .2、函数()12f x x =-的反函数()1f x -为 . 3、若1sin ,,032x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 4、方程22sin 13x =的解集是 . 5、函数2sin cos y x x =-的最大值为 .6、设()()1232,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为 . 7、在ABC ∆中，若其面积222S ，则C ∠= .8、在ABC ∆中，若3,75,60AB ABC ACB =∠=︒∠=︒，则BC 等于 .9、函数sin cos 22x x y =+的递增区间是 . 10、若()sin 3f x x π=，则()()()()1232016f f f f ++++= .11、已知12cos 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且4πα-是第一象限角，则sin 22sin 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 .12、若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分13、在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B ⋅<⋅则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形14、已知函数()log 2a y ax =-在()1,1-上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A.()0,2B.()1,2C.(]12，D. [)2+∞， 15、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A.sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C. 1sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. 1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 16、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数的是（ ） A.2cos y x = B.2sin y x = C.cos 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.cot y x =-三、解答题（本大题共5道题目，满分52分，请在答题纸规定的地方写出必要的解答过程）17、（本题满分8分）一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？18、（本题满分10分，每小题5分）解下列方程（1）94330x x -⋅+=；（2）()233log 101log x x -=+；19、（本题满分10分，每小题5分）已知40,sin 25παα<<=， （1）求22sin sin 2cos cos2αααα++的值；（2）求5tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知函数()2=2cosx+sin 4cos f x x x -（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值和最小值.21、（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）设函数()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，其中()()()()222log 1,log 7f x x g x x =+=+. （1）在实数集R 上用分段函数形式写出函数()F x 的解析式；（2）求函数()F x 的最小值.参考答案一、填空题（本大题共有12道小题，满分36分。

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

2017-2018学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2+x=0}，则集合A∩B= ．2．不等式|x﹣1|＜2的解集为．3．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m的值为．4．命题“若A∩B=B，则B⊆A”是（真或假）命题．5．已知x＞1，则y=x+的最小值为．6．已知log32=a，则log324= （结果用a表示）7．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．8．已知函数f（x）=，g（x）=x﹣1，若F（x）=f（x）•g（x），则F（x）的值域是．9．已知函数，且f（2）＜f（3），则实数k取值范围是．10．已知偶函数y=f（x）在区间[0，+∞）上的解析式为f（x）=x2﹣2x，则y=f（x）在区间（﹣∞，0）上的解析式f（x）= ．11．已知函数f（x）=|x2﹣2|﹣a有4个零点，则实数a的取值范围是．12．若函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0），B（1，1），C（2，0），则函数y=x•f （x）（0≤x≤2）的图象与x轴围成的图形的面积为．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知实数a、b，且a＞b，下列结论中一定成立的是（）A．a2＞b2B．＜1 C．2a＞2b D．14．函数的图象是（）A．B．C．D．15．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a=5 B．a≥5 C．a=﹣3 D．a≤﹣316．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093三、解答题（共5小题，满分52分）17．（8分）已知a＞0，试比较与的值的大小．18．（10分）已知集合A={x|+1≤0}，B={x|（）a•2x=4}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．19．（10分）判断并证明函数f（x）=在区间（﹣1，0）上的单调性．20．（10分）如图，在半径为40cm的半圆（O为圆心）形铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上．（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示为x的函数，并写出定义域（2）应怎样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？21．（14分）已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）（1）求f（x）的解析式（2）若[f（x）]2=3f（x），求实数x的值（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值，及取最小值时x的值．2017-2018学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．{﹣1，0}．2．（﹣1，3）．3．1．4．真．5．3．6．1+3a． 7．﹣78．[0，）∪（，+∞）．9．（﹣1，2）．10．．11．（0，2）．12．1二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．C．14．B 15．D．16．D．三、解答题（共5小题，满分52分）17．解：﹣==，当a＞1时，﹣2a＜0，a2﹣1＞0，则＜0，即＜；当0＜a＜1时，﹣2a＜0，a2﹣1＜0，则＞0，即＞．综上可得a＞1时，＜；0＜a＜1时，＞．18．解：集合A={x|+1≤0}={x|≤0}={x|1≤x＜2}，B={x|（）a•2x=4}={x|2x﹣a=4}={x|x=a+2}，由A∪B=A，可得B⊆A，即有1≤a+2＜2，解得﹣1≤a＜0．则a的取值范围是[﹣1，0）．19．解：根据题意，函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又由﹣1＜x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增．20．解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×（）2=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600cm2．21．解：（1）由题可知：f（8）=log a8+b=2，f（1）=log a1+b=﹣1，解得：a=2，b=﹣1，所以f（x）=log2x﹣1，x＞0；（2）由[f（x）]2=3f（x）可知f（x）=0或f（x）=3，又由（1）可知log2x﹣1=0或log2x﹣1=3，解得：x=2或x=16；（3）由（1）可知y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=﹣1≥log2（2+2）﹣1=1，当且仅当即x=1时取等号，所以，当x=1时g（x）取得最小值1．。

2020～2021学年度上学期高一年级期末考试卷数 学 试 卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{－1}B.{0,1}C{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（ ）A．B．C．6D．74．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（ ）A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<βD．α<a<β<b5．是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使的的范围是（ ）A．B．C． D．6．已知，，且，则（ ）A．B．C．D．7．函数的定义域是（ ）A．B．C．D．8．函数的零点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题是“，”的表述方法的是（）A．有一个，使得成立B．对有些，使得成立C．任选一个，都有成立D．至少有一个，使得成立10．下列命题中是真命题的有（ ）A．幂函数的图象都经过点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．12．已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）A．B．若，则C．D．函数有四个零点三、填空题 （每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的解析式为___________.14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.15．已知函数，若，则____.16．已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）.18．（12分）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.（12分）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并给予证明；（2）求函数在，的最大值和最小值．21．（12分）已知函数（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）设函数，解不等式.22．（12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值;（2）若,试判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的t的取值范围;（3）,求在上的最小值.数 学 试 卷 参考答案1 A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C9．ABD 10．BD 11．AB 12．ABC13． 14．0.25 15．1或-2 16．17．（1）原式；（2）原式.18． 的图象如图所示．(1) 在和上是增函数，在上是减函数，∴单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)∵，，∴在区间上的最大值为.19． 解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.综上可得：当时，x的取值范围为.当时，x的取值范围为.20（1），函数在上是增函数，证明：任取，，且，则，，，，，即，在上是增函数；（2）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是．21．（1）在恒成立，即在恒成立， 分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是22．（1） ∵是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，∴ 1－（k－1）＝0，∴ k＝2， （2）单减，单增，故f（x）在R上单减 ，故不等式化为∴，解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测高一数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象均过定点 .2. 请写出“好货不便宜”的等价命题： .3.若集合{}{}|1,|A x x B x x a =≤=≥满足{}1A B =，则实数a = .4.不等式2110x --<的解集是 .5．若()121f x x +=-，则()1f = .6.不等式302x x -≥-的解集为 . 7.若函数()()()1f x x x a =++为偶函数，则a = .8.设()()2f xg x x==，则()()f x g x ⋅= . 9.设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围为 .10.函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是 .11.已知0ab >，且41a b +=，则11a b+的最大值为 . 12.已知函数()()12,14,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共4小题，每题3分，共12分，每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分）13.函数43y x =的大致图象是（ ）14.已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则0x <时，()f x =（ ）A.1x --B. 1x +C. 1x -+D. 1x -15.证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎。

小强买股票A 连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个 涨停：比前一天收市价上涨10%）.A. 3B. 4C. 5D. 616.给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，则下列结论中正确的是（ ）A. []0x x -≥B. []1x x -<C. 令()[]f x x x =-，对任意实数x ，()()1f x f x +=恒成立.D.令()[]f x x x =-，对任意实数x ，()()f x f x -=恒成立.三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分8分）已知()()332553m m m +≤-，求实数m 的取值范围.18.（本题满分10分）如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上，CD 垂直AN 于点D ，CB 垂直于AM 于点B ，3CD AB ==米，2AD BC ==米，设DN x =米，BM y =米，求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值.19.（本题满分10分,第1小题4分，第2小题6分）设a 是实数，函数()()2.21x f x a x R =-∈+ （1）若已知()1,2为该函数图象上一点，求a 的值；（2）证明：对任意a ，()f x 在R 上为增函数.20.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分） 已知函数()22f x x ax a =-+.（1）若对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间[)1,+∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值.21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）在区间D 上，如果函数()f x 为减函数，而()xf x 为增函数，则称()f x 为D 上的弱减函数，若()f x =. （1）判断()f x 在区间[)0,+∞上是否是弱减函数；（2）当[]1,3x ∈时，不等式42a a x x +≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()1g x f x k x =+-在[]0,3上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.浦东新区2016学年度第一学期期末质量测试高一数学参考答案一、填空题1. （0,1）2. 便宜没好货3. 14. )23,21(5. 1-6. ),3[)2,(+∞⋃-∞7. 1- 8. ) 0()0 1(∞+-∈，，， x x 9.3-≤m 或2≥m 10. (0,4]11. 912. [1,0)-二、选择题13. A 14. B 15. C 16. D三、解答题17.（本题满分8分）解：（1）设函数53x y =，函数为R 上的单调递增函数 ………………2分 得，32+-≤+m m m ………………2分 即，03-22≤+m m ………………2分得，0)3)(1（≤+-m m所以，m 的取值范围为：]1,3[-∈m ………………2分18．（本题满分10分） 解：263x NCD CMB xy y∠=∠⇒=⇒=………………….2分 (2)(3)AMPN S x y =++326x y x y =+++1232x y =++ ………………….3分1224≥+=………………….2分当且仅当32x y =，即2,3x y ==时取得等号。

上海市浦东新区2021--2022学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示）3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm .5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______.7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________.12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值.21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一；答案解析2021--2022学年度第一学期期末高一年级数学卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 【提示】注意：高中研究“角”的前提 【答案】三； 【解析】+3παπ=；【说明】本题考查了角是“旋转”的量；高中研究角，前提：在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上；2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示） 【提示】注意：指数与对数的互化； 【答案】3a ；【解析】方法1、由332log 2aa =⇒=，而33log 83log 23a ==；方法2、333log 83log 23log 33aa ===；【说明】本题主要考查指数与对数的互化或对数的换底公式； 3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．【提示】注意：集合相等的隐含条件； 【答案】0；【解析】由已知，得20a a a =⇒=或1a =（舍去）； 【说明】本题考查了集合相等与集合元素的互异性；4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 【提示】注意：扇形的面积公式的相关要素； 【答案】16； 【解析】由221112416222S lr r α===⨯⨯=； 【说明】本题考查了扇形的面积公式，注意：角的单位须：弧度；5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.【提示】注意：“指数函数”的图像特征；【答案】(13)，【解析】由指数函数xy a =的图像恒经过一个定点(01)，，所以，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点(13)，；【说明】本题考查了指数函数xy a =的图像特征；6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______. 【提示】注意：幂函数的定义并判断单调性； 【答案】(],2-∞；【解析】由题意，不妨设幂函数()af x x =，因为，若幂函数()f x 过点()2,8，则幂函数为3y x =；又，幂函数为3y x =为奇函数；则不等式()()310f a f a -+-≤，等价为()()()()3131f a f a a a -≤-⇔-≤-，解得2a ≤；【说明】本题既考查了利用待定系数法求幂函数；又综合考查了函数的奇偶性、单调性的交汇；7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.【提示】注意：转化为“同角”； 【答案】3；【解析】由已知()()sin cos 3πθπθ-++=sin cos 3θθ-=；又1tan tan θθ+=sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθ+=， 再据21(sin cos )12sin cos 3θθθθ=-=-，解得1sin cos 3θθ=，所以，1tan tan θθ+=sin cos 13cos sin sin cos θθθθθθ+==； 【说明】本题既考查了诱导公式，又综合考查了平方关系及其变式2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±；8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 【提示】注意：分段函数；在给定区间上利用单调性进行转化； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞；【解析】当00x ≤时，由已知，得0010211221x x x --->⇔>⇔<-，即01x <-；当00x >时，由已知，得111222000111x x x >⇔>⇔>，即01x > 综上，可得01x <-或01x >；【说明】本题考查了依据分段函数，结合指数函数与幂函数的单调性进行等价转化为不等式解之； 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 【提示】注意：题设中“(2)(23)(35)x x x -+-=-”的特点；【答案】3(,][2,)2-∞+∞；【解析】由三角不等式|35||(2)(23)||2||23|x x x x x -=-+-≤-+-，等号成立条件是：(2)(23)|0x x -⋅-≥，解得32x ≤或2x ≥，即3(,][2,)2-∞+∞； 【说明】本题基本方法是：分段讨论或借助函数数形结合，计算量大；但是，若能理解与用好“新教材”中的三角不等式与等号成立条件，则简捷合理；10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．【提示】注意：限制条件，研究“最大值”的目标是：小于等于常数，并保证等号成立； 【答案】4-；【解析】由,0a b >，若41a b +=，结合基本不等式，得1142416a b ab ab =+≥⇔≤（等号，当且仅当“41a b +=且4a b =”时成立）； 而22221log log log log 416a b ab +=≤=- 【说明】本题既考查了基本不等式，又考查了对数的运算法则；有一定的综合性；11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________. 【提示】画出函数的图像，对称轴为1x =-，函数在对称轴的位置取得最小值2，令2()233f x x x =++=，可求得0x =，或2x =-，进而得到参数范围； 【答案】[2,1]--；【解析】函数2()23f x x x =++的图象是开口朝上，且以直线1x =-为对称的抛物线， 当1x =-时，函数取最小值2，令2()233f x x x =++=，则0x =，或2x =-，若函数2()23f x x x =++在[],0m 上的最大值为3，最小值为2，则[]2,1m ∈--，故答案为：[]2,1--；【说明】本题主要考查一元二次函数给定，区间变化；数形结合解答这类填充、选择题最有效；12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.【提示】注意：关键词“函数()y f x =图像”、“x 轴恰有两个交点” 【答案】 (]()1,34,+∞；【解析】方法1、由题意，函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，就是方程()0f x =有两个根； 分别解出方程40x -=有一个根：14x =，方程2430x x -+=有两个根21x =或33x =；所以，当1λ≤时，方程()0f x =有1个根；当13λ<≤时，方程()0f x =有2个根； 当34λ<≤时，方程()0f x =有3个根；当4λ>时，方程()0f x =有2个根； 综上，(]()1,34,λ∈+∞；方法2、画出函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩的图像，如图据图，得（同方法1）【说明】本题主要考查了分段函数、初等函数的图像；以及新教材中“零点”的定义与“三种等价”形式，渗透了函数与方程思想与数形结合的数学思想方法的考查； 二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 【提示】注意：不等式性质； 【答案】C ；【解析】由不等式性质22||0a b a b >>⇒> 【说明】本题考查了不等式性质； 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞【提示】注意：一元二次不等式与一元二次方程的沟通； 【答案】B ；【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则 得0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为：112x =-或213x =，由11()()023c a =-⨯<，则0c >，所以，方程2 0cx bx a +=+的两个根为： 32x =-或43x =，则不等式2 0cx bx a +<+的解集是(2,3)-；【说明】本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的沟通与一元二次方程根的定义；15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°【提示】注意审题，关键词“至少有一个不大于”； 【答案】B【说明】本题考查了新教材中新增必修的知识点“反证法”；16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 【答案】C ；【解析】由各选项知最大值m t ≤，因为214x -≤，解得3522x -≤≤，所以52m ≤；不等式2214x x a -+-≤可化为22421421x x a x x -+-≤≤+--.设()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，因为()22123021252x x x f x x x x m ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为3，所以当[]()0,0x m m ∈>时，都有()3g x ≤.若10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2233g x x x =--≤-；若1,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2253g x x x =+-≤，所以2280m m +-≤，解得2m ≤.综上，所求实数m 的最大值为2； 故选：C ；【说明】本题综合考查了分段函数、函数的最值、绝对值不等式、一元二次函数在给定区间上求最值；解题的切入点是：通过绝对值的性质挖掘自变量x 的隐含条件，由此得出52m ≤的隐含条件；从而，等价为一元二次函数在给定区间上求最值与恒成立问题； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B 【提示】先利用“解不等式”知识，化简集合； 【解析】由条件可知，(1,5)A =-，1(,7)2B =，所以，(1,7)AB =-；【说明】本题考查了简单的绝对值不等式、分式不等式的解法与集合的并集运算；18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值【提示】注意：关于sin ,cos αα的“齐次式”的运算技巧，已知三角比求角，注意角的范围；【解析】由条件可知sin αα=，所以tan α=222222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 52sin 3sin cos 5cos =sin cos tan 1ααααααααααααα-+-+-+=++，所以，原式（2）由tan α=[0,2)απ∈，所以，25,33ππα=； 【说明】本题考查了同角三角比之间关系与已知三角比求角；而本题若注意“关于sin ,cos αα的“齐次式””，采用先化简后计算，则解答更简捷；19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由. 【提示】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为24a ，再根据二次函数的性质结合（1）研究2S ，3S 的最大值即可得答案；【答案】（1）22S x ax =-+，0x a <<；23333S x =，0x a <<；（2）农户应该选择方案三； 【解析】（1）对于方案乙，当AC x =时，()m BC a x =-，所以矩形OACB 的面积()22S x a x x ax =-=-+，0x a <<；对于方案丙，当AC x =时，()m BC a x =-，由于60OAC ∠=︒ 所以113,22OA a x x a x OB =-+=-=， 所以梯形OACB 的面积为311313322222S a x a x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2333=，0x a <<.（2）对于方案甲，设,AO x BO y ==，则222x y a +=，所以三角形AOB 的面积为2221112224x y a S xy +=≤⋅=，当且仅当2x y ==时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案乙，由（1）得22222244a a a S x ax x ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，0x a <<，当且仅当2a x =时取得最大值24a ，故方案乙的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案丙，22343S x ax ⎫==-⎪⎝⎭2222242393a a x a x ⎤⎛⎫⎫=--=-⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0x a <<. 当且仅当23a x =22； 由于()()()123max max max S S S =<所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大；【说明】本题综合考查了利用函数模型建立函数关系式；然后通过求相应函数的“最值”，确定选择方案； 20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值. 【提示】（1）利用奇偶性的定义，讨论0a =和0a ≠即可；（2）利用单调性的定义得出120x x a -<，进而得出20a a a ⎧≥⎨>⎩即可求出；【答案】（1）当0a =时，()y f x =为偶函数，当0a ≠时，()y f x =为非奇非偶函数；（2）1； 【解析】（1）可得()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()22()||||f x x x a x x a -=-+--=++， 当0a =时，()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则()f x 为非奇非偶函数；（2）当(]0,x a ∈，2()()1x x a f x ag x x x x x+-===+-，任取120x x a <<≤， 则()()()()121212121212x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=，因为，120x x a <<≤，所以，120x x -<且2120x x a <<，因为，()g x 在区间(0，a ]上为严格减函数，所以，120x x a -<，即12a x x >恒成立，所以，2a a a ⎧≥⎨>⎩，解得01a <≤，所以， a 的最大值为1；【说明】本题综合考查了函数奇偶性的判断依据与方法，与分类讨论进行了简单的交汇；以及利用定义证明单调性的基本方法与步骤；【注意】利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负； （4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减； 21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一； 【答案】（1）()12(12)2f x x x x=++<<-；（2）()f x 是“ψ函数”；（3）()()f x g x +①仍为“ψ函数”；m n ≠②时，()()f x g x +不一定是“ψ函数”；【解析】（1）根据“ψ函数”的概念，()()24f x f x +-=，所以， ()()42f x f x =--，()1,2x ∈时，()()20,1x -∈，又 ()0,1x ∈时，()1f x x x=-， ()1,2x ∈时，()()()114242222f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=++⎢⎥--⎣⎦， 即()1,2x ∈时，()f x 的解析式为 ()12(12)2f x x x x=++<<-； （2）方法1、根据题意，取52a =-，上式计算得()()58f x f x +--=，此时 4b =；所以函数()f x 是“ψ函数”； 方法2、()1234123412111134x x x x f x x x x x x x x x +++=+++=----++++++++， 所以，()5441121113f x x x x x --=------------；所以，()(5)8f x f x +--=；所以，()f x 关于点5(,4)2-对称，故函数()f x 是ψ函数； （3）根据题意，()()()()22,22f x f m x p g x g n x q +-=+-=，m n =①时，()()()()()22222f x f n x g x g n x p q p q +-++-=+=+，所以此时()()f x g x +仍为“ψ函数”；m n ≠时，()()f x g x +不一定是“ ψ函数”；设()1f x x=，易知函数()f x 图像关于 ()0,0对称，得0,0m p ==； 设()1xg x x =+，知函数()g x 图像关于()1,1-对称，得1,1n q =-=， ()()2123221222312342122232412311114123421222324f x f a x x x x x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x x x x x x x x a x a x a x a +-+++--+-+-+=+++++++++++-+-+-+-++++=++++++++++++--------此时，()()11x f x g x x x +=++，其图像不关于某一点对称，即不是“ ψ函数”；结论得证； 【说明】本题借助“新定义”，考查了新教材依据奇函数的定义，研究奇函数的图像关于原点对称的过程、方法与拓展；体现了考试试题“源于教材，又高于教材”的特点；。

专题05期末解答压轴题新定义题型1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”(1)判断函数①y x =，②3y x =是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数y x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)若()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，且(0)(1)f f =，求证：对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)y x =是，3y x =不是(2)12(3)证明见解析【分析】（1）证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断y x =，举出反例即可判断3y x =；（2）分离参数，将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值；（3）对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12f x f x m -≤，只需要()()12max f x f x m -≤即可，根据新定义求出()()12max f x f x -即可得出答案.【解析】（1）对于函数()y f x x ==，不妨设12x x >，则()()1212f x f x x x -=-，符合题意，所以函数y x =是“1-利普希兹条件函数”，对于函数()3y f x x ==，因为()()21721f f -=>-，所以函数3y x =不是“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()f x x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，则对定义域[]1,4内任意12,x x （12x x ≠），均有()()1212f x f x k x x -≤-，即1212x x k x x -≤-，设12x x >，则1212x x k x x -≤-，即121k x x ≤+，因为2114x x ≤<≤，所以1211142x x <<+，所以12k ≥所以k 的最小值为12；（3）设12x x ≥，当1212x x -≤时，因为()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，所以()()121212212f x f x x x -≤-≤⨯=，当1212x x ->时，由[]12,0,1x x ∈，得12112x x <-≤，故()()()()()()121212(1)(0)(1)(0)f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()1212212221x x x x ≤-+=--≤恒成立，综上所述，()()121f x f x -≤，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k -利普希兹条件函数”.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【解析】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...mm g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nn ii i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1kf x x=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1(0,)4；(3)答案见解析.【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.【解析】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数2()log (2)xf x t =+是定义域上的增函数，因为函数2()log (2)xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22a b ，于是得1()21()2f a a f b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，则方程12221log (2)22(2)(2)02x xxx x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，令(2)0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4.（3）常数0k >，函数()1kf x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b-≤-≤-，若101k ka b -<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11ka bk ba⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210kx x x k x-=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k=->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=得：12114114,22k kx x --+-==，所以当104k <<时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，114114,22k ka b --+-==，当14k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且对12,x x ∀∈R ，都有()()()1212f x x f x f x +≤⋅，则称()f x 为“J 形函数”(1)当()1f x x =+时，判断()f x 是否为“J 形函数”，并说明理由；(2)当()22f x x =+时，证明：()f x 是“J 形函数”；(3)如果函数()2x f x a =+为“J 形函数”，求实数a 的取值范围.【答案】(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)1a ≥或0a =.【分析】（1）作差可得()()()121212f x x f x f x x x +-⋅=-，根据12,x x 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；（2）作差可得()()()1212f x x f x f x +-⋅()22212122x x x x =----，即可证明得出结论；（3）代入化简可得()12122x x f x x a ++=+，()()1212212222x x x x f x x a a ++++=+.由“J 形函数”的概念整理化简可得，()12122x xa -+≥，进而即可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）解：()f x 不是“J 形函数”，理由如下：当()1f x x =+时，有()111f x x =+，()221f x x =+，()12121f x x x x +=++，则()()()1212f x x f x f x +-⋅()()1212111x x x x ++-++=12x x =-.因为12,x x ∈R ，所以12x x -与0的关系不确定，不能得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤，所以()f x 不是“J 形函数”.（2）证明：当()22f x x =+时，有()2112f x x =+，()2222f x x =+，()()22212121212222f x x x x x x x x +=++=+++，则()()()()2222221212121222224f x f x x x x x x x ⋅=++=+++，所以()()()1212f x x f x f x +-⋅212222121222x x x x x x =----()22212122x x x x =----，显然有()()()121220f x x f x f x +-⋅≤-≤对12,x x ∀∈R 恒成立，所以有()()()1212f x x f x f x +≤⋅对12,x x ∀∈R 恒成立，所以()f x 是“J 形函数”.（3）解：由已知可得()112x f x a =+，()222x f x a =+，()12122x x f x x a ++=+，所以()()121222x x f x f x a a ⋅=+⋅+()12122222x x x x a a +=+++.因为函数()2x f x a =+为“J 形函数”，所以有()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++，即()121212202222x x x x x x a a a ++++≤+≤+.由1220x x a ++≥，可得0a ≥；由()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++可得，()12222x x a a a ≤++.当0a =时，该式恒成立，满足；当0a >时，有()12122x xa -+≥恒成立.因为12220x x +>，所以1a ≥.综上可得，1a ≥或0a =.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J 形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简()()()1212f x x f x f x +-⋅.只要得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤恒成立，即可说明()f x 是“J 形函数”.5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．【答案】(1)函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，理由见解析(2){|13x x ≤≤或}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为[)1,+∞时，求12()()f x f x -的取值区间即可判断作答.（2）根据给定条件，可得(2)()2f x f x +-=，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.【解析】（1）函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，证明如下：任取12,x x ∈R ，若12[1,)-∈+∞x x ，则()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞，()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数()21f x x =-是[)1,+∞关联；函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，证明如下：：若12[1,)-∈+∞x x ，则121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x ，所以函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联；（2）因()f x 是{}2关联，则122x x -=，有12()()2f x f x -=，即(2)()2f x f x +-=，当[)0,2x ∈时，22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ，而()02f x ≤≤，即202≤-≤x x ，解得12x ≤≤或10x -≤≤，所以不等式的解集为{|12x x ≤<或}0x =，当[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠时，()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，所以当[2,4)x ∈时，2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x ，而0()2f x ≤≤，得2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x ，解得23x ≤≤，所以不等式的解集为{}|23x x ≤≤，当0n <时，()0f x <或当2n ≥时，()2f x >，此时不等式0()2f x ≤≤无解；综上得13x ≤≤或0x =，所以不等式2()3f x ≤≤的解集为{|13x x ≤≤或}0x =，.（3）“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件，证明如下，易得函数,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩是{}2关联，但1 2.112≤-≤时2)(2.1()0f f <-，所以函数()f x 不是[1,2]关联；所以充分性不成立；当函数()f x 是[1,2]关联时，即2112x x ≤-≤，21)1(()2f x f x -≤≤，则有1(2)(1)2f x f x -≤++≤，)1(1()2f x f x -≤+≤，即有)2(2()4f x f x -≤+≤，又1(2)2x x ≤+-≤，则有)1(2()2f x f x -≤+≤，于是得(2)()2f x f x +-=，从而得()()21212,=2x x f x f x -=-，即函数()f x 是{2}关联；所以“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.抽象函数6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()221f x x x =+--，求()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[2,2]-；(2)4；(3)()152f x x-=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t +-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x+=+，从而可求出()f x 的解析式.【解析】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为22y x =+和1y x =--在[1,1]-上均为增函数，所以()221f x x x =+--在[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)221(1)2f x f =-=-+---=-，max ()(1)222f x f ==+=，所以()f x 的值域为[2,2]-；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x xf x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t+-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t tt t -++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f fx f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()xf x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()152f x x±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()152f x x-=.7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数()2h x x =是否是“L 函数”，并说明理由；(2)若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()2x f x >.【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)[1,1]-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由()g x 为“L 函数”，可得()0g t >，则3t a <，得1a ≤，()()()g s g t g s t +<+可得30s t a ++>，得10a +≥，从而可求出实数a 的取值范围；（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，则112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，再结合111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>可证得结论.【解析】（1）对于()2h x x =，当0,0t s >>时，()20h t t =>，()20h s s =>，因为()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<，所以()()()h s h t h s t +<+，所以()2h x x =是“L 函数”；（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，得()()31310t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，因为310t ->，所以3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤，由()()()g s g t g s t +<+，得3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>，所以(31)(31)(3)0s t s t a +--+>，因为(31)(31)0s t -->，所以30s t a ++>，由30s t a ++>对一切正数,s t 恒成立，所以10a +≥，即1a ≥-，综上可知，实数a 的取值范围为[1,1]-；（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数,s t 都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，所以对于正整数k 与正数s 都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()()1*12,2N k k k x--∈∈，因为(1)1f =，所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>.【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0∞-上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】(1)函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【解析】（1）解：函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x t x t x x t tp x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()222220x t t ->⨯⋅-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2x y =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.（2）证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N n ∈，()()1f n f n +<.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0∞-上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【解析】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x x =不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k kk k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x x =，当1t s ==时，()()()22222f t f s f t s +=>=+，故()2f x x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k xf x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k kf f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.零点问题10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()f x 具有性质()P T ．(1)若函数()f x 具有性质()2P ，求()122f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)设()log a f x x =，若01a <<，求证：存在常数0T >，使得()f x 具有性质()P T (3)若函数()f x 具有性质()P T ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()f x 在()0,∞+上存在零点．【答案】(1)()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，代入2x =和12x =即可得出答案；（2）设()log a g x x x =-，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为()()nf T x f x nT =+，然后令1x =得，()()1nf T f nT =+，分情况利用零点存在性定理证得结论.【解析】（1）函数()f x 具有性质()2P ，所以对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，令2x =，得()()212f f =+，令12x =，得()1122f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）证明：函数()f x 具有性质()P T 的充要条件为存在0T >，使得()log log a a Tx x T =+，即log a T T =，设()log a g x x x =-，因为()110g =-<，()10g a a =->，所以在区间(),1a 上函数()g x 存在零点0x ，取0T x =，则log a T T =，得函数()f x 具有性质()P T ．（3）设n N *∈，因为()()f Tx f x T =+，所以()()nf T x f x nT =+，令1x =得，()()1nf T f nT =+，①若()10f =，则函数()f x 存在零点若()10f <，当()01f n T>-时，()00nf T >，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点②因为()n x f x f nTT ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()()1nf T f nT-=-若()10f >，当()01f n T>时，()00nf T -<，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点．综上，函数()f x 在()0,∞+上存在零点．11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数21()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）若函数[()]g f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）()1,1-；（2）5[,)4-+∞；（3）答案见解析.【解析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为R ，利用判别式，列出不等式，即可求解；（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（3）根据函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，先分1x >，1x =和01x <<三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分∆<0，0∆=和0∆>三种情况讨论，即可求解.【解析】（1）由题意，函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，因为该函数的定义域为R ，则2104x ax ++>对任意x R ∈恒成立，可得210a ∆=-<，解得11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，若[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，则问题等价于()0f x >在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(1,)+∞上单调递增，即5(1)0412f a a ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得54a ≥-，所以实数a 的取值范围是5[,)4-+∞．（3）当1x >时，()ln 0g x x =-<，所以当1x >时，min{(),()}()0≤<f x g x g x ，所以()h x 在(1,)+∞上没有零点；当1x =时，(1)0g =，5(1)4f a =+，若504a +≥即54a ≥-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，此时1x =是函数()h x 的一个零点；若504+<a 即54a <-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，此时1x =不是函数()h x 的一个零点；当01x <<时，因为()ln 0g x x =->，则函数()h x 的零点个数等价于函数()f x 的零点个数，①当210a ∆=-<，即11a -<<时，()0f x >，则()min{(),()}0=>h x f x g x ，函数()h x 在(0,1)上没有零点；②当0∆=即1a =±时，函数()f x 有且只有一个零点，若1a =，由()0f x =可得1(0,1)2=-∉x ，则函数()h x 在(0,1)上没有零点；若1a =-，由()0f x =可得12x =，则函数()h x 在(0,1)上有1个零点；③当0∆>，即1a <-或1a >时，函数()f x 有两个零点，不妨设为12,x x 且12x x <，当1a >时，120x x a +=-<，12104=>x x ，所以120x x <<，则()f x 在(0,1)上没有零点；当1a <-时，120x x a +=->，12104=>x x ，所以120x x <<，当5(1)04=+≤f a 即54a ≤-时，1(0)04=>f ，所以(0)(1)0f f <，则101x <<，21x ≥，所以此时()f x 在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f >，即514a -<<-时，对称轴15(,)228=-∈a x ，且(0)0f >，(1)0f >所以1201x x <<<，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上所述：当54a <-或1a >-时，()h x 有一个零点；当54a =-或1a =-时，()h x 有两个零点；当514a -<<-时，()h x 有三个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【解析】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k+++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，设()()f xg x x=.(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得0a >，再根据二次函数单调性列方程求解即可；（2）由题知2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，进而得2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，再求最值即可得答案；（3）用换元法化简方程()22131021xx mg m -+-+=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【解析】（1）解：()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-，(),0a b ≥因为，当0a =时，()f x b =，为常函数，不满足题意；所以，0a >，()()21f x a x b a =-+-在[]1,3x ∈上单调递增，因为函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，所以()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==，所以1a =，1b =.（2）解：由（1）知()221f x x x =-+，()()12f x g x x x x==+-，因为不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，所以2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，所以，120t kt t +--≤，在[]2,3t ∈上恒成立，所以2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，因为[]2,3t ∈，所以111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，则49k ≥，所以k 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解：方程()22131021xx m g m -+-+=-等价于122123102121xx x m m -+-+-+=--，即()()2211321120x x m m --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，因为方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，所以，画出21xt =-的图像如下图所示，所以()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()21312h t t m t m =-+++，所以，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩，此时1m >或()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，此时m 无解，综上，1m >，即实数m 的取值范围()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令21xt -=，进而结合题意，数形结合得()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，再根据零点存在性定理求解即可.二次函数（包括含绝对值）、对勾函数14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数()53y g x x ==-不存在“和谐区间”．（3）已知：函数()()221aa x y h x a x+-==（a ∈R ，a≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n﹣m 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[]0,1上单调递增,且值域也为[]0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集,我们可以用a 表示出n m -的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．x 2﹣3x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根．，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n ﹣m 取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．15．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.(1)写出集合A =R 到集合{R ,B x x =∈且}0x >的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z 的到有理数集Q 的保序同构函数；(3)已知存在正实数s 和t 使得函数()21xf x x m =+-是集合[]0,s 到集合[]0,t 的保序同构函数，求实数m 的取值范围和s 的最大值（用m 表示）.【答案】(1)()2xf x =(2)见解析。

上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷考试时间：90分钟 满分：100分一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题.1.若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________.2. 等比数列中，且，则公比为______．3. 已知向量，，若，则实数________4. 已知等差数列的前项和为，若则________5. 函数的最小正周期为π，则ω的值为______．6. 已知A (2，0)，B (0，2)，若＝，则点C 的坐标是________.7. 已知角的终边经过点，则的值为__________.8. 若是关于实系数方程的一个复数根，则=_____9. 已知向量，，且，则______．10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________．11. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________．的π3{}n a 11a =1238a a a =-()2,1a m =()1,3b m =-a b ⊥m ={}n a n n S 4131a a +=16S =π2cos(2)(0)3y x ωω=->AC 13ABα()1,2P -()cos πα+1+x 220x x c -+=c ()cos ,sin m θθ=()1,2n =-m n ∥21cos sin 22θθ-=sin()y A x ωϕ=+π0,0,02A ωϕ>><<y ()0,1y ()0,2x ()02π,2x +-()y f x =π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 12i i a +∞==-∑1i i a +∞=∑12. 在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为___________.二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.13. 用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该（ ）A. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C. 假设（正整数）时命题成立，再证时命题也成立D. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立14. 若复数为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A. B. C. D.15. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）A. B. C. D. 16. 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是为ABCDEF A 1a 2a 3a 4 a 5a D 1 d 2 d 3 d 4 d 5d {},,i j k {},,r s t {}1,2,3,4,5()()i j k r s ta a a d d d ++⋅++ n n n ab -a b -n k =k 1n k =+2n k =k 21n k =+2n k =n k =k 21n k =+2n k =k 2(1)n k =+5ii 1m z -=-5-552-52O 02025A A 01,,A A 232025,,,A A A 02025,OA a OA b == ,a b0122025OA OA OA OA ++++ 2025()a b +2026()a b +1012()a b +1013()a b +{}n a l n n l n a a +≤{}n a l {}n b cos 2n nb n =-n {}n b是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题C. ①､②都是真命题D. ①､②都是假命题三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知复数，，.（1）若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围；（2）若复数，求.18. 在中，角的对边分别为.（1）若，求角的大小；（2）若边上的高等于，求的最大值.19. 已知向量，，．（1）若，求值；（2）若向量在方向上的投影向量为，求的值．20. 甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．（1）分别求甲、乙两人工作满10年基础工资收入总量（精确到1元）（2）设甲、乙两人入职第年月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．21. 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；的的l 4l ≥{}n c 11nn q c an q-=+-n a ∈R {}n c 211q -≤<()121i z a a =++-()2231i z a =++a ∈R 12z z +a 1z =12z z ⋅ABC V ,,A B C ,,a b c 2sin a B =A BC 2a c bb c+()1,2a =r()2,1b =- (),1c λ= ()2a b c +⊥λa b + c 15cλ,A B A B n n a n b n n n c a b =-{}n c {}n a {}n b m {}n a {}n b 1mi ii a b=-∑（2）记A 为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A 中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m 的最大值；（3）记S 是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.111nn na a a ++=-{}n a {}n b {}n c m 12b =13c ={}n b {}n c 12024mi ii b c=-≤∑{}n a 17n ≤≤0n a =T S ⊆上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题.【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】1【6题答案】【答案】【7题答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】##【10题答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.2π2-1842(,333350.6[)2,+∞25-【13题答案】【答案】D 【14题答案】【答案】A 【15题答案】【答案】D 【16题答案】【答案】C三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.【17题答案】【答案】（1） （2）答案略【18题答案】【答案】（1）或（2）【19题答案】【答案】（1） （2）或【20题答案】【答案】（1）甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元 （2）单调性略；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由略【21题答案】【答案】（1）7 （2）3469（3）证明略()4,0-π32π343λ=2λ=7λ=-606000603739。