2019数学八年级上册一次函数的应用

一次函数的应用【知识要点】一、一次函数的图象及其性质：1．一次函数的图象不过原点和两坐标轴相交，它是一条直线； 2．一次函数图象中：（1）当0>k 时，y 随x 的增大而增大； （2）当0<k 时，y 随x 的增大而减小；3．在一次函数b kx y +=中，若0>k 时k 的值越大，函数图象与x 轴正半 轴所成的锐角越大．二、一次函数图象与两坐标轴交点的求法1．与X 轴交点的求法，让0=y ，求x 的值； 2．与y 轴交点的求法，让0=x ，求y 的值；【经典例题】例1、 如图所示，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售的关系．（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式； （2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；（3）当一天的销售量为多少辆时销售收入等于销售成本？（4）当一天的销售超过多少辆时工厂才能获利？（利润=收入－成本）例2、蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比，一只蜡烛点6分钟，剩下烛 长12cm ，如点燃16分钟，剩烛长7cm ，假设蜡烛点燃x 分钟，剩下烛长ycm ，求出y 和x 之间的函数关系式，画出图像，这支蜡烛燃完需要多少时间？例3、 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超 过规定，则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （千克）的一 次函数，其图像如图所示求：（1）Y 与x 之间的函数关系式； （2）旅客可免费携带的行李的重量．(辆)例4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表累加计算：（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）按此规定解答下列问题： （1）、设甲的月工资、薪金所得为x 元（1300<x<2800），需缴的所得税款为y 元，试写出y 与x 的函数关系式。

《一次函数的应用(3)》教案教学内容北师大版数学八年级上册《一次函数的应用(3)》P93-9 4.教学目的1、进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题.2、在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维.3、在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．4、在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点一次函数图象的应用.教学难点从函数图象中正确读取信息，能够与实际问题联系起来. 教学过程一、情境引入一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系，如图所示，结合图象回答下列问题.(1)农民自带的零钱是多少？(2)试求降价前y与x之间的关系.(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少？(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆？通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知识.二、问题解决内容1：如图，1l反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：(1)当销售量为2吨时，销售收入＝_______元， 销售成本＝________元；(2)当销售量为6吨时，销售收入＝________元， 销售成本＝________元；(3)当销售量为_______时，销售收入等于销售成本； (4)当销售量________时，该公司赢利；当销售量________时，该公司亏损. (5)1l 对应的函数表达式是______________；2l 对应的函数表达式是_______________．内容2：深入探究例2我边防局接到情报，近海处有一海 岸公 海AB可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶(如图)，下图中1l，2l分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系？解：观察图象，得当0=t时，B距海岸0nmile，即0=S，故1l表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.(2)A，B哪个速度快？解：从0增加到10时，2l的纵坐标增加了2，而1l的纵坐标增加了5，即10min内，A行驶了2海里，B行驶了5nmile，所以B的速度快．(3)15min内B能否追上A？解：可以看出，当15t时，1l上对应点=在2l上对应点的下方.(4)如果一直追下去，那么B能否追上A？解：如图1l，2l相交于点P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．(5)当A逃到离海岸2l海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？解：从图中可以看出，1l与2l交点P的纵坐标小于2l，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．三、反馈练习内容：观察甲、乙两图，解答下列问题：1、填空：两图中的( )图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．2、根据1中所填答案的图象填写下表：3、根据1中所填答案的图象求：(1)龟免赛跑过程中的函数关系式(要注明各函数的自变量的取值范围).(2)乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？4、甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y甲(棵)，乙班植树的总量为y 乙(棵)，两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树时计时)为x (时)，y 甲、y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示．(1)当06x ≤≤时，分别求y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式． (2)如果甲、乙两班均保持前6h 的工作效率，通过计算说明，当8x =时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵．(3)如果6h 后，甲班保持前6h 的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当8x =时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．四、课时小结内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题.通过列出关系式解决y问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法.说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结.五、作业布置习题4.7。

八年级数学上一次函数的应用﹤1﹥一次函数的面积问题1、根据条件，求出下列一次函数解析式：（1）直线经过点 （2，-1）和（3，2）两点； （2）经过点（0，5），且平行于直线12+=x y 。

2、在直角坐标系中，一次函数的图像与直线32-=x y 平行，且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的解析式。

3、已知直线 31++-=m x y 与直线m x y 9732+-=交点A 在第四象限。

（1）求正整数m 的值； （2）求交点A 的坐标； （3）求这两条直线与x 轴所围成的三角形的面积4、已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=21OB. 求：（1）正比例函数和一次函数解析式。

（2）△AOB 的面积。

5、直线1l ：y=kx+b 过点B(-1,0)与y 轴交于点C,直线2l ：y=mx+n 与1l 交于点P （2,5）且过点A(6,0),过点C 且与2l 平行的直线交X 轴于点D. (1)求直线CD 的函数解析式；(2)求四边形APCD 的面积。

xx（升）(小时)6014504540302010876543210y t ﹤2﹥利用函数图象获取所需信息解决实际问题：1、旅客乘车按规定可能随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，其图象如图14-2-6所示．求： (1)y 与x 之间的函数关系式； (2)旅客最多可以免费带行李的质量．2、张师傅驾车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； （2）求加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．3、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。

2019-2020学年八年级数学上册《一次函数的应用》教学设计北师大版课程分析：函数是中学数学的核心内容，而函数的应用又是重中之重。

函数的应用体现了数学来源于生活又应用于生活的道理，教师引导得当能够极大的激发学生学习数学的兴趣。

同时，运用所学的知识解决实际问题能够充分体现出学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力。

一次函数是最基本的函数学生易于理解和掌握，通过对一次函数的应用的探究，学生可以归纳出解决函数应用题的一般方法。

但是，函数是学生学习的难点，函数思想学生不易掌握；一次函数的应用是学生第一接触到函数应用问题，所以不在函数建模问题上过多涉及，而把设计的重点放在观察函数图像获取信息、体会方程与函数、数与形的关系这个层面上。

本节课的学习要用到前面所学的函数的基本知识以及一次函数的图像和性质，从而使旧知识得到巩固。

学情分析：这个班的学生比较活跃，课堂上发言积极。

而且学生已经学习过了函数的基本知识以及一次函数的图像和性质，大部分学生都能够根据解析式作出图像观察图像获得性质。

经管学生的总结能力较差，只要按照知识发现的实际背景，合理设问，学生还是能够发现规律的。

学习目标：1、观察图像获取信息；2、体会方程与函数、数与形的关系；3、运用函数图像解决简单的实际问题。

设计理念：根据课程改革的目标，实现以人的全面发展为本的教学观，并根据诱思探究学科教学论，改变传统教学过于注重传授知识的倾向，让学生在课堂上真正动起来，切实实现学生的主体地位。

但是函数应用问题涉及的知识面广、综合性强、灵活性大，对学生分析问题解决问题以及综合运用知识的能力要求比较高；一次函数的应用是学生第一接触到函数应用问题，解决函数应用题的方法还没有掌握，所以设计成创设情境激发情意：组织学生外出旅游，在旅游过程中遇到了很多问题，教师巧妙的设问环环相扣，引导学生利用所学的一次函数知识解决了一系列的问题；在这样一种全新的教学情意场中学生的积极性被充分调动起来，纷纷参与到旅游过程中各项决策中来，他们或者激烈争论各抒己见，或者低头沉思寻找解决问题的途径，学生也就真正成为课堂的主人。

4 一次函数的应用第1课时一次函数的应用(1)教学目标【知识与技能】会用待定系数法求一次函数的表达式,并能运用一次函数知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过运用一次函数知识解决实际问题,进一步加深理解并掌握所学知识.【情感、态度与价值观】体会数形结合的思想,了解数学来源于生活,又服务于生活,培养学生的数学应用意识.教学重难点【重点】用待定系数法求一次函数的表达式,并能解决简单的实际问题.【难点】灵活运用所学知识解决实际问题.教学过程一、复习引入1.提问:(1)什么是一次函数?(2)一次函数的图象是什么?(3)一次函数的相关性质.2.做一做.(1)直线y=3x+1经过点(1, ),与y轴的交点是( , ),与x轴的交点是( , ).(2)点(-2,7)是否在直线y=-5x-3上?3.引入.在前面学习一次函数时,我们根据函数关系式知道它的图象,知道图象上相应的点的坐标满足关系式,那么反过来,我们是否能根据图象、点的坐标等信息确定函数关系式呢?这就是我们今天要学习的内容——待定系数法求函数关系式.二、讲授新课师:下面我们来看几个例题.【例1】在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm,当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【答案】设y=kx+b,根据题意,得14.5=b,①16=3k+b.②将①代入②,得k=0.5,所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.师:在这个例题中,我们首先根据题意设出一次函数的表达式,再利用待定系数法将已知数据代入表达式中,求得了一次函数的表达式,从而进一步解决了实际问题.【例2】某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式;(2)下滑3秒时物体的速度是多少?【答案】(1)设v=kt;∵点(2,5)在图象上,∴5=2k,k=2.5,∴v=2.5t(2)当t=3时,v=2.5×3=7.5 m/s.师:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤,求函数表达式的步骤有:(1)设一次函数y=kx+b.(2)根据已知条件列出有关方程.(3)解方程.(4)把求出的值代回到表达式中即可.师:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?生:正比例函数需要1个;一次函数需要2个.【例3】某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:(1)油箱最多可储油多少升?(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?(4)油箱中的剩余油量小于1 L时,摩托车将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警?【答案】观察图象,得(1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10 L.(2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500 km.(3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油.(4)当y=1时,x=450.因此,行驶450 km后,摩托车将自动报警.师:请同学们思考教材P92的“做一做”.学生观察并思考.生:(1)从图象中可以看出,当y=0时,x=-2;(2)这个函数的表达式为y=x+2.师:很好!那么你们知道方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1之间有什么联系吗?学生思考并讨论.教师总结:一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.三、课堂小结师:通过本节课的学习,同学们有什么收获?与同伴交流一下.学生发言,教师予以点评.第2课时一次函数的应用(2)教学目标【知识与技能】会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系,处理一些较为复杂的问题,领会数形结合的思想.【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程,体验数形结合的作用和一次函数模型的价值.【情感、态度与价值观】1.通过让学生经历用一次函数知识来建立实际问题的函数模型、解决实际问题的过程,使它们感受到数学的用途和数学与生活的紧密联系.2.让学生参与到教学活动中来,提高学习数学、应用数学的积极性.教学重难点【重点】用一次函数知识解决实际问题.【难点】获取一次函数图象中的信息,领会数形结合的思想.教学过程一、共同探究,获取新知问题1:某公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案一:没有底薪,只拿销售提成;方案二:底薪加销售提成.(注:销售提成是销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用).设销售商品的数量x(件),销售人员的月工资y(元),如图所示,y1为方案一的函数图象,y2为方案二的函数图象.从图中信息解答如下问题:(1)求y1的函数关系式;(2)求点A的坐标,并说出A点的实际意义;(3)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元?分析:(1)因为该函数图象过点(0,0),(30,720),所以该函数是正比例函数,利用待定系数法即可求解.(2)利用(1)中表达式,即可得出A点坐标.(3)把图象上点的坐标代入,即可求出b的值,从而求出答案.【答案】(1)设y1的函数表达式为y=kx(x≥0).∵y1经过点(30,720),∴30k=720.∴k=24.∴y1的函数表达式为y1=24x(x≥0).(2)根据图象可知x=50,把x=50代入y1=24x得:y1=24×50=1200,∴A(50,1200)当销售量为50件时两种方案工资相同,都是1200元.(3)设y2的函数表达式为y2=ax+b(x≥0),经过点(30,960),(50,1200)∴,解得:,∴b=600,即方案二中每月付给销售人员的底薪为600元.问题2:一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元,再加每月销售额的20%,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案?【答案】设月薪y(元),月销售额为x(元).方案甲:y=1500+x(x≥0)方案乙:y=750+x(x≥0)当y甲=y乙时,1500+x=750+x,解得x=7500.求得y甲=y乙=2250即销售额为7500元时,这两种方案所定的月薪相同.在同一坐标系中画出两种方案中y关于x的函数图象.由图象可知:当0≤x<7500,y甲>y乙,x>7500时,y甲<y乙.提问:说一说用图象的方法解决问题有哪些优点?二、例题讲解【例】我边防局接到情报,近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(图1).图2中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题:(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系?(2)A,B哪个速度快?(3)15 min内B能否追上A?(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?(5)当A逃到离海岸12n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截?(6)l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中,k1,k2的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的速度各是多少?【答案】(1)当t=0时,B距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.(2)t从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min,A行驶了2n mile,B行驶了5n mile,所以B的速度快.(3)延长l1,l2(图3),可以看出,当t=15时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15 min时B尚未追上A.(4)如图3,l1,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A.(5)图3中,l1与l2交点P的纵坐标小于12,这说明,在A逃入公海前,B能够追上A.(6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2n mile/min,快艇B的速度是0.5n mile/min.三、练习新知教师多媒体出示课件:小明步行离开家去上学,开始的速度是0.6 m/s,10分钟后发现快迟到了,加快了速度,以1.2m/s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校.1.求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度.2.请用函数图象描述小明走路的过程.教师引导学生思考交流,然后找一生板演,其余同学在下面做,订正得到:距离应为0.6×10×60+1.2×5×60=360+360=720(m),平均速度为720÷[(10+5)×60]=720÷900=0.8(m/s).教师多媒体出示图象:其中x表示小明离开家的时间,y表示小明离开家的距离.四、课堂小结师:本节我们学习了什么内容?生:对于实际问题,初步了解如何根据函数表达式和图象描出它的现实意义.。