8-1考虑并回答下面的问题：
（a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么
（b ）什么样的非线性元件是无记忆的什么样的非线性元件是有记忆的它们的描述函数各有什么特点
（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的有什么是不同的线性元件可以有描述函数吗非线性元件可以有传递函数吗
（d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗
8-2设非线性元件的输入、输出特性为
35135()()()()y t b x t b x t b x t =++
证明该非线性元件的描述函数为
2413535
()48
N A b b A b A =++
式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。
8-3某非线性元件的输入、输出特性如图所示。
图 习题8-3图
（a ）试求非线性元件的描述函数。
（b ）将图所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a ）中的结果相比较。
8-4滞环继电特性如图（a ）所示，证明它的描述函数可以表示为
4()arcsin M a N A A A π⎛⎫
=
∠ ⎪⎝⎭
且负倒描述函数的虚部为常值，负倒描述函数曲线如图（b ）所示。
（a ） （b ）
图 习题8-4图
8-5大对数控制系统的控制器后面都带有限幅器。
对图（a ）所示PI 调节器输出带有限幅器的情况，在输入信号发生大的阶跃变化时，系统输出将出现比较大的退饱和超调。
所谓退饱
和超调是指，在大的误差信号e 作用下，PI 调节器的输出将很快将到达饱和值，经限幅器限幅后控制作用u 维持在最大值max u 。
在max u 的作用下，输出c 逐渐增大，误差e 逐渐减小，但只要误差未改变符号，PI 调节器的积分项就将继续增大，0e =时积分项的值一般要远大于限幅器的限幅值max u 。
当输出超调以后，误差的符号变负，调节器积分项的值开始下降，但在一段时间内仍将维持在很大的数值上，因此会导致很大的超调。
为降低或消除上述系统的退饱和超调，可以有图（b ）或图（c ）所示的限幅器设计方案，可以保证调节器的积分项被限制在限幅值以内，试分别说明它们的工作原理。
（a ）
（b ）
（c ） 图 习题8-5图
8-6将图（a ）、（
b ）所示非线性系统简化成典型结构形式，并写出线性部分的传递函数。
（a ） （b ）
图 习题8-6图
8-7利用描述函数讨论下列系统的稳定性：
31
02
x x x x ++-=&&&&&&
8-8有滞环继电器特性的非线性系统如图所示，试用描述函数法分析系统周期运动的稳定性，确定它的振幅和频率。
图 习题8-8图
8-9有继电器特性的非线性系统如图所示。
（a ）试确定系统自激振荡的幅值和频率。
（b ）为消除自振，在综合点后串入比例微分调节器1s τ+，τ的最小取值是多少
图 习题8-9图
8-10带有继电非线性的控制系统如图。
（a ）已知当1M =，5K =，0τ=时，系统存在0.5ω=，16X π=的自激振荡，
试求1T 、2T 得值。
（b ）要消除系统的自振，引入微分反馈，问τ的取值和1T 、2T 的取值间应满足什么关系，才能达到目的
图 习题8-10图
8-11具有饱和特性的非线性系统如图所示。
（a ）设15K =，求此时系统自激振荡的幅值和频率。
（b ）要消除自振，K 的取值范围如何
图 习题8-11图
8-12有齿轮间隙特性的非线性系统如图所示，试确定系统为稳定时K 的取值范围。
45
图 习题8-12图
8-13有齿轮间隙特性的非线性系统如图所示。
45
图 习题8-13图
（a ）试在尼柯尔斯坐标下绘制系统线性传递函数的幅相特性曲线和负倒描述函数特性曲线。
（b ）根据（a ）中绘制的曲线确定系统自激振荡的幅值和频率。
（c ）如果系统串联传递函数为
10.8()10.4c s
G s s
+=
+
的超前校正网络，问能否消除自振
（d ）如果采用反馈校正，反馈校正的传递函数为
()10.4H s s =+
问能否消除自振
8-14考虑并回答下面的问题：
（a ）在相平面图上，横轴上方和横轴下方相轨迹的运动方向为什么总是一右一左 （b ）相轨迹总是垂直地通过横轴吗
（c ）通过相平面普通点的相轨迹只能有一条吗通过相平面奇点的相轨迹一定有两条以上吗 （d ）在奇点附近可以得到系统的线性化模型，在相平面上的任何一点是否也可以
8-15线性系统如图所示，试分别求取下列三种情况下变量e 的相轨迹方程，并绘制相轨迹，根据相轨迹作出相应的()e t 曲线。
图 习题8-15图
（a ）2b =，初始条件(0)3e =，(0)0e =&。
（b ）0.5b =，初始条件(0)3e =，(0)0e =&。
（c ）0b =，初始条件(0)1e =，(0)1e =&。
8-16试确定下列方程的奇点及其类型，用等倾线法绘制它们的相平面。
（a ）0x x x ++=&&&
（b ）sign 0x x x ++=&&&
（c ）sin 0x x +=&&
（d ）0x x +=&&
8-17试确定下列方程的奇点及其类型，概略绘制奇点附件的相轨迹。
（a ）2
(30.5)0x x x x x +-++=&
&&& （b ）0x xx
x ++=&&& （c ）2
0x x x ++=&
&& （d ）2
2
(0.53)0x x x x x +-++=&
&&&
8-18在图（a ）、（b ）所示的相轨迹图中，1和2比较哪个振荡周期短3和4比较哪个振荡周期短
y x
=
y x
=
（a ） （b ）
图 习题8-18图
8-19下列微分方程式是有名的范德波尔方程
2(1)0x x x x μ--+=&&&
试用等倾线法绘制0.2μ=时此方程式的相轨迹，并由此确定是否存在极限环。
8-20设非线性系统如图所示，设系统初始条件为零，()1()r t t =。
（a ）试在(,)e e &平面上绘制相轨迹图。
（b ）判断该系统是否稳定，最大稳态误差是多少
图 习题8-20图
8-21已知具有理想继电器的非线性系统如图所示。
（a ）用相平面法分析0d T =时系统的运动。
（b ）用相平面法分析0.5d T =时系统的运动，说明比例微分控制对改善系统性能的作用。
图 习题8-21图
8-22试描述函数法和相平面法分析图所示非线性系统的稳定性及自振。
图 习题8-22图
8-23二阶系统的微分方程描述为
2x
y y
y x u ==-+&&
式中，x 为系统的输出，u 为控制作用。
控制作用u 由下述切换函数决定
4,(0.5)0
4,(0.5)0
x x x y u x x x y -+>⎧=⎨
+<⎩当当 （a ）根据切换函数对(,)x y 相平面进行分区，讨论各分区奇点的位置和性质。
（b ）绘制(,)x y 相平面上系统的相轨迹图。
（c ）根据相轨迹图，讨论相平面原点的稳定性。
8-24非线性系统的方框图如图所示，系统初始状态为零，局部反馈增益0.5β=，
()51()r t t =⋅。
（a ）设0β=，没有局部反馈，在(,)e e &相平面上绘制出系统阶跃响应的相轨迹。
（b ）设0.5β=，有局部反馈，在(,)e e &相平面上绘制出系统阶跃响应的相轨迹。
（c ）在哪种情况下系统可以最终得到稳定的误差响应稳态误差ss e =()e t 最终一段时间是按照何种规律趋于ss e 的
c
图 习题8-24图
8-25对系统
kx
t u t u x
x ==+)()(&&&
（a ）讨论当1=k 和1-=k 时它的稳定性，绘制两种情况下系统在(,)x x &相平面上的相轨迹。
（b ）若按下述规律
⎩⎨
⎧<+>+-=0
)(1
)(1
x x x x x x k &&当当 改变k 值时，用相平面分析方法说明系统原点是大范围内渐近稳定的。
指出初态在相平面上
的哪个区域时，系统响应x 和x &至多改变符号一次，在哪个区域时，系统响应无振荡。
8-26非线性系统如图所示。
（a ）设2
()1G s s =，试确定阶跃输入下没有过调且响应时间最短的非线性环节N 。
（b ）设]()1(1)G s s s =+，试确定阶跃输入下没有过调且响应时间最短的非线性环节N 。
(,)
N e e
图习题8-26图。
