4-9 凑微分法

基本积分表（1)kdx kx C =+⎰ (k 是常数)(2)1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠- (3)1ln ||dx x C x =+⎰(4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ (5）arcsin x C =+⎰(６)cos sin xdx x C =+⎰ （７)sin cos xdx x C =-+⎰(８）21tan cos dx x C x =+⎰（9)21cot sin dx x C x=-+⎰(10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12)x x e dx e C =+⎰(１3)ln xxa a dx C a=+⎰,(0,1)a a >≠且 （１4)shxdx chx C =+⎰ （1５）chxdx shx C =+⎰ (1６)2211tan xdx arc C a x a a=++⎰(17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18)sinxarc C a=+(19）ln(x C =+（20)ln |x C =+(２1)tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ (２2）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （２4）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注:1、从导数基本公式可得前１5个积分公式，(１６）-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数.３、复习三角函数公式:2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=, 21cos 2sin 2xx -=。

注:由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程,所以第一类换元法也叫凑微分法．此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

第三节 换元积分法—1凑微分法一、第一换元法（凑微分法）1、凑常数——c b ax F ab ax d b ax f a dx b ax f ++=++=+⎰⎰)(1)()(1)( 引例 求⎰.2cos xdx解： 基本公式中只有⎰xdx cos ，但x 2cos 是复合函数可以看作是x u u u f 2,cos )(==复合而成，又dx du 2=， 所以考虑积分⎰xdx 2cos 转化为⎰udu cos 21， 而⎰udu cos 就是积分基本公式。

令x u 2= 得c x c u udu udu xdx +=+===⎰⎰⎰2sin 21sin 21cos 21cos 212cos 公式：c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=++=+⎰⎰)(1)()(1)( 即)(1b ax d a dx +=小结：此类题特征是：变量要一致，变形要恒等。

例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin ② dx x ⎰+3)21( )21()21(213x d x ++=⎰c x ++=4)21(81 指出：dx x ⎰-321、、()(1)m ax b dx m +≠-⎰解法相同。

③ c x x d x dx x +=+=+⎰⎰3arctan 313)3(113191122 ()()22211arctan 1d x a dx x C a x a a a x a ⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭+⎰⎰（作为公式用）练习： c x x d x dx x +=+=+⎰⎰3arctan 3)3(1131913122④arcsin x C a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（作为公式用） 练习：⎰-dx x 241 ○5c x x d x dx x ++=++=+⎰⎰12ln 21)12(12121121强调：要善于归纳题型，抓住特征解题。

全微分凑微分法全微分凑微分法是微积分中的一种常见方法，用于求解函数的微分。

它通过将函数表示成不同变量之间的关系，并使用凑微分的方法，将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。

全微分凑微分法的基本思想是，将函数表示成各个变量之间的关系式，然后对该关系式进行微分。

具体步骤如下：1. 将函数表示成各个变量之间的关系式。

假设有一个函数f(x, y, z)，我们可以将其表示为x、y和z的关系式，如x^2+y^2+z^2=1。

2. 对关系式进行微分。

对上述关系式两边同时求微分，得到2x*dx + 2y*dy + 2z*dz = 0。

3. 将微分表示为各个变量的微分的和。

根据全微分的定义，我们知道dx、dy和dz分别代表x、y和z的微小变化量。

因此，我们可以将上述微分表示为dx = -y*dx/x - z*dz/x，dy = -x*dy/y - z*dz/y，dz = -x*dx/z - y*dy/z。

4. 对微分进行积分。

将上述微分进行积分，就可以得到函数f(x, y, z)的微分形式。

通过对每个变量的微分进行积分，我们可以得到函数在每个变量上的微分。

全微分凑微分法的优点是可以将复杂的函数表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。

它适用于各种类型的函数，包括多元函数、隐函数和参数方程等。

然而，全微分凑微分法也有一定的局限性。

首先，它要求函数可以表示为各个变量之间的关系式，因此对于一些复杂的函数，可能无法直接应用该方法。

其次，全微分凑微分法在求解过程中需要进行多次积分，可能会增加计算的复杂性。

全微分凑微分法是微积分中一种常见的求解函数微分的方法。

通过将函数表示为各个变量的关系式，并使用凑微分的方法，可以将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。

然而，该方法也有一定的局限性，需要对函数进行适当的变换和积分，才能得到最终的微分形式。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方法来求解函数的微分。

凑微分的做题步骤
凑微分的做题步骤：
1. 首先，要明确题目所给函数，以及需要凑微分的形式。

2. 寻找合适的凑微分因子。

通常来说，凑微分因子是可以将要凑微分的式子中的某一部分提取出来，并且剩余部分能够组成完整的微分形式。

3. 将凑微分因子与要凑微分的式子相乘，并进行化简。

4. 根据凑微分的定义，将凑微分后的式子进行积分。

5. 利用积分后的结果，再次应用凑微分的思想，将式子继续化简。

6. 重复步骤3 - 5，直到得到所需的结果。

需要注意的是，凑微分的过程需要根据具体的题目情况灵活运用，有时需要多次尝试和变形才能寻找到合适的凑微分因子。

另外，解题过程中需对函数的性质有一定的了解，如函数的可导性、连续性等。

积分凑微分公式
凑微分法公式是dt=dx^2=2xdx，凑微分法是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

与公式不同，但有些相似，可以考虑是否把dx变换成du 的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数，变换成u的函数，使积分式符合公式形式。

积分在整体二元函数的下限，也可以成为一个二元操作符，可以理解∫[A，B]F(X)DX=A*B，其中，作为积分计算。

不定积分可以被看作是一种计算，但最后的结果不是一个数字，而是的一类函数可积函数的集合(原来的功能是基本功能)有一个很奇妙的公式∫[A，B]F(X)DX=F(B)-F(A)。

凑微分法一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x)dy/dxdf(x)/dx等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)=df(x)/dx再加以变形可得f′(x)dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。

（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)=2d(x)例题二：d(e^x)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)=e^xdx因为做题目的时候，往往是告诉你们e^xdx要你们求d(e^x)。

我再举一个凑微分法的事例:例题三：12dx x=-⎰解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d后面去。

所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。

具体的实例就不举了，多操作。

下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。

所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。

根据已知的不定积分公式我们可以知道：1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。

不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。

这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。

不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。

具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。

例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。

2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。

例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。

3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。

例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。

不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。

在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。

不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。

因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。

不定积分的凑微分法
凑微分法是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，,是换元积分法中的一种方法。

有时需要积分的式子与固定的积分公式不同，但有些相似，这时，我们就可以考虑是否把dx变换成du的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数变换成u 的函数，使积分式符合积分公式形式。

这样，就很方便的进行积分，再变换成x的形式。

凑微分法的基本思想为：
举个例子：求∫cos3XdX。

观察这个式子，发现它与积分公式∫cosXdX相似；
而积分公式∫cosXdX=sinX+C（C为常数）；
因此，此时可以利用凑微分法将∫cos3XdX转化为∫cosXdX的形式；
转化时，设：u=3X，则du=3dX；
∫cos3XdX=∫(cos3X)/3d(3X)=(1/3)∫cosudu；
因为∫cosudu=sinu+C，所以∫cos3XdX=1/3sinu+C；
将3X代回式中，可得：∫cos3XdX=1/3sin3X+C。

扩展资料：
凑微分法的计算步骤：
1、观察待求函数积分，找到与其相似的对应积分公式；
2、引入中间变量，作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式；
3、把原来的被积表达式变成较简易的不定积分。

；
4、新的被积表达式与对应积分公式形式一致，依照公式直接得出结果；
5、将中间变量替换成原变量，代入结果中，得到最终目标函数。

定积分的凑微分法公式
是微积分中的一类积分办法。

对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。

的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。

一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。

一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。

分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。

2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。

3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。

定积分凑微分法
“定积分凑微分法”作为当今建筑设计行业中重要的数学方法，广泛应用于日常的设计中。

它建立在微积分的基础上，可以在设计过程中准确的计算它们之间的关系，从而得出塑性力学下实体的位移、速度和加速度等物理量。

定积分凑微分法受到建筑学界的广泛重视，由于其在设计过程中，可以准确的模拟结构的尺度变化，并积累更多的工程经验和技术参数，为工程施工提供必要的参考标准。

定积分凑微分法有着十分重要的作用，它可以用来分析建筑结构与外部力学荷载的相互作用，从而判断出建筑结构设计的预期安全性及稳定性。

将建筑模型和力学模型混合起来，以达到检查结构设计的预期效果，也可以更加合理地分析建筑物的构成，并以此为基础，制定出更科学的建筑设计法则。

同时，定积分凑微分法也可以用于检验建筑物的耐久性。

它可以根据构造物的材料性能和物理参数，准确分析建筑物结构在多种冲击力下的变形及变形承载力，这有助于提高工程施工的效率，并为工程施工预防意外，降低发生灾难的可能性奠定充分的基础。

总之，定积分凑微分法不仅可以帮助建筑设计师有效模拟建筑物的结构，而且对于工程施工和建筑物的维护保养也起到了重要作用。

它的实用性和丰富性，让它在建筑领域逐步担纲重任，获得了广泛赞誉。

不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例1 cos x x e e dx ⎰（x x e dx de =） cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.二、不定积分的凑微分举例例1. 求下列积分：（1）3x e dx ⎰；（2）112dx x -⎰； (3) .解（1）3x e dx ⎰ 3133x e d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x-⎰ ()1112212d x x=---⎰ 1ln 122x C =--+；（3）2=22csc =⎰C =-.例2. 求下列积分： (1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰； 解 (1)1ln dx x x ⎰1ln ln d x x=⎰ ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xxe dx e +⎰ 11x x de e=+⎰ 1(1)1x x d e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰ sin cos x dx x=⎰ 1cos cos d x x=-⎰ ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------可做不定积分公式； 类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------可做不定积分公式综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题1. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.练习题1.用凑微分法计算下列积分：（1）cos 2xdx ⎰；（2）1x dx e ⎰； （3）（4）5sin cos x xdx ⎰；（5）； .练习题1.答案（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰1sin 22x C =+；（2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =；（4）5sin cos x xdx ⎰ 5sin sin xd x =⎰ 61sin 6x C =+；（5）= ()arcsin ln x C =+；。

不定积分的求解技巧凑微分法不定积分的求解技巧之一是凑微分法。

凑微分法是一种通过巧妙地凑微分项的方式，将被积函数转化为可直接求积的形式。

下面将详细介绍凑微分法的原理和应用。

一、凑微分法的原理凑微分法的基本思想是通过变换被积函数，使得被积函数的微分形式出现在被积函数之外，在求积的过程中可以直接被积。

相当于将被积函数分解为两个部分，一个部分是可直接求积的微分形式，另一个部分则是凑出的微分项。

通过凑出的微分项，将原函数的微分项和凑出的微分项相加，得到一个新的函数，即可进行直接求积。

二、常用的凑微分法技巧1. 一元一次方程凑微分法对于一元一次方程形式的被积函数，可以通过凑微分法直接求积。

例如，对于被积函数f(x)=(ax+b)^n (n为整数)，可以利用代换u=ax+b，然后求u的微分，再在原函数中用u替换为x，即可得到新的被积函数。

在求积的过程中，可以发现新的被积函数的微分形式是常见的可直接求积的形式。

2. 分式凑微分法对于被积函数是分式形式的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。

例如，对于被积函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是两个多项式，Q(x)的次数大于P(x)的次数。

可以通过凑微分法，将被积函数分解为部分分式的形式。

然后将分解后的每一项进行分解，得到新的被积函数，即可进行直接求积。

3. 完全微分凑微分法对于被积函数是完全微分的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。

例如，对于被积函数f(x,y) = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy，其中u(x,y)为某个函数。

可以根据求导的规则，将被积函数进行求导并整理，得到被积函数的微分形式。

然后将微分形式中的各项进行凑微分，得到新的被积函数，即可进行直接求积。

三、凑微分法的应用凑微分法在求解不定积分中有广泛的应用。

通过凑微分法，可以将被积函数转化为可直接求积的形式，从而简化求积的过程。

凑微分法常用于多项式函数、分式函数和特殊函数等形式的不定积分的求解中。

不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是求不定积分的一种常用方法。

该方法的核心思想是运用代数技巧，将被积函数化简为可直接求解的形式，从而便于求取不定积分。

在实际应用中，不定积分凑微分可以解决一些特定形式的不定积分问题，如有理函数、有理函数的积、和、复合函数、分部积分等。

下面将详细介绍不定积分凑微分法的原理、思路和具体步骤。

一、不定积分凑微分法的原理和思路不定积分凑微分法是利用代数变换，通过凑微分将原函数化简为易于求积的形式。

其原理基于微分的性质，即如果存在一个函数u(x)，满足du(x)=f(x)dx，则能够得到f(x)dx=du(x)，从而将被积函数化简。

该方法的思路可以概括为以下几个步骤：1.首先观察被积函数，尝试找到一个可以直接求积的函数作为凑微分的基本形式。

2. 推测一个可以凑微分的函数u(x)，并计算出它的微分du(x)。

3. 将原函数中的部分项乘以1，即du(x)/du(x)，并将这个1用u(x)表示。

4. 将原函数中凑出的du(x)用u(x)表示，并将原函数中的其他部分用u(x)表示。

5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。

二、不定积分凑微分法具体步骤具体求解不定积分的凑微分法步骤如下：1.观察原函数，尝试找到可以求积的基本形式。

常见的基本形式包括一元多项式、指数函数、三角函数等。

2. 根据被积函数的形式，选择一个适合的凑微分函数u(x)。

通常情况下，选择凑微分函数时要考虑它的微分du(x)，以及被积函数的部分项是否能够通过凑微分函数u(x)来表示。

3. 计算凑微分函数u(x)的微分du(x)，并将被积函数中的dx用du(x)表示。

4.将原函数中对应凑微分函数u(x)的部分用u(x)表示，将原函数中的其他部分用u(x)表示。

5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。

三、不定积分凑微分法的应用举例1.凑微分简化幂函数的积分考虑不定积分∫x^2/(x+1)dx。

这是一个幂函数的积分，我们可以选择凑微分函数u(x)=x+1，计算它的微分du(x)。

凑微分法、换元法英文【实用版】目录1.凑微分法简介2.凑微分法的应用3.换元法的简介4.换元法的应用5.凑微分法和换元法的异同正文一、凑微分法简介凑微分法，又称为变量代换法，是一种求解微分方程的数值方法。

它是通过引入一个（或多个）新的变量，将原微分方程转化为关于新变量的微分方程，然后求解新变量的微分方程得到原变量的解。

凑微分法具有简单、易于实现等优点，适用于许多实际问题。

二、凑微分法的应用凑微分法广泛应用于各种微分方程的求解中，如常微分方程、偏微分方程等。

例如，求解如下一阶微分方程：y" + 2y = 0，通过引入新变量 x = y，将原方程转化为关于 x 的微分方程：x" + 2x = 0，解得 x =C*exp(-2t)，再带回原变量 y，得到 y = C*exp(-2t)。

三、换元法的简介换元法，又称为变量替换法，也是一种求解微分方程的数值方法。

它是通过引入一个（或多个）新的变量，将原微分方程转化为关于新变量的微分方程，然后求解新变量的微分方程得到原变量的解。

换元法与凑微分法类似，但换元法通常用于简化微分方程的形式，使其更易于求解。

四、换元法的应用换元法同样广泛应用于各种微分方程的求解中。

例如，求解如下一阶微分方程：x" + 1/x = 0，通过引入新变量 y = x^2，将原方程转化为关于 y 的微分方程：y" + 1/y = 0，解得 y = C*exp(-t)，再带回原变量 x，得到 x = sqrt(C*exp(-t))。

五、凑微分法和换元法的异同凑微分法和换元法在求解微分方程时，都是通过引入新变量来简化原方程，但它们的目的和应用场景略有不同。

凑微分法更注重于将原方程转化为关于新变量的微分方程，适用于求解较复杂的微分方程；而换元法更注重于简化原方程的形式，使其更易于求解，适用于求解具有一定规律的微分方程。