精品初中数学说课《角平分线 第一课时》课件(北师大版)

归纳 到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
练一练
1. 如图 , △ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证 明 ： 过 点 P 作 PD⊥AB 于 D ， A PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ND M P F ∵BM是△ ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM上, B E ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
M D C F A E B N
3.如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的 距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个 广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
S
练习2 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求 证：EB =FC． A
A
D
1 2
P
C
E
B
（4）得到角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等。 利用此性质怎样书写推理过程?
A
D O
1 2
P
C
E
B
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
探究点二
角平分线的判定
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

PD PE 全等三角形的对应边相
1 2
等
P
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
A
∵ OP平分∠AOB,
A
D
PD⊥OA,PE⊥OB,
P
1
∴ PD=PE
O
2
A
E B
老师提示：这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一。
在 AB 中 C ， C90 ， B平 D 分 AB , C D EA于 BE,若 D C2，D 则 E 2
B
BC 3， 0CD :D B2:3， 则D 点 到 A的 B 距离 ( B )为
C D
A.18 B.12
C.15 D.不能确定
A
B
二。填空题（耐心填一填）
B
1.已知，如 AO图 PBOP15，
C
PC//O,APDOA 于点 D,如果 PC4，
则PD
2
O
2.如图，A 已B是 知 C 直角三角 C形 90， ， BD 平分 AB,C AB10cm,CD2cm,则
PEC PFDAAS
PE PF OP平分AOB
2.已知：如图 A， BC 中 在， AD是它的角平分线， DEAB于E,DFAC于F,且BDCD, 求证E：BFC.
A
证明： AD平分BAC, DE AB, DF AC,
DE DF
又DEB DFC 90
DE DF, BD CD
E
F
RtDEB RtDFCHL
SABD 10cm2
B
P
D
A
A
D C
三。再展英姿
A
1.已知：如 P是 图 AO 内 ， B部 点的P一 C P点 ,DE，

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4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为
R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是( A )
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.全对
课堂检测
能力提升题
1.4 角平分线/
1、如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的 面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=____2__cm.
课堂检测
1.4 角平分线/
能力提升题
2、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC
于H;如果∠ABC=60°,
则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④
∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 ( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
课堂检测
拓广探索题
1.4 角平分线/
S
D
C
素养目标
1.4 角平分线/
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问 题.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质 定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.
探究新知
1.4 角平分线/
知识点1 角平分线的性质定理
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
解： CPDB PD PB DB
PC PB DB
A
BC DB AD DB
AB 14
B D
P
C =
课堂小结 性质定理

则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.

在△PDO和△PEO中， ∵ ∠DOP＝∠EOP（已知），
1 O2
P C
∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ∴△PDO≌△PEO（AAS）．
E B
∴ PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．
几何语言
1、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 _____。
如图,
∵OC是∠AOB的平分线,
A D
1
P
2
Hale Waihona Puke CE B老师提示:这个结论又是经常用来证明点
在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
3、请完成P29随堂练习题1（用符号语 言表示结论及其理由）
4、已知:如图,在△ABE中,AD是它的角 平分线,且BD=CD,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足 分别是E,F. 求证:EB=FC.
E B
A
F C
△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线
上，以上结论中，正确的是（ ）
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①、②与③
第6题
第7题
8、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作 PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝600，OC＝4，则点P到 OA的距离PD等于_____． （选做）
MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.
6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，
DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（
）
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
7.如下图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①

4.角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
1．角平分线的性质定理 探究： 如图 1，条件：①OP 平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：__H_M___＝__H__N__. 归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相__等__．
图1
2．角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角
图6 答案：略
线段垂直平分线与角平分线的区别与联系： (1)都有“平分、距离相等”的特点． (2)线段的垂直平分线是一条直线；角平分线是一条射线． (3)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距 离相等，三角形角平分线的交点到三边的距离相等．
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