地下水运动中计算
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最新地下水运动中计算
地下水运动中计算地下水运动中的专门问题§6.l 非饱和带的地下水运动在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。
在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。
例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。
入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。
其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。
因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。
6.1.1 非饱和带水分的基本知识1. 含水率、饱和度和田间持水量在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。
水分和空气的相对份量是变化的。
可以用二个变量来表示水分含量的多少。
—为含水率θ，表示单位体积中所占的体积：(6-1)式中，θ为含水率，无量纲；(V w )0为典型单元体中水的体积；V 0为典型单元体的体积；另—个为饱和度S w ，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：(6-2)式中，S w 为饱和度，无量纲；(V 0) 0为典型单元体中的空隙体积。
显然，含水率θ不能大于空隙度n 。
而饱和度S w 不能大于1。
两者之间有下列关系：θ＝nS w (6-3)因为利用了典型单元体的概念．上述定义对于任一点都是适用的。
在长时间重力排水后仍然保留在土中的水量称为田间持水量。
此时，水以簿膜水的形式和在颗粒接触点附近以孤立的悬挂环形式存在。
从图6-1可以看出，空隙度减去田间持水量，相当于排水空隙度，即排水时的有效空隙度。
2．毛管压力当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。
此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差p c 称为毛管压强：w a c p p p -= (6-4)式中，a p ——空气的压强，w p ——水的乐压强。
地下水运动中计算
地下水运动中的专门问题§6.l 非饱和带的地下水运动在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。
在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。
例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。
入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。
其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。
因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。
6.1.1 非饱和带水分的基本知识1. 含水率、饱和度和田间持水量在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。
水分和空气的相对份量是变化的。
可以用二个变量来表示水分含量的多少。
—为含水率θ，表示单位体积中所占的体积：(6-1)式中，θ为含水率，无量纲；(V w )0为典型单元体中水的体积；V 0为典型单元体的体积；另—个为饱和度S w ，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：(6-2)式中，S w 为饱和度，无量纲；(V 0) 0为典型单元体中的空隙体积。
显然，含水率θ不能大于空隙度n 。
而饱和度S w 不能大于1。
两者之间有下列关系：θ＝nS w (6-3)因为利用了典型单元体的概念．上述定义对于任一点都是适用的。
在长时间重力排水后仍然保留在土中的水量称为田间持水量。
此时，水以簿膜水的形式和在颗粒接触点附近以孤立的悬挂环形式存在。
从图6-1可以看出，空隙度减去田间持水量，相当于排水空隙度，即排水时的有效空隙度。
2．毛管压力当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。
此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差p c 称为毛管压强：w a c p p p -=(6-4)式中，a p ——空气的压强，w p ——水的乐压强。
地下水动力学试题
地下水动力学《邹力芝》部分试题姜太公编一、名词解释1.渗透重力地下水在岩石空隙中的运动2.渗流不考虑骨架的存在，整个渗流区都被水充满，不考虑单个孔隙的地下水的运动状况，考虑地下水的整体运动方向，这是一个假想的水流。
3. 渗流量单位时间通过的过水断面（空隙、骨架）的地下水的体积。
4. 渗流速度单位通过过水断面（空隙、骨架）的渗流量。
5. 稳定流非稳定流渗流要素不随时间的变化而变化。
渗流要素随时间而变化。
6. 均匀流非均匀流渗流速度不随空间而变化。
非均匀流分为缓变流和急变流缓变流：过水断面近似平面满足静水压强方程。
急变流：流线弯曲程度大，流线不能近似看成直线过水断面不能近似平面。
7.渗透系数表征含水量的能力的参数。
数值上等于水力梯度为1的流速的大小8.导水系数水力梯度为1时，通过整个含水层厚度的单宽流量。
9.弹性释水理论含水层骨架压密和水的膨胀释放出来的地下水的现象为弹性释水现象，反之为含水层的贮水现象。
10.贮水系数《率》当承压含水层水头下降（上升）一个单位时，从单位水平面积《体积》的含水层贮体积中，由于水体积的膨胀（压缩）和含水层骨架压密（回弹）所释放（贮存）的地下水的体积。
11.重力给水度在潜水含水层中，当水位下降一个单位时，从单位水平面积的含水层贮体中，由于重力疏干而释放地下水的体积。
二、填空题1.地下水动力学是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石、和岩溶岩石中运动规律的科学。
通常把具有连通性的含水岩石称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为骨架。
多孔介质的特点是多相性、孔隙性、连通性和压缩性。
2.地下水在多孔介质中存在的主要形式有吸着水、薄膜水、毛管水和重力水，而地下水动力学主要研究重力水的运动规律。
3.假想水流的密度、粘滞性、运动时在含水层的中所受阻力以及流量和水头都与真实的水流相同，假想水流充满整个含水层的空间。
4.在渗流中，水头一般是指测压水头，不同的数值的等水头面（线）永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于水头梯度值，方向沿着等水头面的法线指向水头降低的方向的矢量，称为水力梯度。
第二章 地下水运动的基本微分方程及求解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及求解条件一、填空题1. 渗流连续方程是质量守恒定律在地下水运动中的具体表现。
2. 地下水运动基本微分方程实际上是地下水水量均衡方程，方程的左端表示单位时间内从水平方向和垂直方向进入单元含水层内的净水量，右端表示单元含水层在单位时间内质量变化量。
3. 越流因素Ｂ越大，则说明弱透水层的厚度越大，其渗透系数越小，越流量就越小。
4. 单位面积(或单位柱体)含水层是指底面积为一个单位，高等于含水层厚度柱体含水层。
5. 在渗流场中边界类型主要分为水头边界、流量边界以及混合边界。
二、判断题1. 地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。
(√)2. 潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。
(√ )3. 在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。
(×)4. 越流因素B和越流系数σ都是描述越流能力的参数。
(√)5. 在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可作为第一类边界，也可作为第二类边界处理。
(√)6. 凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界作为第一类边界处理。
(×)7. 同一时刻在潜水井流的观测孔中，测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。
(√)三、分析建模题1. 一口井位于无限分布的均质、各向同性潜水含水层中，初始时刻潜水水位在水平不透水底板以上高度为H 0（x ，y ），试写出下列两种情况下地下水流向井的非稳定流数学模型（已知水流为二维非稳定流）。
（1）井的抽水量Q w 保持不变；解：数学模型如下t H K K Q y H H y x H H x W ∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0③ Wr Q n HT W π2-=∂∂Γ；（x,y ）∈Γw,t>0（Γw 为井壁） （2）井中水位H w 保持不变。
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
水文地质参数计算公式
水文地质参数计算公式水文地质参数是指在水文地质调查中通过采集和分析水文地质数据所得到的一系列参数指标，用于描述地下水的含水层性质和地下水运动规律，是研究地下水资源开发利用和环境保护的重要依据。
常见的水文地质参数包括压力系数、渗透系数、有效孔隙度、地下水涌泉速度等。
压力系数是指地下水压力与深度之比。
通常参考大量的水井资料计算得到，可以通过以下公式计算：P = ρgh其中，P为地下水压力（单位：帕），ρ为水的密度（单位：千克/立方米），g为重力加速度（单位：米/秒的平方），h为地下水埋深（单位：米）。
渗透系数是指单位时间内，单位毛管头差下，单位面积上地下水通过含水层的能力。
可以通过以下公式计算：k=qL/(At)其中，k为渗透系数（单位：米/秒），q为单位时间内通过含水层单位面积的水流量（单位：立方米/秒），L为毛管头差（单位：米），A为含水层截面积（单位：平方米），t为时间（单位：秒）。
有效孔隙度表示岩石或土壤中所含明显的和普遍存在的有益于地下水储存和运动的微小空隙的相对比例。
可以通过以下公式计算：n=(Vv/Vt)*100%其中，n为有效孔隙度（单位：%），Vv为有效孔隙体积（单位：立方米），Vt为总体积（单位：立方米）。
地下水涌泉速度是指单位时间内从地下储层出流的地下水量与地下储层的面积之比。
可以通过以下公式计算：Q=Aq其中，Q为地下水涌泉速度（单位：立方米/秒），A为出水面积（单位：平方米），q为单位时间内流出地下水量（单位：立方米/秒）。
除了以上所述的水文地质参数，还有一些重要的参数，如渗透率、含水层厚度、孔隙度、地下水补给量等，具体的计算公式可以根据不同的研究目的和数据条件来选择和应用。
水文地质参数的计算需要借助于有关的实测数据和地质勘探资料，能够提供科学、准确的参数数据，为地下水资源开发和管理提供科学依据。
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件一、填空题1．渗流连续方程是在地下水运动中的具体表现。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程。
3．地下水运动基本微分方程实际上是方程，方程的左端表示单位时间内从方向和方向进入单元含水层的净水量，右端表示单元含水层在单位时间。
4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内的渗流规律，它们的物理意义分别表示任一、的水量均衡方程。
5．裘布依假设的要点是，实际上意味着是铅直的，流线以及没有。
6．单位面积（或单位柱体）含水层是指，高等于柱体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头时，从含水层中由于水，以及介质骨架的，而释放（贮存）的水量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层不同，前者是，后者是，二是释放出不同，前者有疏干重力水和弹性水量，后者则完全是水量。
8．在渗流场中边界类型主要分为、以及。
二、判断题1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（）2．贮水率μt=ρg(α+nβ)也适用于潜水含水层。
（）3．贮水率只用于三维流微分方程。
（）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（）5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
（）6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（）7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水度μ大，水位上升大，μ小，水位上升小，在蒸发期时，μ大，水位下降大，μ小，水位下降小。
（）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（ ）9．地下水三维流基本微分方程div (K·gradH) =/s H t μ=∂∂既适用于承压水也适用于潜水。
（ ） 10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水层的水量均衡方程。
（ ）11．在潜水含水层中当忽略其弹性释水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都怀其稳定流方程相同。
地下水渗流基本方程及数学模型总结
方程右端项：
( nz ) z H H [ (1 e) e ] t 1 e t t H z ( n ) t
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第三步：方程的左端项=方程的右端项
H H H (K xx ) (K yy ) (K zz ) xyz x x y y z z H z( n ) xy t
（二）含水层的状态方程
根据Terzaghi有效应力公式：水压力p减少，将引起含 水层状态发生哪些变化？ p减少 p减少 地下水体积膨胀，从而释放出一部分地下水； 地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，
这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，有效应力增大 ，压缩多孔介质（固体+空隙），结果使含水层空隙度 n变小、介质挤密、厚度变薄，从孔隙中（挤压）释放 一部分地下水；
（二）含水层的状态方程 含水层的弹性存储
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维 变形，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。 含水层上覆（岩土体、地表建筑物和大气压力等）荷载形成的总压应 力由固体颗粒粒间应力的垂向分量s和孔隙水压力p两者来平衡。
测压水头
p hp
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第二步：化简方程右端项：
e e e p H 根据 (1 e)和dp dH , 得 (1 e) p t p t t d p H 根据 和dp dH , 得 dp t p t t
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第一步：化简方程左端项： 由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视 ρ 近似不变：
( v x ) H ( K xx ) x x x H H K xx K xx x x x x H H [ K xx (K xx )] x x x x
渗流力学复习题
1. 地下水动力学：是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石、和喀斯特岩石中运动规律的科学。
它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运移过程,对地下水从数量和质量上进行定量评价和合理开发利用，以及兴利除害的理论基础。
2.流量:单位时间通过过水断面的水量称为通过该断面的渗流量。
3. 渗流：逸度假设水流通过整个岩层断面(骨架+空隙)时所具有的虚拟平均流速，定义为通过单位过水断面面积的流量。
4.渗流场：发生渗流的区域称为渗流场。
是由固体骨架和岩石空隙中的水两部分组成。
5.层次:水质点作有联序，互不混杂的施动。
6.素流:水质点作无秩序、互相混杂的流动。
7.稳定流与非稳定流：若流场中所有空间点上-切运动要素都不随时间改变时.称力稳定流。
否则称为非稳定流。
8.雷诺数:表征运动流体质点所曼惯性力和粘性力的比值。
9.雷诺数的物理意义:水流的惯性力与黏滞力之比。
10.渗透系数:在各项同性介质(均质)中,用单位水力梯度下单位面职上的流量表示流体通过孔隙骨架的难易程度,称之为渗透系数。
11.流网:在渗流场中.由流线和等水头线组成的网络称力流网。
12.折射现象:地下水在非均质岩层中运动,当水流通过渗透系数突变的分界面时.出现流线改变方向的现象。
13.裘布依假设:绝大多数地下水具有缓变流的特点。
14.完墓井:贯穿整个含水层,在全部含水层厚度上都安装有过滤器并能全断面进水的并。
15.非完整井:未揭穿整个含水层.只有井底和含水层的部分厚度上能进水或迸水部分仅揭穿部分含水层的井。
16.水位降溧:抽水井及其周围某时刻的水头比初始水头的降低值。
17.水位降落漏斗:抽水井周国由抽水(排水)而形成的漏斗状水头(水位)下降区,称为降落后斗。
18.影响半铿:是从抽水井到实际观测不到水位降深处的径向距离。
19.有效井半镘:迪井轴到井管外壁某-点的水平距离。
在该点。
按稳定流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深。
20.井损水流经过滤器的水头损失和在井内向上运动至水泵吸水口时的水头损失,统称为井21.水跃:在实验室砂槽中进行并流模拟实验时发现，只有当井中水位降低非常小时.抽水井中的水位与井壁外的水位才基本-致.当井中水位降低较大时，抽水井中的水位与井壁外的水位之间存在差值的现象。
地下水动力学
地下⽔动⼒学地下⽔动⼒学要点总结By Zero渗流：地下⽔在岩⽯空隙中或是多孔介质中的流动有效空隙：地下⽔动⼒学中将互相连通的，不为结合⽔所占据的部分空隙叫做有效空隙储⽔系数：表⽰⾯积为1个单位，厚度为整个承压含⽔层的含⽔层柱体，当⽔头改变⼀个单位时，所储存或是释放的⽔量，⽆量纲。
储⽔率：表⽰⾯积为1个单位的承压含⽔层，当厚度为1个单位的时候，⽔头下降⼀个单位时所能释放的⽔量。
给⽔度：是含⽔层的释⽔能⼒。
表⽰单位⾯积的含⽔层，当潜⽔⾯下降⼀个单位长度时在重⼒作⽤下能释放出⽔量。
地下⽔的总⽔头：即地下⽔的总机械能H=Z+P/r⽔⼒坡度：地下⽔动⼒学中，⼤⼩等于梯度值，⽅向沿等⽔头⾯法线所指向的⽔头下降⽅向的⽮量称⽔⼒坡度。
地下⽔流态：包括[层流]、[紊流]，判别流态⽤[雷诺数RE判别]Darcy定律的适⽤范围：[在雷诺数RE<1~10之间的某个数值时，即粘滞⼒占优势的层流运动]渗透系数（K）：表⽰岩⼟透⽔性能的数量指标。
亦称⽔⼒传导度。
可由达西定律求得：q=KI影响渗透系数的因素：空隙⼤⼩、岩⽯的⾃⾝的性质、渗透液体的物理性质（容重、黏滞性等）渗透率：是表征⼟或岩⽯本⾝传导液体能⼒的参数导⽔系数：即T=KM,它的物理含义是⽔⼒坡度等于1时，通过整个含⽔层厚度的单宽流量。
导⽔系数的概念只能⽤于⼆维的地下⽔流动不能⽤于三维。
岩层透⽔特征的分类：均质、⾮均质、各向同性、各向异性均质：在渗流场中，所有点都具有相同的渗透系数，则称该岩层是均质的，反之为⾮均质。
各向同性：在渗流场中，某⼀点的渗透系数不取决于⽅向，即不管渗流的⽅向如何都具有相同的渗透系数，则称为各向同性，反之为各向异性。
越流系数：当主含⽔层和供给越流的含⽔层间的⽔头差为1个长度单位时，通过主含⽔层和弱透⽔层间单位⾯积上的⽔流量。
定解条件：稳定流的定解条件：基本微分⽅程+边界条件⾮稳定流的定解条件：基本微分⽅程+初始条件+边界条件边界条件的分类：定⽔头边界、定流量边界、混合边界条件稳定流需要的定解条件：基本微分⽅程+边界条件⾮稳定流定解条件：基本微分条件+边界条件+初始条件渗流和空隙中的真实⽔流的区别；⼟壤孔隙度⼩于1，所以渗流流量1、流速⽅⾯渗流速度和地下⽔实际运动速度⽅向不同，速度之间的关系如：v=nu(v渗流速度、n含⽔层的空隙度、u实际评价流速）2、流速⽅向渗流是假象的⽔流，⽽真实⽔流的运动是杂乱⽆章的3、流量⽅⾯渗流流量⼩于实际流量4、⽔头⽅⾯地下⽔总⽔头H=Z+P/r+u^2/(2g) u为地下⽔的流速5、过⽔断⾯完整井：完全贯穿整个含⽔层的井，且在全部含⽔层厚度上都装有过滤器，能全⾯进⽔的井不完整井：未完全贯穿整个含⽔层，只有井底或是井壁含⽔层部分厚度上能进⽔的井不完整井的三种类型：井底进⽔、井壁进⽔、井底和井壁同时进⽔降落漏⽃：在井抽⽔井，以井为中⼼最⼤，离井越远，降深越⼩，总体上形成漏⽃状的⽔头下降去区称为降落漏⽃Dupuit中井径和流量的关系：1】当降深相同时，井径增加同样的幅度，k(渗透系数)⼤的，抽⽔流量⼤2】当对于同⼀岩层（k同），井径增加同样的幅度，⼤降深抽⽔的流量增加的多3】对于同样的岩层和降深，井径越⼤的，再增加井径，抽⽔的流量增⼤的幅度不明显流量和⽔位降深的经验公式类型：直线型（Q=qSw）、抛物线型(Sw=aQ+bQ^2)、幂函数型(Q=qSw^(1/m))、对数型(Q=a+blgSw)对于直线型经验公式，外推降深最⼤范围不能超过抽⽔试验时最⼤降深的1.5倍对于抛物线型、幂函数型和对数曲线型的⽅程，不能超过1.75~3.0倍运⽤叠加原理(线性定解问题)的条件：1】各个边界条件的作⽤彼此独⽴，即边界条件的存在不影响其他边界条件存在时得到的结果2】各抽⽔井的作⽤是独⽴的。
地下水运动的数学模型
第四章 地下水运动的数值模型解析解虽然具有精确可靠的特点，但采用解析解反映自然状态和复杂人类活动干扰下的地下水运动是相当困难的。
因此，当含水层的条件严重偏离现有解析模型的简化假设时，人们通过数值模型来获得近似的地下水流场及演变趋势。
第一节 地下水流数值方法概述地下水流的数学模型采用偏微分方程描述地下水流的时间和空间连续状态，而数值模型则是采用离散（非连续）时空模型中水头的分布与演变对数学模型进行近似描述。
从精确数学模型到近似数值模型的转化，虽然会损失一些精度，但使复杂地下水流问题的分析得以通过机械计算实现，而且误差也是可控的。
把偏微分方程求解的数值方法引入到地下水流问题的求解始于20世纪70年代，主要方法包括有限差分法、有限元法和边界元法，此后又发展了有限分析法、多重网格法和无网格法等。
这些方法的共同特点是将模型空间及边界离散为由一系列的节点以及联系这些节点的单元（无网格法除外），含水层的水头在这些节点上定义，从而实现了水头分布空间连续函数向离散变量的转化，表示为2121211122111221202()02()02()002(0)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk f f f f a b c e x L x x t t t t f x f f f f a b c e x L x x t t f f f f a b c x L e x xd f dfe ef a b f c x L dx dx t t f x u---------∂∂-++=<<∂∂∆∆=-∂∂-++=<<∂∂∆∆∂∂=+++<<∂∂+-++=<<∆∆==，，，，{}(,,);1,2,3,,p H x y z H p M ⇒=⋅⋅⋅ （4.1.1）式中；H 为含水层的水头；x 、y 、z 为空间坐标；p 为数值模型的节点；M 为节点的数目。
地下水流的渗流力学分析
地下水流的渗流力学分析地下水是地球表层下方的水体，由于地壳中的孔隙和裂隙中填充了水分，形成地下水层。
地下水流是指地下水在地下岩层中的运动过程。
为了更好地理解地下水流的运动特性，科学家们进行了渗流力学分析。
一、地下水流的渗流力学基础渗流力学研究地下水流动的原因、特征和规律，是岩石力学和流体力学的交叉学科。
渗流力学的基本原理是达西定律，即渗流速度与渗透率成正比，与流体密度和粘度成反比。
根据达西定律，我们可以计算地下水的渗流速度和渗透率，以及地下水与地下岩层之间的关系。
二、地下水流的物质平衡方程地下水流的物质平衡方程是描述地下水流动的重要工具。
该方程描述了地下水流动过程中水量的变化。
它是根据质量守恒定律推导出来的，可以表达为：∇·(qρ) + ∂(ρΦ)/∂t = S其中，q是地下水流速向量，ρ是地下水密度，Φ是地下水位势，t是时间，S是外部水源和汇水源的贡献。
这个方程可以用来分析地下水在不同区域的流动情况，并预测地下水流动的趋势。
三、地下水流的渗透率计算渗透率是描述岩层渗透性的参数，是测量岩层渗流能力的指标。
地下水流的渗透率计算可以通过实验或野外测试获得。
其中一种常用的方法是Lugeon试验，该试验通过注入标准单位水量来测量注水速度和水压变化，进而计算出地下水的渗透率。
四、地下水流的流动特征地下水流的流动特征包括流速分布、流向、流线和流量等。
地下水流速分布的分析可以通过建立二维或三维数值模型，使用流体力学方程进行数值模拟来实现。
借助计算机技术，科学家们可以获取地下水流动的详细信息，预测地下水流动的趋势。
五、地下水流的影响因素地下水流的流动过程受到众多因素的影响，主要包括岩性、裂隙特征、孔隙度和渗透率等。
岩性是决定地下水流动性质的基本因素，不同的岩性具有不同的渗透性。
裂隙特征是影响地下水流速和渗透率的重要因素，对于裂隙性岩石来说，渗透率的计算需要考虑裂隙的数量、宽度和方向等因素。
孔隙度是描述岩石中可存储和运移水的能力，是衡量地下水资源的关键指标。
地下水动力学
1、地下水动力学就是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石、与喀斯特岩石中运动规律的科学。
它就是模拟地下水流基本状态与地下水中溶质运移过程,对地下水从数量与质量上进行定量评价与合理开发利用,以及兴利除害的理论基础。
2、流量:单位时间通过过水断面的水量称为通过该断面的渗流量。
3、渗流速度（比流量）:假设水流通过整个岩层断面（骨架+空隙）时所具有的虚拟平均流速,定义为通过单位过水断面面积的流量。
4、实际速度:孔介质中地下水通过空隙面积的平均速度;地下水流通过含水层过水断面的平均流速,其值等于流量除以过水断面上的空隙面积, 量纲为L/T。
4、渗流场:发生渗流的区域称为渗流场。
由固体骨架与岩石空隙中的水两者组成5 、层流:水质点作有秩序、互不混杂的流动。
6、紊流:水质点作无秩序、互相混杂的流动。
7、稳定流与非稳定流:若流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变时, 称为稳定流,否则称为非稳定流。
8、雷诺数:表征运动流体质点所受惯性力与粘性力的比值。
9、雷诺数的物理意义:水流的惯性力与黏滞力之比。
10、渗透系数:在各项同性介质（均质）中,用单位水力梯度下单位面积上的流量表示流体通过孔隙骨架的难易程度,称之为渗透系数。
11、流网:在渗流场中,由流线与等水头线组成的网络称为流网。
12、折射现象:地下水在非均质岩层中运动,当水流通过渗透系数突变的分界面时出现流线改变方向的现象。
13、裘布依假设:绝大多数地下水具有缓变流的特点。
14、缓变流:各流线接近于平行直线的运动14、完整井:贯穿整个含水层,在全部含水层厚度上都安装有过滤器并能全断面进水的井。
15、非完整井:未揭穿整个含水层、只有井底与含水层的部分厚度上能进水或进水部分仅揭穿部分含水层的井。
16、水位降深:抽水井及其周围某时刻的水头比初始水头的降低值。
17、水位降落漏斗:抽水井周围由抽水（排水）而形成的漏斗状水头（水位）下降区, 称为降落漏斗。
18、影响半径:就是从抽水井到实际观测不到水位降深处的径向距离。
1-7描述地下水运动的数学模型及其解法
2020/4/15
12
三、建立数学模型的实例
例１ 潜水非稳定流方程
(Kh H ) (Kh H ) W H
x
x y
y
t
H c1 H(t)
H c2 z(t)(位置水头)
H c3 z(t（) 渗出面）
H c4 hw (t（) 定水头边界）
H n
c5 （ 0 隔水边界）
H (x, y,t) t0 (x, y)
➢区域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作为 给定水头边界处理；
➢无限边界 H(x, y,t)
x2 y2
H
亦为第一类边界；
0
➢潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水
位为一类边界。
2020/4/15
9
（2）第二类边界条件
当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这 部分边界为第二类边界或给定流量边界。相应的边界 条件表示为：
（1）第一类边界条件
若在渗流区的某部分边界上各点在每一时刻的水头是已知
的，则称这部分边界为第一类边界或给定水头边界，常表
示为：
H(x, y, z,t) S1
1(x, y, z,t),
H (x, y,t) 1 2 (x, y,t),
（x, y, z) S1
（x, y) 1
分别表示在三维和 二维条件下边界上 2的020点/4/1在5 t时刻的水头
H
K n
s2
q (x, y, z,t), 1
（x, y, z) S2
或
T H n
2
q (x, 2
y,t)， （x, y) 2
式中：n为边界 S2 或 2的外法线方向； q1和q2为已知函数，分别表示S2 上单位面积和 2上单位
地下水动力学 专升本 复习题
地下水动力学专升本复习题一、判断题1．在地下水运动计算中，其水头就等于测压管水。
（）2．地下水总是从压力大处向压力小处流。
（）3．有效孔隙度是指孔隙体积与多孔介质总体积之比。
（）4．贮水系数的大小与含水层和水的弹性性质有关。
（）5．潜水面某点的水头等于该点的位置高度。
（）6．具有渗流速度的水流是连续充满整个含水层空间的一种实际水流。
（）7．对水力坡度可定义为：单位渗流路径上的水头下降值。
（）8．分布在两个不同地区的含水层，其岩性、孔隙度以及岩石颗粒结构排列方式等都完全一致，那么可以肯定，它们的渗透系数也必定相同。
（）9．两层介质的渗透系数相差越大，则其入射角和反射角也就相差越大。
（）10．凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界做为第一类边界处理。
（）11. 在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中，在补给期时，给水度μ大，水位上升大，μ小，水位上升小；在蒸发期时，μ大，水位下降大，μ小，水位下降小（）12.达西定律实质上就是渗流的能量守恒或转换定律。
（）13.渗透系数是表征岩层渗透性能的一个参数。
（）14.潜水含水层被疏干时，全部水都是重力作用下排出的。
（）15.黄土属于非均质各向同性含水层。
（）16．凡是承压含水层中剖面上的等水头线都是铅垂线。
（）17．平行和垂直层面的等效渗透系数的大小，主要取决于各分层渗透系数的大小。
（）18．泰斯井流的后期任一点的渗透速度时时都相等。
（）19．叠加原理用手承压干扰井流的实质，是把干扰井中各个抽水井单独抽水时，对某一点产生的水位降深叠加起来，即等于该点在干扰井流中的水位降深值。
（）20．潜水井的流量和水位降深之间是二次抛物线关系。
这说明，流量随降深的增大而增大，但流量增加的幅度愈来愈小。
（）二、填空题1．根据揭露含水层的程度和进水条件，抽水井可分为(1) 和(2) 两类。
2．承压水井和潜水井是根据(3) 来划分的。
3．填砾的承压完整抽水井，其井管外面的测压水头要(4) 井管里面的测压水头。
饱和导水率计算公式
饱和导水率计算公式导水率是描述土壤或岩石中水分传输速度的重要指标之一，它反映了地下水运动的程度和速度。
饱和导水率是指在土壤或岩石饱和状态下，单位时间内单位面积的水分通过土壤或岩石的能力，通常用Ks表示。
饱和导水率的计算公式如下：Ks = Q / (A * H) (1)其中，Ks为饱和导水率，Q为通过单位时间内单位面积的水分量，A为单位面积的横截面积，H为流动过程中的有效高度。
在实际应用中，饱和导水率的计算可以通过不同方法进行，以下介绍几种常用的计算方法。
1. 灌水法灌水法是一种常见的实验方法，通过在土壤或岩石样品上施加一定的压力，使水在样品中流动，然后测量单位时间内通过样品的水分量。
根据实验结果，可以计算得到饱和导水率。
2. 水头法水头法是一种基于水头差的计算方法，通过在土壤或岩石样品上设置不同的水头差，测量单位时间内通过样品的水分量，再根据水头差和水分量的关系，计算得到饱和导水率。
3. 渗流试验渗流试验是一种通过在土壤或岩石样品上施加一定压力，测量单位时间内通过样品的水分量，来计算饱和导水率的方法。
常用的渗流试验方法有恒定水头法、恒定压力法和恒定流量法等。
4. 孔隙率和孔隙度计算法饱和导水率与土壤或岩石中的孔隙率和孔隙度密切相关。
可以通过测量土壤或岩石样品中的孔隙率和孔隙度，结合相关公式，计算得到饱和导水率。
需要注意的是，饱和导水率的计算结果受多种因素的影响，如土壤或岩石的物理性质、孔隙结构、温度等。
在进行饱和导水率计算时，需要根据实际情况选择适用的计算方法，并进行必要的修正和校正。
总结起来，饱和导水率是描述土壤或岩石中水分传输速度的重要指标，通过不同的计算方法可以得到饱和导水率的值。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适用的计算方法，并考虑影响因素进行修正和校正，以获得准确的饱和导水率数据。
水在土中垂直渗流阻力系数公式
水在土中垂直渗流阻力系数公式
一、引言
水在土中的渗流是地下水运动的重要过程之一。
水在土中的渗流速度取决于土壤的渗透性以及水流通过土壤时所遭遇的阻力。
而水在土中垂直渗流阻力系数就是用来描述这种阻力的一个重要参数。
本文将介绍水在土中垂直渗流阻力系数的公式以及相关内容。
二、水在土中垂直渗流阻力系数公式的推导
水在土中垂直渗流时，会受到土壤颗粒间的摩擦力和孔隙中水的黏滞力的阻碍。
根据达西定律和达西-韦伯定律，可以推导出水在土中垂直渗流阻力系数的公式。
三、水在土中垂直渗流阻力系数公式的表达形式
水在土中垂直渗流阻力系数可以用以下公式来表示：
K = αρg/μ
其中，K表示水在土中垂直渗流阻力系数，α表示土壤渗透性系数，ρ表示水的密度，g表示重力加速度，μ表示水的黏度。
四、水在土中垂直渗流阻力系数的影响因素
水在土中垂直渗流阻力系数受到多种因素的影响，主要包括土壤颗粒的大小、形状和分布、孔隙度、孔隙水的黏度等。
其中，土壤渗透性系数α是一个重要的影响因素，它与土壤的类型、孔隙度以及水分含量等有关。
五、结论
水在土中垂直渗流阻力系数是描述水在土壤中垂直渗流过程中受到的阻碍的一个重要参数。
通过本文的介绍，我们了解了水在土中垂直渗流阻力系数的公式以及影响因素。
在实际应用中，我们可以根据这些知识来评估土壤的渗透性，进而预测地下水的运动情况，为水资源管理和环境保护提供科学依据。
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6.1.1非饱和带水分的基本知识
1.含水率、饱和度和田间持水量
在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。水分和空气的相对份量是变化的。可以用二个变量来表示水分含量的多少。—为含水率 ，表示单位体积中所占的体积：
(6-1)
式中， 为含水率，无量纲；(Vw)0为典型单元体中水的体积；V0为典型单元体的体积；另—个为饱和度Sw，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：
v=K( )J (6-12)
如用渗透率来表达时，则有：
(6-13)
式中：k一饱和土的渗透率；
k(Sw)——非饱和土的渗透率，为饱和度Sw的函数；
kr(Sw)一—相对渗透率， ；
——水的动力粘滞系数。
相对渗透率为非饱和土的渗透率和同一种土饱和时的渗透率的比值，为含水率 或饱和度Sw的函数。非饱和砂的相对渗透率 和饱和度Sw的关系表示在图6-4中。当饱和度(含水率)减少时，大孔隙首先开始排水，渗透在较小的孔隙中进行，过水断面减小，渗流途径的弯曲度增加，相对渗透率急剧减小。到达A点，孔隙中的水变得不连续了，相对渗透率等于零。此时的饱和度为身Sw0，相应的含水率为 0＝n Sw0。
这是关于（H—Hf）的一阶线性微分方程。按已知公式，可求得其道解为：
（6-29）
再利用初始条件：
带入上式，可得C=0。有此求得其解为
（6-30）
把它代入(6-28)式可得：
（6-31）
把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水头Hf的方程：
（6-32）
上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。
在二维情况下可简化为：
式中 为裂隙贮水率。
单元体内水量变化必然引起贮存的变化，两者应相等。于是得
（6-26）
同理，对孔隙有
（6-27）
式中， 、 、 为沿x，y，z轴方向孔隙的主渗透系数， 为岩块的贮水率。
由于孔隙中的水力坡降很小，可以认为：
故有
（6-28）
式中 ，称为承压水迁移系数。为了建立关干Hf的方程，把(6-28)式改写为
（6-33）
式中 、 为裂隙的主导水系数(分别与x, y轴平行)。 为裂隙和岩块的贮水系数。
把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：
（二维情况下为 ）
从前面的讨论中不难发现，它表示：
因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层(二维情况下为单位面积的柱体)中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量，抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。和潜水Boulton方程比较，不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。但前音有明确的物理含意。
z轴向上取正值，z轴向下取负值。
(2)以毛管压力水头为因变量的表达式：从水分特征曲线可知，毛管压力水率之间存在着函数关系。因此，非饱和土的渗透系数同样是毛管压力水头的函数，即K=K(hc)或K()，C＝C(hc)或C()。于是，
（6-20）
（6-21）
考虑到
（6-22）
(3)饱和—非饱和流的表达式：在饱和—非饱和流动中，常以压强p或水头H为因变量，有 。如果不忽略密度的变化，连续性方程(6-14)可写为：
式中， 为裂隙的主渗透系数(与x轴平行)。同理可得，t时段内沿y轴方向和z轴方向净流入这个单元体的水量分别为：
和
式中， 、 为裂隙的主渗透系数(分别与y轴和z轴平行)。根据假设，孔隙中释放出的水要进入裂隙，其量为：
因此，在t时间内单元体中总的水量变化(净流入量)为：
（6-25）
这个时间内，单元体内由于贮存的变化所引起的水量变化为：
（6-23）
再将v用运动方程(6-13)代入，容重＝g，含水率＝nSw，则得：
(6-24)
该方程中的某些参数的取值范围如下：
以上考虑的模型都是单相流模型，只研究水的运动，即凡是水流到的地方，空气自然被排走。实际上，岩石空隙是既存在空气也存在水的二相系统，也必然是更复杂的模型，这里就不介绍了，请读者参考有关的专著。
（7-16）
由于水分持征曲线各处的斜率不同，C不是常数．而是随含水率而变的变数，即C＝C()。令：
参数D()是渗透系数和容水度的比值，称为扩散系数，量纲为[L2T-1]。它是一个重要的参数。引入D()以后，(6-16)式变为：
（6-18）
这是二阶的非线性偏微分方程。对于一维的垂直流动，可简化为：
（6-19）
(6-5)
故非和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。正如在毛细管现象中见到的一样，在周围水面以上的毛管内的压强是负的。
和饱和带的情况一样，可以定义非饱和带水流中任何点的水头(毛管水头)：
（6-6）
式中，为水的容重；
(6-7)
称为毛管压力水头。某些作者用符号 表示压力水头的负值，即：
(6-8)
(6-9)
图6-4非饱和砂的相对渗透率与饱和度的关系
(据Wyckoff和Botset, 1936)
2．基本微分方程
在第一章中，我们已经得到了渗流的连续性方程(1-65)式。对于非饱和流动，把等式右端的空隙度n换成含水率 ，方程仍然是适用的。在非饱和带中，一般不考虑介质的变形，即单元体体积xyz不随时间而变化。于是可以约去等式两端的xyzt；同时，在非饱和流动中，水的密度变化很小，可当作常数。于是，相应的连续性方程为：
(6-14)
将运动方程(6-12)式代入(6-14)式中，得：
(6-15)
式(6-15)即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards方程。
上述方程中，既含有含水率，又含有水头H，为解决问题方便起见，可以把基本微分方程化成以下几种表达形式。
(1)以含水率为因变量的表达式：前已述及，非饱和带的水头H＝z-hc，又由水分特征曲线、毛管压力水头hc和含水率之间存在着函数关系，因此(6-15)式可改写为：
地下水运动中计算
地下水运动中计算
地下水运动中的专门问题
§6.l非饱和带的地下水运动
在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。
6.1.2非饱和带水运动的基本方程
1.运动方程
1931年，Richards提出，Darcy定律可引伸应用于非饱和带水的运动。但此时的渗透率k和渗透系数K不再是常数，而与土壤的含水率有关。当含水率(或饱和度)减小时，一部分空隙为空气充填，因而过水断面减小，渗流途径的弯曲程度增加，导致渗透率或渗透系数减小。因此，该情况下k和K可记作含水率 或饱和度Sw的函数k( )，K( )或k(Sw)，K(Sw)。这样，非饱和带中的Darcy定律表达式为：
对于饱和—非饱和流动，可以写出统一的水头表达式；
(6-10)
式中，压强少可正可负。在饱和带中，p为水的压强，取正值；在非饱和带，p为毛管压强的负数，取负值。其余符号同前。
图6-1非饱和带的含水量曲线
图6-2土壤水分特征曲线
（据Richards和Weaner）
3．土壤水分特征曲线
反映毛管压强pc或毛管压力水头hc和土壤含水率 或饱和度Sw关系的曲线，称为水分特征曲线(图6-2)。它表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了包气带中水的基本特征。从曲线上还可以看出，即使在相当高的压强下，土样中仍保持一定的水，含水率不再进一步减小。这个含水率记作 ，相应的饱和度为：
4．非饱和流动中的给水度概念
已经介绍过给水度的概念。给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。但实际上，当潜水面下降时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。实际排出的水体积只相当于排水前后两条水分分布曲线间的那一部分面积。为此，需要这样来定义给水度：从地表一直延伸到含水层底板的一个单位水平面积垂直土柱，当潜水面降低一个单位时，由重力所排出的水的体积。由于重力排水的迟后，给水度也是时间t的函数。只有当长时间排水后才趋近于某一常数值。
2．毛管压力
当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差pc称为毛管压强：
(6-4)
式中， ——空气的压强， ——水的乐压强。如假设孔隙中的空气是在101325Pa(一个大气压)下、并取大气压强作为测量流休压强的基准，则 ＝0，于是：
不同土的水分特征曲线是不同的。在同样条件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的颗粒级配，对持征曲线的形状也有影响，如图6-2的曲线I和II。温度的变化对它也有影响。温度升高时，表面张力降低，在同样吸力下含水率要低一些。
水分持征曲线斜率的负倒数称为容水度，记作C：
（6-11）
容水度不是常数，它随含水率或毛管压强而变化，记作C( )或C(hc)。它表示毛管压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水体积，是计算非饱和带水运动的重要参数。
(4)含水层骨架可以压缩，但其固体颗粒的压缩性忽略不计，看成是刚性的。
1.含水率、饱和度和田间持水量
在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。水分和空气的相对份量是变化的。可以用二个变量来表示水分含量的多少。—为含水率 ，表示单位体积中所占的体积：
(6-1)
式中， 为含水率，无量纲；(Vw)0为典型单元体中水的体积；V0为典型单元体的体积；另—个为饱和度Sw，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：
v=K( )J (6-12)
如用渗透率来表达时，则有：
(6-13)
式中：k一饱和土的渗透率；
k(Sw)——非饱和土的渗透率，为饱和度Sw的函数；
kr(Sw)一—相对渗透率， ；
——水的动力粘滞系数。
相对渗透率为非饱和土的渗透率和同一种土饱和时的渗透率的比值，为含水率 或饱和度Sw的函数。非饱和砂的相对渗透率 和饱和度Sw的关系表示在图6-4中。当饱和度(含水率)减少时，大孔隙首先开始排水，渗透在较小的孔隙中进行，过水断面减小，渗流途径的弯曲度增加，相对渗透率急剧减小。到达A点，孔隙中的水变得不连续了，相对渗透率等于零。此时的饱和度为身Sw0，相应的含水率为 0＝n Sw0。
这是关于（H—Hf）的一阶线性微分方程。按已知公式，可求得其道解为：
（6-29）
再利用初始条件：
带入上式，可得C=0。有此求得其解为
（6-30）
把它代入(6-28)式可得：
（6-31）
把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水头Hf的方程：
（6-32）
上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。
在二维情况下可简化为：
式中 为裂隙贮水率。
单元体内水量变化必然引起贮存的变化，两者应相等。于是得
（6-26）
同理，对孔隙有
（6-27）
式中， 、 、 为沿x，y，z轴方向孔隙的主渗透系数， 为岩块的贮水率。
由于孔隙中的水力坡降很小，可以认为：
故有
（6-28）
式中 ，称为承压水迁移系数。为了建立关干Hf的方程，把(6-28)式改写为
（6-33）
式中 、 为裂隙的主导水系数(分别与x, y轴平行)。 为裂隙和岩块的贮水系数。
把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：
（二维情况下为 ）
从前面的讨论中不难发现，它表示：
因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层(二维情况下为单位面积的柱体)中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量，抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。和潜水Boulton方程比较，不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。但前音有明确的物理含意。
z轴向上取正值，z轴向下取负值。
(2)以毛管压力水头为因变量的表达式：从水分特征曲线可知，毛管压力水率之间存在着函数关系。因此，非饱和土的渗透系数同样是毛管压力水头的函数，即K=K(hc)或K()，C＝C(hc)或C()。于是，
（6-20）
（6-21）
考虑到
（6-22）
(3)饱和—非饱和流的表达式：在饱和—非饱和流动中，常以压强p或水头H为因变量，有 。如果不忽略密度的变化，连续性方程(6-14)可写为：
式中， 为裂隙的主渗透系数(与x轴平行)。同理可得，t时段内沿y轴方向和z轴方向净流入这个单元体的水量分别为：
和
式中， 、 为裂隙的主渗透系数(分别与y轴和z轴平行)。根据假设，孔隙中释放出的水要进入裂隙，其量为：
因此，在t时间内单元体中总的水量变化(净流入量)为：
（6-25）
这个时间内，单元体内由于贮存的变化所引起的水量变化为：
（6-23）
再将v用运动方程(6-13)代入，容重＝g，含水率＝nSw，则得：
(6-24)
该方程中的某些参数的取值范围如下：
以上考虑的模型都是单相流模型，只研究水的运动，即凡是水流到的地方，空气自然被排走。实际上，岩石空隙是既存在空气也存在水的二相系统，也必然是更复杂的模型，这里就不介绍了，请读者参考有关的专著。
（7-16）
由于水分持征曲线各处的斜率不同，C不是常数．而是随含水率而变的变数，即C＝C()。令：
参数D()是渗透系数和容水度的比值，称为扩散系数，量纲为[L2T-1]。它是一个重要的参数。引入D()以后，(6-16)式变为：
（6-18）
这是二阶的非线性偏微分方程。对于一维的垂直流动，可简化为：
（6-19）
(6-5)
故非和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。正如在毛细管现象中见到的一样，在周围水面以上的毛管内的压强是负的。
和饱和带的情况一样，可以定义非饱和带水流中任何点的水头(毛管水头)：
（6-6）
式中，为水的容重；
(6-7)
称为毛管压力水头。某些作者用符号 表示压力水头的负值，即：
(6-8)
(6-9)
图6-4非饱和砂的相对渗透率与饱和度的关系
(据Wyckoff和Botset, 1936)
2．基本微分方程
在第一章中，我们已经得到了渗流的连续性方程(1-65)式。对于非饱和流动，把等式右端的空隙度n换成含水率 ，方程仍然是适用的。在非饱和带中，一般不考虑介质的变形，即单元体体积xyz不随时间而变化。于是可以约去等式两端的xyzt；同时，在非饱和流动中，水的密度变化很小，可当作常数。于是，相应的连续性方程为：
(6-14)
将运动方程(6-12)式代入(6-14)式中，得：
(6-15)
式(6-15)即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards方程。
上述方程中，既含有含水率，又含有水头H，为解决问题方便起见，可以把基本微分方程化成以下几种表达形式。
(1)以含水率为因变量的表达式：前已述及，非饱和带的水头H＝z-hc，又由水分特征曲线、毛管压力水头hc和含水率之间存在着函数关系，因此(6-15)式可改写为：
地下水运动中计算
地下水运动中计算
地下水运动中的专门问题
§6.l非饱和带的地下水运动
在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。
6.1.2非饱和带水运动的基本方程
1.运动方程
1931年，Richards提出，Darcy定律可引伸应用于非饱和带水的运动。但此时的渗透率k和渗透系数K不再是常数，而与土壤的含水率有关。当含水率(或饱和度)减小时，一部分空隙为空气充填，因而过水断面减小，渗流途径的弯曲程度增加，导致渗透率或渗透系数减小。因此，该情况下k和K可记作含水率 或饱和度Sw的函数k( )，K( )或k(Sw)，K(Sw)。这样，非饱和带中的Darcy定律表达式为：
对于饱和—非饱和流动，可以写出统一的水头表达式；
(6-10)
式中，压强少可正可负。在饱和带中，p为水的压强，取正值；在非饱和带，p为毛管压强的负数，取负值。其余符号同前。
图6-1非饱和带的含水量曲线
图6-2土壤水分特征曲线
（据Richards和Weaner）
3．土壤水分特征曲线
反映毛管压强pc或毛管压力水头hc和土壤含水率 或饱和度Sw关系的曲线，称为水分特征曲线(图6-2)。它表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了包气带中水的基本特征。从曲线上还可以看出，即使在相当高的压强下，土样中仍保持一定的水，含水率不再进一步减小。这个含水率记作 ，相应的饱和度为：
4．非饱和流动中的给水度概念
已经介绍过给水度的概念。给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。但实际上，当潜水面下降时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。实际排出的水体积只相当于排水前后两条水分分布曲线间的那一部分面积。为此，需要这样来定义给水度：从地表一直延伸到含水层底板的一个单位水平面积垂直土柱，当潜水面降低一个单位时，由重力所排出的水的体积。由于重力排水的迟后，给水度也是时间t的函数。只有当长时间排水后才趋近于某一常数值。
2．毛管压力
当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差pc称为毛管压强：
(6-4)
式中， ——空气的压强， ——水的乐压强。如假设孔隙中的空气是在101325Pa(一个大气压)下、并取大气压强作为测量流休压强的基准，则 ＝0，于是：
不同土的水分特征曲线是不同的。在同样条件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的颗粒级配，对持征曲线的形状也有影响，如图6-2的曲线I和II。温度的变化对它也有影响。温度升高时，表面张力降低，在同样吸力下含水率要低一些。
水分持征曲线斜率的负倒数称为容水度，记作C：
（6-11）
容水度不是常数，它随含水率或毛管压强而变化，记作C( )或C(hc)。它表示毛管压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水体积，是计算非饱和带水运动的重要参数。
(4)含水层骨架可以压缩，但其固体颗粒的压缩性忽略不计，看成是刚性的。