递推问题的求解方法

7.递推讲解七、递推所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。

其中初始条件或是问题本⾝已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。

可⽤递推算法求解的题⽬⼀般有以下⼆个特点：（1）问题可以划分成多个状态；（2）除初始状态外，其它各个状态都可以⽤固定的递推关系式来表⽰。

在我们实际解题中，题⽬不会直接给出递推关系式，⽽是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。

⼀、采⽤具体化、特殊化的⽅法寻找规律例、平⾯上n条直线，任两条不平⾏，任三条不共点，问这n条直线把这平⾯划分为多少个部分？设这n条直线把这平⾯划分成Fn个部分。

先⽤具体化特殊化的⽅法寻找规律，如图所⽰，易知的前⼏项分别为F1=2,F2=4,F3=7,F4=11……这些数字之间的规律性不很明显，较难⽤不完全归纳法猜出Fn的⼀般表达式。

但我们可以分析前后项之间的递推关系，因为这些图形中，后⼀个都是由前⼀个添加⼀条直线⽽得到的，添加⼀条直线便增加若⼲个区域。

设原来的符合题意的n-1条直线把这平⾯分成个区域，再增加⼀条直线l，就变成n条直线，按题设条件，这l必须与原有的n-1条直线各有⼀个交点, 且这n-1个交点及原有的交点互不重合。

这n-1个交点把l划分成n个区间，每个区间把所在的原来区域⼀分为⼆，所以就相应⽐原来另增了n个区域，即：F n =Fn-1+_______(n=2,3……)这样，我们就找到了⼀个从F n-1到F n的的递推式，再加上已知的初始值F1=2，就可以通过n-1步可重复的简单运算推导出F n的值。

var a,i,n:longint;beginread(n);a:=2;for i:=2 to n doa:=a+i;writeln(a);end.例、平⾯上有8个圆，最多能把平⾯分成⼏部分？Fn=Fn-1+2× (n-1)例、如图1，是棱长为a的⼩正⽅体，图2，图3由这样的⼩正⽅体摆放⽽成。

用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。

本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。

一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。

（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。

（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。

（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。

（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。

2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。

（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。

（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。

（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。

最终的通项公式为Un=2^n。

二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

an+1+an=f(n)型数列问题的求解策略
对于递推数列an+1+an=f(n)，可以采用以下几种方法求解：
1. 通项公式法：通过求解数列的特征方程，可以得到数列的通项公式。

具体步骤如下：
- 假设数列的通项公式为an=rn，则将an+1+an=f(n)代入得到r^2+r=f(n)。

- 求得特征方程的根为r1和r2，通项公式为an=A*r1^n+B*r2^n。

- 根据数列前几项的值可以求出A和B的值，从而得到数列的通项公式。

2. 递推法：直接利用递推式计算数列的每一项，具体步骤如下：
- 假设已知数列的前两项a1和a2，以及f(n)的值。

- 利用递推式计算出a3、a4、...、an的值。

- 当n很大时，递推法的计算量会增大，因此需要注意选择计算的精度和范围。

3. 数学归纳法：利用数学归纳法证明数列的某些性质，从而求解数列。

具体步骤如下：
- 假设数列的性质P(n)成立，可以推导出性质P(n+1)也成立。

- 利用性质P(1)可以证明性质P(n)对于所有n成立。

- 根据性质P(n)可以求解数列的某些性质，如极限、周期等。

以上是an+1+an=f(n)型数列问题的求解策略，具体方法可以根据实际情况进行选择。

九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。

)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。

解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。

2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。

类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。

i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。

例2已知a11，anan1n，求an。

解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。

方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。

类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。

在数学中，有几种方法可以求解这类问题。

一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。

这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。

k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。

解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。

二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。

该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。

解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。

利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。

三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。

该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。

第二讲递推公式求解
递推公式是求解递归问题的一种方法，它可以用简单的表达式描述系
统的行为，以确定或猜测系统未来的行为。

在数学上，它是一个表达式，
可以将系统的当前状态用于计算下一状态的值，并将其用于下一步的计算。

递推公式一般有两种形式，即线性递推公式和非线性递推公式。

线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果也是线性的，即
其中的变量与n的关系可以表示为一个线性的方程式。

线性递推公式可以
用于求解递归问题。

例如，求解有线性递推公式的递归问题：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

非线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果是非线性的，
即其中的变量与n的关系不能表示为一个线性方程式。

非线性递推公式可
以用于求解递归问题，例如，求解非线性递推公式的递归问题：
F(n)=F(n-1)×F(n-2)。

在许多情况下，线性递推公式可以用来求解递归问题，而非线性递推
公式要更加复杂，但它们可以用来求解一些比较复杂的递推问题。

求解递推公式的一般步骤如下：
（1）找出递推公式，并得到它的形式；
（2）如果是线性递推，解出其特征方程；
（3）根据特征方程和起始条件确定递推公式的解；。

数学归纳法解决递推问题数学归纳法是解决递推问题的重要方法之一，递推问题在许多计算机科学和数学领域都有很大应用。

在面试或考试中，简单的递推问题则需要用到数学归纳法进行证明。

让我们从以下三个问题开始探讨归纳法在递推问题中的应用。

1. 求解递推式对于一个递推式，如：$a_0 = 2$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$。

我们希望求出其$n$项之和，即$\sum_{i=0}^n a_i$。

用归纳法解决这个问题。

首先，当$n=0$时，$\sum_{i=0}^0 a_i = a_0 = 2$，显然成立。

假设当$n=k$时，$\sum_{i=0}^k a_i$成立，即$\sum_{i=0}^ka_i = 2^{k+1} - 1$。

则当$n=k+1$时， $\sum_{i=0}^{k+1} a_i = \sum_{i=0}^k a_i + a_{k+1} = 2^{k+1} - 1 + 2a_k + 1 = 2^{k+2} - 1$。

因此，$\sum_{i=0}^n a_i = 2^{n+1} - 1$，得证。

2. 青蛙跳台阶有一只青蛙，要跳上一个$n$级的台阶。

青蛙每次可以跳1级或2级，求青蛙跳到$n$级台阶的跳法数量。

我们假设青蛙跳到第$k$级台阶的跳法数量为$a_k$。

显然当$n=1$时，$a_1=1$；当$n=2$时，$a_2=2$。

对于$n>2$的情况：（1）当青蛙第一次跳1级时，就跳到了第$n-1$级，此时剩下跳法为$a_{n-1}$种；（2）当青蛙第一次跳2级时，就跳到了第$n-2$级，此时剩下跳法为$a_{n-2}$种。

因此，跳到$n$级台阶的跳法数量就是$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

接下来，用数学归纳法证明$a_n=F_{n+1}$，其中$F_i$代表第$i$个斐波那契数。

（1）当$n=1$时，$F_{1+1}=F_2=1$，$a_1=1$，显然成立。

（2）假设当$n=k$时成立，即$a_k=F_{k+1}$。

数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。

下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。

线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。

常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。

2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。

指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。

常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。

3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。

差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。

常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。

4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。

递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。

常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。

5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。

六类递推数列通项公式的求解方法一、an-1=an+f(n)型利用叠加法.a2=a1+f(1)，a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1),an=a1+∑n-1k=1f(k)．【例1】数列{an}满足a1=1，an=an-1+1n2-n(n≥2) ，求数列{an}的通项公式．解：由an+1=an+1(n+1)2-(n+1) 得an=a1+∑n-1k=11(k+1)2-(k+1) =1+∑n-1k=1(1k-1k+1)=1+1-1n =2-1n.二、an+1=anf(n)型利用叠代法.a2=a1f(1)，a3=a2f(2)，…，an=an-1f(n-1)．an=a1∏n-1k=1f(k).【例2】数列{an}中a1=2，且an=(1-1n2)an-1 ，求数列{an}的通项．解：因为an+1＝［1-1(n+1)2 ］an，所以an=a1∏n-1k=1f(k)=2∏n-1k=1［1-1(k+1)2 ］=2∏n-1k=1［kk+1 ×k+2k+1 ］=n+1n .三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0当出现an+1=pan+q(n∈n*）型时可利用叠代法求通项公式，即由an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+q(pn-1-1）p-1 （p≠1).或者利用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=qp-1 ，从而｛an+qp+1 ｝是一个公比为p的等比数列．【例3】设数列{an}的首项a1=12 ，an=3-an-12 ，n=2,3,4，…,求数列{an}的通项公式．解：令an+k=-12(an-1+k) ，又∵an=3-an-12=-12an-1+32 ，n=2,3,4,…，∴k=-1，∴an-1=-12(an-1-1) ,又a1=12,∴{an-1} 是首项为-12,公比为-12 的等比数列，即an-1=(a1-1)(-12)n-1 ，即an=(-12)n+1 ．四、an+1=pan+qan-1(n≥2)，p,q为常数可用下面的定理求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两根(此方程又称为特征方程)，则当α≠β时，an=aαn+bβn；当α=β时，an=(a+bn)αn-1，其中a、b分别由初始条件a1、a2所得的方程组aα+bβ=a1，aα2+bβ2=a2和 a+b=a1，(a+2b)α=a2唯一确定．【例4】数列{an}，{bn}满足：an+1=-an-2bn①,bn+1=6an+6bn ②,且a1=2，b1=4，求an，bn．解：由②得an=16bn+1-bn,∴an+1=16bn+2-bn+1 ，代入①到式中，有bn+2=5bn+1-6bn，由特征方程可得bn=-12×2n+283×3n ，代入②式中，可得an=8×2n-143×3n ．五、an+1＝pan+f(n)型，这里p为常数，且p≠1【例5】在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n ∈n*),其中λ＞0，求数列{an}的通项公式．解：由 a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈n*)，λ＞0,可得，an+1λn+1-(2λ )n+1=anλn -(2λ )n+1,所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ )n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n．六、an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)一般地，若正项数列{an}中，a1=a,an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)，则有lgan+1=klgan+lgm，令lgan+1+a=k(lgan+a)(a为常数)，则有a=1k-1lgm．数列{lgan+1k-1lgm }为等比数列，于是lgan+1k-1lgm=(lga+1k-1lgm)kn-1 ，从而可得an=akn-1?mkn-1-1k-1 ．【例6】已知各项都是正数的数列{an}满足a1=32，an+1=12an(4-an) ，求数列{an}的通项公式．解：由已知得an+1=-12(an-2)2,令2-an=bn，则有b1=12,bn+1=12b2n ．∵an＞0,∴0＜an+1＜2,又0＜a1＜2，∴0＜an＜2，从而bn＞0．取对数得lgbn+1=2lgbn-lg2，即lgbn+1-lg2=2(lgbn-lg2)．∴{lgbn-lg2}是首项为-2lg2，公比为2的等比数列，∴lgbn-lg2=-2nlg2,∴bn=21-2n,∴an=2-21-2n．(责任编辑金铃）。

三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。

以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。

我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。

假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。

将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。

2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。

我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。

通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。

需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。

3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。

比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。

可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。

总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。

对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。

求数列递推表达式常用的八种方法1. 通项公式法（Explicit Formula Method）通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达式的方法。

根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学模型来表示数列的通项公式。

该公式可以直接给出任意项的值，无需依赖于前面的项。

2. 递推关系法（Recurrence Relation Method）递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。

可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推表达式。

递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质来确定。

3. 线性代数法（Linear Algebra Method）线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列的递推表达式。

可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。

这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。

4. 拟合法（Curve Fitting Method）拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推表达式。

可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。

这种方法适用于不规律和随机的数列。

5. 差分法（Difference Method）差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。

可以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列的递推表达式。

这种方法适用于差分规律明显的数列。

6. 特殊性质法（Special Property Method）特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。

可以利用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。

该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。

7. 生成函数法（Generating Function Method）生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进行操作来求解递推表达式。

可以利用生成函数的性质和运算法则来求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。

几种由递推式求数列通项的方法介绍求数列通项通常可以通过递推式来实现，即通过之前的项推导出后一项。

下面介绍几种常见的方法：1.直接法：直接法是最基本的一种方法，即通过观察数列中的规律，找出递推式，然后根据递推式求解通项。

这种方法适用于简单的数列，如等差数列、等比数列等。

例如，求等差数列1, 3, 5, 7, ...的通项。

由观察可知，每一项与前一项的差值为2，即递推式为an = an-1 + 2、再根据首项a1 = 1，得到an = 2n-12.假设法：假设法是一种通过假设通项形式来求解递推式的方法。

通过猜测通项的形式，并将它代入递推式中，得到一个等式，再通过递推式和等式求解未知系数。

例如，求Fibonacci数列的通项。

观察Fibonacci数列的前几项0, 1, 1, 2, 3, 5, ...，可以猜测通项形式为an = A * φ^n + B * (1-φ)^n，其中A和B为待定系数，φ为黄金分割比。

将该通项代入Fibonacci数列的递推式an = an-1 + an-2，得到A = 1/√5，B = -1/√5、因此，Fibonacci数列的通项为an = (1/√5) * (φ^n - (1-φ)^n)，其中φ约等于1.6183.代数法：代数法是通过代数运算来求解通项。

将数列的递推式变形为一个方程，再通过方程求解通项。

例如，求等比数列1, 2, 4, 8, ...的通项。

观察可知，每一项与前一项的比值为2，即递推式为an = 2 * an-1、变形方程为an = 2 * an-1，将an-1代入等式中得到an = 2^n。

因此，等比数列的通项为an =2^n。

4.积分法：积分法适用于一些特殊的数列，如等差递减数列、等比递减数列等。

通过对递推式进行积分，可以得到一个通项形式的积分表达式。

例如，求等差递减数列1, 4/3, 1, ...的通项。

观察可知，每一项与前一项的差值为-1/3，即递推式为an = an-1 - 1/3、对递推式进行积分得到通项的积分表达式∫an dn = ∫(-1/3) dn，即an = C - n/3，其中C为常数。

递推数列通项公式的求法递推数列是指通过前一项或前几项推导出后一项的数列。

通项公式是指通过数列中的任意一项可以直接计算出该项的数值的公式。

在求递推数列的通项公式时，可以使用多种方法，包括直接法、联立方程法、差分法、母函数法等。

下面将详细介绍这些方法。

一、直接法二、联立方程法联立方程法适用于一些复杂的递推数列，通过联立多个方程来求出通项公式。

该方法需要已知的一些数列值，然后根据这些值建立方程组，通过解方程组来求得通项公式。

例如，对于数列1，3，7，13，21，...，我们可以通过观察得到an = a(n-1) + 2n-1、然后，我们可以通过已知项确定初始值，如a1 = 1、通过逐一代入这些值，可以得到如下的方程组：a2 = a1 + 2(2) - 1，a3 = a2 + 2(3) - 1，...，以此类推。

然后我们可以通过求解这个方程组来得到数列的通项公式。

三、差分法差分法是通过求解数列项之间的差分来求得通项公式。

该方法常用于递推数列的高阶通项公式的求解。

对于数列an，我们可以通过计算an+1- an的值，然后继续计算相邻项之间的差分，直到得到一个关于n的表达式。

例如，对于数列1，3，6，10，15，...，我们可以计算出相邻项之间的差分：2，3，4，5，...。

我们发现这个差分数列是一个等差数列，其通项公式为an = n(n+1)/2、通过这个通项公式，我们可以进一步求得原数列的通项公式。

四、母函数法母函数法是一种重要的数学工具，适用于一些复杂的递推数列。

该方法通过构造一个函数来表示数列的各项，然后通过求解函数的表达式来得到数列的通项公式。

例如，对于数列1，1，2，3，5，...，我们可以构造一个函数F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...。

我们可以通过求解这个函数关于x的表达式来得到数列的通项公式。

这个函数有一个特点，即F(x)=xF(x)+1，通过求解这个方程我们可以得到F(x)=1/(1-x)。

小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法递推和递归是数学中常见的两种求解问题的方法。

在小学数学中，递推和递归的思想和方法被广泛运用，帮助学生理解和解决各种数学问题。

本文将介绍递推和递归的基本概念、思想和解题方法。

一、递推的概念和思想递推是一种基于已知条件来求解未知项的方法。

它利用已知的前一项或前几项，通过确定的规律来求解后一项或后几项。

递推的思想可以用一个简单的公式来表示：an = an-1 + d其中，an表示第n项，an-1表示第n-1项，d表示公差或增量。

通过递推的方法，我们可以简单地找到某个数列中任意一项的值。

例如，给定一个数列1，4，7，10...，我们可以通过递推的思想得到第n项的值为1+(n-1)×3。

递推的优势在于其简单直观的计算方式，对于小学生而言易于理解和掌握。

通过递推的训练，学生可以培养自己的数学思维和观察问题的能力。

二、递归的概念和思想递归是一种通过将问题分解为更小的相似问题并解决它们的方法。

在递归中，问题的解决依赖于其自身的解决方案。

递归的思想可以通过以下公式表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示第n项的值，f(n-1)表示第n-1项的值，f(n-2)表示第n-2项的值。

递归的思想与递推相比，更注重将问题分解为更小、更简单的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。

通过递归的方法，我们可以解决一些相对复杂的问题，比如斐波那契数列等。

递归在小学数学中的应用更多地体现在解决一些较为复杂、具有迭代关系的问题上，培养学生的逻辑思考和问题分解的能力。

三、递推和递归的解题方法1. 递推的解题方法递推的解题方法相对简单明了。

首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律和增量。

然后，根据已知的前一项，利用所确定的规律来求解后一项。

以求解等差数列为例，我们可以通过观察得到等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)×d，其中a1为首项，d为公差。

求数列递推式常用的八种方法1. 直接法直接法是最简单和直接的方法，通过观察数列的规律，直接写出递推式。

例如，对于等差数列，递推式可以直接表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 分析法分析法是通过对数列进行数学分析，找出其中的规律，并根据规律推导出递推式。

这种方法通常需要一定的数学知识和分析能力，适用于较复杂的数列。

3. 求通项法求通项法是通过求出数列的通项公式，然后根据通项公式得到递推式。

对于一些特殊的数列，可以通过求通项的方式得到简洁的递推式。

4. 差分法差分法是通过对数列的前后项进行差分，找出差分序列的规律，并根据差分序列得到递推式。

差分法适用于一些变差规律较为明显的数列。

5. 指标法指标法是通过设立指标，将数列的各项表示为指标的函数，然后根据指标的变化规律得出递推式。

指标法通常用于描述具有规律性的数列。

6. 递推法递推法是通过递推关系式，从已知的前几项不断递推得到后面的项，并找到递推关系的规律性。

递推法适用于对于递推关系有一定了解的数列。

7. 求和法求和法是通过数列的和式表达式，将和式中的各项表示为数列的递推式，然后得出递推式。

求和法常用于求解数列的递推式，特别是对于等差数列和等比数列。

8. 递归法递归法是通过将数列的递推关系式表示为函数的递归定义，然后根据递归定义得到递推式。

递归法适用于递推关系较为复杂的数列。

以上是求数列递推式常用的八种方法，通过不同的方法可以找到适合不同数列的递推式，帮助我们更好地理解和描述数列的规律。

精析由递推公式求通项的9种方法1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1n. 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n. 2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)．[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n . 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝q p －1，可令a n ＋1＋t＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3. 4．a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1qn ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n ，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n ，再利用叠加法(逐差相加法)求解．[例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1，求a n . [解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1. 令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1， 根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)． 所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项， 以23为公比的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝⎛⎭⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝⎛⎭⎫23n .于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝⎛⎭⎫12n －2⎝⎛⎭⎫13n . 法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得 3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1.令b n ＝3n ·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝⎛⎭⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝⎛⎭⎫322.将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＋⎝⎛⎭⎫32n . 又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32， 所以b n ＝1＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＋⎝⎛⎭⎫32n ＝1·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝2⎝⎛⎭⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝⎛⎭⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝⎛⎭⎫12n －2⎝⎛⎭⎫13n . 5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n .[解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2A ＝2，2B －3A ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1. 令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n ， 代入(*)式，得a n ＝2·3n －n －1.6．a n ＋1＝pa r n (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a ·a 2n(a >0)，求数列{a n }的通项公式． [解] 对a n ＋1＝1a ·a 2n的两边取对数， 得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a. 令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a. 由此得b n ＋1＋lg 1a ＝2⎝⎛⎭⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ， 所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列． 所以c n ＝2n －1·lg 1a. 所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎡⎦⎤a ·⎝⎛⎭⎫1a 2n －1＝lg a 1－2n ， 即lg a n ＝lg a 1－2n ，所以a n ＝a 1－2n .7．a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n， ∴1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 又1a 1－1＝23，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列， ∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2. 8.)(1n f a a n n =++型由原递推关系改写成),()1(2n f n f a a n n -+=-+然后再按奇偶分类讨论即可例8.已知数列{}n a 中，,11=a .21n a a n n =++求n a解析：.21n a a n n =++2212+=+++n a a n n ，故22=-+n n a a即数列{}n a 是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，⎩⎨⎧∈≥-=∴*,1,1,N n n n n n n a n 且，为偶数为奇数 9.)(1n f a a n n =⋅+型将原递推关系改写成)1(12+=+⋅+n f a a n n ，两式作商可得,)()1(2n f n f a a n n +=+然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列{}n a 中，,2,311n n n a a a =⋅=+求{}n a 解析：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥⋅⋅=+-N n n n n a n n n ,1,231,23221，为偶数为奇数。