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第 8 弯曲刚度

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建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核

建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核

9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
12
小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
14
2
图 8.2
3
图 8.3
4
5
6
7
8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为

工程力学第八章 直梁弯曲

工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁

08第八章 弯曲变形

08第八章 弯曲变形

二、梁计算简图 1支座形式与支反力 作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力 载荷和支座反力。工程中常见支座有以下 载荷和支座反力 三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处 固定铰支座。 固定铰支座 任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。 （2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支 活动铰支座。 活动铰支座 承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 （3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任 固定端。 固定端 何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程 选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截 面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程： （2）作弯矩图 由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以 弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度 为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截 面上的剪力和弯矩。
解： （1） 计算1-1上的剪力和弯矩。 假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡， 剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2） 计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面 处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按 正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力 偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变， 突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上 。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集 度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。

构件弯曲刚度-概述说明以及解释

构件弯曲刚度-概述说明以及解释

构件弯曲刚度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述构件弯曲刚度是指构件在承受外力作用下发生弯曲时所表现出的抵抗变形的能力。

在工程领域中，构件弯曲刚度是一个重要的参数，它直接影响着结构的稳定性和持久性能。

构件弯曲刚度的概念可以从两个方面来理解。

首先，从力学角度来看，构件弯曲刚度是指在给定的外力作用下，构件所发生的弯曲变形与所施加力矩的比值。

其数值越大，说明构件越难被弯曲和变形，具有较高的刚度。

其次，从工程设计角度来看，构件弯曲刚度反映了结构对外界荷载的抵抗能力。

在实际工程中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要合理选取构件的弯曲刚度。

构件弯曲刚度受多种因素的影响。

首先，构件的材料性质是影响弯曲刚度的重要因素之一。

不同材料具有不同的弯曲刚度，如强度高的材料往往具有较高的弯曲刚度。

其次，构件的几何形状对弯曲刚度也有着重要的影响。

构件的截面形状和尺寸大小会直接影响构件的刚度。

此外，外部环境条件以及构件与其他构件之间的连接方式也会对弯曲刚度产生一定的影响。

在实际工程设计中，构件弯曲刚度的重要性不可忽视。

具有较高弯曲刚度的构件可以有效地抵抗外界荷载的作用，提高结构的稳定性和安全性。

同时，弯曲刚度也与结构的变形和挠度密切相关。

通过合理设计和加强构件的弯曲刚度，可以降低结构的变形，提高结构的使用寿命。

为了提高构件的弯曲刚度，可以采取多种方法。

首先，选用合适的材料，如高强度材料或具有较高刚度的材料，可以有效提高构件的弯曲刚度。

其次，通过改变构件的截面形状和尺寸，可以增加构件的刚度。

此外，采用适当的连接方式和支撑结构，也可以有效增加构件的弯曲刚度。

总之，构件弯曲刚度在工程设计中扮演着重要的角色。

了解构件弯曲刚度的定义、影响因素以及提高方法，对于设计出稳定可靠的工程结构具有重要意义。

在未来的研究和实践中，我们应该进一步深入研究构件弯曲刚度的理论与应用，为工程结构的设计和施工提供更准确、可靠的指导。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述构件弯曲刚度的相关内容：1. 引言：在引言部分，将对构件弯曲刚度的概念进行概述，介绍本文的目的和重要性。

工程力学第8章 变形及刚度计算

工程力学第8章 变形及刚度计算

39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：

工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁

工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁

B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值

工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度


课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)

第 8 章 弯曲刚度



例题 8-2
F
A
a
q
a
C
叠加法求A截面 B 的转角和C截面 的挠度. 解：
B
Fa 2 FA 4 EI
Fa 3 w FC 6 EI
F
A
a
=
FA C
wFC
a
q


+
B
A
a
qA C
wqC
a
qa 3 qA 3 EI 5 qa4 w qC 24 EI
d w M 2 EI dx
2
w
d 2w 0,M 0 2 dx M M
d 2w 0,M 0 2 dx
M M
本书所采 用的情况
x
x
d w M 2 EI dx
2
w
d w M 2 EI dx
2
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
EIw( x ) M ( x )
EIw( x ) M ( x )dx C 1
41ql 4 24 EI
§6 简单静不定梁
q
A
FAy
a
C
a
B
FBy
F
y
0 , FAy FBy 2qa 0.
0 , FBy 2a 2qa a 0.
M
A
1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。
q
A
FAy
a
C
§2 小挠度微分方程及其积分 一、 小挠度微分方程
1 M( x ) ( x ) EI z
曲率与弯矩的关系
B
1 3 2 ( x ) 2 dw 1 dx d 2w dx 2

工程力学第8章 变形及刚度计算

第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54

第八章__变形及刚度计算


8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
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w=0
D= 0
第 8 章 弯曲强度
x
A
w
l
小挠度微分方程及其积分
B
F
wB
B
x
6. 建立转角与挠度方程
EI F ( lx x2 )
2 EIw( x ) F ( lx2 x3 )
26
7. 绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度
max
B
Fl 2 2 EI（
）wmax
wB
Fl 3 （ 3EI
）
第 8 章 弯曲强度
(ห้องสมุดไป่ตู้
l
l M ( x )dx )dx C1 x C2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方
程 = (x) = w‘(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也就可以
求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求转角和
挠度的方法称为积分法。
第 8 章 弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
二、积分常数的确定
第 8 章 弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
§8-2 小挠度微分方程及其积分
一、 小挠度微分方程
q ( x )
A
x
1 M( x )
( x ) EIz
曲率与弯矩的关系
d 2w
B1
dx 2
(
x
)
1
dw
3
2 2
dx
曲率与挠度曲线的关系（数学表达式)
第 8 章 弯曲强度
1 M( x )
( x ) EIz
A
C
B
F Ay
a
a
FCy
FBy
Fy 0, FAy FBy FCy 2qa 0.
MA 0, FBy 2a FCy a 2qa a 0.
2.静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个 数，只利用静力方程不能求出所有的未 知力。
第 8 章 弯曲强度
q
简单静不定梁
A
C
B
F Ay
第 8 章 弯曲强度
弯曲变形与位移的基本概念
三、梁的位移与约束密切相关
M Fpa A
B M Fpa
l
C
A
Fp a
l
Fp
C Fp
a
A
l
因为
B
D M Fpa
a Fp 所以
1M
B
EI z
第 8 章 弯曲强度
弯曲变形与位移的基本概念
四、梁的位移分析的工程意义
A
B
d
C
Fp
a
l
对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响 构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿 轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠 度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角 如果过大会增加轴承的磨损等等。
1.边界条件 梁截面的已知位移条件或位移约束条件
a
F b
A
C
l
F
D
E
B wA 0 wB 0
D 0
wD 0
第 8 章 弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
2.连续条件 分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条 件，简称为梁位移的连续条件。
aF
b
A
C
B
l
C左 C右
wC左 wC右
第 8 章 弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
FCy
5 8
qL
第 8 章 弯曲强度
简单静不定梁
7.求解静不定的梁的方法与步骤
（1）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静 不定次数；
（2）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用， 得原静不定梁的相当系统；
（3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应 的变形协调方程建立补充方程，从而求出多余支反力。
kN，a＝lm，l＝2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图
所示。规定轴承B 处的许用转角θ =0.5°。
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
B
d
C
Fp
a
l
第 8 章 弯曲强度
弯曲刚度计算
A
B
d
C
Fp
a
l
解：
1．查表确定 B 处的转角
＝
B
－
FPla 3EI
2．根据刚度设计准则确定轴的直径 B
d
4
64 20 1 2180 103
3 π
2
206
0.5
109
m
11110-3 m
111mm
第 8 章 弯曲强度
a
a FCy
FBy
3.静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方
程数之差，称为静不定次数。
4.多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必 需的约束，称为多余约束。
5.多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶 矩，统称为多余支反力。
第 8 章 弯曲强度
q
简单静不定梁
q
A
C
a
a
B A
C
a
FCy
第 8 章 弯曲强度
§7-6 简单静不定梁
q
简单静不定梁
A
C
B
F Ay
a
a
FBy
Fy 0, FAy FBy 2qa 0.
MA 0, FBy 2a 2qa a 0.
1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。
第 8 章 弯曲强度
q
简单静不定梁
§8-3 工程中的叠加法
一、叠加法
Me
q
工程中的叠加法
x
Fx
w
x2
M Me Fx q 2
d2w M
dx 2
EI
小变形条件下成立。 材料服从胡克定律。
第 8 章 弯曲强度
Me
工程中的叠加法
q x
Fx
w M
Me
Fx
q
x2 2
EIwi Mi
M Mi EIw M
所以 EIw M Mi EIwi
例题 8-1 求图示悬臂梁的转角方程 = (x)和挠度方
程 w=w(x) ，并求最大转角max及最大挠度 wmax。
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
x
A
MA
l
FA w
Fx
B
解：1. 建立坐标系
2. 求支反力 FA F
M A Fl
3. 列弯矩方程 M( x ) F( l x )
第 8 章 弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
x
A
w
l
Fx
B
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分
EIw( x ) F( l x )
EIw( x ) EI F ( lx x2 ) C
lx2 x3
2
EIw( x ) F ( ) Cx D
5. 确定积分常数
26
边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
q
工程中的叠加法
A
A wA
AF
A
wA
A
A wA
A
Mel EI
wA
Mel 2 2 EI
A
Fl 2 2 EI
Fl3
wA 3EI
A
ql 3 6 EI
ql4
wA 8EI
第 8 章 弯曲强度
简单模型---简支梁
F
A
A C
wC
l
l
2
2
A
l A C
wC
l
2
q2
A
l A C
wC
l
2
2
工程中的叠加法
第 8 章 弯曲强度
简单静不定梁
例题 8-4 q
已知：EI = 常数 求：作M 图
解：1.判断梁的静不定次数；
A
A
M
ql 2 ○ 8
B
l
q
l 9ql 2 FB
128
2. 建立相当系统；
3. 变形协调条件；
wB wqB wFBB 0
4. 物理方程；
ql 4 wqB 8EI
w FB B
FBl 3 3EI
即
w wi
第 8 章 弯曲强度
工程中的叠加法
1. 叠加法
在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力 共同作用引起梁的变形 ，等于这几个力分别单独作 用时引起梁的变形的代数和。
2. 用叠加法求梁的挠度和转角
步骤：
➢ 分解载荷——每种情况都是简单模型；
➢ 分别计算——查表；
➢ 叠加。
第 8 章 弯曲强度 简单模型--- 悬臂梁
5 qa 4
wC w FC w qC 6 EI
24 EI
第 8 章 弯曲强度
工程中的叠加法
例题 8-3 试求如图所示梁C 点处挠度和转角。
q A
已知悬臂梁在均布载荷 q 作用下B点的挠度和转 角为：（其中l 为梁长）
B
C
l
2ql
C
q
A l
B
ql 3 6 EI
B
wB
ql 4 8 EI
A
B
2l
q ( x )
A
w
x
w
Bx
2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。
用“” 表示。 ( x ) 转角方程
顺时针为正；逆时针为负。
第 8 章 弯曲强度
弯曲变形与位移的基本概念
q ( x )
A
w
w x
Bx