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流体力学第3章 流体运动学

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第三章流体运动学

第三章流体运动学

第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
流体力学-第三章

流体力学-第三章

空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
流体力学3----流体运动学

流体力学3----流体运动学

A B A B A B A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B
显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： 显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： 渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； （1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； 渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同， （2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，
∂u ∂p ∂ρ = = =0 ∂t ∂t ∂t
§3.1 流体运动的基本概念
1 恒定流与非恒定流
恒定流动与时间无关； 非恒定流动研究比较复杂； 客观存在的流体绝大部分为非恒定流——变化不大的非恒定流进行 简化——恒定流动——结果能近似客观实际。 如紊流运动时，空间点上的流体速度有一定程度脉动，实际上是一 种非恒定流动；若此脉动的真实流速在足够长时间过程中能保持在某一 定数值上下脉动，以平均流速代替真实流速，且时均流速不变，则可简 化为恒定流动。
当t＝1、x＝2、y＝1时，有 ax = 4m/ s2 同理 即
ay = −2m/ s2
a = 4i − 2 j
§3.3 迹线与流线
1 迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微分方程 ： 迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。
dx dy dz = = = dt ux uy uz
2 流线
式中时间t是自变量。 式中时间t是自变量。
Qm = ρQ，QG = ρgQ
dQ = udA
Q = ∫ dQ = ∫udA
A
5 断面平均流速
流过过流断面上各点的流速u一般不相等，为了便于计算， 流过过流断面上各点的流速u一般不相等，为了便于计算，设 过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v 过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计 算所得的流量与实际流量相同。 算所得的流量与实际流量相同。
流体力学第三章 流体运动学基础

流体力学第三章 流体运动学基础


不可压缩流体
∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
∂u u + ∂uδyy u+ δ ∂yy B ∂ B ∂u (( ∂uδyyδtt δ ))δ ∂yy ∂ ∂v (( ∂vδx)δtt δx)δ ∂x ∂x
C C
B B
δβ δβ
B’ B’
δyy δ
vv ∂v vv+ ∂vδx + δx ∂x ∂x A A
δyy δ δα δα
A’ A’ O O
δδx x
O O
u u
δx δx
A A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
流体团绕 z 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ωz = ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠
V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线5
流线的走向和疏密反映了某瞬时流场内流 体速度方向和大小：流线密的地方流速大
流体力学
流线、迹线的区别
同一质点，不同时刻位置的连线
迹线
流场中实际存在的线 拉格朗日观点下的概念 同一时刻，不同质点的连线 速度方向与该点切线方向重合
流线
流场中并不存在，假想曲线 欧拉观点下的概念
流体力学
流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形 +
=
t0
+ 流体团复 合运动
流体力学
+ 旋转 角变形
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学

流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学


（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料

流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料

ayd d y t ty xyd d x t yyd d y t zyd dz tayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x zd d x t y zd d y t zzd dx ta zd d z t tz x xz y yz z zz
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)

或
uu(x,y,z,t)
uz

uz (x,
y,
z
,
t
)

固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
流体力学——3 流体运动学

流体力学——3 流体运动学

因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。

速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
工程流体力学-第三章

工程流体力学-第三章


三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax

dux dt

dux (x, y, z,t) dt

ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay

du y dt

duy (x, y, z,t) dt

u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az

du z dt

duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt

ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学

水力学 第三章 流体运动学

§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
流体力学 水力学 第三章 液体运动学

流体力学 水力学 第三章 液体运动学


对于总流：Q dQ
Q
A1
u dA
1
1

A2
u dA
2
2
Q 1 A1 2 A2
2
dA2 u2
1 A2 2 A1
1 u1 A1
A2
2
dA1 1
回顾：流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式
z
p C g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
du du( x , y , z , t ) u u dx u dy u dz a t x dt y dt z dt dt dt
u u u u ux uy uz t x y z
---全加速度
u ---当地加速度或时变加速度 t
dx dy dz dt 迹线微分方程： ux u y uz
流线：某一瞬时在流场中给出的线，在这条曲 线上所有各流体质点的流速矢量和该曲线相切。 流线显示了瞬时的流动方向。
u2 u3 u4
DL2 D1 u1 C1 DL B11Biblioteka A1流线的基本特性：
①恒定流时，流线不随时间而变，具有恒定性；非恒定流 时，流线随时间而变，具有瞬时性 ②恒定流时(每个质点的流线形状不变)，流线与迹线重合； 非恒定流时，流线与迹线不重合。 ③流线不能相交，也不能转折，只能是光滑的曲线。
dT T T l T T u dt t l t t l
4 C 1 C / d 2000km / d 2000km
3 C / d

例：已知速度场 u 4 y 6 x t i 6 y 9 x t j。试问： （1）t=2s时，在（2,4）点的加速度是多少？ （2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动 是均匀流还是非均匀流？ u x u x u x 解：
流体力学第三章

流体力学第三章

第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。

3工程流体力学 第三章流体运动学基础

总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2

流体力学第3章流体运动学

第3章流体运动学选择题:.2dr v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（b）t；（c）（v ）v；v（V ）v（d）t odv va —— v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt t v（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。

解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。

解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。

（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。

解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。

解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。

（d ）【3.6 ］变直径管，直径d i 320mm, d2 160mm，流速V i 1.5m/s。

V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。

V| — d；V2— d；解：按连续性方程，4 4 ，故V V虫1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。

解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。

（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随时间变化而变化；（d）与时间无关。

流体力学第三章流体运动学与动力学基础

流体力学第三章流体运动学与动力学基础第三章流体运动学与动力学基础主要内容 ? 基本概念 ? 欧拉运动微分方程 ? 连续性方程——质量守恒* ?伯努利方程——能量守恒** 重点 ? 动量方程——动量守恒** 难点 ? 方程的应用第一节研究流体运动的两种方法? 流体质点：物理点。

是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

? 空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。

二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerianmethod1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。

第三章：流体运动学

或：
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。

第3章 流体运动学


② 非恒定流

通过空间点处流体质点运动参数的全部或部分要随时间 t 变化的流动
u u ( x, y , z , t ) p p ( x, y , z , t )
( x, y , z , t )
③ 特点


恒定流：
流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而
与时间无关。


c1=c2=0
x t 1 y t 1
x y 2

——迹线方程（直线）
（3）若恒定流：ux=x，uy=－y
流线
迹线
xy 1 xy 1
注意：恒定流中流线与迹线重合
三、元流和总流

1、流管

定义：在流场中画一封闭曲线C，经过曲线C的每一点作
流线，由许多流线所围成的管称为流管。
得t=0时过点（0，0）的迹线方程为
为抛物线
b 2 y 2 x 2a
y
c=2
c=1 c=0 o x t=0时的流线和迹线
例3：已知速度ux=x+t，uy=－y+t
求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
dx dy 解：（1）流线： xt yt
积分：
ln(x t )( y t ) c
Du u a (u )u Dt t
v t
当地加速度:表示通过固定空间点的流体质点速度
随时间的变化率；
(u )u
迁移加速度:表示流体质点所在空间位置的变化
所引起的速度变化率。
三、两种方法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的

流体力学：第3章流体运动学(上)


u u( x, y, z )
u 0 t
• 定常流的时变加速
度为零，但位变加速 度可以不为零。
3.3.1 定常、非定常流动（steady and unsteady flow)
•
流 动 是 否定常与所 选取的参考 坐标系有关, 因此是相对 的概念。
3.3 描述流体运动的基本概念
3.3.2. 均匀、非均匀流动
实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族 曲面，它们的交线就是流线族。
2. 流线
流线的几个性质：
（1）流线具有瞬时性。
（2）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合； 对于定常流场，流线与迹线重合。 （３）流线不能相交或突然中断（驻点和速度无限大的奇点除外）。 （４）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。
曲线坐标 s 的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面 上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过 水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。
• 二维流动
流场与某一空间 坐标变量无关，且沿该坐标 方向无速度分量的流动。
直角系中的平面流动：
ux ux ( x , y , t ) uy uy ( x , y , t ) u 0 z
3.2.2 Euler法
1.基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。 2.欧拉变数：（x,y,z,t）——流体 质点所在空间位置
•欧拉变数 x,y,z 与 L. 法中质点位
置x,y,z有所区别，空间点x,y,z是t 独立变量即与 t 无关，而质点位 置x,y,z是t的函数
3.2 描述流体运动的两种方法
Reynolds数
Re cr 不是一个确定的常数，它与水流扰动等实验条件有关。扰动 大 Re cr低；扰动小 Re cr 高。它的下限约2300，上限会高达40000。
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若给定a，b，c，即为某一质点的 运动轨迹线方程。
u x 2 x(a, b, c, t ) ax t t 2 u y 2 y (a, b, c, t ) ay t t 2 u z 2 z (a, b, c, t ) az t t 2
x x(a, b, c, t ) ux 流体质 t t 点在任 u y y(a, b, c, t ) y t t 意时刻 的速度。uz z z (a, b, c, t ) t t
所以有
u u u u a ux u y uz t x y z
u u u u u a ux uy uz (u )u t x y z t
将加速度分解到三个坐标轴上，有
u x u u u ux x u y x uz x t x y z u y u y u y u y ay ux uy uz t x y z u z u z u z u z az ux uy uz t x y z ax
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t ) p p ( x, y , z , t )
u u( x, y, z, t )
若x，y，z为常数，t为变数， 若t 为常数， x，y，z为变数， 若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为 变数，且有 x（t），y （t） ，z （t） ，
根据欧拉法对速度的定义，应有
du
u0 u0 ( x, y, z, t )
u0
u1
u1 u1 ( x x, y y, z z, t t ) M(x,y,z)
两者之间的关系为
M '( x ', y ', z ')
u u u u u1 u0 du u0 t x y z t x y z
（2）流管、微小流束（元流）、总流
流管——在流场中取一 封闭曲线L，过曲线上每 一点可作一条流线，这 些流线构成的一个封闭 的管状曲面
L
元流（微小流束）—— 当L包围的面积dA无限小 时，充满微小流管内的 液流 总流——当L为运动液体 的边界时，充满流管的 整股液流。总流可看成 是由无数多个元流组成
（2）恒定总流的连续性方程 将恒定元流连续性方程积分
dA1
u2 dA2
u1
得：
Q1 Q2
也可表达为： v1 A1 v2 A2
恒定总流的连续性方程
式中v1和v2表示过水断面的平均流速。 可见：对不可压缩恒定总流，任意两过水断面的平均流速与 过水断面的面积成反比。
适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。
ux
1 u x dx 2 x
dy
o
y
于是，单位时间内从x方向净流入控制体的流体质量为
u x ( ux ) dmx dxdydz dxdydz x x
u x ( ux ) dmx dxdydz dxdydz x x
同理可得从y和z方向净流入控制体的流体质量为。 u y ( u y ) dmy dxdydz dxdydz
u1
u2 dA2
依质量守恒定理，应有：
1u1dA1dt 2u2dA2dt
即有： dQ1 dQ2
设 1 2 ，则 u1dA1 u2dA2 恒定元流的连续性方程
可见，对不可压缩流体，恒定元流的流速大小与过水断面面积 成反比。面积越小，即流线越密集处，流速越大。
3.4 恒定一元流的连续性方程式
水流的运动为三元流。
3.4 恒定一元流的连续性方程式
（1）恒定元流的连续性方程 在恒定总流中，取一微小流束 该微小流束（元流）有如下性质： dA1
① 元流的形状和位置不随时间而改变； ② 不可能有液体经元流侧面进入或流出； ③ 液体是连续的，内部不存在间隙； ④ 元流的过水断面极小，可认为过水断面上的流速均匀；
本章研究流体运动的基本规律。
主要内容：
描述流体运动的两种方法 欧拉法的若干基本概念
流体运动的分类
恒定一元流的连续性方程式 连续性微分方程
3.1 描述液体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以流体质点为研究对象，追踪观察流 体质点的运动轨迹，并探讨其运动要素随 时间及空间的变化规律。 拉格朗日法与一般固体力学里研究质点系运动规 律的方法相同，所以又称为质点系法。 2.欧拉法 ——以流场为研究对象，研究流场中各空 间点上不同时刻不同流体质点的运动要素 的空间及其随时间的变化规律。
u 时变加速度 t
位变加速度 (u )u
举例
A A’
B
B’
uAdt
uBdt
3.2 欧拉法的若干基本概念
•迹线与流线 •流管、元流、总流 •过水断面、流量和断面平均流速
（1）迹线与流线 迹线——是指某流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的
空间点所连成的线。
迹线是以拉格朗日法描述流体运动时提出的概念。
a lim u u x u y u z u1 u0 lim t 0 t 0 t t x t y t z t
迹线
对某一流体质点，其加速度即为速度对时间的变化率，即 所以 又因为
x y z lim u x ; lim u y ; lim uz t 0 t t 0 t t 0 t
3.4 恒定一元流的连续性方程式
（3）有分流和汇流时总流的连续性方程 前面推导到恒定总流的连续性方程只适用于一股总流，若 流程中有分流或汇流，则可通过质量守恒定理，同样建立 相应的连续性方程。
Q3
Q1 Q1
Q2 Q3 Q2
Q1 Q2 Q3
Q1 Q3 Q2
若用过水断面的面积和平均流速表示，则分别有
v1 A1 v2 A2 v3 A3
v1 A1 v3 A3 v2 A2
3.5 三元流动的连续性方程
在流场中任取一以O（x,y,z）为中心的 微小平行六面体为控制体进行分析。 为简单计，控制体的三个相邻 边长为dx,dy,dz，且分别和三个 坐标轴平行。控制体中心处流 体的速度分量为ux,uy,uz。液体 密度为ρ。 将各流速分量用泰勒级数展 开，并略去二阶以上微量， 可得六面体六个表面中心点 的流速。比如，两个与x轴垂 直的面abcd和a’b’c’d’的中心 点M和N点的x方向流速分别 1 u x 为 uMx u x dx 2 x a a’ dz b’
三元（维）流
均匀流 按流线是否为彼此平行的直线 非均匀流 急变流
渐变流
有压流动 按液体流动时是否有自由液面
无压流动（明渠流）
3.3 流体运动的分类
均匀流 渐变流 非均匀流 均匀流 急变流 非均匀流 均匀流
均 匀 流
非均匀流 急变流
均匀流、渐变流过水断面的重要特性
均匀流是流线为彼此平行的直线的流动，应具有以下特性： •过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变； •同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上 的流速分布相同，断面平均流速相等；
流体质 点在任 意时刻 的加速 度。
2.欧拉法 欧拉法 通过考察不同时刻通过 固定空间点不同流体质点的运动情 况，了解整个流动空间的流动情况。
y
z
t时刻
O
M （x，y，z） x
相当于在流场中设置许多观察点，研究不同时刻、不同观察点 上不同流体质点的运动情况，将各个观察点的运动信息汇总， 便可了解整个流场的运动情况。 用欧拉法观测分析流场，可将流体质点的运动要素表示成空间 坐标和时间的函数，如流体质点的速度和压强可以表示为
（3）过流断面，流量和断面平均流速
过流（水）断面——垂直于元流或总流流线的断面。 过流断面处处与流线垂直，且不一定是平面。只有
当流线相互平行时，才是平面。 流量——单位时间内通过某 一过水断面的液体的数量。 液体的数量如用体积度量，
则称体积流量，以符号Q表示，
常用单位m3/s。 液体的数量如用质量度量，则称质量流量。总流的质量流 量用ρQ表示，常用单位kg/s。
3.3 流体运动的分类
凡流场中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种流
动称为一元（维）流。 流场中任何点的运动要素和两个空间自变量有关，此种流动称
为二元（维）流。
若流场任一点的运动要素与三个空间位置变量有关，这种流动 称为三元（维）流。 例：微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流 速代替的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分
1 ux dmin ux dx dydz 2 x
a a’ dz b’
1 u x ux dx 2 u xx
d
M
b
O N
d’ c
c’ dx
单位时间内从x方向流出控制体 的流体质量为
1 u x dmout u x dx dydz x 2 x
ux
1 u x ux dx 2 u xx
d
z
M
b
O N
d’ c
c’ dx
1 u x dx 2 x
dy
o x
u Nx
y
1 u x ux dx 2 x
uMx
1 u x ux dx 2 x
u Nx
1 u x ux dx 2 x
因为所取的控制体非常小，可认为 在六个表面上的流速分布是均匀的， 并且密度在整个控制体内均匀分布， z 则单位时间内沿x轴方向流入控制体 的流体质量为：
Q udA
即为旋转抛物体的体积
旋转抛物面
A
v A Q 即为柱体的体积
断面平均流速v