当前位置：文档之家 › 数学建模 零件参数的优化设计

数学建模 零件参数的优化设计

  • 格式：doc
  • 大小：231.00 KB
  • 文档页数：14

零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。

已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1(=ixi 决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。

总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。

问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。

这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为：y的目标值（记作y0）为1.50。

当y偏离y+0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y+0.3时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。

7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级i σ：第i 类零件参数的方差（i=1,2,……7）；i i b a ,：标定值i x 的上、下限；y ：离子分离器某参数的实际值；0y ：离子分离器该参数的目标值； y ：离子分离器某参数的均值；y∆：离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；σ：离子分离器某参数的方差；yP:一批产品中正品的概率；1P:一批产品中次品的概率；2P:一批产品中废品的概率；3 Array又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。

（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。

此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。

五、模型建立为了确定原设计中标定值（x i i (,,,)=127 的期望值）及已给的容差对产⎰⎰+=8.16.14.12.12)()()()(y d y y d y P ϕϕ（2）y 偏离3.00±y 的概率，即废品的概率为⎰⎰+∞∞-+=8.12.13)()()()(y d y y d y P ϕϕ（3）由于y 偏离0y 越远，损失越大，所以在y σ固定时，调整y 使之等于目标值0y 可降低损失。

取0y y y -=∆即0y y =，则)(t φ为标准正态分布函数。

综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下： 目标函数min )90001000(10003271P P C W i ij ++⨯=∑=解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon 的多次迭代中，耗费大量时间。

所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab 中diff 函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int 函数对y 的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。

程序流程图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。

七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将)y=展开并略去二次及以上项使线(Xf性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。

但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。

在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。

2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允 范围内，即[]i i i i x x σσ3,3+-。

现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。

3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每 个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。

八、模型的评价及推广此模型有较强的应用价值。

工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。

所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。

本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。

模型中的设计变量x i i (,,,)=127 可以推广到n 个的情形，即设计变量x i n R i n (,,,)=∈12 ，其中设计空间R n是一个n维空间。

本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。

参考文献【1】韩之俊,姚平中,《概率与统计》,国防工业出版社,1985【2】陈宝林,《最优化理论与算法》,清华大学出版社,1989【3】裘宗燕,《数学软件系统的应用及程序设计》,北京大学出版社,1994 【4】许波，《Matlab工程数学应用》，清华大学出版社，2001end;end;end;end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin);%用随机法和计算的结果进行模拟比较function f=simulation(MU,B)%用随机法和计算的结果进行模拟比较for i=1:10000y(i)=Yfun(getparaX(MU,B));end;[f,xi]=ksdensity(y);plot(xi,f);%画经验概率密度曲线hold on;y0=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%{%求最优标定值时的约束条件%c为不等式约束%ceq为等式约束c(1)=MU(1)-0.125;c(2)=0.075-MU(1);c(3)=MU(2)-0.375;c(4)=0.225-MU(2);c(5)=MU(3)-0.125;c(6)=0.075-MU(3);c(7)=MU(4)-0.125;c(8)=0.075-MU(4);c(9)=MU(5)-1.875;c(10)=1.125-MU(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7)-0.935;c(14)=0.5625-MU(7); ceq(1)=Yfun(MU)-1.5; function f=cost(MU,B)switch(B(6))case1f=f+100;case2f=f+25;case3f=f+10;end;if(B(7)==1)f=f+100;elsef=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;function f=getfcY(MU,B)%对于所给的标定值和容差求Y的方差f=0;B=int32(B);for i=1:7^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*x3/(x2-x1)^2;function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x2的偏导f=-148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1))^...(3/20)*((1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(...3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*x3/(x2-x1)^...2+8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1))^(17/20)/((1-131/50*(1-9/25/...(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*(24759/31250*...(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(1/2)/(x4/x2)^(2/5)*x4/x2^2+3799/1250*(1-9/25/...(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(4/25)*x4/x2^2)/x6/x7;function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x3的偏导f=148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1))^(3/20)*((1-131/50*...(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)/(x2-x1);function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x4的偏导f=8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1))^(17/20)/((1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^...(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*(-24759/31250*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^...(1/2)/(x4/x2)^(2/5)/x2-3799/1250*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(4/25)/x2)/%f(2)=(cdf('normal',y0+0.3,yb,fc)-cdf('normal',y0+0.1,yb,fc))*2;%f(3)=2*cdf('normal',y0-0.3,yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f);function f=jf1(u,a0)%通过积分求出现次品的概率...erf(1/10*2^(1/2)*(-9+5*u)/a0)*2^(1/2)*pi^(1/2).........function f=jf2(u,a0)%通过积分求出现废品的概率............function f=Yfun(x)%Y的表达式function f=getparaX(MU,B)%利用标定值MU和容错等级B，随机求一组零件的参数B=int32(B);for i=1:7if B(i)==1sigma0(i)=MU(i)*0.01;end;if B(i)==2sigma0(i)=MU(i)*0.05;if B(i)==3sigma0(i)=MU(i)*0.1;end;f(i)=normrnd(MU(i),sigma0(i)/3);%while(~(f(i)>(MU(i)-sigma0(i))&f(i)<(MU(i)+sigma0(i)))) %f(i)=normrnd(MU(i),sigma0(i)/3);%end;end;。

合集下载

优化设计的数学模型

优化设计的数学模型


—— —— —— —— —— —— ——
机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32
数学建模零件参数的优化设计

数学建模零件参数的优化设计

数学建模零件参数的优化设计Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。

已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1(=ixi 决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。

总费用就包括y偏离y造成的损失和零件成本。

问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。

我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。

2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。

在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。

但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。

经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。

最终计算出的各个零件的标定值为：ix={,,,,,,},等级为：BBCCBBBd,,,,,,=一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。

为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。

最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。

关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

零件参数包括标定值和容差两部分。

进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。

若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。

这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

数学建模中的参数估计与优化

数学建模中的参数估计与优化

数学建模中的参数估计与优化在数学建模中，参数估计和优化是两个重要的步骤。

参数估计是指通过已知的数据和模型，来估计模型中的未知参数的值。

而优化则是通过调整参数的值，使得模型的某个指标达到最优化的目标。

本文将探讨数学建模中的参数估计与优化的方法和应用。

一、参数估计1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计参数的值。

该方法适用于线性模型和非线性模型。

对于线性模型，最小二乘法的解可以通过求解正规方程组得到；对于非线性模型，可以使用迭代算法如牛顿法或高斯-牛顿法来求解。

2. 极大似然估计极大似然估计是一种基于概率统计的参数估计方法，它通过最大化观测数据出现的概率来估计参数的值。

该方法适用于各种模型，包括线性模型和非线性模型。

对于线性模型，极大似然估计的解可以通过求解正规方程组或使用迭代算法来得到；对于非线性模型，通常需要使用迭代算法来求解。

3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计的参数估计方法，它通过先验分布和观测数据的条件概率来估计参数的后验分布。

该方法适用于各种模型，包括线性模型和非线性模型。

贝叶斯估计的求解通常需要使用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法或变分推断等技术。

二、优化1. 单目标优化单目标优化是指通过调整参数的值，使得模型的某个指标达到最优化的目标。

常见的单目标优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法适用于连续可导的优化问题。

对于非连续或不可导的优化问题，可以使用遗传算法、粒子群算法等启发式算法来求解。

2. 多目标优化多目标优化是指通过调整参数的值，使得模型的多个指标达到最优化的目标。

常见的多目标优化方法包括多目标遗传算法、多目标粒子群算法等。

这些方法可以得到模型的一组最优解，形成一个非劣解集合。

三、应用案例1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的参数估计和优化问题。

通过最小二乘法估计线性回归模型的参数，可以得到最优的拟合曲线。

数学模型的参数优化方法

数学模型的参数优化方法

数学模型的参数优化方法数学模型在科研和工业应用中扮演着至关重要的角色。

但是，在实际应用中，如何找到最优的模型参数是一个挑战。

在本文中，我们将介绍一些常见的数学模型的参数优化方法。

一、遗传算法优化遗传算法是一种启发式方法，其灵感来源于自然界的遗传过程。

它通过从一组随机种群开始，通过交叉和突变操作生成新的“后代”种群，并根据不同的适应度函数来评估每个“后代”的适应度。

然后，优秀的“后代”可以遗传到下一代，如此反复进行，直到找到最优解。

遗传算法的优点在于它能够处理多维问题和非线性问题，但是其计算成本较高，需要大量的迭代和随机化操作。

二、蒙特卡罗优化蒙特卡罗方法是一种基于随机采样的优化方法。

它通过随机生成一些点并计算它们的适应度来找到最优解。

这些点可以从一些内置的分布中采样，如均匀分布、正态分布等等。

蒙特卡罗方法的优点在于它的实现简单易懂，并且不需要计算导数等数学知识。

但是，它的随机性导致其收敛速度较慢，需要大量的采样才能得到较准确的结果。

三、梯度下降优化梯度下降是一种基于导数的优化方法。

它通过计算函数的导数来沿着导数的负方向逐步迭代，最终达到函数的最小值。

梯度下降方法的优点在于它的收敛速度较快，并且能够处理大规模数据集。

但是，如果函数具有局部最优解，那么梯度下降方法可能会收敛到局部最优解，而不是全局最优解。

四、贝叶斯优化贝叶斯优化是一种基于概率模型的优化方法。

它通过建立一个先验概率模型来评估参数的不同取值并选择具有最大期望的下一个参数。

然后，使用新的参数来更新先验概率模型，并继续进行迭代。

贝叶斯优化的优点在于它能够处理非凸函数和高维参数空间。

但是，它需要建立一个先验概率模型，这需要大量的计算和统计知识。

总之，选择最适合自己的数学模型参数优化方法需要根据具体问题和条件来考虑。

例如，如果数据规模较小，可以使用蒙特卡罗方法；如果需要处理多维数据，可以选择遗传算法；如果需要快速收敛到最优解，可以选择梯度下降方法。