高数一考研讲义
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第八讲定积分§1重要内容一．性质1．()()()baf x dx b a f ξ=−∫a bξ<<2．设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，但不恒等于0，则()0baf x dx >∫。
3．()()()xax a f f x dtξ−=∫二．()204aa a π>=∫圆心为(0,0),半径为a 的圆在第一象限的面积如：04π=∫，圆心为(1,0),半径为1的圆在第一象限的左半个面积。
14π=∫，圆心为(1,0),半径为1的圆在第一象限的右半个面积。
§2题型与例题分析题型一：利用定积分的定义与性质解题：例1：已知()f x 在[]0,2上可导。
且满足()()2'08,fx f x dx =∫()00f =，求()2f x dx ∫及()f x 。
解：①令()2A f x dx=∫②()()()()00''8880f fx A f x f x x C C A A==⇒= ⇒=+⎯⎯⎯→=③20881624A xdx A A A A==⋅==±∫，即()()24,2f x dx f x x=± =±∫[注意]：注意下列形式中常数均可如此构造1．()()()()baf xg xh x f x dx=+∫①令()baf x dx A =∫；②()()()f x g x Ah x =+③()()bbaa A g x dx h x dx=+∫∫()()()()()b af xg xh x x f x dxϕ=+∫2．()()()()()()()b dacx f x dx f x g x h f x x dxx ϕϕ=++∫∫①令()()bax f x A dx ϕ=∫；()d cf x dx B =∫；②()()()()f x g x Ah x B x ϕ=++③()()()()ba A x g x Ah x B x dx ϕϕ=++⎡⎤⎣⎦∫；()()()()d cB g x Ah x B x dxϕ=++∫3．()()()()()()()'1lim x x x f x f x g x h x x x fϕϕ→=++①令()()()0'1lim x x x f x x A f B ϕ→ ==；②()()()()f x g x Ah x B x ϕ=++③()()()()0lim x x A x g x Ah x B x ϕϕ→=++⎡⎤⎣⎦；()()()1'|x x B g x Ah x B x ϕ==++⎡⎤⎣⎦4．()()()(),,,lim,x Df x y f x y x sy y d h x ϕ→∞=+∫∫（三重积分，曲线，曲面积分均可）①令(),Df x y A ds =∫∫；②()()(),,,f x y x y Ah x y ϕ=+③()(),,DA x y Ah x y ds ϕ=+⎡⎤⎣⎦∫∫；例2：设()f x 是(),−∞+∞上以T 为周期的连续函数，则下列函数以T 为周期的是[]：（A ）()0xf t dt∫（B ）()0xf t dt−∫（C ）()()0xxf t dt f t dt−−∫∫（D ）()()00xxf t dt f t dt−+∫∫[分析]：关键在于观察()()F x T F x +−是否为0。
（A ）()()()()000x Tx x T Tx f t dt f t dt f t dt f t dt++−==∫∫∫∫（B ）()()()()000xTx Tx x Tf t dt f t dt f t dt f t dt−−−−−−−==∫∫∫∫（C ）()()()()000x Txx T xf t dt f t dt f t dt f t dt+−−−−−+∫∫∫∫()()()()00x TxT Tx x T f t dt f t dt f t dt f t dt +−−−=−=−=∫∫∫∫故选C（D ）()()()()000x Tx x T xf t dt f t dt f t dt f t dt+−−−+−−∫∫∫∫()()()()()02x TxT TT xx Tf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt+−−−=+=+=∫∫∫∫∫解：22ln sin ln sin cot cot ln sin cot sin x I dx xd x x x xdx x⎡⎤==−=−−⎣⎦∫∫∫()2cot ln sin csc 1cot ln sin cot x x x dx x x x x c=−+−=−−−+∫例3：设()f x 是(),−∞+∞内连续。
()()()02xF x t x f x t dt =−−∫。
如果()f x 是↗的奇函数，则()F x 是[]：（A ）↗，偶函数（B ）↗，奇函数（C ）↘，偶函数（D ）↘，奇函数[分析]：令x t u −=，则：()()()()()()000222x xx F x x u x f u du x f u du uf u du=−−−=−∫∫∫其中，()()0,xx xf u du uf u du ∫∫均为奇函数。
()()()()()()'02xx F x f u du xf x xf x f u du xf x =+−=−∫∫①()()()'00F x xf xf x x ξξ=−< <<②()()()()()()'0000x x xF x f u du f x du f u f x du =−=−<∫∫∫③()()()'00xFx f x du xf x <−=∫∴()F x ↘。
故选D 。
题型二：有关变限积分的问题：例4：设()f x 是[]0,1上连续。
()0xf x dx A=∫。
求()()11xdx f x f y dy ∫∫。
解：()()()110xI f x f y dy dx=∫∫令：()()()()1'x F x f y dy F x f x =⇒=−∫()()()()()11'210001|2I F x F x dx F x dF x F x =−=−=−∫∫()()22211022A F F ⎡⎤=−−=⎣⎦例5：设()()4a xy a y af x e dy +−=∫。
求()0af x dx ∫。
解：()40aa xy a y aI dx e dy +−=∫∫，交换次序可得。
∵()()()()22234'x ax a x a a x a fx ee −−−+−−==()()()()()22230|aa x ax a af x dx x a f x x a e dx−−−=−−−∫∫()()()()22222223232230011123|1222ax ax a x ax a a a a ed x ax ae e e −−−−−−=−−==−∫。
[注意]：若()0f a =，()()()()()'|bab a af x dx x b f x x b f x dx =−−−∫∫；若()0f b =，()()()()()'|b abaaf x dx x a f x x a f x dx=−−−∫∫例6：设()1ln 1xtf x dt t=+∫()0x >且满足()()101f x f g xt dt x ⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠∫。
求()g x 。
解：令xt u =，则()()()11100011g xt dt g u du g u dux x ==∫∫∫()()01xg u du x f x f x ⎡⎤⎛⎞=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫，()1111ln ln 11x x t t f x f dt dt x t t ⎛⎞+=+⎜⎟++⎝⎠∫∫，令1t u=，则有：()()22111111ln 11ln ln |ln 1122x x x t f x f tdt dt t x x t t t t ⎡⎤⎛⎞+=+===⎢⎥⎜⎟++⎝⎠⎣⎦∫∫()()22011ln ln ln 22xg u du x x g x x x ⇒=∴=+∫题型三：计算定积分一．换元法令x a b t =+−，()()()()b a babaI f x dx f a b t dt f a b x dx==+−−=+−∫∫∫∴()()()12bbaa I f x dx f x f ab x dx ==++−⎡⎤⎣⎦∫∫例7：()a aI f x dx−=∫解：令x t =−，则()()()()012aa a I f x f x dx f x f x dx −=+−=+−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫如：222111210011111113x x x x x x x x x e I dx dx x dx e e e e e −−−⎛⎞⎛⎞==+=+=⎜⎟⎜⎟+++++⎝⎠⎝⎠∫∫∫。
例8：()2sin ,cos I f x x dxπ=∫解：令2x t π=−，则()()201sin ,cos cos ,sin 2I f x x f x x dx π=+⎡⎤⎣⎦∫如：3332200sin 1sin cos sin cos 2sin cos sin cos x x x I dx dx x x x x x x ππ⎡⎤==+⎢+++⎣⎦∫∫()2011111sin cos 22224x x dx πππ−⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠∫例8：()0sin I xf x dxπ=∫解：令x t π=−，则：()()()()0011sin sin sin 22I xf x x f x dx f x dx πππ=+−=⎡⎤⎣⎦∫∫例9：()4ln 1tan I x dxπ=+∫解：令4x t π=−，则：()401ln 1tan ln 1tan 24I x x dx ππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+++−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫()4011tan ln 1tan ln 121tan x x dx x π⎡−⎤⎛⎞=+++⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎣⎦∫()4012ln 1tan ln 2tan 1x dx x π⎡⎤⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎣⎦∫401ln 2ln 228dx ππ==∫二．先划积分区间，再换元()()()22a bbba b a aI f x dx f x dx f x dx++==+∫∫∫∵()()()()222a b x a b tbaa b a b af x dxf a b t dt f a b x dx+=+−+++−−=+−=∫∫∫∴()()()2a b baaI f x dx f x f a b x dx+==++−⎡⎤⎣⎦∫∫例10：设()f x 在(),−∞+∞内满足()()f x f x x π=−+，且()0f x dx A π=∫，求()3I f x dx ππ=∫。
