北京市朝阳区陈经纶中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

2020-2021学年北京市朝阳区普通中学九年级(上)期中数学复习试卷(分式及其运算)一、选择题1．若分式的值为0，则x的值是( )A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．22．如果a+b=2，那么代数(a﹣)•的值是( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．化简的结果是( )A． B． C．x+1 D．x﹣14．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是( )A．3 B．2 C．D．5．设m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于( )A．2 B．C．D．3二、填空题6．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．7．化简:( +)= ．8．当a=﹣1时，代数式的值是．9．已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论:①若c≠0，则+=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是(把所有正确结论的序号都选上)．10．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为．三、解答题11．计算或化简:(1)﹣；(2)(a+1﹣)•．12．先化简，再求值:(1)(﹣)÷(﹣1)，其中x=2；(2)(1﹣)÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．13．已知﹣=3，求代数式的值．14．已知(1)化简A；(2)若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．15．设abc=1，试求++的值．2020-2021学年北京市朝阳区普通中学九年级(上)期中数学复习试卷(分式及其运算)参考答案与试题解析一、选择题1．若分式的值为0，则x的值是( )A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．【解答】解:∵分式的值为0，∴x﹣2=0，∴x=2．故选:D．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2．如果a+b=2，那么代数(a﹣)•的值是( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解:∵a+b=2，∴原式=•=a+b=2故选:A．【点评】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．3．化简的结果是( )A． B． C．x+1 D．x﹣1【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解:原式=÷=•=，故选A【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是( )A．3 B．2 C．D．【考点】分式的值．【专题】计算题；分式．【分析】已知等式变形求出x﹣=3，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解:已知等式整理得:x﹣=3，则原式===，故选D【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．设m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于( )A．2 B．C．D．3【考点】分式的值．【分析】由m2+n2=4mn得(m﹣n)2=2mn、(m+n)2=6mn，根据m＞0、n＞0可得m﹣n=、m+n=，代入到=计算可得．【解答】解:∵m2+n2=4mn，∴m2﹣4mn+n2=0，∴(m﹣n)2=2mn，(m+n)2=6mn，∵m＞0，n＞0，∴m﹣n=，m+n=则===2，故选:A．【点评】本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n、m﹣n的值是关键．二、填空题6．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠5 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】分式有意义时，分母x﹣5≠0，据此求得x的取值范围．【解答】解:依题意得:x﹣5≠0，解得x≠5．故答案是:x≠5．【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．7．(2020•内江)化简:( +)= a ．【考点】分式的混合运算．【分析】先括号里面的，再算除法即可．【解答】解:原式=•=(a+3)•=a．故答案为:a．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．8．当a=﹣1时，代数式的值是．【考点】分式的值．【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．【解答】解:∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，∴===；故答案为:．【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．9．已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论:①若c≠0，则+=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是①③④(把所有正确结论的序号都选上)．【考点】分式的混合运算；解一元一次方程．【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．【解答】解:①∵a+b=ab≠0，∴ +=1，此选项正确；②∵a=3，则3+b=3b，b=，c=，∴b+c=+=6，此选项错误；③∵a=b=c，则2a=a2=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=a2，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8．当a=c时，则b=0，不符合题意，b=c时，a=0，也不符合题意；故只能是a=b=2，c=4；此选项正确其中正确的是①③④．故答案为:①③④．【点评】此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．10．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为﹣4 ．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．【解答】解:∵ =﹣2， =， =﹣，∴+=﹣， +=， +=﹣，∴++=﹣，则==﹣4．故答案为:﹣4【点评】此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．三、解答题11．计算或化简:(1)﹣；(2)(a+1﹣)•．【考点】分式的混合运算．【分析】(1)根据分式的加减运算法则计算即可；(2)根据分式的四则混合运算的法则计算结论．【解答】解:(1)﹣=﹣=；(2)(a+1﹣)•=•=2a﹣4．【点评】本题考查整式与分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号里的．12．先化简，再求值:(1)(﹣)÷(﹣1)，其中x=2；(2)(1﹣)÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．【考点】分式的化简求值．【分析】(1)先将各分式分子、分母因式分解，再约分、计算括号内的加减法，最后再约分即化简，将x的值代入即可得；(2)先根据分式混合运算的顺序和法则化简原式，将x2+2x=15整体代入可得答案．【解答】解:(1)原式=[+]÷(﹣)=(+)÷=•=，当x=2时，原式=．(2)原式=•﹣=﹣=﹣==，当x2+2x﹣15=0，即x2+2x=15时，原式=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．13．已知﹣=3，求代数式的值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x﹣y=﹣3xy，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解:∵﹣==3，∴x﹣y=﹣3xy，则原式===4．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．(2020•毕节市)已知(1)化简A；(2)若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】(1)原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数x的值，代入计算即可求出A的值．【解答】解:(1)A=(x﹣3)•﹣1=﹣1==；(2)，由①得:x＜1，由②得:x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜1，即整数x=0，则A=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．设abc=1，试求++的值．【考点】分式的化简求值．【分析】由abc=1得ac=，将abc=1代入第一个分式、将ac=代入第三个分式，再将第一个分式分子、分母都除以a，第三个分式化简，最后根据分式的加法即可得答案．【解答】解:∵abc=1≠0，∴ac=，∴原式=++=++=，=1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据已知条件通过变形将原式变形成同分母分式是解题的关键．。

陈经纶中学2019-2020第一学期初三数学期中检测评分标准二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.9. 2(3)y x =-（答案不唯一） ； 10. （-1，2） ； 11. 55 ； 12. 13.-2或1； 14.15.直径所对的圆周角是90°，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 16. (，0)三、解答题：本大题共12小题，共68分.第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27、28题每题7分.17.解：法一：由对称性，函数图象与x 轴另一个交点为（-1，0） …………………1分 设二次函数解析式为(1)(3)(0)y a x x a =+-≠ ……………………2分 将（0，-1）代入，解得：13a = ……………………3分 ∴ 二次函数解析式为1(1)(3)3y x x =+- 即 212133y x x =-- ……………………5分 法二：由对称性，函数图象与x 轴另一个交点为（-1，0） …………………1分 设二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ ……………………2分图象经过三点，可得09301a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩……………………3分解得13231a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩……………………4分∴ 二次函数解析式为212133y x x =-- ……………………5分法三：设二次函数解析式为2(1)(0)y a x k a =-+≠ ……………………1分图象经过两点，可得041a ka k =+⎧⎨-=+⎩ ……………………3分解得1343a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………4分∴ 二次函数解析式为214(1)33y x =-- ……………………5分18.解：(1) 2(3)1y x =-- ……………………2分（2）…………………4分（3）y -1≤≤8 ...........……………5分19. 解：∵∠D =35°， ∴∠B =∠D =35°， …………………1分 ∵BC 是直径， ∴∠BAC =90°． ……………………2分 ∴∠ACB =90°-∠ABC =55°， ……………………3分 ∵OA =OC ， …………………4分 ∴∠OAC =∠OCA =55°． ...........……………5分 解法二：解：∵∠D =35°， ∴∠AOC =2∠D =70°， …………………1分 ∵OA =OC ， ……………………2分 ∴∠OAC =∠OCA ，……………………3分 ∵∠OAC +∠OCA +∠AOC =180°， …………………4分 ∴∠OAC =55°． .......……………5分20. （1）画出△11A OB ，如图．（没标对应点扣一分） ……………………2分（2）点1(0,1)A ，点1(2,2)B -． ……………………4分（3）1OB OB === ……………………5分21. （1）点O 即为所求作的点. ………………………2分（2）解：连接AO在Rt △ACD 中，∠CAD =30º∴52=AC ，∠ACD =60º ........………………………3分 AO =CO∴ AO =CO =AC =52........………………………4分 答：此弓形所在圆的半径为52. ………………………5分22. 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC ，∠B =∠ACB =60°， . ………………………1分 ∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ， ∴CD=CE ，∠DCE =60°， . ………………………2分 ∴∠DCE =∠ACB ， . ………………………3分 即∠BCD +∠DCA =∠DCA +∠ACE ，∴∠BCD =∠ACE ， ........………………………4分在△BCD 与△ACE 中，∴△BCD ≌△ACE ， ∴∠EAC =∠B =60°，∴∠EAC =∠ACB ， . ………………………5分 ∴AE ∥BC23. 以抛物线的顶点O 为坐标原点， 过点O 作直线AB 的平行线和垂线分别作为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系. …………………1分则()63-，D …………….2分 设抛物线解析式为()02≠=a ax y ，()63-，D 在抛物线上 代入得：32-=a 232x y -=∴ …………….3分 △ABO 是等边三角形 BH OH 3=∴设()x x B 3,-………………4分 2323x x -=- 01=∴x （舍），3232=x 323=∴BH ，AB =分 答：等边三角形的边长为 . ………………………… 6分6dm6dm24. （1）证明：连接OD ． E 为弧BC 的中点，OE BC ∴⊥于F ． . …………………1分 90AGD ODE EGF OED ∴∠+∠=∠+∠=︒，…………….2分 则OD OE =，ODE OED ∴∠=∠， AGD ADG ∠=∠，90ADG ODE ∴∠+∠=︒．即OD AD ⊥， …………….3分 AD ∴是O 的切线； （2）作OH ED ⊥于H ，2DE DH ∴=， ………………4分 ADG AGD ∠=∠， AG AD ∴=， 60A ∠=︒， 60ADG ∴∠=︒，30ODE ∴∠=︒， OD =，DH ∴== ………………………….5分2DE DH ∴==． ………………………… 6分25.（1）一切实数；.......………………………1分（2）12- ......………………………2分（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：………………4分（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值是-5；②该函数图象关于直线2x =对称．（答案不唯一，还可以填增减性） …………………6分 26.………………1分………………3分………………4分………………5分………………6分27. （1）①证明：∵90∠=︒BAC ，=AB AC ，AE 平分∠BAC ， ∴1245∠=∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．又∵ AE=AE ，∴△ABE ≌△ACE （SAS ）．………… 1分 ∴34∠=∠．由旋转可得△ACD 是等边三角形． ∴60CAD ∠=︒，=AC AD ．图2C∴△CAE ≌△DAF （SAS ）． ∴CE=DF ．∵=AB AC ，45BAE CAE ∠=∠=︒，AE=AE ， ∴△BAE ≌△CAE （SAS ）． ∴BE=CE ． ∴BE=CE ．∵DF+BE -EF=BD ，∴2CE -AE=BD ． ------------------------------------------7分28. （1）3CD =-----------------------------1分（2）①经过点C 的“蛋圆”切线的解析式为：y =+， -----------------------------2分 ②经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为：23y x =--． -----------------------------3分（3）如图1，经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为：23y x =--，E ∴点坐标为3(2-，0)，CDE CDF S S ∆∆=，F ∴点的横坐标为32， 在1Rt MQF ∆中可求得F Q '= 把32x =代入223y x x =--，可求得154y =-． 3(2F ∴'，3(2F ''，15)4- -----------------------------5分 （4）如图，P 的坐标为(1，． -----------------------------7分图1。

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则2242m m -+=（）A.5 B.8C.－8D.62.抛物线23(1)4y x =-+的顶点坐标是（）A.(1,4)- B.(1,4)-- C.(1,4) D.(1,4)-3.已知1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(1,)C y 三点都在二次函数22(1)y x =+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.123y y y << B.132y y y << C.213y y y << D.312y y y <<4.用配方法将一元二次方程2640x x --=变形为2()x m n +=的形式是（）A.2(3)13x += B.2(3)4x -= C.2(3)5x -= D.2(3)13x -=5.如图，在⊙O 中，C 、D 为⊙O 上两点，AB 是⊙O 的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC 的度数为（）A.65°B.50°C.30°D.25°6.如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（）A.A ，B ，C 都不在B.只有BC.只有A ，CD.A ，B ，C7.如图，边长为1的正方形网格中，O ，A ，B ，C ，D 是网格线交点，若弧AB 与弧CD 所在圆的圆心都为点O ，则阴影部分的面积为（）A.πB.2πC.3π22- D.2π2-8.如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，正比例函数关系C.一次函数关系，二次函数关系D.正比例函数关系，二次函数关系第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-5）的抛物线的表达式________．10.若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．11.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为______．12.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．13.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点为A ，B ．如果OP ＝2，∠AOB ＝120°，则PA ＝_____．14.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，边心距3OH =，则AB 的长为___________．15.用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．16.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A 距离水面10m ，运动过程中的最高点B 距池边2.5m ，入水点C 距池边4m ，根据上述信息，可推断出点B 距离水面______m ．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：2470x x --=四、解答题（本大题共10小题，共55.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知，关于x 的一元二次方程210x ax a +--=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a 的取值范围．19.下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O ．求作：⊙O的内接正方形．作法：①作⊙O的直径AB；②分别以点A，B为圆心，大于12AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；③作直线MN交⊙O于点C，D；④连接AC，BC，AD，BD．∴四边形ACBD就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵MN是AB的，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴AC=BC=BD=AD．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是正方形．20.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．21.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：x (1)-0123…y…3-m3-0…（1）根据表格填空：抛物线与x 轴的交点坐标是___________和___________．（2）求这个二次函数的表达式；（3）m 的值为___________；（4）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．22.李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm 2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？解决问题：设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长可以表示为，请你帮助李明完成后面的解答过程．23.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．24.如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A 处弹跳后恰好落在人梯的顶端B 处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A 水平距离为x 米时，距地面的高度为y 米．x （米）… 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50…y （米）…3.404.154.604.754.604.15…请你解决以下问题：（1）结合表中所给的数据，直接写出演员身体距离地面的最大高度；（2）求起跳点A 距离地面的高度；（3）在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？请说明理由．25.抛物线22y ax bx =+-（0<a ）经过点(2,2)-，点()12,A n y -，()21,B n y -，()31,C n y +在该抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若01n <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．26.如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，连接PP '，BP '．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．27.对于平面直角坐标系xOy 中的图形W ，给出如下定义：点P 是图形W 上任意一点，若存在点Q ，使得∠OQP 是直角，则称点Q 是图形W 的“直角点”．（1）已知点A ()6,8，在点Q 1()0,8，Q 2()4,2-，Q 3()8,4中，______是点A 的“直角点”；（2）已知点()3,4B -，()4,4C ，若点Q 是线段BC 的“直角点”，求点Q 的横坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点(),0D t ，()1,0E t +，以线段DE 为边在x 轴上方作正方形DEFG ．若正方形DEFG 上的所有点均为线段BC 的“直角点”，直接写出t 的取值范围．2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则2242m m -+=（）A.5 B.8 C.－8D.6【答案】B【分析】根据题意可将m 代入2230x x --=，得223m m -=．再将2242m m -+变形为222()2m m -+，最后整体代入求值即可．【详解】∵m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，∴2230m m --=，∴223m m -=，∴222422()223282m m m m --+=+=⨯+=．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．2.抛物线23(1)4y x =-+的顶点坐标是（）A.(1,4)-B.(1,4)-- C.(1,4)D.(1,4)-【答案】C【分析】直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可．【详解】解：∵抛物线的解析式为23(1)4y x =-+，∴其顶点坐标为：（1，4）．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．注意：抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）．3.已知1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(1,)C y 三点都在二次函数22(1)y x =+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.123y y y <<B.132y y y << C.213y y y << D.312y y y <<【答案】C【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A ，B ，C 三点到对称轴的距离大小关系求解．【详解】解：22(1)y x =+ ，∴抛物线开口向上，对称轴为直线=1x -，1(1)1(2)1(1)---<---<-- ，213y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图像的对称性．4.用配方法将一元二次方程2640x x --=变形为2()x m n +=的形式是（）A.2(3)13x += B.2(3)4x -= C.2(3)5x -= D.2(3)13x -=【答案】D【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】2640x x ，--=移项得，264x x -=，配方得，2226343x x ，-+=+2(3)13x -=，故选:D.【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.如图，在⊙O 中，C 、D 为⊙O 上两点，AB 是⊙O 的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC 的度数为（）A.65°B.50°C.30°D.25°【答案】D【分析】先求出∠BOC 的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案．【详解】解：∵∠AOC=130°，AB 是⊙O 的直径，∴∠BOC =180°-∠AOC=50°，∴∠BDC =12∠BOC=25°，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．6.如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（）A.A ，B ，C 都不在B.只有BC.只有A ，CD.A ，B ，C【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC 是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD 的长，然后与300m 比较大小，即可解答本题．【详解】解：300m AB = ，400m BC =，500m AC =，222AB BC AC ∴+=，ABC ∴ 是直角三角形，且90ABC ∠=︒，点D 是斜边AC 的中点，250m AD CD ∴==，1250m 2BD AC ==，250300< ，∴点A ，B ，C 都在覆盖范围内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D 点的距离．7.如图，边长为1的正方形网格中，O ，A ，B ，C ，D 是网格线交点，若弧AB 与弧CD 所在圆的圆心都为点O ，则阴影部分的面积为（）A.πB.2πC.3π22-D.2π2-【答案】C 【分析】利用整体减去部分求阴影部分面积，即扇形COD 减去扇形BOE 再减去BOD 的面积即可．【详解】解：如图所示：=BODCOD BOE S S S S -- 阴影部分扇形扇形2OB = 22222222OD OB BD ∴=+=+=4590COB COD ∠=︒∠=︒，(290222360COD S ππ∴=⨯⨯=扇形245123602BOE S ππ=⨯⨯=扇形12222BOD S =⨯⨯= 13=22=222S πππ∴---阴影部分，故选C ．【点睛】本题主要考查整体减部分求不规则图形面积，熟练掌握扇形面积及三角形面积的计算是解决本题的关键．8.如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，正比例函数关系C.一次函数关系，二次函数关系D.正比例函数关系，二次函数关系【答案】C 【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-5）的抛物线的表达式________．【答案】2--5y x x =（答案不唯一）【分析】设2y ax bx c =++，根据题意，c =-5，a ＞0，符合题意即可．【详解】设2y ax bx c =++，根据题意，c =-5，a ＞0，∴25y x x =--，故答案为：25y x x =--．【点睛】本题考查了二次函数解析式与各系数之间的关系，解答时，符合题意即可．10.若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．【答案】1m <【分析】根据根的判别式求出2(2)41440m m ∆=--⨯⨯=->，再求出不等式的解集即可．【详解】解： 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=--⨯⨯=->解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数，0)a ≠，①当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根，②当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根，③当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．11.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为______．【答案】2100(1)144x +=【分析】根据题意可得4月份的参观人数为100(x +1)人，则5月份参观的人数为21001()x +人．再根据5月份的参观人数增加到144万人，列一元二次方程即可．【详解】设参观人数的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为：2100(1)144x +=．故答案为：2100(1)144x +=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．12.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．【答案】900【分析】由弧长公式l =180n R π得到R 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，800π=160180R π，解得，R =900（mm ）．答：这段圆弧所在圆的半径R 是900mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l =180n R π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．13.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点为A ，B ．如果OP ＝2，∠AOB ＝120°，则PA ＝_____．3【分析】利用切线的性质和切线长定理得到OP 平分∠APB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠APB ＝60°，所以∠APO ＝12∠APB ＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OP 平分∠APB ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠APB ＝180°﹣∠AOB ＝180°﹣120°＝60°，∴∠APO ＝12∠APB ＝30°，在Rt △OAP 中，∵OA ＝12OP ＝1，∴PA 3OA ＝33【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理以及勾股定理．14.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，边心距3OH =，则AB 的长为___________．【答案】3【分析】连接OB 、OA ．根据正六边形的性质得到60BOA OB OA ∠=︒=，，根据等腰三角形的性质得到1302AH BH AOH AOB ∠∠===︒，，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接OB 、OA ．六边形ABCDEF 是正六边形，60BOA OB OA ∠∴=︒=，，OH AB ⊥ ，1302AH BH AOH AOB ∠∠∴===︒，，3OH = ，设AH x =，则2OA x =，根据勾股定理可得：222(2)3x x -=，解得：3x =3AH ∴=，3AB ∴=，故答案为：23【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．15.用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r ππ=，解得：1r =，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．16.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A 距离水面10m ，运动过程中的最高点B 距池边2.5m ，入水点C 距池边4m ，根据上述信息，可推断出点B 距离水面______m．【答案】454【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图：根据题意可知，点A 的坐标为（3，10），点C 的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x =3.5，设抛物线的的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把上面信息代入得，931025503.52a b c a b c b a⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得，53550a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，抛物线解析式为：253550y x x =-+-，把 3.5x =代入得，454y =；故答案为：454【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：2470x x --=【答案】12x =，22x =【分析】根据配方法以及公式法即可解一元二次方程．【详解】解：2470x x --=（解法一）移项、配方得：24474x x -+=+∴()2211x -=∴2x -=∴2x =±∴12x =+，22x =-（解法二）解：∵1,4,7a b c ==-=-，∴()()2244417440b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根∴()4422212b x a ---±====⨯，∴12x =+，22x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．四、解答题（本大题共10小题，共55.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知，关于x 的一元二次方程210x ax a +--=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1a >-【分析】（1）求出方程的判别式 的值，利用配方法得出0△，根据判别式的意义即可证明；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出10a --，解不等式求得a 的取值范围即可．【详解】（1）证明：()()224120a a a =-⨯--=+Q V ，∴无论a 为何值，方程总有两个实数根；（2）∵210x ax a +--=，∴()()11=0x x a -++，∴11x =，21x a =--，方程有一个根是负数，10a ∴--<，解得，1a >-．a ∴的取值范围为1a >-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．19.下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形．作法：①作⊙O 的直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径作弧，两弧交于M ，N ；③作直线MN 交⊙O 于点C ，D ；④连接AC ，BC ，AD ，BD ．∴四边形ACBD 就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵MN 是AB 的，∴∠AOC =∠COB =∠BOD =∠DOA =90°．∴AC =BC =BD =AD ．（）（填推理依据）∴四边形ACBD 是菱形．又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是正方形．【答案】（1）见解析（2）垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；（2）根据题意可知MN⊥AB则∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°，由圆心角与弦之间的关系可得AC=BC=BD=AD 即可证明四边形ACBD是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD是正方形．【小问1详解】解：如下图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴AC=BC=BD=AD．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．（直径所对的圆周角是90°），∴四边形ACBD是正方形．故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°．【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【答案】最大深度为2m【分析】根据题意作OD AB ⊥于E ，交O 于点D ，再利用勾股定理得出OE ，即可解答.【详解】解：作OD AB ⊥于E ，交O 于点D 12AE AB ∴=8AB = 4AE ∴=在Rt AEO ∆中，5AO =223OE OA AE ∴=-=2ED ∴=∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.21.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：x…1-0123…y …03-m 3-0…（1）根据表格填空：抛物线与x 轴的交点坐标是___________和___________．（2）求这个二次函数的表达式；（3）m 的值为___________；（4）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．【答案】（1）()1,0-，()3,0（2）2=23y x x --（3）4-（4）画图见解析【分析】（1）根据表格中0y =时x 的值，可得到抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设出表达式为()()13y a x x =+-，然后将点()0,3-代入求解即可；（3）将1x =代入（2）中求出的表达式即可求出m 的值；（4）先根据表格可得该二次函数的顶点坐标为()1,4-，由此可得对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点()1,0-，()3,0，与y 轴的交点()0,3-，再加上点()2,3-，再利用描点法画出二次函数图象即可．【小问1详解】解：∵由表格可得，当0y =，=1x -和3∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0故答案为：()1,0-，()3,0．【小问2详解】解：设二次函数的表达式为()()13y a x x =+-将点()0,3-代入得33a -=-，解得1a =∴()()21323y x x x x =+-=--；【小问3详解】解：将1x =，y m =代入2=23y x x --得1234m =--=-；故答案为：4-．【小问4详解】根据表格可得：该二次函数的顶点坐标为()1,4-∴对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点()1,0-，()3,0，与y 轴的交点()0,3-，抛物线还经过点()2,3-∴该二次函数的图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．22.李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm 2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？解决问题：设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长可以表示为，请你帮助李明完成后面的解答过程．【答案】（10-x ）cm ，这两个正方形的边长分别为3cm 和7cm ．【分析】直接利用正方形的边长都相等进而得出另外一个边长，再利用正方形面积求法得出方程求出答案．【详解】解：设其中的一个正方形边长为x cm ，则另一个正方形边长为：（40-4x ）÷4=（10-x ）cm ，∵这两个正方形的面积之和等于58cm 2，∴x 2+（10-x ）2=58，解得：x 1=3，x 2=7，故这两个正方形的边长分别为3cm 和7cm ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．能正确表示另一个正方形的边长是解题关键．23.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅ 由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．【详解】（1）如图，连接OD ，∵O 与AB 相切，∴90ODB ∠=︒，在Rt BDO △与Rt BCO △中，DO CO BO BO =⎧⎨=⎩，∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅ ，∴DBO CBO ∠=∠，∴BO 平分ABC ∠；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，∴21x x =+，解得：1x =，∴1113AC =++=，在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 3033BC AC =⋅︒=⨯=在Rt BCO △中，2BO ===．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．24.如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A 处弹跳后恰好落在人梯的顶端B 处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A 水平距离为x 米时，距地面的高度为y 米．x （米）… 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50…y （米）… 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15…请你解决以下问题：（1）结合表中所给的数据，直接写出演员身体距离地面的最大高度；（2）求起跳点A 距离地面的高度；（3）在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？请说明理由．【答案】（1）4.75米（2）1.00米（3）表演不成功，理由见详解【分析】（1）结合表中数据可直接得出结论；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式，然后令0x =，即可得出结论；（3）由表中数据可知，当 3.00x =时， 4.60 3.40y =≠，可得出此次表演不成功．【小问1详解】解：结合表中数据可知，当 2.50x =时，y 取最大值4.75，即演员身体距离地面的最大高度为4.75米；【小问2详解】结合表中数据可知，此抛物线的对称轴为 2.50x =，顶点坐标为(2.50,4.75)，则设该抛物线解析式为2( 2.50) 4.75(0)y a x a =-+≠，将点(1.00,3.40)代入，可得23.40(1.00 2.50) 4.75a =-+，解得0.6a =-，∴该抛物线解析式为20.6( 2.50) 4.75y x =--+，∴当0x =时，20.6(0 2.50) 4.75 1.00y =-⨯-+=，即起跳点A 距离地面的高度为1.00米；【小问3详解】在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离为3米，人梯的高度为3.40米，由表中数据可知，当 3.00x =时， 4.60 3.40y =≠，∴此次表演不成功．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是根据表中数据求出函数解析式．25.抛物线22y ax bx =+-（0<a ）经过点(2,2)-，点()12,A n y -，()21,B n y -，()31,C n y +在该抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若01n <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．【答案】（1）对称轴为1x =（2）123y y y ＜＜，理由见解析【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；【小问1详解】∵点(2,2)-在抛物线22(0)y ax bx a -<=+上，∴4222a b +-=-，∴2b a =-，∴抛物线函数关系式为：222(0)y ax ax a --<=，抛物线的对称轴为直线212a x a-=-=；【小问2详解】∵0<a ，开口向下，且对称轴为：1x =，∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，∵01n <<，∴221n -<-<-，110n -<-<，112n <+<，∴1(2,)n y -，2(1,)n y -，3(1,)n y +这三个点，3(1,)n y +离对称轴最近，1(2,)n y -离对称轴最远，∴123y y y ＜＜．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．26.如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，连接PP '，BP '．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．【答案】（1）BP CP '=，理由见解析（2）①60︒，②2AP PM =，理由见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABP ACP ' ≌，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，再利用角度之间的转化对P BP '∠进行转化，475608606608P BP '∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠+︒-∠，从而解决问题；②延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，得出四边形PBNC 为平行四边形，则BN CP ∥且BN CP =，再利用SAS 证明P BP NBP ' ≌，得2PP PN PM '==．【小问1详解】解：BP CP '=，证明：ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒，2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，AP AP '∴=，60P PA '∠=︒，1260∴∠+∠=︒，13∠∠∴=，(SAS)ABP ACP '∴ ≌，BP CP '∴=；【小问2详解】。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（）A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴D．直线x＝12．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.55．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y… 2 m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …可以推断m的值为（）A．﹣2 B．0 C．D．26．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为O，EF与GH是此外接圆的直径，EF＝4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，共16分）9．若3x﹣4y＝0，则＝．10．将抛物线y＝x2平移，使得新位置下的抛物线与坐标轴一共有两个交点，写出一种符合题意的平移方法．11．如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A 的坐标为（1，2），则点B的坐标是．12．我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a＝（S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：；函数关系式：．13．将半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径的最大值为cm．14．如图：正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．AD＝5，DB＝3，则△AFD与△BDE面积之和等于．15．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是．16．如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x……﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……y……0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ……求这个二次函数的表达式．18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ...x (10)日产量（件）95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润（万元）6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O 交BD的延长线于点E，CE＝BC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．23.已知抛物线y1＝x2﹣2x+c的部分图象如图1所示：（1）确定c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，﹣1），试确定抛物线y1＝x2﹣2x+c的解析式；（3）若反比例函数y2＝的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象写出当y1＞y2时，对应自变量x的取值范围．24.如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD∥CQ交于点D，连接AD，CD．已知AB＝8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5 6 7 8y/cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线AB：y＝ax+b（a＞0）图象经过点A交x轴于点B．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①直线AB经过（0，1）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27.已知∠AOB＝60°，P为它的内部一点，M为射线OA上一点，连接PM，以P为中心，将线段PM顺时针旋转120°，得到线段PN，并且点N恰好落在射线OB上．（1）依题意补全图1；（2）证明：点P一定落在∠AOB的平分线上；（3）连接OP，如果OP＝2，判断OM+ON的值是否变化，若发生变化，请求出值的变化范围，若不变，请求出值．28.在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1中弧DE 是△ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（）A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴D．直线x＝1【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是直线x＝﹣＝1．故选：D．2．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A．B．C．D．【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．【解答】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选：B．3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°．故选：C．4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC＝4，CE＝6，BD＝3，即可求得DF的长，则可求得答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，∴，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝3+＝7.5．故选：B．5．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y… 2 m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …可以推断m的值为（）A．﹣2 B．0 C．D．2【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【解答】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（，﹣）和（，﹣），所以对称轴为x＝＝1，∵，∴点（﹣，m）和（，）关于对称轴对称，∴m＝，故选：C．6．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为O，EF与GH是此外接圆的直径，EF＝4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由于圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．【解答】解：由于圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一．故阴影部分的面积＝×π×4＝π．故选：A．7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．【解答】解：如图；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC＝7m，故树的高度为7m．故选：A．8．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例（（4﹣1）：6＝（6﹣4）：4）且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．二．填空题（共8小题）9．若3x﹣4y＝0，则＝．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：∵3x﹣4y＝0，∴3x＝4y，∴＝．故答案为：．10．将抛物线y＝x2平移，使得新位置下的抛物线与坐标轴一共有两个交点，写出一种符合题意的平移方法y＝（x+1）2（答案不唯一）．【分析】若要与坐标轴只有两个交点，只需抛物线与x轴相切即可，最简单的办法沿x 轴平移即可．【解答】解：若要抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与x轴相切即可．将抛物线y＝x2向左平移1个单位即可，此时抛物线的解析式为y＝（x+1）2．故答案是：y＝（x+1）2（答案不唯一）．11．如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A 的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】由题意，点A的坐标适合正反比例函数的解析式，把点A的坐标（1，2）代入y＝mx（m≠0）与y＝，分别求出m、n的值为2、2．即正比例函数y＝2x①与反比例函数y＝②，利用①②组成的方程组可得：2x＝，得x＝±1，故点B的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y＝mx与y＝，得m＝2，n＝2．即y＝2x①，y＝②，解之得：x＝±1，将x＝﹣1代入①得y＝﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．12．我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a＝（S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式：v＝（s为常数）．【分析】根据题意要求，结合实际生活写出即可．如：行程问题中的v＝（s为常数），等等．【解答】解：当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v＝（s 为常数）．答案不唯一．13．将半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径的最大值为10 cm．【分析】设圆锥底面半径为R，根据弧长公式可计算出弧长为20π，把此弧长围成一个圆锥的底面，则根据圆的周长公式得到圆锥底面半径．【解答】解：设圆锥底面半径为R，扇形的弧长＝＝20π，所以20π＝2πR，解得R＝10cm，即圆锥底面半径的最大值为10cm．故答案为10．14．如图：正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．AD＝5，DB＝3，则△AFD与△BDE面积之和等于．【分析】由△BDE∽△DAF，推出＝＝，设DE＝3k，AF＝5k，在Rt△ADF中，则有25＝9k2+25k2，可得k2＝，求出△ADF，△BDE的面积即可解决问题．【解答】解：∵四边形DECF是正方形，∴DE＝DF，DE∥AC，∠DEB＝∠AFD＝90°，∴∠BDE＝∠A，∴△BDE∽△DAF，∴＝＝，设DE＝3k，AF＝5k，在Rt△ADF中，则有25＝9k2+25k2，∴k2＝，∴S△ADF＝•3k•5k＝×＝，∵＝（）2，∴S△BDE＝×＝，∴S△ADF+S△BDE＝+＝，故答案为．15．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理．【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．16．如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 4 个．【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【解答】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；②中，同①的证明方法；③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分．故有4个．三．解答题（共3小题）17．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x……﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……y……0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ……求这个二次函数的表达式．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可．【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3．18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．【分析】根据射影定理列式计算即可．【解答】解：由射影定理得，CD2＝AD•DB＝3×6＝18，∴CD＝＝3．19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC ＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，则CE＝2，所以＝，再证明∠BAC ＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∵CE＝AC，∴CE＝2，∵CD＝5，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．∴∠BAC＝∠DCE．∴△ABC∽△CED．20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC ＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．21.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ...x (10)日产量（件）95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润 6 8 ... 2x+4 (24)（万元）为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y＝（100﹣5x）（2x+4），y＝﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y＝﹣10x2+180x+400；（2）∵y＝﹣10x2+180x+400，∴y＝﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x＝9时，y最大＝1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．【考点】ME：切线的判定与性质．【专题】14：证明题；55A：与圆有关的位置关系．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r的方程，即可求出半径．【解答】解：（1）如图，连接OE，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°．∵CE＝BC，∴∠1＝∠2．∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，BC＝CE＝4．设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3．23.已知抛物线y1＝x2﹣2x+c的部分图象如图1所示：（1）确定c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，﹣1），试确定抛物线y1＝x2﹣2x+c的解析式；（3）若反比例函数y2＝的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象写出当y1＞y2时，对应自变量x的取值范围．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；H4：二次函数图象与系数的关系；HC：二次函数与不等式（组）．【专题】534：反比例函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；67：推理能力．【分析】（1）根据图1中抛物线的图象可知：c＜0且抛物线与x轴应该有两个交点，因此△＞0，由此可求出c的取值范围．（2）将点（0，﹣1）的坐标代入抛物线中即可得出函数的解析式．（3）求两图象交点是一个难点，两图象交点即为两图象所对应解析式构成方程组的解，观察图象，y1与y2除交点（1，﹣2）外，还有两个交点大致为（﹣1，2）和（2，﹣1），把x＝﹣1，y＝2和x＝2，y＝﹣1分别代入y1＝x2﹣2x﹣1和y2＝﹣可知，（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1与y2的两个交点．根据图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2时，y1＞y2．【解答】解：（1）根据图象可知c＜0，且抛物线y1＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点所以一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不等的实数根．所以△＝（﹣2）2﹣4c＝4﹣4c＞0，且c＜0所以c＜0．（2）因为抛物线经过点（0，﹣1）把x＝0，y1＝﹣1代入y1＝x2﹣2x+c得c＝﹣1故所求抛物线的解析式为y1＝x2﹣2x﹣1（3）因为反比例函数y2＝的图象经过抛物线y1＝x2﹣2x﹣1上的点（1，a）把x＝1，y1＝a代入y1＝x2﹣2x﹣1，得a＝﹣2把x＝1，a＝﹣2代入y2＝，得k＝﹣2所以y2＝﹣，画出y2＝﹣的图象如图所示．观察图象，y1与y2除交点（1，﹣2）外，还有两个交点大致为（﹣1，2）和（2，﹣1）把x＝﹣1，y2＝2和x＝2，y2＝﹣1；分别代入y1＝x2﹣2x﹣1和y＝﹣可知：（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1与y2的两个交点根据图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2时，y1＞y2．24.如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD∥CQ交于点D，连接AD，CD．已知AB＝8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5 6 7 8y/cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为 3.31 cm．【考点】MR：圆的综合题．【专题】153：代数几何综合题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）通过取点、画图、测量可得；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）由DA⊥DP，CQ∥DP知CQ⊥AD，结合AC＝PC＝AP＝x得DC＝AC，即y＝x，据此在函数图象中作出y＝x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标即为所求．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x/cm0 1 2 3 4 5 6 7 8y/cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 1.85 2.08 2.39（2）画出该函数的图象如下：（3）∵DA⊥DP，CQ∥DP，∴CQ⊥AD，∵AC＝PC＝AP＝x，∴DC＝AC，即y＝x，在函数图象中作出y＝x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标约为3.31，即AP＝3.31，故答案为：3.31．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线AB：y＝ax+b（a＞0）图象经过点A交x轴于点B．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①直线AB经过（0，1）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用．【分析】（1）把A（2，2）代入y＝中便可求得k；（2）①根据图象直接写出答案便可；②用待定系数法求出直线AB分别过点（0，1），（1，0），（3，1），（4，1）四点时的a 值便可．【解答】解：（1）把A（2，2）代入y＝中，得k＝2×2＝4；（2）①∵直线AB经过（0，1），设直线AB的解析式为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝+1，∴B（﹣2，0），图象如下：由图象可知，直线AB经过（0，1）时，区域W内的整点只有1个；②当直线AB经过点A（2，2），（0，1）时区域W内恰有1个整点，则，∴，当直线AB经过点A（2，2），（1，1）时区域W内没有整点，则，∴a＝1，∴当时区域W内恰有1个整点；综上，当时区W内恰有1个整点．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，由（1）可得出顶点C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；（3）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当a＜0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）依照题意，画出图形，如图1所示．当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3．由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．∵a＞0，∴﹣a＜0．∵△ABC为等边三角形，∴点C的坐标为（2，﹣），∴﹣a＝﹣，∴a＝．（3）分两种情况考虑，如图2所示：①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，解得：a≥；②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，解得：a≤﹣．27.已知∠AOB＝60°，P为它的内部一点，M为射线OA上一点，连接PM，以P为中心，将线段PM顺时针旋转120°，得到线段PN，并且点N恰好落在射线OB上．（1）依题意补全图1；（2）证明：点P一定落在∠AOB的平分线上；（3）连接OP，如果OP＝2，判断OM+ON的值是否变化，若发生变化，请求出值的变化范围，若不变，请求出值．【考点】R8：作图﹣旋转变换．【专题】13：作图题；64：几何直观．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．证明△PEM≌△PFN（AAS），推出PE＝PF，理由角平分线的判定定理即可解决问题．（3）理由全等三角形的性质证明OE＝OF，FN＝EM，求出OE，OF即可解决问题．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∠EOF＝60°，∴∠EPF＝∠MPN＝120°，∴∠EPM＝∠FPN，∵PM＝PN，∠PEM＝∠PFN＝90°，∴△PEM≌△PFN（AAS），∴PE＝PF，∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴OP平分∠AB，∴点P在∠AOB的角平分线上．（3）结论：OM+ON＝6，值不变．理由：∵∠PEO＝∠PFO＝90°，OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴OE＝OF，∵OP＝2，∠POE＝∠POF＝30°，∴OE＝OF＝OP•cos30°＝3，∵△PEM≌△PFN，∴ME＝FN，∴OM+ON＝OE﹣EM+OF+FN＝2OE＝6．28.在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1中弧DE 是△ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．【考点】MR：圆的综合题．【专题】152：几何综合题；69：应用意识．【分析】（1）如图1中，由垂径定理可知，圆心O在线段DE的垂直平分线上，当点O 是△ABC的内心时，内弧最长，利用弧长公式计算即可．（2）如图2中，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，DE的垂直平分线交DE于F，作DO′交DE的垂直平分线于点O′．①设O′（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，可得m≥3．当O′D⊥OA时，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，可得O′F ＝，推出O′（，），根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点O′的下方（含点O′）时也符合要求，可得m≤．②如图3中，当△AOC是等边三角形时，内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．此时t＝4．【解答】解：（1）如图1中，由垂径定理可知，圆心O在线段DE的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴当点O是△ABC的内心时，内弧最长，在Rt△OHC中，∵CH＝2，∠OCH＝30°，∴OH＝CH•tan30°＝2，∵∠ADE＝∠AEO＝90°，∠DAE＝60°，∴∠DOE＝120°，∴的长＝＝．（2）①如图2中，如图2中，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，DE的垂直平分线交DE于F，①当t＝2时，C（2，0），A（2，6），∴D（，3），E（2，6），F（，3），设O′（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m ≥3∵tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，∵DE∥OC，∴∠ADE＝60°，当O′D⊥OA时，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，∴O′F＝，∴O′（，），根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点O′的下方（含点O′）时也符合要求，∴m≤，综上所述，m≤或m≥3．②如图3中，当△AOC是等边三角形时，内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．此时t＝4．。

陈经纶中学2023-2024第一学期初三数学期中检测时间：90分钟满分：100分班级：姓名：学号：一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是（）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的是()A ．B．C．D．3．方程0752=-+x x 的根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根4．将抛物线212y x =的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为()A ．2132y x =-B ．2132y x =+C ．2132y x =--D ．2132y x =-+5．用配方法解一元二次方程2820x x -+=，此方程可化为的正确形式是()A ．2(4)14x -=B ．2(4)18x -=C ．2(4)14x +=D ．2(4)18x +=6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点(3,0)A ，(0,2)C ，将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转90︒，则旋转后点B 的对应点坐标为()A ．(2,3)-B ．(2,0)-C ．(0,3)D ．(2,3)7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 边上，则α等于（）A ．150°B ．90°C ．30°D ．60°8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．248136（）x +=B ．248136（）x -=C ．236148（）x +=D ．236148（）x -=9．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x （元），每星期的销售量为y （袋），每星期销售这种干果的利润为z （元）．则y 与x ，z 与x 满足的函数关系分别是（）A ．一次函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．二次函数关系，二次函数关系D ．二次函数关系，一次函数关系10．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为A （2，m ），且经过点B （5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③m +9a ＝0；④若此抛物线经过点C （t ，n ），则t +4一定是方程ax 2+bx +c ＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.11．在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是．12．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．13．写出一个开口向下．．．．，顶点在．．．x ．轴上．．的二次函数的表达式．14．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将PCD ∆绕点C 逆时针方向旋转后与△P CB '重合，若2PC =，则PP '=．15．如图，直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++交于, A B 两点，其中点()2,3A -，点()5,0B ，则不等式2x bx c mx n ++<+的解集为_______________．16．已知关于x 的方程2(1)210m x x --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．17.飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是25.160t t s -=，那么飞机着陆后滑行________秒才能停下来.18.如图，已知Rt △ACB ，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，43AC =，点D 在CB 所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE ，则CB =．在点D 运动过程中，CE 的最小值．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解方程：053212=--x x ．第14题图第15题图第18题图20．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，若点F 恰好落在边BC 的延长线上，连接DE ，DF ，EF ．（1）判断△DEF 的形状，并说明理由；（2）若EF ＝24，则△DEF 的面积为．21．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+=．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若1x =是该方程的一个实数根，求代数式2(2)3m -+的值.22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (5，4)，B (0，3)，C (2，1).（1）画出△ABC 关于原点中心对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标：；（2）画出将△A 1B 1C 1绕点C 1按顺时针方向旋转90°所得的△A 2B 2C 1.23．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：x ⋯012345⋯y ⋯301-0m 8⋯（1）m 的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当13x -<<时，则y 的取值范围为．24．如图，有一块长为21m ，宽为10m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米.(1）如果两块绿地的面积之和为90m 2，求人行通道的宽度;(2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3:5，请说明理由﹒10m21m25．下面给出六个函数解析式：221x y =，132+=x y ，x x y 212--=，1322--=x x y ，122++-=x x y ，432---=x x y ．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y ＝，其中x 为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数122++-=x x y 的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x ＞m （m 为正数）时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-m 时，y 随x 的增大而减小④函数图象与x 轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程k x x x +-=++-122有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ,()22,B x y 在抛物线()2222+2y x a x a a =-+--上，其中12x x ＜.（1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；（2）①当x a =时，求y 的值；②若120y y ==，求1x 的值（用含a 的式子表示）；（3）若对于12+x x ＜-4，都有12y y ＜，求a 的取值范围.27．如图，在△ABC 中，∠A =α（0°＜α≤90°），将BC 边绕点C 逆时针旋转（180°-α）得到线段CD .（1）判断∠B 与∠ACD 的数量关系并证明；（2）将AC 边绕点C 顺时针旋转α得到线段CE ，连接DE 与AC 边交于点M （不与点A ，C 重合）.①用等式表示线段DM ，EM 之间的数量关系，并证明.②若AB =a ,AC =b ,直接写出AM 的长.（用含a ，b 的式子表示）28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零.例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）函数①2y x =，②21y x =+，③22y x x =-中存在不变值的是(填序号)；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为0，则b 的值为；②若13b ≤≤，求其不变长度q 的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-≥的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ≤≤，则m 的取值范围为.。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2020.5学校 班级 姓名 考号 考 生 须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113 800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113 800用科学记数法表示应为（A ）51.13810⨯ （B ）411.3810⨯ （C ）41.13810⨯ （D ）60.113810⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆锥 （B ）球 （C ）长方体（D ）圆柱3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（A ）a（B ）b（C ）c（D ）d4.一个不透明的袋中装有8个黄球，m 个红球， n 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m 与n 的关系一定正确的是 （A ）8m n == （B ）8n m -= （C ）8m n += （D ）8m n -= 5. 如果31a =-，那么代数式1)1112-÷-+a aa （的值为 （A ）3 （B ）3（C ）33（D ）32-6．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD =4， tan C ＝12，则AB 的长为 （A ）2.5 （B ）4 （C ）5 （D ）107．如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直 线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误．．的是 （A ）∠ABC =70° （B ）∠BAD =80°（C ）CE =CD （D ）CE =AE8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量（千吨） 1≤x ＜22≤x ＜3 3≤x ＜44≤x ＜5 5≤x ≤6 合计 频数 1 2 b 3 m 频率0.050.10a0.151表中3≤x ＜4组的频率a 满足0.20≤a ≤0.30． 下面有四个推断： ①表中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x ＜5组； ④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2288x x ++= ．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD =1，AB =4，则DEBC= ．12．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB∠COD (填“＞”、“=”或“＜”)．13．如图，∠1～∠6是六边形ABCDEF的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．14．用一个a的值说明命题“若a为实数，则a＜2a”是错误的，这个值可以是a=．15．某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往所A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同的路线匀速去追甲．乙刚出发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．有下列三个说法：①甲出发10分钟后与乙相遇；②甲的速度是400米/分；③乙返回办公室用时4分钟．其中所有正确说法的序号是．16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：乘坐缆车方式乘坐缆车费用（单位：元/人）往返180单程100已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有人．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：1132cos60(2020)3π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭．第11题图第12题图第13题图18．解不等式组： 2(1)21.2x x x x -<+⎧⎪⎨+<⎪⎩，19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E .求证：∠BAD =∠CDE .20．关于x 的一元二次方程041)1(22=+++m x m x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）写出一个符合条件的m 的值，并求出此时方程的根.21．如图，四边形ABCD 是平行四边形,AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE =DF . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若∠CEG =30︒，AE =2,求EG 的长.22．先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x≤90）：b．先进制造业城市发展指数得分在70≤x＜80这一组的是：71.1 75.7 79.9c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9.根据以上信息，回答下列问题：（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第______；（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l的上方．请在图中用“○”圈出代表北京的点；（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为_______亿件.（结果保留整数）23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．24．有这样一个问题：探究函数62yx=-的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数62yx=-的自变量x的取值范围是2x≠；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．x…-4-2-101 1.2 1.25 2.75 2.834568…y…1 1.52367.5887.563m 1.51…m的值为；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数62yx=-的图象是轴对称图形，它的对称轴是；②过点P（-1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数62yx=-的图象交于点M，N (点M在点N的左侧)，则PN PM-的值为.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点A （1，1）与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M （-2，-a -2），N （0， a ）．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(045)α︒︒＜＜,得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 交DE 的延长线于F ,连接BE ． （1）依题意补全图1； （2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1 备用图28．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0) ，B(t+2，0) ，C(n，1) ，若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．(1)如图，t=0，①若n=0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是_____；②若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；(2)若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2020．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADACBCCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：原式 1321+32=+⨯- 3+3=．18．解：原不等式组为()21212x x x x -+⎧⎪⎨+⎪⎩＜，①＜． ②解不等式①得，4x ＜． 解不等式②得，1x ＞． ∴原不等式组的解集为1x ＜＜4．19．证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C . ∵ AD ⊥BC ， ∴∠ADB =90︒. ∴∠BAD +∠B =90︒. ∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC =90︒.题号 9 101112 答案 x ≠2 ()222x +14＜ 题号 13 14 15 16 答案360答案不唯一， 如 a =0①②③20∴∠CDE +∠C =90︒. ∴∠BAD =∠CDE .20．解：（1）由题意得, 221(1)404m m ∆=+-⨯＞．解得21->m . （2）答案不唯一，如：m =0.此时，方程为20x x +=． 解得1201x x ==-，．21．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B =∠ADC ．∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD=90°. ∵BE = DF ，∴△ABE ≌△ADF .∴AB =AD .∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：由（1）知AD //BC .∴∠EAG =90°，∠G =∠CEG =30°. ∴EG =2AE =4．22．解：（1）3；（2）（3）31．23．（1）a =1；（2）①由题意可知图形G 是以O 为圆心，a 为半径的圆， AB ，AC ，BC 与⊙O 相切．∴∠ABM =∠NBM ．∵AB =3，AC =4，BC =5， ∴∠A =90°． ∵MN ⊥BC ，∴∠A =∠BNM =90°．∴∠BMA =∠BMN ．②如图，设⊙O 与AC 的切点为D ，连接OD ，作OE ⊥MN 于点E ．∴OD ⊥AC ．∴OD = OE ．∴OE 为⊙O 的半径．∴MN 为⊙O 的切线．∴直线MN 与图形G 的公共点个数为1．24．解：（2）m =2；（3）（4）①直线2x =．②6．25．解：（1）B (-1，1)；（2）把1y =代入y x m =-+，得1x m =-．把1y =代入m y x =，得x m =． ∴P (1m -，1)， Q (m ，1)．（3）10m -≤＜或12m ＜≤．26．解：（1）∵抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+．∴A （0， a +1）．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∴抛物线的对称轴是直线32x =．（3）对于任意的实数a ，都有+1a a ＞．可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点C （-2，C y ）．∴111C y a =+．①如图1，当a ＞0时，2C y a --＞．∴点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．②当a ＜0时，（ⅰ）如图2抛物线经过点M 时，=2C y a --． ∴1=4a -． 结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个有 公共点M ．（ⅰ）当14a -＜＜0时，可知抛物线与线段MN 没有公共点． （ⅰ）如图3，当14a ＜-时，2C y a --＜． ∴点C 在点M 的下方结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个有公共点．综上所述，a 的取值范围是14a -≤．27．解：（1）①补全图形，如图所示．图1图2 图3②∠FBE =45︒；（2）2DE AF=．证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，设DF与AB交于点G，根据题意可知，CD=CE，∠ECD=2α,∠ABC=∠BCD =∠CDA=∠DAB=90︒．∴∠EDC=90︒-α, CB= CE,∠BCE =90︒-2α．∴∠CBE =45︒+α,∠ADF=α．∴∠ABE =45︒-α．∵BF⊥DE,∴∠BFD=90︒．∵∠AGD =∠FGB，∴∠FBG =α．∴∠FBE =∠FEB =45︒．∴FB = FE ．∵AH⊥AF，∠BAD=90︒，∴∠HAB =∠FAD．∴△HAB≌△FAD．∴HB= FD, AH=AF．∴HF= DE,∠H =45︒．∴2HF AF=．∴2DE AF=．28．解：（1）(0,2)；（2）如图，设以O为圆心，AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D，作DE垂直x轴于点E,∴OD=2，DE=1．在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE=3．∴n的取值范围是n＜3-．（3）-4＜t≤-2或4323＜t≤2或t =0或t=433．。

北京市陈经纶中学2019-2020第一学期初三数学期中检测时间：120分钟 满分：100分班级： 姓名： 学号：一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将二次函数2y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A.2(1)2y x =++ B.2(1)2y x =-- C.2(1)2y x =+- D.2(1)2y x =-+ 3. 如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A. 130° B. 120° C. 80° D. 60°4. 某二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2，则下列结论正确的是（ ）A. a>0, b>0, c>0B. a>0, b>0, c<0C. a>0, b<0, c>0D. a>0, b<0, c<0 5. 半径是7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（ ） A.（3,4） B.（4,4） C.（4,5） D.（4,6）6. 如图3，菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到菱形DFOE ，则下列角中不是旋转角的为（ ） A.∠BOF B .∠AOD C .∠COE D .∠COF7. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”“用数学语言可表述为：“如图4，CD 为O 的直径，弦AB DC ⊥于E ，1ED =寸，10AB =寸，求直径CD 的长．“则CD =（ ） 寸 C.26寸 D.28寸图1 图2 图3 图48. 如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A B C D二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.9. 请写出一个开口向上且对称轴为直线x ＝3的抛物线的解析式 . 10. 点P (1,-2)关于原点的对称点的坐标是 . 11. 如图5，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC =90°，则∠A = 度．12. 颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是 平方米．13. 如图6，抛物线y=ax 2与直线y ＝bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2,4)，B (1,1)，则关于x 的方程14.如图7，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC 的长为.图5 图6 图715. 阅读材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线.已知：P为⊙O外一点.求作：经过点P的⊙O的切线.小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆交⊙O于A，B两点；（3）作直线P A，PB.所以直线P A，PB就是所求作的切线.老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是；由此可证明直线P A、PB都是⊙O的切线，其依据是．16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为(1,0)，那么点B2019的坐标为．三、解答题：本大题共12个小题，共68分.（第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 已知：二次函数的图象如右图所示，求这个二次函数的表达式.18. 已知二次函数268y x x =-+.（1）将268y x x =-+化成2()y a x h k =-+（2）画出这个二次函数的图象；（3）当04x ≤≤时，y 的取值范围是 .19. 如图，A 、D 是半圆上两点，O 为圆心，BC 是直径，∠D ＝35°，求∠OAC 的度数．20. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点坐标分别为A (1,0)、O (0,0)、B (2,2)．以点O 为旋转中心，将△AOB 逆时针旋转90°，得到△A 1OB 1． （1）画出△A 1OB 1；（2）直接写出点A 1和点B 1的坐标； （3）求线段OB 1的长度．21. 一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图，经过测量得到弓形高CD＝0.2米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家完成下面两项工作：（1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出弓形所在圆的半径.A B22.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．23.如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.24.如图，AC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．（1）证明：AD是⊙D的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为4，求DE的长．25. 吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数2545y x x =--+的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ．表中m = ．（3）描点、连线：在所给的网格图中，建立适当的平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x 为横坐标，y 为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象： （4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2+1的对称轴是直线x ＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，请直接写出n 的取值范围；（3）设点M （p ，q ）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p ＜2时，点M 关于y 轴的对称点都在直线y ＝kx ﹣4的上方，求k 的取值范围．27. 已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ．（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到AD ，连结CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，连结CE ．① 求证：∠AED =∠CED ；② 用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系 (直接写出结果)；（2）在图2中，若将线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到AD ，连结CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 的延长线于点E ，连结CE ．请补全图形，并用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明．图2图1CB AA B CDE28. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，以AB 为直径，在x 轴上方作半圆交y 轴于点C ，半圆的圆心记为M ，此时这个半圆与这条抛物线x 轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．（1）直接写出“蛋圆”弦CD 的长；（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线． ①直接写出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式； ②直接写出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式；（3）由（2）求得过点D 的“蛋圆”切线与x 轴交点记为点E ，点F 是“蛋圆”上一动点，试求出使S △CDE = S △CDF 的点F 的坐标；（4）点P 是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC =60°，当BP 最大时，请直接写出点P 的坐标．陈经纶中学2019-2020第一学期初三数学期中检测评分标准二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.9. 2(3)y x =-（答案不唯一） ； 10. （-1，2） ； 11. 55 ； 12.； 13.-2或1； 14. 15.直径所对的圆周角是90°，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 16. (，0)三、解答题：本大题共12小题，共68分.第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27、28题每题7分.17.解：法一：由对称性，函数图象与x 轴另一个交点为（-1，0） …………………1分 设二次函数解析式为(1)(3)(0)y a x x a =+-≠ ……………………2分将（，-1）代入，解得：13a = ……………………3分∴ 二次函数解析式为1(1)(3)3y x x =+-即212133y x x =-- ……………………5分 法二：由对称性，函数图象与x 轴另一个交点为（-1，0） …………………1分 设二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ ……………………2分图象经过三点，可得09301a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩……………………3分解得13231a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩……………………4分∴ 二次函数解析式为212133y x x =-- ……………………5分 法三：设二次函数解析式为2(1)(0)y a x k a =-+≠ ……………………1分 图象经过两点，可得041a ka k =+⎧⎨-=+⎩……………………3分 解得1343a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………4分 ∴ 二次函数解析式为214(1)33y x =-- ……………………5分18.解：(1) 2(3)1y x =-- ……………………2分（2）…………………4分（3）y -1≤≤8 ...........……………5分19. 解：∵∠D =35°， ∴∠B =∠D =35°， …………………1分 ∵BC 是直径， ∴∠BAC =90°． ……………………2分 ∴∠ACB =90°-∠ABC =55°， ……………………3分 ∵OA =OC ， …………………4分∴∠OAC =∠OCA =55°． ...........……………5分 解法二：解：∵∠D =35°， ∴∠AOC =2∠D =70°， …………………1分 ∵OA =OC ， (2)∴∠OAC =∠OCA ，……………………3分 ∵∠OAC +∠OCA +∠AOC =180°， …………………4分 ∴∠OAC =55°．.......……………5分20. （1）画出△11A OB ，如图．（没标对应点扣一分） ……………………2分（2）点1(0,1A ，点1(2,2)B -． ……………………4分（3）1OB OB ===．……………………5分21. （1）点O 即为所求作的点. ………………………2分（2）解：连接AO在Rt △ACD 中，∠CAD =30º∴52=AC ，∠ACD =60º ........………………………3分 AO =CO∴ AO =CO =AC =52........………………………4分 答：此弓形所在圆的半径为52. ………………………5分22. 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC ，∠B =∠ACB =60°， . ………………………1分 ∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ，∴∠DCE =∠ACB ， . ………………………3分即∠BCD +∠DCA =∠DCA +∠ACE ，∴∠BCD =∠ACE ， ........………………………4分 在△BCD 与△ACE 中，∴△BCD ≌△ACE ， ∴∠EAC =∠B =60°，∴∠EAC =∠ACB ， . ………………………5分 ∴AE ∥BC23. 以抛物线的顶点O 为坐标原点， 过点O 作直线AB 的平行线和垂线分别作为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系. …………………1分则()63-，D …………….2分 设抛物线解析式为()02≠=a ax y ，()63-，D 在抛物线上 代入得：32-=a232x y -=∴ …………….3分△ABO 是等边三角形 BH OH 3=∴设()x x B 3,-………………4分 2323x x -=- 01=∴x （舍），3232=x 323=∴BH ，AB =分 答：等边三角形的边长为 . ………………………… 6分 24. （1）证明：连接OD ． E 为弧BC 的中点，OE BC∴⊥于F ． . …………………1分 6dm6dm则OD OE=，ODE OED∴∠=∠，AGD ADG∠=∠，90ADG ODE∴∠+∠=︒．即OD AD⊥，…………….3分AD∴是O的切线；（2）作OH ED⊥于H，2DE DH∴=，………………4分ADG AGD∠=∠，AG AD∴=，60A∠=︒，60ADG∴∠=︒，30ODE∴∠=︒，4OD=，DH∴==………………………….5分2DE DH∴==．………………………… 6分25.（1）一切实数；.......………………………1分（2）12-......………………………2分（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：………………4分（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值是-5；②该函数图象关于直线2x=对称．（答案不唯一，还可以填增减性）…………………6分26.………………1分 (3)分………………4分………………5分………………6分27. （1）①证明：∵90∠=︒BAC ，=AB AC ，AE 平分∠BAC ， ∴1245∠=∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．又∵ AE=AE ，图21ABCDEF∴△ABE ≌△ACE （SAS ）．………… 1分 ∴34∠=∠．由旋转可得△ACD 是等边三角形． ∴60CAD ∠=︒，=AC AD ．∴150BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，=AB AD ． ∴3515∠=∠=︒．∴1360AED ∠=∠+∠=︒．∵3415∠=∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒． ∴6730∠=∠=︒．∴6760CED ∠=∠+∠=︒．AED CED ∠=∠．-----------------------------------------------------------2分 ② 线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系是 2CE + AE =BD ．答案不唯一，如(3＋ 2 )AE ＋EC ＝BD 或BD=3(AE ＋CE )-----------3分（2）补全图形如图2，-----------4分线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系是 2CE -AE =BD ．（答案不唯一）------5分 证明：如图2，以A 为顶点，AE 为一边作∠EAF=60°，AF 交DB 延长线于点F ． ∵90∠=︒BAC ，=AB AC ，AE 平分∠BAC ， ∴45BAE CAE ∠=∠=︒． 由旋转可得△ACD 是等边三角形． ∴60CAD ∠=︒，=AC AD ．∴15DAE CAD CAE ∠=∠-∠=︒，=AB AD ． ∴30BAD ∠=︒．∴75ABD ADB ∠=∠=︒．∴118060ABD BAE ∠=︒-∠=∠=︒． 又∵∠EAF=60°， ∴60F ∠=︒．∴△AEF 是等边三角形． ∴AE=AF=EF ． 在△CAE 和△DAF 中，∵=AC AD ，45CAE DAF ∠=∠=︒，AE=AF ， ∴△CAE ≌△DAF （SAS ）． ∴CE=DF ．∵=AB AC ，45BAE CAE ∠=∠=︒，AE=AE ， ∴△BAE ≌△CAE （SAS ）． ∴BE=CE ． ∴BE=CE ． ∵DF+BE -EF=BD ，∴2CE -AE=BD ． ------------------------------------------7分28. （1）3CD =+-----------------------------1分（2）①经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：y =， -----------------------------2分 ②经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为：23y x =--．-----------------------------3分（3）如图1，经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为：23y x =--， E ∴点坐标为3(2-，0)，CDE CDF S S ∆∆=，F ∴点的横坐标为32， 在1Rt MQF ∆中可求得F Q '=， 把32x =代入223y x x =--，可求得154y =-． 3(2F ∴'，3(2F ''，15)4- -----------------------------5分 （4）如图，P的坐标为(1，． -----------------------------7分图1。

2020-2021学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是()A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 左视图和俯视图2.将抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为()A. (4,−5)B. (4,5)C. (−4,5)D. (−4,−5)3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=62°，则∠BCE等于()A. 28°B. 31°C. 62°D. 118°4.已知二次函数y=ax2−bx−2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(−1,0)，给出下列叙述：①b2>8a；②a−b−2<0；③当a−b为整数时，ab的值为1；④存在实数k，满足x<k时，函数y的值都随x的值增大而增大；其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.如图，在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,a)，等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE=2，则△BOD与△AOE的面积之差为()A. 2B. 3C. 4D. 56.某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西55°，把这枚指针按逆时针方向旋转80°，则结果指针的指向()A. 南偏东35°B. 北偏西35°C. 南偏东25°D. 北偏西25°7.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形进行研究．如图所示，已知∠A=90°，BD=3，BC=13，则正方形ADOF的面积为()A. 6B. 5C. 4D. 38.两个斜边长为2的全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个△ABC的直角顶点A重合，若△ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC交于点E，F，设BF=x，CE=y，则y关于x的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m=______ ．10.在坐标系中，点A(2,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标是______ ．11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于F点，在旋转过程中，△ABF的面积的最大值是______．12.下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．①过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；②过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；③连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是______(写出两条)．13.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n(m<n)，方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q(p<q)，则m，n，p，q的大小关系用“<”连接为______ ．14.在△ABC中，∠ABC=60°，AD是BC边上的高，AD=4√3，CD=1，则△ABC的面积为______ ．15.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=______ cm．16.七年级(2)班座位有七排8列，张艳的座位在2排4列，简记为(2,4)，班级座次表上写着王刚(5,8)，那么王刚的座位在______ ．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点AAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的和点M为圆心，大于12垂线l交直线GH于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…(−2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…P的坐标…______ (0,−1)(2,−2)______ …猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．18.已知：抛物线y1=x2+bx+3与x轴分别交于点A(−3,0)，B(m,0).将y1向右平移4个单位得到y2．(1)求b的值；(2)求抛物线y2的表达式；(3)抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)，记抛物线在D、F之间的部分为图象G(包含D、F两点)，若直线y=kx+k−1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y=kx+k−1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．19.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF，与直线CD交于点G．求证：(1)∠ACD=∠F；(2)AC2=AG⋅AF．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,2)，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称．(1)在平面直角坐标系xOy中分别画出点A、B、C；(2)点B的坐标是______；点C的坐标是______；(3)设D为虚线格点(不包括坐标轴)，如果△ACD是以AC斜边的直角三角形，那么点D的坐标是______(只需写出两个符合条件的点的坐标)．21.如图是一个破残的车轮，请用尺规作图法补全车轮并标出圆心O．22.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=2AE=4，∠BCE=30°．(1)求平行四边形ABCD的面积S；(2)求证：∠EMC=2∠AEM．23. 受疫情的影响某景区为缓解景区接待压力，通过调研决定调整景区接待方案，如图为景区调整前景区每日利润y1(元)与当天游客人数x(人)的函数图象.调整后的方案为每张票价涨价5元，运营成本增加1200元.设调整方案后该景区每日利润y2(元).(注：每日利润=票价收入−运营成本)(1)结合图象，指出调整方案前的运营成本为______ 元，每张票的售价为______ 元；(2)分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(3)当游客人数为多少人时，调整前的日利润与调整后的日利润相等？24. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠AOD=50°．(1)求∠DEB的度数；(2)若OC=3，OA=5，①求弦AB的长；②求劣弧AB的长．25. 上海磁悬浮列车在一次运行中速度V(千米/小时)关于时间t(分钟)的函数图象如图，回答下列问题．(1)列车共运行了______ 分钟(2)列车开动后，第3分钟的速度是______ 千米/小时．(3)列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了______ 分钟．(4)列车从______ 分钟开始减速．x2−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).顶点为点C．26. 已知抛物线y=14(1)求直线AC的解析式；(2)试问在抛物线的对称轴上是否存在一个定点，使得过该定点的任意一条直线与抛物线有两个交点时，这两个交点与抛物线顶点的连线互相垂直？并说明理由．27. 如图所示，在Rt△ABC中，AC=BC，在AB上作点E，使得AE=AC，连接CE，过点A作AD⊥CE交BC于D点，交CE于点F．求证：(1)BE=CD；(2)AD=2DF+CE．28. 如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC⏜上一点，AG，DC的延长线交于点F．(1)求证：△ADG∽△CFG．(2)若G是AC⏜的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求AG的值．CF(3)如图2，点E是OB的中点，AB=8，连接BG，BD，BC.当DG+CG=6√3时，求cosF的值．参考答案及解析1.答案：D解析：解：如图所示：，故它的三视图中是中心对称图形的是左视图和俯视图．故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得三视图，再利用中心对称图形的定义得出答案．本题考查了简单组合体的三视图以及中心对称图形的定义，从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．2.答案：B解析：解：将抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y= 3(x−4)2+5，∴其顶点坐标为(4,5)，故选：B．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求得平移后的顶点式，从而求得得到坐标．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3.答案：C解析：本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答即可．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，∴∠BCE=180°−∠BCD=∠A=62°，故选C．4.答案：B解析：解：∵二次函数y =ax 2−bx −2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(−1,0)， ∴抛物线的开口向上可得a >0，抛物线与x 轴有两个交点，a +b −2=0，−b2a >0， ∴b >0，b 2−4ac >0， ∴b 2−4a ×(−2)>0， ∴b 2>−8a ；故①错误；由a +b −2=0，可知：b =2−a ， ∵b >0， ∴0<a <2，∴a −b −2=a −(2−a)−2=2a −4<0，即a −b −2<0，故②正确； 由a +b −2=0，可知：b =2−a ， ∵b >0， ∴0<a <2， ∴−2<2a −2<2， 又a −b 为整数， ∴2a −2=−1，0，1， 故a =12，1，32， b =32，1，12，∴ab =34或1，故③错误． 当x <k ≤−b2a 时，函数y 的值都随x 的增大而减小，当x >b2a ≥k 时，函数y 的值都随x 的值增大而增大；故④错误． 故选：B ．根据题意可确定a 的符号，根据抛物线的对称轴的位置可确定b 的符号，进而确定与x 轴的交点情况即可判断①；代入(−1,0)求得a +b −2=0，进而求得b =2−a >0，得出0<a <2即可判断②；根据a 、b 的符号，然后进一步确定a 的取值范围，根据a −b 为整数确定a 、b 的值，从而确定③；根据二次函数的性质即可判断④．本题主要考查了抛物线的性质(开口、对称轴等)、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：∵A(a,0)，B(0,a)，∴OA=OB，∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA，∴△DOB≌△COA(SAS)，∴S△DOB−S△AOE=S△EOC，∵∠BCO=∠BAO=45°，∴B，O，A，C四点共圆，∴∠ACO=∠ABO=45°，∵OE⊥EC，∴∠OEC=90°，∴∠ECO=∠EOC=45°，∴OE=EC=2，∴S△DOB−S△AOE=S△EOC=1×2×2=2，2故选：A．首先证明△DOB≌△COA(SAS)，推出S△DOB−S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC 是等腰直角三角形．6.答案：C解析：本题考查了有关方向角的知识点，注意：①旋转的方向，②旋转的角度，关键是求出指针旋转后的指向．根据按逆时针方向旋转求出80°−55°=25°，即可得出答案．解：∵这枚指针按逆时针方向旋转80°，∴80°−55°=25°，即这枚指针按逆时针方向旋转80°，则结果指针的指向是南偏东25°；故选C．7.答案：C解析：解：设AD=x，则AF=AD=x，∵BD=3，BC=13，△BOE≌△BOD，△COE≌△COF，∴BE=BD=3，CE=BC−BE=10，AB=AD+BD=x=3，∴CF=CE=10，AC=AF+CF=x=10，在Rt△ABC中，则有(x+3)2+(x+10)2=13，化简得：x2+13x−30=0，即(x−2)(x+15)=0，∴x=2或−15(舍弃)，∴正方形ADOF的面积为4，故选：C．设AD=x，则AF=AD=x，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．8.答案：D解析：解：由题意得∠B=∠C=45°，∠EAF=45°．∵∠AFB=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠EAC=∠CAF+∠EAF=∠CAF+45°．∴∠AFB=∠CAE．又∵∠B=∠C，∴△AFB∽△EAC．∴CEAB =ACBF．∵BC=2，∠B=∠C=45°．∴AB=AC=√2．∴√2=√2x，即y=2x．当点E与B重合时，BF取最小值，x=1．∴x≥1故选：D．根据相似三角形的性质求出对应边比例，从而求出x与y的关系．本题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，找到相似三角形是本题解题关键，判断x的取值范围，排除易错项B．9.答案：−1解析：解：∵抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，∴m+1=0，解得：m=−1．故答案为：−1．直接利用二次函数的性质得出m+1的值，进而得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．10.答案：(−2,−5)解析：解：∵点A(2,5)与点B关于原点对称，∴点B的坐标是(−2,−5)，故答案为：(−2,−5)．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．11.答案：5解析：解：∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，设∠BCE=∠ACD=α，∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°−1α，2α)=90°，∴在四边形BCDP中，∠BFA=360°−90°−α−2(90°−12∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，∴AF2+BF2=AB2=20，∵AF2+BF2≥2AF⋅BF，=10，∴AF⋅BF≤AF2+BF22AF⋅BF≤5，即△ABF的面积的最大值是5，∴S△ABF=12故答案为：5．设∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°−12α，根据四边形内角和可得∠BFA=90°，由勾股定理求得AF2+BF2=AB2=20，从而知AF2+BF2≥2AF⋅BF，即AF⋅BF≤AF2+BF22=10，继而得S△ABF=12AF⋅BF≤5．本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是根据四边形内角和得出∠BPA=90°．12.答案：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角解析：解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA(相等的圆周角所对的弦相等)，由AC为直径可知∠ABC=90°(直径所对圆周角为直角)，则四边形ABCD为正方形(有一内角为直角的菱形是正方形)，故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC 为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．13.答案：p<m<n<q解析：解：函数y=x2+ax+b如图所示：结合图象可知：p<m<n<q．故答案为：p<m<n<q．首先画出y=x2+ax+b和y=2的图象，然后结合图象选择正确答案即可．本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是作出抛物线的图象，数形结合进行答题．14.答案：10√3或6√3解析：解：当AD在△ABC内部时，在△ABD中，∠ADB=90°，AD=4√3，∴BD=ADtan60∘=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×5×4√3=10√3，当AD在△ABC外部时，同理可得：BD=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×3×4√3=6√3．故答案为：10√3或6√3．根据AD在△ABC内部或外部，分两种情形，分别画图，求出BD即可得到BC的长，从而求出面积．本题主要考查了三角函数的计算，以及三角形的面积等知识，根据高AD在形内还是形外分类讨论是解题的关键．15.答案：8√2解析：此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理．结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．解：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∠AOC，又∵∠B=∠OAC=12∴∠AOC=90°．∴AC=√OA2+OC2=8√2cm．16.答案：5排8列解析：解：∵张艳的座位在2排4列，简记为(2,4)，∴班级座次表上写着王刚(5,8)，那么王刚的座位在5排8列．故答案是：5排8列．根据题意可得：张艳的座位在2排4列，简记为(2,4)，即横坐标表示排数，纵坐标表示列数，则(5,8)，表示座位在5排8列．考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决本题需要首先理解横坐标与纵坐标表示的含义．17.答案：解：(1)PA=PM线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)(−2,−2)(4,−5);(3)抛物线;(4)∵PA=PM，点P的坐标是(x,y)，(y<0)，∴−y=√(x−0)2+(y+2)2，x2−1；∴y=−14(5)∵点B(−1,√3)，C(1,√3)，∴BC=2，OB=√(−1−0)2+(√3−0)2=2，OC=√(1−0)2+(√3−0)2=2，∴BC=OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC=60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC=30°，设点E(m,n)，∵点E在抛物线上，m2−1，∴n=−14∵OE=OB=2，∴√(m−0)2+(n−0)2=2，∴n1=2−2√3，n2=2+2√3(舍去)，如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC<30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D<2−2√3．解析：本题考查了线段垂直平分线的性质，二次函数的图象，二次函数图像上点的坐标特征，勾股定理等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．(1)由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解；(2)由(1)可知：PA=PM，利用勾股定理可求点P坐标；(3)依照题意，画出图象，即可判断；(4)由勾股定理可得−y=√(x−0)2+(y+2)2，可求y关于x的函数解析式；(5)由勾股定理可求BC=OB=OC，可证△BOC是等边三角形，可得∠BOC=60°，以O为圆心，OB 为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，可得∠BEC=30°，则当点D在点E下方时，∠BDC<30°，求出点E的纵坐标即可求解．AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，解：(1)∵分别以点A和点M为圆心，大于12∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴PA=PM(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)，故答案为：PA=PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)当点M(−2,0)时，设点P(−2,a)，(a<0)∵PA=PM，∴−a=√(−2−0)2+(a+2)2，∴a=−2，∴点P(−2,−2)，当点M(4,0)时，设点P(4,b)，(b<0)∵PA=PM，∴−b=√(4−0)2+(b+2)2，∴b=−5，∴点P(4,−5)，故答案为：(−2,−2)，(4,−5)；(3)依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；(4)见答案；(5)见答案．18.答案：解：(1)把A(−3,0)代入y1=x2+bx+3得：9−3b+3=0，解得：b=4，∴y1的表达式为：y=x2+4x+3；(2)将y1变形得：y1=(x+2)2−1据题意y2=(x+2−4)2−1=(x−2)2−1=x2−4x+3；∴抛物线y2的表达式为y=x2−4x+3；(3)∵y2=(x−2)2−1，∴对称轴是x=2，顶点为(2,−1)；当y2=0时，x=1或x=3，∴E(1,0)，F(3,0)，D(0,3)，∵直线y=kx+k−1过定点(−1,−1)当直线y=kx+k−1与图象G有一个公共点时，t=−1(经过顶点)，当直线y=kx+k−1过F(3,0)时，3k+k−1=0，解得：k=14，∴直线解析式为y=14x−34，把x=2代入=14x−34，得：y=−14，当直线过D(0,3)时，k−1=3，解得：k=4，∴直线解析式为y=4x+3，把x=2代入y=4x+3得：y=11，即t=11，∴结合图象可知t=−1，或−14<t≤11．解析：(1)把A(−3,0)代入y1=x2+bx+3求出b的值即可；(2)将y1变形化成顶点式得：y1=(x+2)2−1，由平移的规律即可得出结果；(3)求出抛物线y2的对称轴和顶点坐标，求出与坐标轴的交点坐标E(1,0)，F(3,0)，D(0,3)，由题意得出直线y=kx+k−1过定点(−1,−1)得出当直线y=kx+k−1与图象G有一个公共点时，t=−1，求出当直线y=kx+k−1过F(3,0)时和直线过D(0,3)时k的值，分别得出直线的解析式，得出t的值，再结合图象即可得出结果．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象的平移、待定系数法求函数的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数的解析式和抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．19.答案：证明：(1)连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F，∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ABC．∴∠ACD=∠F．(2)由(1)得出的∠ACD=∠F，又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC．∴AGAC =ACAF．∴AC2=AG⋅AF．解析：(1)本题可构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证．(2)本题实际求的是三角形ACG和AFC相似，已知了一个公共角，而(1)中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系．本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质等知识点．通过构建与所求相关的相等角是解题的关键．20.答案：(3,−2)(−3,−2)(−3,2)或(−2,3)或(3,2)等解析：解：(1)点A、B、C如图所示．(2)B(3,−2)，C(−3,−2)，故答案为(3,−2)，(−3,−2)．(3)如图满足条件的点D的坐标为(−3,2)或(−2,3)或(3,2)等故答案为(−3,2)或(−2,3)或(3,2)等．(1)根据要求画出A，B，C即可．(2)根据B，C的位置写出坐标即可．(3)利用辅助圆即可解决问题．本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.答案：解：如图所示：点O为所求．解析：此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握圆上各点到圆心的距离相等及线段垂直平分线的做法．分别作出圆形铁片两条弦AB、BC的垂直平分线，两线的交点就是圆心．22.答案：(1)解：∵M为AD的中点，AM=2AE=4，∴AD=2AM=8.在▱ABCD的面积中，BC=AD=8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，BC=4，∴BE=12∴AB=6，CE=√82−42=4√3，∴▱ABCD的面积为：AB×CE=6×4√3=24√3；(2)证明：延长EM，CD交于点N，∵在▱ABCD中，AB//CD，∴∠AEM=∠N，在△AEM和△DNM中∵{∠AEM=∠N AM=DM∠AME=∠DMN,∴△AEM≌△DNM(AAS)，∴EM=MN，又∵AB//CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边EN的中线，∴MN=MC，∴∠N=∠MCN，∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．解析：此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．(1)利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；(2)利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM(AAS)，根据全等三角形的性质得到EM=MN，根据直角三角形斜边中线的性质得到MN=MC，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．23.答案：3600120解析：(1)由题意，可得点A的实际意义是：改革前某景区每日运营成本为3600元；每张票的售价为：8400+3600100=120(元)故答案为：3600，120；(2)根据利润=买的总钱数−成本得：y1=122x−3600，y2=(120+5)x−(3600+1200)，即y2=125x−4800；(3)根据调整前的日利润与调整后的日利润相等得：y1=y2即120x−3600=125x−4800，解得：x=240(人)，答：当游客人数为240人时，调整前的日利润与调整后的日利润相等．(1)由于点A的横坐标为0，纵坐标为−3600，即游客人数为0时的日利润为−3600元，结合题意得出点A的实际意义是改革前某景区每日运营成本为3600元；由图象知，买的总钱数=8400元的利润+成本，游客人数为100人，即可求出每张的售价；(2)根据利润=买的总钱数−成本可得出y2与x之间的函数表达式；(3)根据改革前的日利润与改革后的日利润相等列出方程，解方程即可．本题考查了一次函数的应用，涉及到求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，理解题意，分别求出y1、y2关于x的函数表达式是解题的关键．24.答案：解：(1)∵OD⊥AB，∴AD⏜=BD⏜，∴∠DEB=12∠AOD=12×50°=25°．(2)①∵OC=3，OA=5，∴AC=4，∵OD⊥AB，∴AD⏜=BD⏜=12AD⏜，∴AC=BC=12AB=4，∴AB=8；②∵∠AOD=50°，AD⏜=BD⏜，∴∠AOB=100°，∵OA=5，∴AB⏜的长=nπr180=100⋅5π180=25π9．解析：(1)欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；(2)①利用垂径定理可以得到AC=BC=12AB=4，从而得到结论；②根据弧长公式即可得到结论．此题考查了弧长的计算，圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出AC=CB=4是解题关键．25.答案：8 300 2 5解析：解：(1)列车共运行了8分钟；故答案为：8；(2)列车开动后，第3分钟的速度是300千米/小时；故答案为：300；(3)列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了2分钟；故答案为：2；(4)列车从5分钟开始减速．故答案为：5．(1)根据函数图象的坐标，解答即可；(2)根据函数图象的坐标，解答即可；(3)根据函数图象的坐标，解答即可；(4)根据函数图象的坐标，解答即可．本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．26.答案：解：(1)在y =14x 2−4中，令y =0，则14x 2−4=0，解得：x 1=−4，x 2=4， ∴A(−4,0)，B(4,0)，C(0,−4)，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A 、C 两点坐标代入可得{0=−4k +b −4=b ，解得{k =−1b =−4， ∴直线AC 的解析式为y =−x −4；(2)∵抛物线y =14x 2−4的对称轴是y 轴，∴设定点D(0,c)，过点D 的直线为y =ax +c ，设过D 的直线与抛物线交于E 、F 两点，设E(x E ,y E )，F(x F ,y F )则y E =14x E 2−4，y F =14x F 2−4， ∵C(0,−4)，∴k CE =y E +4x E =14x E 2x E =14x E ，k CF =y F +4x F =14x F 2x F =14x F ， ∵直线CE 、CF 互相垂直，∴k CE ⋅k CF =−1，即14x E ⋅14x F =−1，∴x E ⋅x F =−16，联立过D 的直线和抛物线解析式{y =ax +c y =14x 2−4，消去y 可得14x 2−ax −4−c =0， 由题意可知x E 和x F 是该方程的两根，∴x E ⋅x F =−4−c14=−16−4c ，∴−16−4c =−16，解得c =0，∴D 点坐标为(0,0)，即存在满足条件的D 点．解析：(1)首先求得A 、B 和C 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(2)可设D(0,c)，过D 的直线与抛物线交于E 、F 两点，分别设出E 、F 的坐标，可表示出直线CE 、CF 的斜率，根据两直线垂直，结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于c 的方程，可求得c 的值． 本题主要考查二次函数与x 轴的交点问题，在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中由直线相互垂直得关于D 点坐标的方程是解题的关键．27.答案：解：(1)连接DE ，∵AE =AC ，AD ⊥EC ，∴∠EAD =∠CAD ，且AE =AC ，AD =AD ，∴△EAD≌△CAD(SAS)∴DE =CD ，∠ACD =∠AED =90°，∵∠ABC =45°，∴∠ABC =∠BDE =45°，∴BE =DE ，∴CD =BE ；(2)如图，取AD 中点H ，连接CH ，∵Rt△ABC中，AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵△EAD≌△CAD，∴∠EAD=∠CAD=22.5°，∵∠ACD=90°，点H是AD中点，∴CH=AH=DH，∴∠HAC=∠HCA=22.5°，∴∠CHF=∠HAC+∠HCA=45°，且AF⊥EC，∴∠CHF=∠FCH=45°，∴FH=FC，∵AE=AC，AF⊥EC，EC，∴EF=FC=12∴HD=HF+FD=CF+DF，∴AD=2HD=2(CF+DF)=EC+2DF．解析：(1)由等腰三角形的性质可求∠EAD=∠CAD，由“SAS”可证△EAD≌△CAD，可得DE=CD，∠ACD=∠AED=90°，由等腰三角形的性质可得BE=DE=CD；(2)取AD中点H，连接CH，由直角三角形的性质可得CH=AH=DH，可得∠HAC=∠HCA=22.5°，可得∠CHF=∠FCH=45°，可证FH=FC，可得HD=HF+FD=CF+DF，可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．28.答案：解：(1)∵四边形AGCD为⊙O的内接四边形，∴∠AGC+∠ADC=180°，∠DAG+∠DCG=180°，∵∠AGC+∠CGF=180°，∠DCG+∠GCF=180°，∴∠CGF=∠ADC，∠DAG=∠GCF，∴△ADG∽△CFG；(2)①当CG//AD时，∵G是AC⏜的中点，∴AG⏜=GC⏜∴AG=CG，则△ADG≌△CFG(AAS)，∴∠ADG=∠F，∠DAG=∠DAG，∴△DAG∽△AFD，∴AGAD =DAAF，设CF=x，AG=y，∴yx =xx+y，解得x=√5−12y，∴AGCF =√5−12yy=√5−12；②当CD//AE时，∴∠GCF=90°∵∠DOB=∠AOG，∴AG⏜=BD⏜，∴AG⏜=BD⏜=CG⏜=BC⏜，∴∠AOG=60°，∴∠GDA=∠F=30°，∴AGCF =CGCF=tanF=tan30°=√33；(3)延长CD至点M，使DM=CG，连BM，过B作BN⊥MG，连OD，∵MD=CG，∠MDB=∠BCG，BD=BC，∴△MDB≌△GCB(SAS)，∴BM=GB，∵E为OB中点，CD⊥AB，∴OD=BD=OB，∴△BDO为等边三角形，∴∠DOB=60°，∴∠DGB=30°，∴GM=DG+DM=DG+GC=6√3，∴GN=12GM=3√3，GB=6，由(1)得，∠F=∠ADG=∠ABG，在Rt△ABG中，cosF=cos∠ABG=BGAB =68=34．解析：(1)利用圆内接四边形的性质即可求解；(2)分情况讨论：①CG//AD②CD//AE再根据对应相似三角形以及特殊三角函数值即可求解；(3)构造对应辅助线—推导得到DB=OB，所以连接半径OD得到等边三角形ODB，转化对应线段，再构造一对全等三角形，可以求出BG、AB的值，即可求解．此题是图形圆的综合题，主要考查了圆内的相关定理，三角函数，相似三角形，全等三角形，构造出合适的辅助线是解本题的关键．。

2024北京陈经纶初三（上）期中数 学时间：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线()212y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()1,2 B. ()1,2− C. ()1,2− D. ()1,2−− 2. 用配方法解方程242x x +=，变形后结果正确的是（ ）A. ()223x −=B. ()223x +=C. ()226x −=D. ()226x += 3. 图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（ ）A. 144B. 72C. 60D. 504. 若关于x 的一元二次方程240x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 4B. 4−C. 4±D. 25. 将抛物线231y x =+的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. ()2323y x =+−B. ()2322y x =+− C. ()2323y x =−− D. ()2322y x =−− 6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应，则旋转中心的坐标是（ ）A. （0，0）B. (1,0)C. (1,1)−D. ()0.5,0.5 7. 11(,)2A y −，2(1,)B y ，3(4,)C y 三点都在二次函数2(2)y x k =−−+的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A. 123y y y << B. 132y y y <<C. 312y y y <<D. 321y y y << 8. 四位同学在研究二次函数()260y ax bx a =+−≠时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线1x =；乙同学发现当3x =时，y =−6；丙同学发现函数的最小值为8−；丁同学发现3x =是一元二次方程()2600ax bx a +−=≠的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．9. 方程260x x −=的解是_____．10. 请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1−的抛物线的表达式______．11. 如图，将OAB △绕点O 逆时针旋转80︒，得到OCD ，若2100A D ∠=∠=︒，则α∠的度数__________．12. 如图，已知二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象相交于点(24),82A B ﹣，（，），则2ax bx c kx b +++=的解是 _____．13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x ，则可列方程为______． 14. 若关于x 的一元二次方程()221310k x x k −++−=的一个根为0，则k 的值为___________． 15. 汽车刹车后行驶的距离y （单位：m ）关于行驶的时间x （单位：s ）的函数解析式是：2156s x x =−，汽车刹车后前进了______米才能停下来．16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程22730x x −+=．18. 若a 是关于x 的一元二次方程2390x x −+=的根，求代数式()()()4431a a a +−−−的值． 19. 如图，ABC 是直角三角形，90C ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒．（1）试作出旋转后的DCE △，其中B 与D 是对应点；（2）在作出的图形中，已知5,3AB BC ==，求BE 的长．20. 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：（1）并画出图象；（2）求此抛物线的解析式；（3）结合图象，直接写出当03x <<时y 的取值范围．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m −+++=．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22. 景区内有一块58⨯米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求x 的值．23. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为310dm ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm ，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）设长方体包装盒的底面边长为x dm ，表面积为2dm y 、可以用含x 的代数式表示长方体的高为210dm x．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y 与x 的关系式：_________（03x <≤）；（2）列出y 与x 的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）（3）在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为_______dm 时，需要的材料最省．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 (²0)y ax bx c a =++>的对称轴为 x t =，点(),A t m −，()2,B t n ， ()00,C x y 在抛物线上．（1）当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；（2）若对于 056x << 都有 0m y n >> 求t 的取值范围．25. 在ABC 中，AB AC =，090BAC ︒<∠<︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接BD ，CD ．（1）如图1，当BAC α∠=时，则ABD ∠=______（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当90α=︒时，作BAD ∠的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD 于点E ，连接DF ． ①依题意在图2中补全图形，并求DBC ∠的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．26. 对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点P '，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线()21y x n =−−+上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”，求n 的最大值和最小值．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：顶点式()2y a x h k =−+顶点坐标是(),h k ， ∴抛物线()212y x =−+的顶点坐标是()1,2， 故选：A ．2. 【答案】D【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一除二移三配方，进行配方即可．【详解】解：242x x +=24424x x ++=+∴()226x +=；故选D ．3. 【答案】B【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72︒，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72︒，故选：B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．由题意得出()2440m ∆=−−=，计算即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2440m ∆=−−=，解得：4m =．5. 【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线231y x =+向左平移2个单位所得直线解析式为：()2321y x =++；再向下平移3个单位为：()()223213322y x x =++−=+−．故选：B ．6. 【答案】C【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论；【详解】如图，点Q 即为所求，(1,1)Q −；故选C ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，准确分析判断是解题的关键．7. 【答案】B【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出123,,y y y 的大小关系．【详解】解：二次函数2(2)y x k =−−+的图像开口向下，对称轴为2x =，∴3(4,)C y 关于对称轴的对称点为3(0,)C y '，∵在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， 又∵10122−<<<， ∴132y y y <<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线1x =时，12b a−=，即2b a =−． 当乙同学的结论正确，即当3x =时，y =−6时，9366a b +−=−，可得3b a =−．当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为8−时，22424844ac b a b a a−−−==−，可得28b a =． 当丁同学的结论正确，即当3x =是一元二次方程()2600ax bx a +−=≠的一个根时，9360a b +−=，可得23b a =−．根据3b a =−和23b a =−不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，假设丁同学的结论错误，联立2b a =−和3b a =−，得0a =，0b =，不满足0a ≠，故假设不成立； 假设乙同学的结论错误，联立2b a =−和23b a =−，得2a =，4b =−，此时满足28b a =，故假设成立；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．9. 【答案】10x =，26x =【分析】利用因式分解法解答即可．【详解】解：260x x −=，∴()60x x −=，∴0x =或60x −=，解得：10x =，26x =．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键．10. 【答案】221y x x =−−【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为1−即可．【详解】解：根据题意得：221y x x =−−（答案不唯一），故答案为：221y x x =−−（答案不唯一）11. 【答案】50︒【分析】根据旋转的性质可得D B ∠=∠，80BOD ∠=︒，求出B ∠，再利用三角形内角和定理求出AOB ∠，进而可求α∠的度数．【详解】解：由旋转得：D B ∠=∠，80BOD ∠=︒，∵2100A D ∠=∠=︒，∴50∠=∠=︒B D ，∴18030AOB A B ∠=︒−∠−∠=︒，∴803050BOD AOB α∠=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后的对应角相等，旋转角的定义是解题的关键．12. 【答案】2x =−或=8x【分析】根据图象，2ax bx c kx b +++=的解就是二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象交点的横坐标，据此解答即可．【详解】解：由图形可得，2ax bx c kx b +++=的解就是二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象交点的横坐标，所以2ax bx c kx b +++=的解是2x =−或=8x ，故答案为：2x =−或=8x【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，解决本题的关键是熟练掌握用数形结合解决二次函数与一次函数交点问题．13. 【答案】()2120011452x +=【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x ，根据增长率问题的等量关系列方程即可．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：()2120011452x +=，故答案为：()2120011452x +=．14. 【答案】1−【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把x =0代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得10k −≠，由此即可求解．【详解】解：把x =0代入一元二次方程得，210k −=，且10k −≠，解得，1k =±，且1k ≠，∴1k =−，故答案为：1− ．15. 【答案】758 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式求得顶点，再利用二次函数的性质求出s 的最大值即可得出结论．【详解】解：60<，∴函数有最大值．∴()201575468s −==⨯−最大值，即汽车刹车后前进了758米才能停下来． 故答案为：758． 16. 【答案】 ①. ① ②. 1010【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，②总停产时间：574153292108210⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，③总停产时间：529415310287258⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，101101010⨯=（元）故答案为：1010．三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】13x =，212x = 【分析】直接代入求根公式求解即可．【详解】解：2a =，7b =−，3c =因为224(7)423250b ac −=−−⨯⨯=>所以754x ±== 所以13x =，212x = 【点晴】本题考查了一元二次方程的解法，熟练记住求根公式是解题的关键．18. 【答案】22−【分析】将x a =代入2390x x −+=得2390a a −+=，由()()()24431313a a a a a +−−−=−−即可求解；【详解】解：将x a =代入2390x x −+=得2390a a −+=，∴239a a −=−，()()()244311633a a a a a +−−−=−−+2313a a =−−913=−−22=−【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键.19. 【答案】（1）见解析 （2）7【分析】（1）根据题意作出旋转图形即可；（2）由勾股定理得出4AC =，再由旋转的性质结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】解：∵5,3,90AB BC C ==∠=︒，∴4AC ==，∵DCE △由ABC 旋转而成， ∴4CE AC ==，∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴B 、C 、E 共线，∴347BE BC CE =+=+=．【点睛】题目主要考查旋转图形的作法，勾股定理解三角形，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． 20. 【答案】（1）见解析；（2）2=23y x x −−；（3）40y −≤<．【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键．（1）再利用描点法画函数图象；（2）根据表格得出抛物线过点()1,4−、()1,0−、()3,0，将点坐标代入抛物线解析式求出a 、b 、c 即可，（3）分别求出，x =0，13x x ==，时的函数值，利用图象可直接得到答案．【小问1详解】解：抛物线图象如图，【小问2详解】解：∵设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由题意得：当0x =时，=3y −，∴3c =−,∵1x =时，4y =−，当1x =−时，0y =，∴3034a b a b −−=⎧⎨+−=−⎩， 解得12a b =⎧⎨=−⎩， ∴2=23y x x −−；【小问3详解】解：∵()22=23=14y x x x −−−−，∴当x =1时4y =−，当x =0时，2=0203=3y −−−⨯，当3x =时，2=3233=0y −−⨯，∴由图象可得，当03x <<时，40y −≤<． 21. 【答案】（1）见详解 （2）12−或1 【分析】（1）根据24b ac ∆=−即可证明；（2）根据公式法即可得()()122222m m xx ++==，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解；【小问1详解】解：根据题意，()()22Δ42410b ac m m m ⎡⎤=−=−+−+=≥⎣⎦，∴无论m 取何值，方程总有两个实数根.【小问2详解】由题意，根据公式法得，()222m b x a +−==，∴()()122222m m x x +++==，∴()()22222m m +++−=⋅， 解得：12112m m =−=，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．22. 【答案】1x =【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建花道后剩余的面积为()()85x x −−平方米，根据花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得()()185285122x x ⨯−⨯−−=， 整理，得213120x x −+=，解得：11x =，212x =，∵园地的宽为5米，而2125x =>，∴212x =不合题意，舍去．答：x 的值为1．23. 【答案】（1）2402y x x =+（2）28（3）见解析 （4）2.2【分析】（1）根据长方体表面积公式即可求解；（2）将2x =代入（1）中所得函数关系式即可；（3）描点连线即可完成作图；（4）观察图象，找到图象最低点的横坐标即可．【小问1详解】 解：2221040242y x x x x x=+⨯=+，故答案为：2402y x x=+； 【小问2详解】 解：当2x =时，82028y =+=，故答案为：28；【小问3详解】解：如图所示：【小问4详解】解：观察图象可知，当x 约为2.2dm 时，需要的材料最省，故答案为：2.2．【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用．掌握函数的研究方法是解题关键．24. 【答案】（1）m n >（2）6t ≤−或522t ≤≤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由2(0)y ax bx c a =++>，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当2t =时，对称轴为2x =，()1,A m ，(4,)B n ，由4221−>−，可得m n <；（2）分当0t <，05t ≤<，56t ≤<， 6t ≥四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于t 的不等式，然后求出满足要求的解即可．【小问1详解】解：∵2(0)y ax bx c a =++>，∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当2t =时，对称轴为2x =，()2,A m −，(4,)B n ，∵()2242−−>−，∴m n >；【小问2详解】解：当0t <时，如图1，∴(),A t m −在抛物NQ 线段上，()2,B t n 在MN 段上，()00,C x y 在PQ 上，∵对于056x <<，都有0m y n >>，∴6t −≥且225t t t >≥−，且0t <，解得：6t ≤−；当05t ≤<时，如图2，∵对于056x <<，都有0m y n >>，∴26t t −≤−且025t <≤， 解得：522t ≤≤； 当56t ≤<时，如图3，∵对于056x <<，都有0m y n >>，又∵0y 在图象中已包含最小值，∴不存在0y n >的情况，即此种情况舍去；当6t ≥时，如图4，∵对于056x <<，都有0m y n >>，又∵225t t >−，∴0n y >，即此种情况与题意不符，舍去；综上所述，t 的取值范围为6t ≤−或522t ≤≤． 25. 【答案】（1）90α︒−（2）①图形见解析，45DBC ∠=︒．②DF CF +=，证明见解析．【分析】（1）本题由旋转的性质可知AC AD =，结合AB AC =推出AB AD =，再根据等腰三角形性质即可求解．（2）①本题考查等腰三角形性质，根据等腰三角形性质用BAC ∠表示出ABC ∠和ABD ∠，再利用DBC ABC ABD ∠=∠−∠即可解题．②延长CB ，取BM CF =，连接AM ，证明()ABM ACF SAS ≌，得到AF AM =，AFC AMB ∠=∠，利用AF 为BAD ∠的角平分线，再证明()AMC AFD SAS ≌，得到MC DF =，最后结合勾股定理即可解题．【小问1详解】解：由旋转的性质可知，DAC α∠=，AC AD =，AB AC =，BAC α∠=，AB AD ∴=，2BAD α∠=，ABD ∴为等腰三角形，1802902ABD αα︒−∴∠==︒−， 故答案为：90α︒−．【小问2详解】解：①补全图形如下：AB AC =，1802BAC ABC ACB ︒−∠∴∠=∠=， AC AD =， AB AD ∴=，90α=︒，()180902BAC ABD ADB ︒−∠+︒∴∠=∠=，()180901804522BAC BAC DBC ABC ABD ︒−∠+︒︒−∠∴∠=∠−∠=−=︒．②解：DF CF +=，证明如下：证明：延长CB ，取BM CF =，连接AM ，如图所示：AB AC =，,ABC ACB ∴∠=∠ABM ACF ∴∠=∠，()ABM ACF SAS ∴≌，AF AM ∴=，AFC AMB ∠=∠，AB AD =，AF 为BAD ∠的角平分线，AF BD ∴⊥，即90BEF ∠=︒，45DBC ∠=︒，45AMB AFC BEF DBC ∴∠=∠=∠−∠=︒，90MAF ∴∠=︒，AC AD =，90DAF CAF MAF CAF CAM ∠=︒−∠=∠−∠=∠，()AMC AFD SAS ∴≌，MC DF ∴=，222AF AM MF +=，()222AF MC CF ∴=+，即()222AF DF CF =+，整理得DF CF +=．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质和判定，角平分线性质、全等三角形性质和判定、勾股定理等，解题的关键在于旋转构造等腰三角形和全等三角形，再熟练运用其性质即可解题．26. 【答案】（1）2P 和3P（2）312m −≤≤− （3）最大值为12，最小值为5【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O 旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点D 作DP x ⊥轴于点P ，过点D 作D Q x '⊥轴于点Q ，证明DPO OQD '≌，求出D 的坐标，再求出点D 在线段AC 上和在线段AB 上时，m 的值，即可得出结论；（3）将ABC 绕点O 逆时针旋转90︒得到A B C '''，根据抛物线上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”，得到当抛物线过点A '时n 有最小值，当抛物线过点C '时n 有最大值，即可得解．【小问1详解】解：∵()()1,1,3,1A B ，∴AB x ∥轴，如图所示，点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−绕点O 顺时旋转90︒得到的对应点分别为：()()()1230,2,1,1,2,1P P P '''，其中点()()231,1,2,1P P ''，在线段AB 上， ∴2P 和3P 是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；【小问2详解】解：∵()()()1,1,3,1,3,2A B C ， ∴ABC 在第一象限，∵点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”； ∴点D 在第二象限，过点D 作DP x ⊥轴于点P ，过点D 作D Q x '⊥轴于点Q ，则：90DPO D QO '∠=∠=︒，∵OD 绕点O 顺时针旋转90︒得到OD '， ∴OD OD '=，90DOD '∠=︒，∴90DOP OD Q D OQ ''∠=∠=︒−∠， ∴DPO OQD '≌，∴,OQ DP D Q OP '==，∵(),2D m ， ∴,2OQ DP m D Q OP '====， ∵ABC 在第一象限，∴()2,D m '−，设直线AC 的解析式为：y kx b =+，则： 132k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1122y x =+， 当D 在AC 上时，112m −=+，解得：32m =−； 当D 在AB 上时，1m −=，解得：1m =−； ∴当312m −≤≤−时，点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”； 【小问3详解】 解：如图：ABC 绕点O 逆时针旋转90︒得到A B C '''，其中()()()1,1,1,3,2,3A B C '''−−−．∵抛物线上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”， ∴当()21y x n =−−+过A '，即()2111n =−−−+，解得：5n =，∴n 的最小值为5；同理，当()21y x n =−−+过C '，得到n 的最大值为12．【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．。