用随机变量的特征函数求积分与级数

性质 2.2 （[2]） 设随机变量ξ 的 n 阶矩存在，则它的特征函数可微 n 次，且当 k ≤ n 时，
f (k) (0) = ik E(ξ k ) .
3. 问题与讨论
+∞
+∞
∑ ∑ 问题 3.1([4]) 求级数
m 的和可用错位相减法来计算，那么级数
km
(
m km
)2
和级数
m=1
m=1
+∞
∑(
故 由特征函数性质
ϕξ′(0) = i,ϕξ′′(0) = 2i2 ,L,ϕξ k (0) = k !ik .
Eξ = −i ⋅ϕξ′(0) = 1, Eξ 2 = (−i)2ϕξ′′(0) = 2!, L, Eξ k = (−i)k ⋅ϕξ k (0) = k !.
∫ 由 k 阶矩的定义知 Eξ k = +∞ xke−xdx , 0
特别地
(1)如果ξ 为连续性的，它的密度函数为 fξ (x) ,则它的特征函数为
∫ ϕξ (t) = Eeitξ =
+∞ −∞
eitxfξ
(x)dx
;
(2)如果 ξ
是离散型的，它的密度矩阵为
⎛ ⎜ ⎝
x1, p1,
x2 ,L ⎞ p2 ,L⎟⎠
，则它的特征函为
+∞
∑ ϕξ (t) = Eeitξ = eitxj p j . j =1
ξ
n
(1−eit )3
由于ξ 存在二阶矩，故ϕ′(t) 连续
所以
ϕ′ (0) = lim = i ξ
ieit [1−(n+1)eitn +nei ( n+1)t ]
t→0
n(1−eit )2
n+1 2
,
ϕξ′′(0)
=
lim
t→0
ϕξ′′(t
)
=
⋅ n(n+1)(2n+1) i2
6
n
=
i ( n +1)( 2 n +1) 6
角度，用特征函数来解决这个问题. 法一：(1)当 k 为偶数时
设随机变量 ξ
服从拉普拉斯分布,其密度函数为
p(x)
=
1 2a
e−
|x| a
.
则其特征函数为
ϕ ∫ ξ (t) =
e e dx = ( − ) +∞ itx 1
−
|x| a
−∞
2a
11
2a
it
+
1 a
, 1
it
−
1 a
所以
ϕ′ (t) = ( + ) ξ
t =±1
.
t ≠±1
ϕ ′(t) = { + + + } ξ
1
−
sin[(
t
+1)
π 2
]
2
(t +1)2
π 2
⋅cos[(t
+1)
π 2
]
t +1
−
sin[(
t
−1)
π 2
]
(t −1)2
; π
2
⋅cos[(t
−1)
π 2
]
t −1
ϕ ′′(t) = { − + − − − } ξ
1
2
sin[(
1 k3
,并整理得
+∞
∑ ( ) = m 3 km
. k3 (k6 +4k3 +1) (k3 −1)4
m=1
n
n
∑ ∑ 问题 3.2 我们知道级数
m
=
n ( n +1) 2
,
m2
=
n ( n +1)( 2 n +1) 6
可以用数学分析的知识来证
m=1
m=1
明，现在换个角度用特征函数将其解决.
解
设ξ
的密度矩阵为
2.
所以由特征函数性质得
Eξ
=
1 i
ϕ
′(0)
=
1 i
i
n+1 2
=
n+1 2
,
Eξ
2
=
(−i)2
⋅ ϕ ′′(0)
=
( n +1)( 2 n +1) 6
.
由矩的定义知
n
n
∑ ∑ Eξ =
m
1 n
,
Eξ 2
=
m2
1 n
.
m=1
m=1
n
n
故
∑ ∑ m
1 n
=
, n+1 2
m = 2 1 n
( n +1)( 2 n +1) 6
+
(1 +
e−it )n
+
(1−
e−it )n ]
故
ϕξ ′ (t )
=
1 2
[n(1
+
eit )n−1ieit
+
n(1− eit
) n −1 ieit
−
n(1 +
e−it )n−1ie−it
+
n(1 −
e−it )n−1ie−it ]
所以
ϕξ′(0) = 0 .
由特征函数的性质知 Eξ = −i ⋅ϕξ′(0) = 0 ,
.
m=1
m=1
-2-

n
n
即
∑ ∑ m
=
n ( n +1) 2
，
m = 2
n ( n +1)( 2 n +1) 6
.
m=1
m=1
∑ ( ) n
问题 3.3 我们知道级数
(−1)k −1
n k
可用数学分析的知识来求，我们不妨换个角度用
k =1
特征函数来求．

用随机变量的特征函数求积分与级数
张庆月
南开大学数学院，天津（300071）
E-mail：jczhangqingyue@
摘 要：本文主要讲述应用随机变量的特征函数求某些积分与级数的和，说明随机变量特征 函数在数学分析中有着重要的应用． 关键词：随机变量，k 阶矩，特征函数 中图分类号：0211.1
|x| a
dx
=ak k !.
令 a=1 得 (2)当 k 为奇数时，
∫ ∫ +∞ xke−|x|dx = 2k !， Γ(k +1) = +∞ xke−xdx = k !.
−∞
0
由 k −1为偶数则
∫ ∫ Γ(k +1) = +∞ xke−xdx = k +∞ xk−1e−xdx ,
0
0
∫ Γ(k +1) = k +∞ xk−1e−xdx = k(k −1)! = k !. 0
1. 引言
特征函数虽不如分布函数那样直观，却有很好的分析性质，利用这些性质可将积分、求 和运算化为求导运算，从而求得某些积分的值和级数的和．
2. 定义、性质
∫ 定义 2．1（[1]） Fξ (x) 是随机变量ξ 的分布函数，称函数ϕξ (t) = Eeitξ =
+∞ −∞
eitx
dFξ
(
x)
为随机变量ξ 的特征函数.[1]
=
e(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
,
由 k +1 阶矩的定义知
ξ ∫ E = x e dx k+1
+∞
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
,
0
故
∫ x e dx = e +∞
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
0
. (
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
π
π
∫ ∫ 问题 3.6 我们知道 2 x cos xdx ， 2 x2 cos xdx 可用分步积分法来求，我们换个角度
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
.
0

解 由引理得
f (0) = i e f (0) = i e (k+1)
k +1
(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
, k +1
(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
所以，由特征函数性质知
ξ E
k +1
=
(−i) k +1
f
(k+1) (0)
⎛ 0, 1, −2, L,
设随机变量 ξ
的密度矩阵为：
⎜ ⎜⎝
(
n 0
)
2n
,
(
n 1
)
2n
,
(
n 2
)
2n
,L ,
(−1)n−1 ⎞
(
n n
)
2n
⎟ ⎟⎠
∑ 则其特征函数为： ϕξ (t) =
n
( ) it (−1)m−1
n m
e m 2n