初三数学(第18讲)样本与总体汇总

九年级样本与总体知识点作为九年级学生，我们已经度过了八年级的学习生涯，即将面临着中考的挑战。

而在备战中考的过程中，样本与总体知识点的掌握显得尤为重要。

那么，什么是样本与总体知识点呢？样本与总体知识点的概念样本是对总体的一个部分的观察或测量，是对总体的一种抽象和概括。

在学习中，我们常常需要通过样本来推测和研究总体的特征和规律。

而总体则指的是整个研究对象或调查的对象的集合，也是我们想要了解的所有数据的来源。

在学习中的应用样本与总体知识点在数学、语文、英语等学科中都有广泛的应用。

以数学为例，我们通过对一部分数的观察和测量，得到他们的特征，从而推测整个集合的特征。

在解决实际问题中，我们往往无法获得全部数据，因此通过样本来了解总体就显得尤为重要。

数学中的样本与总体知识点在数学中，样本与总体知识点的应用十分广泛。

比如，在统计学中，我们需要通过对一部分数据的观察和分析，来推测整个总体的性质和规律。

通过对样本进行抽样调查，我们可以得到总体的某种特征的估计值，从而对总体有一个初步的认识。

在几何学中，样本与总体知识点同样起着重要的作用。

我们通过观察和研究几何图形的一部分来推测整个几何图形的性质和规律。

例如，我们通过对一条直线上的几个点的观察，可以推测整条直线的性质，如斜率、截距等。

语文与英语中的样本与总体知识点在语文学科中，样本与总体知识点的应用体现在阅读理解中。

我们通过阅读一篇文章中的几段文字，就可以推测整篇文章的主题和观点。

通过精选样本的分析，我们能够抓住作者的意图和文章的核心。

而在英语学科中，样本与总体知识点同样是非常重要的。

在学习词汇和句型的过程中，我们需要通过对几个例句的研究，掌握总体的用法和规律。

通过样本的学习，我们可以深入理解英语的语法和表达方式。

结语样本与总体知识点是我们学习中必不可少的一部分，它们可以帮助我们更好地了解整体的情况和规律。

在备战中考的过程中，我们要注重样本的掌握，并通过样本来推断总体的特征和性质。

样本与总体——知识讲解【学习目标】1.了解全面调查和抽样调查的优缺点，能选择合适的调查方式，解决有关问题；2.知道总体、样本、样本容量等相关概念，能够利用样本估计总体的某些特征；3.了解简单随机抽样的概念，会用简单随机抽样的方法抽取样本；4.了解频数分布表和频数分布直方图，能从频数分布直方图中获取有用的信息；5.会用扇形统计图、条形统计图和折线统计图表示数据，并对数据进行分析，以便做出决策.【要点梳理】要点一、普查和抽样调查1.普查和抽样调查（1）普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查．要点诠释：①普查又叫“全面调查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察的对象一一作出的调查，在记录数据时，通常采用划记法．②一般来说，普查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体的数目非常大，普查的工作量太大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普查．（2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，然后再根据调查的数据推断全体对象的情况.抽样调查的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，它的缺点是调查的结果往往不如普查得到的结果精确，它得到的只是估计值，而且这个估计值是否接近实际情况还取决于样本的大小以及它的代表性．要点诠释：①在抽取的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方式是一种简单随机抽样．②样本的选择要具有代表性和广泛性.（3）调查方法的选择：①普查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.②在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.由于人力、物力、时间等因素的限制，我们常常无法调查总体的每一个对象，于是转而采取调查样本的方法来了解总体.2.调查的相关概念总体：调查时，所要考察对象的全体叫做总体.个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体.样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.样本容量：一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量（不带单位）.要点诠释：①“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如果考察的是这个班学生的身高，那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体是总体．②样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本在一定程度上能够反映总体，为了使样本能较好地反映总体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性和广泛性．③样本容量是一个数字，没有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越准确，在实际研究中，要根据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从5万名考生的数学成绩中抽取2000名考生的数学成绩进行分析”，样本是“2000名考生的数学成绩”，而样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000名考生”或“2000名”．要点二、简单随机抽样一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本（n＜N），且每一次抽取样本时总体中的各个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样.抽签法简便易行，当总体的个数不多时，宜采用这种方法进行简单随机抽样.当总体容量很大时，我们可以采用科学计算器（或计算机）产生随机数的方法进行简单随机抽样.通常，科学计算器都有随机函数RAND功能，它可以产生0—1之间的随机数；有些科学计算器还提供了随机函数RANDI功能，它可以产生任意两个整数之间的随机整数. 要点诠释：简单随机抽样必须具备下列特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的；②简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；③简单随机样本是从总体中逐个抽取的；④简单随机抽样是一种不放回的抽样；⑤简单随机抽样的每个个体被抽中的可能性均为nN.要点三、组距、频数与频数分布表的概念1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．2．频数：落在各小组内数据的个数．3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．要点诠释：①求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；④列频数分布表；②频数之和等于样本容量．③频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为最大值-最小值组距的整数部分+1．要点四、频数分布直方图1.频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成．(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数．2.作频数直方图的步骤：(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)列频数分布表；(4)画频数分布直方图．要点诠释：①频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．②频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布．要点五、数据的描述描述数据的方法有两种：统计表和统计图．统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化．要点诠释：①条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．②扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．③折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．【典型例题】类型一、普查和抽样调查1.某次考试有3000名学生参加，为了了解3000名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中，有下述3种说法：①1000名考生是总体的一个样本；②3000名考生是总体；③1000名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩；④每个考生的数学成绩是个体．其中正确的说法有( ).A．0种 B．1种 C．2种 D．3种【思路点拨】总体是3000名学生的数学成绩，个体是这次考试中每名学生的数学成绩，样本是抽取的1000名学生的数学成绩，样本容量是1000.【答案】C.【解析】解：①、②两个说法指的是考生而不是考生的成绩，故①、②两个说法不对，④指的是考生的成绩，故④对．③用样本的特征估计总体的特征，是抽样调查的核心，故③对．【总结升华】总体、样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的成绩，而不是考生．举一反三：【变式】为了了解某市2万名学生参加中考的情况，教育部门从中抽取了600名考生的成绩进行分析，这个问题中（）.A.2万考生是总体；B.每名考生是个体；C.个体是每名考生的成绩；D.600名考生是总体的一个样本.【答案】C.2.（2016•山西）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高【思路点拨】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【答案】C.【解析】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选：C．【总结升华】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3.下列调查适合作抽样调查的是( ).A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查【思路点拨】抽样调查不可能进行全面调查的现象.【答案】A.【解析】解：要了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率，显然应采用抽样调查的方式．而对于B、D选项，因为漏掉每一个个体携带H1N1病毒者或者“神七”载人飞船有一个小零件不合格，都会出现意想不到的后果，因此需要采用全面调查的方式．了解某班每个学生家庭电脑的数量，范围小，工作量小，一般也采用全面调查的方式．故选A. 【总结升华】①在具体的问题情境中，要根据需要选择用全面调查还是抽样调查的方式进行调查；抽样调查得到的信息的准确度受调查对象(即样本)的数量和特点影响，故抽样时必须注意调查对象是否具有代表性和广泛性．举一反三：【变式】下列调查中，哪些是全面调查的方式，哪些是用抽样调查方式来收集数据的？（1）为了了解你所在的班级的每个同学的身高，向全班同学做调查.（2）为了了解你所在的班级的同学每天的学习时间，选取班级中学号为单号数的所有同学做调查.（3）为了了解某奶牛场中500头奶牛的产奶量，从中抽取出50头进行分析测量.【答案】（1）采用的是全面调查方式收集数据的；（2）、（3）是采用抽样调查方式收集数据的.类型二、用样本估计总体4. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个．A．45 B．48 C．50 D．55【答案】A；【解析】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：9，∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个），故选：A．【总结升华】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．举一反三：【变式】为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50% B．55% C．60% D．65%【答案】C.5.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验【思路点拨】严格按照简单随机抽样的定义和特点去判断.【答案】D.【解析】解：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．故选D．【总结升华】本题考查简单随机抽样，注意简单随机抽样的特点.6. 2010年亚运会在广州举行，广元小学开展了“你最喜欢收看的五项亚运会球类比赛(只选一项)”抽样调查．根据调查数据，小红计算出喜欢收看排球比赛的人数占抽样人数的6％，小明则绘制成如下不完整的条形统计图（如图所示），请你根据这两位同学提供的信息，解答下面的问题：(1)将统计图补充完整；(2)根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看羽毛球的人数．【思路点拨】依据条形图反映出来的数量作答．【答案与解析】解：(1)因为喜欢排球的12人占抽样总人数的6％，故抽样人数为：122006%=(人)，故喜欢乒乓球的人数为：200－12－38－80－20＝50(人)．(2)喜欢收看羽毛球人数为：201800180200⨯=(人)．【总结升华】把小长方形对应的纵轴数相加即得到抽取的调查报告数，这也是样本数；每组所占样本的百分比乘总数即这组调查报告约有的份数.类型三、数据的描述7.让数据说话小米的母亲开了一家服装店，专门卖羽绒服，下面是去年一年各月销售情况表：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12销量（件）100 90 50 11 8 6 4 6 5 30 80 110根据表，回答下列问题：（1）计算去年各季度的销售情况，并用一个适当的统计图表示；（2）计算去年各季度销售量在全年销售总量中所占的百分比，并用适当统计图表示；（3）从这些统计图表中，你能得出什么结论为小米的母亲今后决策能提供什么有用帮助．【思路点拨】根据题意，结合统计图各自的特点，知（1）要求表示各季度的销售情况，应选用条形统计图；（2）要求表示每季度的销量在全年中所占的百分比，应选用扇形统计图；（3）从作出的统计表中，通过分析数据，可以作出结论，提出建议．【答案与解析】解：（1）一、二、三、四季度销售量分别为240件、25件、15件、220件．可用条形图表示：；（2）可求总销售量为：500件．一、二、三、四季度销售量占总销售量的百分比分别为48%、5%、3%、44%．可用扇形图表示：；（3）从图表中可以看到二、三季度的销售量小，一、四季度的销售量大．建议旺季时多进羽绒服，淡季时转进其它货物或租给别人使用．【总结升华】此题虽是一道小题，但把几种统计图各自的特点和补足都进行了考查，而且还考查了数据与图形的关系所造成的误导，把各个知识点都融合在一道题中，非常巧妙，又顺理成章，很有新意．举一反三：【变式】数学与我们生活美化都市，改善人们的居住条件已成为城市建设的一项重要内容北京上海南京广州深圳土地面积（平方公里）16807 5910 6597 7434 2020绿化面积（平方公里）5042 1478 1979 2974 909（1）这五个城市之间的土地面积之比大约是多少？（精确到0.1）（2）这五个城市的绿化率各是多少？（绿化率=绿化面积÷土地面积，保留两位有效数字）（3）请你制作一幅统计图来表示这五个城市的绿化率的情况．（尽可能形象生动）【答案】解：（1）16807：5910：6597：7434：2020≈8.3：2.9：3.3：3.7：1；（2）填表如下：北京上海南京广州深圳 0.30 0.25 0.30 1.40 0.45 （3）如图所示：．。

北师大版九年级下册数学第 18 讲《弧长和扇形面积》知识点梳理【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.3 (3) 扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；(4) 扇形两个面积公式之间的联系： .【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1. 如图（1），AB 切⊙O 于点 B ，OA= 2，AB=3，弦 BC∥OA ，则劣弧 B»C 的弧长为（ ）． A ． 3 π B ． 3 π 3 2 C ．π D ． 3π 2A图（1）【答案】A.【解析】连结 OB 、OC ，如图（2）则∠OBA ＝90︒ ，OB= ， ∠A ＝30︒ ， ∠AOB ＝60︒ ，由弦 BC ∥OA 得∠OBC ＝∠AOB = 60︒ ，所以△OBC 为等边三角形， ∠BOC ＝60︒ .则劣弧 B»C 的弧长为 60π 3 = 3π ，故选 A. 图（2） 180 3【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料， 试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到 0.1mm)3 C B O【答案】R=40mm，n=110∴的长= = ≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC= OC= OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形= ．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．4 -4πB．4 -8πC．8 -4πD．8 -8π 9 9 9 9A PE FB D C图（1）的面积是： 【答案】连结 AD ，则 AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD= ×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形 80π 22 EAF = 8π.360 9故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= 4- 8π． 图（2） 9故选 B ．3.（2015•ft西模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AB 的中点， 连接 DO 并延长交⊙O 于点 P ，过点 P 作 PF⊥AC 于点 F ．（1） 求劣弧 PC 的长；（结果保留 π）（2） 求阴影部分的面积．（结果保留 π）．【答案与解析】解：（1）∵点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A=30°，∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD ，∵PF⊥AC，∴∠OPF=30°，∴OF=OP ，∵OA=OC，AD=BD ，∴BC=2OD，∴OA=BC=2，∴⊙O 的半径为 2，∴劣弧 PC 的长===π；（2）∵OF=OP ，∴OF=1，∴PF== ，∴S阴影=S 扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．类型二、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC= =2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S 扇形OBC=π×OC2= π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

中考数学一轮复习资料五合一《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》(全国通用版)第18讲等腰三角形题组特训详解一、选择题1．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若ABC V 与EBC V 的周长分别是20，12，则AB 为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】首先根据DE 是AB 的垂直平分线，可得AE BE =；然后根据ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，可得ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，据此求出AB 的长度是多少即可．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，∴ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，∴20128AB =-=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．2．已知边长为4的等边ABC、、的中点，P为线段DE上一动点，则V，D、E、F分别为边AB BC AC+的最小值为（　）PF PCA．B．3C．4D．段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，等腰ABC V 内接于O e ，点D 是圆中优孤上一点，连接DB DC 、，已知,70AB AC ABC =Ð=°，则BDC Ð的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出40A Ð=°，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．【详解】解：∵AB AC =，70ABC Ð=°，∴70ABC ACB Ð=Ð=°，∴18040A ABC ACB Ð=°-Ð-Ð=°，∴40BDC A Ð==°∠．故选D ．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．4．如图，若50MON Ð=°，MON Ð内有一个定点P ，点A ，B 分别在射线OM ON ，上移动，当PAB V 周长最小时，则APB Ð的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B 【分析】作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，且2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，从而得出180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），即可得出答案．【详解】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，∴2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，∴180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），∴80APB P P ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将PAB V 的周长最小值转化为P P ¢¢¢的长是解题的关键．5．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，70BAC Ð=°，D 是BC 边的中点，DE AB ^于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，则F Ð的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°∵DE AB ^，∴90BED Ð=°，∴903555ADE Ð=°-°=°，∵EF DE =，DE AB ^，∴AF AD =，∴55F ADE Ð=Ð=°，故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，理解性质并熟练的应用是解题的关键．6．如图，在ABC V 中，AB AC =，边BC 在x 轴上，且点()10B -，，点()24A ，，则AOC V 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．26【答案】A 【分析】作AD x ^轴于点Ｄ，求得4=AD ，2OD =，利用等腰三角形的性质求得3BD CD ==，根据三角形的性质即可求解．【详解】解：作AD x ^轴于点Ｄ，∵()24A ，，∴()20D ，，4=AD ，2OD =，7．如图，在正方形ABCD中，4V沿AE折叠，使点B落在正方形内点AB=，E为BC的中点，将ABEF处，连接CF，则CF的长为（）A．B C D．2.25∵四边形ABCD为正方形，8．如图，已知长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C ¢处，BC ¢交AD 于点E ，168AD AB ==，，则DE 的长为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】由四边形ABCD 为长方形可知AD BC ∥，8CD AB ==，从而得出ADB CBD Ð=Ð，结合折叠的性质得出ADB C BD ¢Ð=Ð，进而得出BE DE =．设BE DE x ==，则16AE x =-，在Rt ABE △中，根据勾股定理可列出关于x 的等式，解出x 的值，即得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∴AD BC ∥，8CD AB ==∴ADB CBD Ð=Ð．由折叠的性质可知C BD CBD ¢Ð=Ð，8C D CD AB ¢===，∴ADB C BD ¢Ð=Ð，∴BE DE =．设BE DE x ==，则16AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AE AB BE +=，∴()222168x x -+=，解得：10x =，∴10DE =．故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A 、如图1，由作法可知，BD BC =，即BCD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；B 、如图2，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确；C 、如图3，由作法可知，所做线段为AB 的垂直平分线，AD BD =，即ABD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；D 、如图4，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，AD CD =，即ACD V 是等腰三角形，不符合题意，选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键．10．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，B ，C 分别落在点H ，G 的位置，CD 与HE 交于点M ．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．ME HG=B ．ME MF =C ．HM FM EB+=D ．GFM MEAÐ=Ð【答案】A 【分析】由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，结合平行线的性质可证M MEF FE =ÐÐ，可证选项B 正确；由点到直线的距离可得ME HG ¹，故选项A 不正确；由折叠的性质知HE BE =，再由HE HM ME HM MF =+=+，可得选项C 正确，利用平行线的性质可得MEA HMD Ð=Ð，GFM HMD Ð=Ð，可证选项D 正确．【详解】解：如图，过点M 作MK AB ^，由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，由题意知CD AB ∥，AD BC HG ==，∴BEF MFE Ð=Ð，AD MK HG ==，∴M MEF FE =ÐÐ，∴ME MF =，故选项B 正确，不合题意；∵ME MK >，∴ME HG ¹，故选项A 不正确，符合题意；由折叠的性质得：HE BE =，∵HE HM ME HM MF =+=+，∴HM FM EB +=，故选项C 正确，不合题意；∵CD AB ∥，∴MEA HMD Ð=Ð，由题意知HE GF ∥，∴GFM HMD Ð=Ð，∴GFM MEA Ð=Ð，故选项D 正确，不合题意；故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等．11．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点M 在边BC 上，若MA 平分DMB Ð，则CM 的长是（ ）A ．B ．1C ．D 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出1CD AB ==，AD BC ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，由平行线的性质得出DAM AMB Ð=Ð，再由角平分线证出AMB AMD Ð=Ð，又勾股定理求出CM 即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴1CD AB ==，AD CB ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，∴DAM AMB Ð=Ð，∵MA 平分DMB Ð，∴AMB AMD Ð=Ð，∴DAM AMD Ð=Ð，∴2DM AD ==，12．如图，ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC Ð交AC 于G ，DM ∥BC 交ABC Ð的外角平分线于M ，交AB 、AC 于F 、E ，下列结论正确的是（ ）A ．EF ED=B ．FD BC =C ．EC MF =D ．EC AG=【答案】C 【分析】通过证明BF EC =，BF FM =即可解决问题；【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C Ð=Ð，∵DM ∥BC ，∴,AFE ABC AEF C Ð=ÐÐ=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，∴AF AE =，∴BF EC =，∵D DBC FBD Ð=Ð=Ð，∴DF BF =，同理可证：BF FM =，∴EC FM =，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两个动点，且总使AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ^于点G ，则:FG AF 等于（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1214．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M ，N ，且6OM =，30OMN Ð=°，等边AOB V 的顶点A ，B 分别在线段MN OM ，上，则OB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图，在ABC V 中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF ，ABD ，ACE ，若3AB =，4AC =，5BC =，则下列结论：①AB AC ^；②四边形ADFE 是平行四边形；③150DFE Ð=°；④5ADFE S =四边形，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由222AB AC BC +=，得出90BAC Ð=°，则①正确；由等边三角形的性质得60DAB EAC Ð=Ð=°，则150DAE Ð=°，由SAS 证得ABC DBF V V ≌，得4AC DF AE ===，同理()SAS ABC EFC V V ≌，得3AB EF AD ===，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形\12AEFD S DF AM DF AD =×=×Y 故④不正确；\正确的个数是3个，故选：B ．二、解答题16．如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =，060BAC °<Ð<°，分别在AB 的右侧，AC 的左侧作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，BD 与CE 相交于点F ．(1)求证：BF CF =；(2)作射线AF 交BC 于点G ，交射线DC 于点H ．①补全图形，当40BAC Ð=°时，求AHD Ð的度数；②当BAC Ð的度数在给定范围内发生变化时，AHD Ð的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出AHD Ð的度数；若变化，请给出AHD Ð的度数的范围．17．如图，在ABCÐ的平V中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交DAC分线于E，交BC于G，且AE BC∥．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)若8AE =，2GC BG =，求BC 长．【答案】(1)答案见解析(2)12【分析】（1）先根据平行线的性质证明B DAEC CAE ÐÐÐÐ=，=，然后根据角平分线的定义得出B C Ð=Ð，则可证明ABC V 为等腰三角形；（2）证明AFE CFG △≌△，从而得到CG 的长，则可求得BC 的长．【详解】（1）解：AE BC Q ∥，B D A E ，C C A E \Ð=ÐÐ=Ð，AE Q 平分DAC Ð，DAE CAE \Ð=Ð，B C \Ð=Ð，AB AC \=，ABC \V 是等腰三角形；（2）F Q 是AC 的中点，AF CF \=，在AFE △和CFG △中，C FAE CF AFGFC EFA Ð=Ðìï=íïÐ=ÐîA FE C FG \V V ≌，8G C A E \==，2GC BG =Q ，4BG \=，12B C B G G C \=+=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．18．在ABCV中，AB BC=，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE OF，．(1)如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2，当90Ð=°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；ABC(3)若2，POFCF AE EF-==V为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE V ，连接AD ，CD ．(1)求证：ACD V 为等边三角形；(2)若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．由作图可知：最小值为∴60EAE¢Ð=°，∴EAE¢△为等边三角形，∴12EE EA AB¢==，∴90AE BТ=°，20．在ABC V 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^，垂足为G ，且AD AB =．60EDF Ð=°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)求证：AE CF =．60DBE DAF BD ADBDE ADF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BDE ADF △△≌．∴BE AF =．又∵AB AC =，∴AB BE AC AF -=-，∴AE CF =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．过关检测详细解析一．选择题1．如图，在ABC V 中，AC BC =，边AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点D 、E ．若45BAE Ð=°，3DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ．若AC AD =，40CAD Ð=°，则B Ð的大小为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】C 【分析】根据AC AD =，40CAD Ð=°，得到70ACD D Ð=Ð=°，根据+180B D ÐÐ=°计算选择即可．【详解】∵AC AD =，40CAD Ð=°，∴70ACD D Ð=Ð=°，∵+180B D ÐÐ=°，∴110B Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠，使点B 落在正方形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．BCD ．2.25∵四边形ABCD 为正方形，∴4AB BC ==，∵E 为BC 的中点，∴122BE CE BC ===，在Rt ABE △中，根据勾股定理可得：5．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．以DE 为折痕将B 点往右折如图2所示，BD BE 、分别与AC 相交于F 点、G 点．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 长度为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，已知ABC V 是等边三角形，2BDC BAC Ð=Ð，BD CD =，点M ，N 分别是B ，AC 边上的点，且60MDN Ð=°．连接MN ，若AMN V 的周长是6，则ABC V 的边长是（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】B 【分析】延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，由“SAS ”可证BDF CDN V V ≌，V V ≌DMN DMF ，可得Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，MN MF =，即可求解．【详解】解：延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，∵ABC V 是等边三角形，∴60Ð=Ð=Ð=°ABC BAC BCA ，∵BD CD =，2BDC BAC Ð=Ð，∴BDC V 是等腰三角形，120BDC Ð=°，∴30Ð=Ð=°BCD DBC ，∴90Ð=Ð=°DBA DCA ，在DBF V 和CND △中，BF CN DBF DCN DB DC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BDF CDN V V ≌，∴Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，∵60MDN Ð=°，∴60Ð+Ð=°BDM CDN ，∴60BDM BDF FDM MDN Ð+Ð=°=Ð=Ð，在DMN V 和V DMF 中，DN DF MDN MDF DM MD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DMN DMF V V ≌，∴MN MF =，∴MF BF BM BM CN MN =+=+=，∴AMN V 的周长2AM AN MN AM MB BF AN AB AN CN AB AC AB ++=+++=++=+=．∵AMN V 的周长是6∴3AB =故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，已知点D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，6AD =，点F 是线段AD 上一动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【分析】连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ．【详解】解：连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，如下图：∵ABC V 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴BF CF =，∴BF EF CF EF CE +=+=，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ∵D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，∴AD CE =，∵6AD =，∴6CE =，∴BF EF +的值最小值为6．故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称求最短距离，解题关键是掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．8．如图，在等边ABC V 中，4BC cm =，动点D 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 方向运动．同时动点E 从点B 出发以相同的速度沿BC 方向运动，当点D 运动到点A 时，点E 也随之停止运动．连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对称点为点F ，设点D 的运动时间为t 秒，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y 与t 的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．【详解】解：由折叠的性质可得：BDE DEF S S =△△，①当02t ££时，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为BDE y S =V ，由题意得：cm BD BE t ==，过点D 作DH BE ^于点H ，如图，∵ABC V 是等边三角形，由题意得：cm==，则BD BE t∵60，，B BD BEÐ=°=∴BDEV是等边三角形，4综上，y 与t 之间函数关系式为由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开9．点D 是等边三角形ABC 的边AB 上的一点，且12AD BD ==，，现将ABC V 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若54BF =，则CE 的长为（ ）A ．53B ．75C ．125D ．3510．如图，在等边三角形ABC 中，10cm AB AC ==，4cm DC =．如果点M ，N 都以1cm/s 的速度运动，点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动，点N 在线段BA 上由点B 向点A 运动．它们同时出发，当两点运动时间为t 秒时，BMN V 是一个直角三角形，则t 的值为（ ）A ．103B ．209C ．103或203D ．53或103【答案】C【分析】根据题意，用含t 的式子表示出,,10CM t BN t BM t -===，分两种情况讨论，当90BMN Ð=°时，2BN BM =，求出t 的值；当90BNM Ð=°时，2BM BN =，求出t 的值．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，10AB AC ==cm ，∴10BC =cm ，∵点M 、N 都以1cm/s 的速度运动，设CM t =，BN t =，线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．5B C．D．6【答案】A【分析】连接CQ、CP，过点C作CH AB^，根据勾股定理求出^于H，根据切线的性质得到CQ PQPQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH AB^于H，∵PQ 是C e 的切线，∴CQ PQ ^，∴22PQ CP CQ =-=当CP AB ^时，CP 最小，12．如图，O 为ABC V 的外心，OCP △为正三角形，OP 与AC 相交于D 点，连接OA ．若70BAC Ð=°，AB AC =，则ADP Ð为（ ）A ．110°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C 【分析】由三角形的外心可知OA OC =，结合AB AC =，70BAC Ð=°先求出ACO Ð，再利用OCP △是正三角形以及外角的性质即可求解ADP Ð的度数．【详解】解：O Q 是ABC V 的外心，AB AC=OA OC BAO CAO ACO\=Ð=Ð=Ð，=70BAC аQ =35CAO ACO \Ð=аOCP Q △是正三角形60PCO P \Ð=Ð=°25PCD PCO ACO \Ð=Ð-Ð=°256085ADP PCD P \Ð=Ð+Ð=°+°=°故选C ．【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．13．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G ，CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC Ð=°；③ABG DBF ≌△△；④连接GF ，则GBF V 是等边三角形，以上结论正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】利用等边三角形,ABD BCE V V 的性质，证明 ,ABE DBC V V ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC V V ≌可得,EAB CDB Ð=Ð 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出60ABG DBF Ð=Ð=°，进而证明ABG DBF ≌△△，判断③，得出BG BF =，即可判断④【详解】解：,ABD BCE QV V 为等边三角形，,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE \=Ð=°==Ð=°，，,ABD DBE CBE DBE \Ð+Ð=Ð+Ð 即,ABE DBC Ð=Ð()SAS ,ABE DBC \V V ≌,AE DC \= 故①正确；Q ,ABE DBC V V ≌,EAB CDB \Ð=Ð,DGH AGB Ð=ÐQ180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB Ð=°-Ð-ÐÐ=°-Ð-ÐQ60DHG ABD \Ð=Ð=°，120AHC \Ð=°，故②正确；60ABD EBC Ð=Ð=°Q ，60DBF \Ð=°，,EAB CDB Ð=ÐQ 则GAB FDBÐ=Ð在,ABG DBF V V 中GAB FDB AB DBABG DBF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ASA ABG DBF \V V ≌，故③正确；BF BG\=又60DBF Ð=°Q ，\GBF V 是等边三角形，故④正确故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键．14．如图，P 为O e 外一点，PA PB 、分别切O e 于点A 、B ，AC 是O e 的直径，若10AC =，30BAC Ð=°，则PAB V 的周长为（ ）A．8B．C．20D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，60A Ð=°，10AC =，将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，此时点A ¢恰好在AB 边上，则点B ¢与点B 之间的距离为（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】D 【分析】连接BB ¢，证明ACA ¢V 是等边三角形，得出60ACA ¢Ð=°，从而得出60BCB ¢Ð=°，证明BCB ¢V 是等边三角形，得出BB BC ¢=，根据勾股定理，结合含30°角的直角三角形性质，求出BC 即可．【详解】解：如图，连接BB ¢，∵将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，∴BCB ACA ¢¢Ð=Ð，CB CB ¢=，CA CA ¢=，∵60A Ð=°，∴ACA ¢V 是等边三角形，∴60ACA ¢Ð=°，∴60BCB ¢Ð=°，二、解答题16．在AOB V 中，已知90AOB Ð=°，OA OB =，点P 、D 分别在AB OB 、上．(1)如图1，若45PO PD OPD =Ð=°，，则POB Ð=______°（直接写答案）(2)如图1，在（1）的条件下，求证：BOP △是等腰三角形．(3)如图2中，若12AB =，点P 在AB 上移动，且满足PO PD =，DE AB ^于点E ，试问：此时PE 的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．【答案】(1)67.5°(2)见解析(3)PE 的值不变，6PE =，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）首先根据等腰直角三角形的性质得到45B A Ð=Ð=°，然后利用三角形内角和定理和067.5BOP P D Ð=Ð=°得到BOP BPO Ð=Ð，进而求解即可；（3）解：PE的值不变，如图，过点O作OM∵90Ð=°，AOB AO∴BOMV是等腰直角三角形，1∴()AAS POM DPE ≌V V ，∴6OM PE ==，∴PE 的值不变，PE 的值为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，ABC V 中， 15AB AC ==，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．(1)若BCD △的周长为21，求BC 的长；(2)若42A Ð=°，求DBC Ð的度数．【答案】(1)6(2)27DBC Ð=°【分析】（1）通过垂直平分线的性质判断边等，将三角形周长换成边的和，据此求解即可．（2）等腰三角形推出角等，通过角度的数量关系求解即可．【详解】（1）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\BD AD =，Q BCD △的周长是21，15AB AC ==，\BCD △的周长21BD CD BC AD CD BC AC BC =++=++=+=，\6BC =；（2）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\AD BD =，ABD A Ð=Ð，Q ABC V 中，AB AC =，\ABC C Ð=Ð，Q 42A Ð=°，\69ABC C Ð=Ð=°，\27DBC Ð=°．【点睛】此题考查垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．18．已知，点P 为等边三角形ABC 所在平面内一点，且120BPC Ð=°．(1)如图（1），90ABP Ð=°，求证：BP CP =；(2)如图（2），点P 在ABC V 内部，且90APB Ð=°，求证：2BP CP =；(3)如图（3），点P 在ABC V 内部，M 为BC 上一点，连接PM ，若180BPM APC Ð+Ð=°，求证：BM CM =．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）证明BPC BCP Ð=Ð即可；（2）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，首先证明EAP V 是等边三角形，从而得出3090CEP CPE Ð=°Ð=°，，再利用含30°角的直角三角形的性质，可得答案；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理得EAP V 是等边三角形，过点C 作CN 平行于BP ，交PM 的延长线于点N ，再利用ASA 证明CPE CPN @V V ，得CE CN =，再证明()AAS CMN BPM @V V ，从而解决问题．【详解】（1）ABC QV 是等边三角形，60ABC ACB A \Ð=Ð=Ð=°，90,ABP Ð=°Q 90906030,PBC ABP ABC °\Ð=-Ð-Ð=°-°=°30BPC °Ð=Q ，180PBC BPC BCP Ð+Ð+Ð=°，1801801203030PCB BPC PBC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，,PBC BPC \Ð=Ð，BP CP \=；（2）AP BP ^Q ，90APB \Ð=°，将ABP V 绕A 逆时针旋转60°，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，则90AE AP CE BP CAE BAP AEC APB ==Ð=ÐÐ=Ð=°，，，，∴EAP CAE CAP Ð=Ð+Ð60BAP CAP BAC =Ð+Ð=Ð=°，∴EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，∴906030CEP AEC AEP Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵360360906012090CPE APB APE BPC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°，∴2CE CP =，∴2BP CP =；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理可知，EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，180,APC BPM Ð+Ð=°Q 180APE EPC BPM \Ð+Ð+Ð=°，120EPC BPM \Ð+Ð=°，又120,BPC CPM BPM Ð=Ð+Ð=°.FPC CPD \Ð=Ð，过点C 作,CN BP ∥交PM 的延长线于点N ，则,PBC NCB Ð=Ð120,BPC Ð=°Q 18012060,PBC PCB \Ð+Ð=°-°=°又60,60ACP PCB ABP PBC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，,ACP PBC \Ð=Ð由旋转得，,ACE ABP BP CEÐ=Ð=∴60ACE ACP PBC ABP Ð+Ð=Ð+Ð=°又60NCB BCP PBC BCP Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PCE PCN Ð=Ð，在PCE V 和PCN △中，EPC NPC PC PCPCE PCN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴PCE PCN @V V ，∴CE CN =，∴BP CN =，在BPM △和CNM V 中，PBM NCM PMB CMN BP CN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BM CM=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．19．在ABC V 中，90B Ð=°，1AB =，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当50BAC Ð=°时，则AED Ð的大小；(2)当60BAC Ð=°时，①如图2，连接AD ，AED △的形状是 三角形；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE Ð=Ð．P 为直线CF 上一动点．说明P 点在什么位置时，PE PD -有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D 关于直线CF 的对称点）【答案】(1)80AED Ð=°(2)①等边②点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，最大值为2，理由见解析【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①ADE V 是等边三角形，证明EA ED =，60AED Ð=°即可；②结论：2PE PD AB -=．如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，利用全等三角形的性质证明ED AC ¢=，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，50BAC Ð=°，905040ACB \Ð=°-°=°，18040140ACD \Ð=°-°=°，280EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36028080AED \Ð=°-°=°．（2）解：①如图2中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，60BAC Ð=°，906030°°\Ð=-°=ACB ，18030150ACD \Ð=°-°=°，300EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36030060AED \Ð=°-°=°，ADE \V 是等边三角形；②如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，180CFD CFE Ð+Ð=°Q ，CFD CAE Ð=Ð，。

样本与总体一、知识点1. 简单的随机抽样:使样本具有代表性,不偏向总体中的某些个体的抽签方法。

2. 随机性:不能够事先预测结果的特性。

3. 概率:表示一个事件发生的可能性大小的数。

抽样调查要注意以下几点：（1）要注意调查对象在总体中有代表性。

（2）所取的样本要足够大，仅凭一两次结果就下结论是不合理的。

（3）要注意调查个体数目大小与总体的关系，仅仅增大调查数目不一定能提高调查结果的可信度。

二、例题例1：2003年某某315直通车举办了健康饮料3.15民意调查活动,为了确保评选活动的公正性,采用剪报邮寄+网上投标+抽样问卷调查三种方式相结合的方式,此次活动得到了广大消费者的积极支持,截止最后统计日期2003年9月12日,共收到选票7123X,其中剪报邮寄方式的选票1380X,网上投标5443X,抽样问卷调查300份；经统计,获得本次调查活动“最受欢迎饮料品牌(果汁类)”称号的有：统一鲜橙多贝奇野菜汁健力宝第五季汇源果汁“最受欢迎饮料品牌(茶类)”称号的有：康师傅冰红茶玉叶凉茶“最受欢迎饮料品牌(纯净水类)”称号的有：小黑子娃哈哈乐百氏(1) 你认为这次活动的调查方式是什么方式?(2) 你猜想在这次活动中的个体会有重复的吗?(3) 这次活动的结果,你认为公平公正吗?说说你的理由。

分析：这个调查活动抽样的个体较多,地域广泛,具有代表性,符合随机抽样的特点,具有随机性。

解：(1) 这次活动的调查方式是随机抽样调查。

(2) 在这次抽查中,因为有三种方式,所以有种可能,某人以两种或三种方式参与,当然这是极少的,但不能排除,所以少数个体重复计算的机会存在。

(3) 这次调查活动的结果公正公平,因为调查方式具有随机性,即有代表性,没有偏向。

所以大体上体现了广大消费者的需求和喜爱,所以公平合理。

例2:为了了解某一城市的气温情况，小王观测二月份每天的气温得到本市日平均气温为℃；小英观察了元月至三月份每天的气温，得出本市日平均气温为℃；小强观察了二月份、五月份、八月份、十一月份每天的气温，得到本市日平均气温为℃。

九年级根据样本估计总体知识点在九年级学习过程中，我们经常需要对一些数据进行研究和分析。

有时候，我们需要对整个总体进行了解，但是由于时间、资源等因素的限制，我们无法对整个总体进行观察和调查。

这时候，我们就可以利用样本来对总体进行估计。

本文将介绍关于九年级根据样本估计总体知识点的相关内容。

一、样本的选择和抽取方法在进行样本调查时，我们需要根据实际情况选取样本。

首先，我们需要明确我们的研究对象是什么，比如我们要了解九年级学生对某一知识点的掌握情况。

然后，我们可以根据一定的方法进行样本的选择和抽取。

常见的样本选择和抽取方法有随机抽样、系统抽样、分层抽样等。

随机抽样是指每个个体都有相等的机会成为样本中的一员，系统抽样是按照一定的规则进行抽取，分层抽样是根据总体的不同特征进行分层，再从各层中抽取样本。

根据具体情况选择适合的抽样方法，确保样本的代表性和可靠性。

二、样本统计量的计算在得到样本后，我们需要计算一些样本统计量来对总体进行估计。

常见的样本统计量有样本均值、样本方差、样本比例等。

样本均值是指样本观察值的平均数，可以用来估计总体的平均数。

样本方差是样本观察值与样本均值之间差的平方和的平均数，可以用来估计总体的方差。

样本比例是指样本中满足某一特征的个体占总体的比例，可以用来估计总体的比例。

三、区间估计和点估计在根据样本进行估计时，我们可以使用区间估计和点估计。

点估计是指用一个具体的数值来估计总体参数，比如用样本均值来估计总体均值。

然而，由于样本的随机性，点估计的结果有一定的误差。

区间估计是通过统计方法得到一个置信区间，这个区间包含了总体参数的真实值。

通常，我们使用置信水平来表示置信区间的可信程度，如95%置信区间。

区间估计比点估计更具有可靠性。

四、样本容量的确定样本容量的大小对估计结果的可靠性有重要影响。

通常情况下，样本容量越大，估计结果越可靠。

而且，样本容量的大小还与总体的变异程度和置信水平有关。

在实际应用中，为了减少误差，我们需要根据总体特征和置信需求来确定合适的样本容量。

九年级数学知识点：由样本推断总体知识点读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。

接下来小编为大家精心准备了由样本推断总体知识点，希望大家喜欢!
1.知识与技能
学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查;
会用样本的平均数、方差等特性估计总体的相应特性;
体会用样本估计总体的统计思想，知道不同的样本对总体的估计不同。

2.过程与方法
体会随机抽样是了解总体情况的一种重要数学方法，经历抽样不同所得到的结果不同的过程，体会抽样的关键作用。

3.情感、态度与价值观
会运用样本的某种特性估计总体的相应特性的统计思想解决有关实际问题。

教学重点：用样本估计总体。

教学难点：用样本估计总体。

由样本推断总体知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~
精心整理，仅供学习参考。

2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。

初 三 数 学（第18讲）主讲：倪红美（苏州立达中学）本讲内容：第25章 样本与总体§25.1 简单的随机抽样§25.2 用样本估计总体教学要求：1．体会随机抽样是了解总体特性的一种重要的数学方法，抽样是一个关键；2．体会简单的随机抽样的调查方法的科学性；3．学会用抽样调查的方法，选取合适的样本进行抽样调查。

4．进一步体会随机抽样是了解总体特性的一种重要的数学方法，抽样是一个关键；5．学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，学会用样本特性去估计总体特性6．体会用样本估计总体的思想。

教学内容：1.简单随机抽样的定义：要使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，有一个对每个个体都公平的方法，那就是用抽签的办法决定哪些个体进入样本。

统计学家们称这种理想的方法为简单的随机抽样。

2.简单的随机抽样的步骤：（1）将所有个体编号；（2）放在一个容器中搅匀；（3）抽签3.随机性：像（抽签等）这样不能事先预测结果的特性叫做随机性4.不宜普查的原因：（1）总体中个体数目太大，工作量太大；（2）调查具有破坏性5.简单随机抽样调查是否合适，主要看是否满足：（1）样本有代表性，（2）样本容量要足够大，（3）是否对每个个体都公平，每个个体是否都有可能成为调查对象。

6.基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，但随着样本容量的增加，有样本得出的特性会接近总体的特性。

7.数学家已经证明，随机抽样方法是科学而且可靠的。

8.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。

9.在用样本特性估计总体特性时，要注意一是样本要有代表性，二是样本容量要足够大。

求平均数的公式：123n x x x x x n ++++=典型例题：例1．以下选取样本方法正确的是( B )．A．苏州市某调查公司为了解该市高中学生的视力情况，对苏州市的一所省重点中学的学生视力情况进行了调查B．为了保障人民群众的身体健康，在预防“非典”期间，有关部门加强了市场监管力度，为了解市场上出售的口罩质量情况，随机抽取了本市一些商店中的一定数量的口罩进行检查C．为调查一个省城镇居民的收入情况，调查了该省的省会城市居民的收入情况D．陕西省某鞋厂为了解初中生穿鞋的大小尺码，调查了该省某体校学生穿鞋尺码的情况分析：判断抽样调查选取样本的方法是否合适，主要看抽取的样本在总体中是否具有代表性，抽取样本的数量是否足够大．例2．下面的几个调查中，适合抽样调查的是( B )．A．在2003年的“非典”期间，卫生部公布的各省疫情的数据B．为了了解某品牌的中秋月饼的质量C．为了了解某校初三年级的学生每天收看焦点访谈节目的人数D．为了了解某高新技术产业开发区中台商的人数分析：我们平时接触到的这些数据主要来源于普查与抽样调查．要判斯对一个事件应进行普查还是抽样调查，关键是看对数据要求的精确程度与可行性．例3．老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最前面的小王为了抢速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，加上他自己，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．小王这样的抽样调查合适吗?分析：因为小王他们四个人坐在教室最前面，所以他们身高的平均数就会小于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．由于小王选取的样本不具有代表性，所以小王这样的抽样调查不合适．】例4．下列选取样本的方法是否具有代表性?为什么?(1)为了调查某城市的空气质量状况，每天早晨抽样．(2)为了调查某个地区的生活水平，了解部分农村家庭的衣食住行情况．分析：抽样调查要求所抽取的样本要具有真实的代表性，通常考虑的要素有时间、人员、地点及其他人为因素．解：(1) 每天早晨抽样所得的样本不能真正反映该城市的空气质量状况，因为一般来说，早晨的空气质量稍好些．(2) 部分农村家庭的衣食住行情况不能代表该地区的生活水平，因为农村家庭的衣食住行情况和城市家庭的衣食住行情况是有差别的评注：即使随机抽样，也要考虑抽取的样本是否具有真实的代表性，否则统计调查可能失真，本题(1)中，宜分时段抽取样本，本题(2)中，应调查各类家庭的衣食住行情况．例5．甲、乙两位同学在玩掷骰子的游戏时：甲同学说：“1，1，1，…啊!真的是l!你只要一直想某个数，就会掷出那个；乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．”请你判断以上的说法是否正确，并说明理由．分析：这两位同学的说法都不正确，因为根据几次实验的经验说明不了什么问题．这两位同学的说法不正确，选取的样本太少．例6．小明的电动车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次电动车夫窃事件．为此，他和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次电动车失窃事件．这样的调查合适吗?分析：这样的调查是不合适的，虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭．这样的调查不合适．例7．为了调查江苏省的环境污染情况，分别调查了南京、苏州的环境污染情况，请你根据所学的知识，判断这个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由．分析：要判断抽样调查选取样本的方法是否合适，主要看选取的样本是否具有代表性，并要求选取的样本不偏向总体中的某些个体，对每一个个体都有平等的机会．显然，南京、苏州在江苏省不具有代表性，且这两个城市的工业化程度比较高，故这样选取的样本不合适．评注：抽样的方法是否合适，关键要看你要调查的人或事在总体中是否具有代表性，样本的数量是否足够大．有时仅仅增加样本数量也不一定能够保证调查质量，还要看总体中的每个个体是否都有成为调查对象的可能性(即样本应是随机的)．例8．某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼?分析：本题一方面考查了学生由样本估计总体的思想方法和具体做法，另一方面考察了学生应用数学的能力，这也是中考命题的一个重要方向．设湖里大约有J条鱼，则100：x＝20：200 ∴x＝1000．答：湖里大约有1000条鱼．例9．某校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中采集到6件的有2人，采集到3件的有4人，采集到4件的有5人，则这个兴趣小组平均每人采集到的标本是( )．A．3件且4件C。