九年级数学：二次函数的应用练习题(含解析)

二次函数的应用测试题(含答案)一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A.1米B.3米C.5米D.6米2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2 +10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A.y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D.y= (x﹣3)25.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.2sB.4sC.6sD.8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A.2米B.5米C.6米D.14米7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A.40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD.5 m/s二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为_________米.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为_________元.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是_________.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为_________件(用含x的代数式表示).三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.22.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx ﹣75.其图象如图所示.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A. 1米B.3米C.5米D. 6米考点:二次函数的应用.分析:直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案.解答:解:h=﹣5t2+10t+1=﹣5(t2﹣2t)+1=﹣5(t﹣1)2+6,故小球到达最高点时距离地面的高度是:6m.故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出是解题关键.2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A. 30万元B.40万元C.45万元D. 46万元考点:二次函数的应用.分析:首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15﹣x)量,根据题意得出:W=y1+y2=﹣x2+10x+2(15﹣x)=﹣x2+8x+30,∴最大利润为:= =46(万元),故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键.3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒考点:二次函数的应用.分析:根据题意,x=7时和x=14时y值相等,因此得到关于a,b的关系式,代入到x=﹣中求x的值.解答:解:当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=﹣21a,根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下,当x=﹣=10.5时,y最大即高度最高.因为10最接近10.5.故选:C.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键.4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A. y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D. y= (x﹣3)2考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为(1,1),由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.解答:解:∵高CH=1cm,BD=2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2,把D(1,1)代入得1=a×(1﹣3)2,解得a= ,故右边抛物线的解析式为y= (x﹣3)2.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题.5.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 2sB.4sC.6sD. 8s考点:二次函数的应用.分析:礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求h的最大值.解答:解:由题意知礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是:,∵<0∴当t=4s时,h最大为40m,故选B.点评:本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题.6.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A. 2米B.5米C.6米D. 14米考点:二次函数的应用.分析:把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度.解答:解:h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5(t2﹣4t)﹣14=﹣5(t2﹣4t+4)+20﹣14=﹣5(t﹣2)2+6,﹣5<0,则抛物线的开口向下,有最大值,当t=2时,h有最大值是6米.故选:C.点评:本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,把函数式化成顶点式是解题关键.7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 3sB.4sC.5sD. 6s考点:二次函数的应用.专题:计算题;应用题.分析:到最高点爆炸,那么所需时间为﹣.解答:解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆,∴t=﹣=﹣=4s.故选B.点评:考查二次函数的应用;判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A. 40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD. 5 m/s考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:本题实际是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去.解答:解:当刹车距离为5m时,即可得y=5,代入二次函数解析式得:5= x2.解得x=±10,(x=﹣10舍),故开始刹车时的速度为10m/s.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用,明确x、y代表的实际意义,刹车距离为5m,即是y=5,难度一般.二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为米.考点:二次函数的应用.专题:函数思想.分析:根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.解答:解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:﹣1=﹣0.5x2+2,解得:x= ,所以水面宽度增加到米,故答案为:米.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x+6)2+4.考点:二次函数的应用.专题:数形结合.分析:根据题意得出A点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可.解答:解:由题意可得出:y=a(x+6)2+4,将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,解得:a=﹣,∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:y=﹣(x+6)2+4.故答案为:y=﹣(x+6)2+4.点评:此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为25元.考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.解答:解:设最大利润为w元,则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是:25.点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是(,5).考点:二次函数的应用.专题:压轴题.分析:分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值,再进一步比较.解答:解:线段AB的解析式是y= x+1(0≤x≤4),此时w=x(x+1)= +x,则x=4时,w最大=8;线段AC的解析式是y= x+1(0≤x≤2),此时w=x(x+1)= +x,此时x=2时,w最大=12;线段BC的解析式是y=﹣2x+10(2≤x≤4),此时w=x(﹣2x+10 )=﹣2x2+10x,此时x= 时,w最大=12.5 .综上所述,当w=xy取得最大值时,点P的坐标是(,5).点评:此题综合考查了二次函数的一次函数,能够熟练分析二次函数的最值.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米.考点:二次函数的应用.分析:直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.解答:解:∵函数解析式为:,∴y最值= = =2.故答案为:2.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确记忆最值公式是解题关键.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为(60+x)件(用含x的代数式表示).考点:二次函数的应用.分析:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,设销售量为a,代入函数的解析式,即可得到a和x的关系.解答:解:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,∴,解得:,∴w=﹣x2+3600,设销售量为a,则a(60﹣x)=w,即a(60﹣x)=﹣x2+3600,解得:a=(60+x ),故答案为:(60+x).点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,用的知识点为:因式分解,题目设计比较新颖,同时也考查了学生的逆向思维思考问题.三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?考点:二次函数的应用.分析:(1)由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论; (2)由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可.解答:解:(1)由题意,得32﹣×4=80﹣2x.答:每天的现售价为x元时则每天销售量为(80﹣2x)件;(2)由题意,得(x﹣20)(80﹣2x)=150,解得:x1=25,x2=35.∵x≤28,∴x=25.答:想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为25元.点评:本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键.16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据销售量=240﹣(销售单价每提高5元,销售量相应减少20套)列函数关系即可;(2)根据月销售额=月销售量×销售单价=14000,列方程即可求出销售单价;(3)设一个月内获得的利润为w元,根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答.解答:解:(1),∴y=﹣4x+480(x≥60);(2)根据题意可得,x(﹣4x+480)=14000,解得,x1=70,x2=50(不合题意舍去),∴当销售价为70元时,月销售额为14000元.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意,得w=(x﹣40)(﹣4x+480),=﹣4x2+640x﹣19200,=﹣4(x﹣80)2+6400,当x=80时,w的最大值为6400∴当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.点评:本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用,并涉及到了根据二次函数的最值公式,熟练记忆公式是解题关键.17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.解答:解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得,解得,∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18);(2)W=(x﹣10)(﹣2x+60)=﹣2x2+80x﹣600,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是19 2元.(3)由150=﹣2x2+80x﹣600,解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.点评:本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题.18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B 两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?考点:二次函数的应用.专题:应用题;数形结合.分析:(1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;(3)得出yA﹣yB的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:(1)由题意可得出:yB= (x﹣60)2+m经过(0,1000),则1000= (0﹣60)2+m,解得:m=100,∴yB= (x﹣60)2+100,当x=40时,yB= ×(40﹣60)2+100,解得:yB=200,yA=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则,解得:,∴yA=﹣20x+1000;(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=﹣20x+1000,解得:x=44,当x=44,yB= (44﹣60)2+100=164(℃),∴B组材料的温度是164℃;(3)当0<x<40时,yA﹣yB=﹣20x+1000﹣(x﹣60)2﹣100=﹣x2+10x=﹣(x﹣20) 2+100,∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.点评:此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得方程求解即可;(2)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得函数关系式,进而求出最值.解答:解:(1)设每箱应涨价x元,则每天可售出(50﹣2x)箱,每箱盈利(10+x)元,依题意得方程:(50﹣2x)(10+x)=600,整理,得x2﹣15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10,∵要使顾客得到实惠,∴应取x=5,答:每箱产品应涨价5元.(2)设利润为y元,则y=(50﹣2x)(10+x),整理得:y=﹣2x2+30x+500,配方得:y=﹣2(x﹣7.5)2+612.5,当x=7.5元,y可以取得最大值,∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高.点评:此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用,解答此题的关键是熟知等量关系是:盈利额=每箱盈利×日销售量.20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题训练1．某品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨0.5元/个,则月销售量将减少5个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？2．某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣80x+560,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元？(2)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大？最大利润是多少元？3．某批发商以每件40元的价格购进600件T恤,第一个月以单价60元销售,售出了200件,第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出20件,但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后,批发商将对剩余T恤清仓销售,清仓时单价为30元,设第二个月单价降低x 元．(1)填表（不需要化简）(2)若批发商希望通过销售这批T恤获利7680元,则第二个月的单价应是多少元？(3)如果批发商希望通过销售这批T恤获利达到了最大值,则第二个月的单价应是多少元？可获利多少元？4．一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件6元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y （件）与售价x （元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系,表格记录的是某三周的有关数据：(1)求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于17元/件,若某一周该商品的销售最不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于17元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元（16m ≤≤）,捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m 的取值范围．5．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”,如图,准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面,已知AB ⊥BC ,AB ＝3米,BC ＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆,小型农场中间GH 也是用篱笆隔开）,点D 可能在线段AB 上（如图1）,也可能在线段BA 的延长线上（如图2）,点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时,⊥设DF的长为x米,请用含x的代数式表示EF的长；⊥若要求所围成的小型农场DBEF的面积为9平方米,求DF的长；(2)DF的长为多少米时,小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？6．某经销商销售一种新品种壶瓶枣,这种新品种进价每千克50元(规定每千克销售利润不低于5元且不高于25元),现在以75元/千克的售价卖出,则每周可卖出80千克．该经销商通过对当地市场调查发现：若每千克降价5元,则每周多卖出20千克；因疫情原因,该经销商决定暂时降价销售,设每千克销售价降低x元,每周销售利润为y元．(1)当售价为每千克65元时,每周销售量为千克,利润为元．(2)求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(3)当销售单价定为多少元时,该经销商每周可获得最大利润?最大利润是多少元?7．某服装超市购进单价为30元的童装若干件,物价部门规定其销售单价不低于每件30元,不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时,平均每月销售量为80件,而当销售单价每降低10元时,平均每月能多售出20件．同时,在销售过程中,每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元,平均月销售量为y件．(1)求出y与x的函数关系式．(2)当销售单价为多少元时,销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？8．在双十二活动期间,商店将对某商品进行促销活动．已知进价为每件6元,平时以单价10元的价格售出一天可卖100件．根据调查单价每降低1元,每天可多售出50件；设商品单价降低x元（售价不低于进价）,这批商品的日利润为y元（利润=售价－成本）,请解决以下问题：(1)当商品的销售单价降低多少元时,销售这批商品的日利润最大,最大值为多少？(2)当日利润达到400元时,求x的值．(3)若商店以第（2）问中的方式销售2天后,第三天单价再减a元,当天的销售量不低于前两天总和的70%,求第三天的日利润最大值．9．某商品的进价为每件33元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件．市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件．(1)商场要想平均每星期盈利8500元,每件商品的售价应为多少元？(2)商场要想平均每星期获得最大利润,每件商品的售价应为多少元？10．某厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看成一次函数y＝－2x＋100．(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门的规定,这种电子产品的销售单价不得高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？11．某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)该商店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元,则每天的销售量最少应为多少件？12．成绵苍巴高速正在修建中,某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示,隧洞限高4米,隧洞道路正中间标有一条实线．(1)水平安置一根限高杆,两端固定在洞门上,求限高杆的最小长度．(2)某卡车若装载一集装箱箱宽3m,车与车箱共高3.8m,此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽度不计）？说明理由．13．某超市计划共进货50件饮料,其中A款饮料成本为每件20元；当B款饮料进货10件时,成本为每件48元,且每多进货1件,平均每件B款饮料成本降低2元．为保证饮料x x 件．的多样性,规定A款饮料必须进货至少20件,设进货B款饮料(10)(1)根据信息填表：(2)设总成本为W元,写出W关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(3)为了增加盈利,降低进货成本,该超市如何进货才能使得进货总成本最低,最低成本是多少元．14．如图,在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸,正方形EFCG部分贴A型墙纸,⊥ABE部分贴B型墙纸,其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．(1)探究1：如果木板边长为2米,FC＝1米,则一块木板用墙纸的费用需_____元；(2)探究2：如果木板边长为1米,当FC的长为多少时,一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？(3)探究3：设木板的边长为a（a为整数）,当正方形EFCG的边长为多少时,墙纸费用最省？15．某商店代销一批季节性服装,每套代销成本40元,第一个月每套销售定价为60元时,可售出300套．应市场变化需上调第一个月的销售价,预计销售定价每增加1元,销售量将减少10套．(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元,填写表格：(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利4000元,则第二个月销售定价每套多少元？(3)若要使第二个月利润达到最大,应定价为多少？此时第二个月的最大利润是多少？16．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元,当售价为每袋25元时,销售量为250袋,若销售单价每提高1元,销售量就会减少10袋．(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式______；所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式______．(2)销售单价定为多少元时,所得销售利润最大,最大利润是多少？17．某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出400千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克．(1)假设每千克涨价x元,商场每天销售这种水果的利润是y元,请写出y关于x的函数解析式；(2)若商场只要求保证每天的盈利为4420元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元？(3)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多？最多是多少？18．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现：若每箱以50元的价格出售,平均每天销售80箱,价格每提高1元,平均每天少销售2箱．(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润？最大利润是多少？19．某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价25元/件时,每天的销售量是250件；销售单价每提高1元,每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w（元）与销售单价提高x（元）之间的函数关系式．(2)求销售单价提高多少元时,该文具每天的销售利润最大？20．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一,某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售,如果按每盒70元销售,每天可卖出20盒．通过市场调查发现,每盒口罩售价每降低1元,则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x元,则日销量可表示为_______盒,每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款口罩,每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时,商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．参考答案：1．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%；(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个2．(1)如果每天获得160元的利润,销售单价为4元(2)当销售单价定为5元时,每天的利润最大,最大利润是240元3．(1)60﹣x ；200+20x ；600﹣200﹣（200+20x ）(2)该T 恤第二个月单价为54或46元,该批T 恤总获利为7680元(3)降价10元,单价为50元,获利8000元4．(1)50012000y x =-+(2)这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元,售价为12元(3)36m ≤≤5．(1)⊥（12﹣3x ）米；⊥3米(2)饲养场的宽DF 为52米时,饲养场DBEF 的面积最大,最大面积为758平方米 6．(1)120；1800(2)24202000y x x =-++（0≤x ≤20）(3)当销售单价定为72.5元时,该经销商每周可获得最大利润,最大利润是2025元 7．(1)2200y x =-+()3060x ≤≤(2)当销售单价为60元时,销售这种童装每月获得的利润最大,最大为1950元 8．(1)当商品的销售单价降低1元时,销售这批商品的日利润最大,最大值为450元(2)x =2(3)第三天的日利润最大值为1129．(1)50元或58元(2)54元10．(1)221361800z x x =-+-；(2)当销售单价为34元时,厂商每月能够获得最大利润,最大利润是512万元；(3)制造这种产品每月的最低制造成本是648万元．11．(1)y ＝﹣2x +160(2)20件12．(1)(2)能不跨越标线通过隧道13．(1)50－x ；68－2x(2)W ＝22x －＋48x ＋1000（10≤x ≤30）(3)当A 款饮料进货20件,B 款饮料进货30件时进货总成本最低,最低成本是640元 14．(1)220；(2)当FC 的长为12m 时,一块木板需用墙纸的费用最省,最省是55元； (3)当正方形EFCG 的边长为12a 时,墙纸费用最省． 15．(1)60x +,30010x -(2)第二个月销售定价每套应为80元(3)要使第二个月利润达到最大,应定价为65元,此时第二个月的最大利润是6250元 16．(1)10500y x =-+；21070010000w x x =-+-(2)销售单价定为35元时,所得销售利润最大,最大利润是2250元17．(1)2202004000y x x =-++(2)每千克应涨价3元(3)当每千克涨价为5元时,每天的盈利最多,最多是4500元18．(1)y ＝﹣2x ＋180(2)w ＝﹣2x 2＋260x ﹣7200(3)55元,1050元19．(1)2102001250w x x =-++(2)10元20．(1)(20+2x )盒,(20-x ) 元(2)每盒售价应定为60元(3)每盒售价应定为65元时,最大日利润是450元。

人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________主题分类：主题一：拱桥问题主题二：折叠立体图形问题主题三：围墙问题主题四:投球问题主题五：销售利润问题主题一：拱桥问题1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）3米 2米 13 D．7米主题二：折叠立体图形问题2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时请直接写出此时点M 的坐标．主题三：围墙问题3. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR 若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．主题四:投球问题5. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高OB 为2.44m ，现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？ 6. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分，淇淇恰在点(0)B c ，处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．7. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．8. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm；①求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB 为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．专题五：销售利润问题9.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．10. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 11. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．12. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 13. 某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？A B A B A B 100kg A 2kg B 4kg x x w w x a a（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？14.红星公司销售一种成本为40元/件的产品若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．参考答案1.【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=3 2设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+3 2∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-350∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x 2+32，设点A（b，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2 ∵EF=14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m（x﹣b）2 ∴x 1615m 2615m -615m -615m-925 ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2 ∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x 15222=-522+b 5225222（米），故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2.【答案】(1)223y x x =--+；(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；PD DB 的最大值为916；(3)点M 的坐标为：()32,2--- ()32,2-+ 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，求出直线AC 的解析式为3y x ，设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+得出2223PQ t t t t t =---=--根据PQ x ∥轴得出PD PQ BD AB =根据21394216PD t BD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求出点P 的坐标和最大值即可； （3）证明MPC PCM ∠=∠得出PM CM =，设(),3M m m +，()2,23P m m m --+得出()2222332CM m m m =++-=，()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+根据22PM CM =得出()22223m m m =+，求出0m =或32m =--或32m =-+根据当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △舍去，求出点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【详解】（1）解：把()()3,0,1,0A B -，()0,3C 代入2y ax bx c =++得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）解：过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，如图所示：设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()30A -,，()0,3C 代入得： 303k b b -+=⎧⎨=⎩解得：13k b =⎧⎨=⎩①直线AC 的解析式为3y x设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+ ①点P 在直线AC 上方的抛物线上①2223PQ t t t t t =---=--①PQ x ∥轴①~PQD BAD①PD PQ BD AB= ①()134AB =--=①234PD t t BD --=()2134t t =-+ 21394216t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①当32t =-时PD BD有最大值916 此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）解：根据折叠可知PM PM '= CM CM '= PCM PCM '∠=∠ ①PM x ⊥轴①PM CM '∥①MPC PCM '∠=∠①MPC PCM ∠=∠①PM CM =设(),3M m m + ()2,23P m m m --+ ()2222332CM m m m =++-=()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+ ①PM CM =①22PM CM =①()22223m m m =+整理得：()22320m m ⎡⎤+-=⎣⎦ ①20m =或()2320m +-=解得：0m =或32m =--或32m =-+①当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △ ①0m ≠①点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 3.【答案】（1）见解析；（2），见解析． 【分析】（1）由题意易得AM ＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB +GH +3BC ＝100，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，∴ME ＝BE ，AM ＝GH ． ∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，∴AM ＝2ME ，∴AE ＝3BE ； （2）∵篱笆总长为100m ，∴2AB +GH +3BC ＝100，即，∴ 设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，则 ∵，∴解得 ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．4.【答案】(1)2144y x =-+；(2)0.5m ；(3)97m 12【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为24y ax =+，求出A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出 3.75y =时对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线AC 的解析式，进而设出过点K 的光线解析式为34y x m =-+，利用光线与抛物线相切，求出2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x 1231002AB AB BC ++=6405AB BC =-266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭6405AB BC =-402035EB x =-＞1003x ＜2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x xm 的值，进而求出K 点坐标，即可得出BK 的长．【详解】（1）解：①抛物线AED 的顶点()0,4E 设抛物线的解析式为24y ax =+①四边形ABCD 为矩形，OE 为BC 的中垂线 ①4m AD BC == 2m OB = ①3m AB =①点()2,3A -，代入24y ax =+，得：344a =+①14a =-①抛物线的解析式为2144y x =-+；（2）①四边形LFGT ，四边形SMNR 均为正方形0.75m FL NR == ①0.75m MG FN FL NR ====延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，则四边形FHJN ，四边形ABFH 均为矩形①3m,FH AB FN HJ === ① 3.75m HL HF FL =+=①2144y x =-+，当 3.75y =时213.7544x =-+解得：1x =±①()1,0H - ()1,0J ①2m FN HJ ==①0.5m GM FN FG MN =--=； （3）①4m BC =，OE 垂直平分BC ①2m OB OC == ①()()2,0,2,0B C -设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则：2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①3342y x =-+①太阳光为平行光设过点K 平行于AC 的光线的解析式为34y x m =-+ 由题意，得：34y x m =-+与抛物线相切联立214434y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：234160x x m -+-=则：()()2344160m ∆=---=解得：7316m =； ①373416y x =-+，当0y =时7312x =①73,012K ⎛⎫ ⎪⎝⎭①()2,0B - ①73972m 1212BK =+=． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 5.【答案】(1)()212312y x =--+，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A 点坐标求出a 的值即可得到函数表达式，再把0x =代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点()0,2.25代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为()2,3 设抛物线解析式为()223y a x =-+ 把点()8,0A 代入，得3630a +=12①抛物线的函数表达式为()212312y x =--+ 当0x =时82.443y => ①球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动m 米，则移动后的抛物线为()212312y x m =---+ 把点()0,2.25代入得()212.252312m =---+ 解得15m =-（舍去），21m =①当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6.【答案】(1)1C 的最高点坐标为()32，，19a =-和1c =；(2)符合条件的n 的整数值为4和5 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点(6,1)A 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a 的值；令0x =即可求得c 的值；（2）求得点A 的坐标范围为()()5171，，，求得n 的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：①抛物线21:(3)2C y a x =-+①1C 的最高点坐标为()32，①点(6,1)A 在抛物线21:(3)2C y a x =-+上①21(63)2a =-+解得：19a =-①抛物线1C 的解析式为21(3)29y x =--+，令0x =，则21(03)219c =--+=；（2）解：①到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包①点A 的坐标范围为()()5171，，当经过()51，时211551188n=-⨯+⨯++ 解得175n =； 当经过()71，时211771188n=-⨯+⨯++7①174157n ≤≤ ①符合条件的n 的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】(1)()0,2.8P 0.4a =-；(2)选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数0.4 2.8y x =-+ 令0x =时 2.8y = ①()0,2.8P将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=解得：0.4a =-； （2）①3m OA = 2m CA = ①5m OC =选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=解得：7x = 即：落地点距离点O 距离为7m ①落地点到C 点的距离为752m -=选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=解得：221x =±+（负值舍去） 即：落地点距离点O 距离为()221m +①落地点到C 点的距离为()()5221422m --=- ①4222-<①选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．8.【答案】(1)见解析；(2)①49 230；①()20.00259049y x =--+；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点根据表格数据，可得当0y =时230=x ； ①待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-根据题意当274x =时0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49又抛物线开口向下，可得最高点时与球台之间的距离是49cm 当0y =时230=x①乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是230cm ； 故答案为：49；230．①设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得()202309049a =-+解得：0.0025a =-①抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）①当28.75OA =时抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ①平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-依题意，当274x =时0y =即()20.0025274904928.750h --++-= 解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9.【答案】1264【分析】根据题意，总利润=A 快餐的总利润＋B 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设A 种快餐的总利润为1W ，B 种快餐的总利润为2W ，两种快餐的总利润为W ，设A 快餐的份数为x 份，则B 种快餐的份数为()120x -份． 据题意：2140112122032222x x W x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22801201=812072240022x W x x x --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦∴()22121042400=521264W W W x x x =+=-+---+∵10-< ∴当52x =的时候，W 取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．10.【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元． 依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根． 210140033000=-+-w x x 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-B m A 1.5m A B 100kg 210140033000=-+-w x x B m A 1.5m 9009001001.5m m-=3m = 1.5 4.5m =3m =∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元； 当时每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11.【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤ 【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2144k b =-⎧⎨=⎩，∴2144m x =-+； （2）当120x ≤≤时销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+ 当16x =时销售利润最大为1568元；当2040x <≤时销售利润20302160W my m x =-=-+当21x =时销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元； （3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-∵120x ≤≤时'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 12.【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．4.5243930⨯+⨯+=()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-210140033000=-+-w x x w 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++ 当2x =时2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元； （2）()225040090005049800W x x x =-++=--+ ∵500-<，∴当4x =时W 取得最大值，最大值为9800 ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+解得：15=x 23x = ∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元 根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w 根据题意可得：()()4430205w z z =--+化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时255505280405max w =-⨯+⨯+= ∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①②将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+ 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变 则40b -=，得4b =，当4b =时3000W =∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 14.【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时5y = 当50x >时50.1(50)0.110y x x =--=-+0y ≥，0.1100x ∴-+≥解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设该产品的月销售利润为w 万元 ①当4050x ≤≤时5(40)5200w x x =-=-第 21 页 共 21页 由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大则当50x =时w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+由二次函数的性质可知，当70x =时w 取得最大值，最大值为90因为9050>所以当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元） 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元由题意得：，整理得： ，在内，随的增大而增大 则当时取得最大值，最大值为因此有解得．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． (40)(0.110)Q x a x =---+221400.1()390240a a Q x a +=--+-+140702a +>∴5070x <≤Q x 70x =Q (7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-90378a -=4a =。

30.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降1m，水面宽度为()A. 2√6mB. 2√3mC. √6mD. √3m2.如图，用长为24 m的篱笆围成一面利用墙(墙的最大可用长度a为9m)、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为()A. 48m2B. 45m2C. 16m2D. 44m23.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为()A. 125cm2B. 225cm2C. 200cm2D. 250cm24.某进货单价为70元的某种单品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价()A. 5元B. 10元C. 15元D. 20元5.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53，则小强此次成绩为()A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为()mA. 3B. 6C. 8D. 97.同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液.洗手液瓶子的截面图下部分是矩从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=−118形CGHD.小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16 cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3 cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是()cm．A. 12√3B. 12√2C. 6√3D. 6√28.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的表达式为()A. y=14(x+3)2 B. y=14(x−3)2 C. y=−14(x+3)2D. y=−14(x−3)29.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟10.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是()A. y=a(1+x)2 B. y=x2+aC. y=(1−x)2+aD. y=a(1−x)2二、填空题11.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为______m.12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元．13.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线，铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是____米．14.为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q(辆/小时)、速度v(千米/小时)、密度k(辆/千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：速度v(千米/小时)…1520324045…流量q(辆/小时)…105012001152800450…若已知q、v满足形如q=mv2+nv(m、n为常数)的二次函数关系式，且q、v、k 满足q=vk.根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是______．15.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为________ ．三、解答题16.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？17.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线米，当铅球是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是85运行的水平距离为3米时，达到最大高度5米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少2米？18.如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位使水面宽AB=20m，当水位上升3m，水面宽CD=10m．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？19.如图，某中学准备用长为20m的篱笆围成一个长方形生物园ABCD饲养小兔，生物园的一面靠墙(围墙MN最长可利用15m)，设AB长度为x(m)，矩形ABCD面积为y(m2).(1)求出y与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积为多少？20.春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机：经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价每盒80元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y=−2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润2400元，应如何定价？答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入求出解析式，继而求得y=−3时x的值即可得解．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【解答】解：建立如图所示直角坐标系：可设这条抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入，得−2=a×22，，解得：a=−12∴y=−1x2，2x2=−3．当y=−3时，−12解得：x=±√6∴水面下降1m，水面宽度为2√6m.故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．设AB为xm，BC就为(24−3x)，利用长方体的面积公式，可求出关系式，当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．【解答】解：设AB的长为xm，则BC的长为(24−3x)m，根据题意，得S=x(24−3x)，即所求的函数解析式为：S=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，当x=4时，BC=12m，不符合墙的最大可用长度a为9m，∴5≤x<8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=5m，有最大面积的花圃．即：x=5m，最大面积为=−3(5−4)2+48=45m2．故选B．3.【答案】B【解析】解：设矩形的长为xcm，则宽为60−2x2cm，∴矩形的面积S=(60−2x2)x=−x2+30x，∵a=−1<0，∴S最大=4ac−b24a=−900−4=225(cm2)，故矩形的最大面积是225cm2，故选：B．设矩形的长为x，面积为S，再根据矩形的面积公式得出x、S的关系式，求出S的最大值即可．本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积S与边长x 的关系式式子．4.【答案】A【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600=−(x−5)2+625，∵−1<0∴当x=5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选A．设应降价x元，表示出利润的关系式为(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．应识记有关利润的公式：利润=销售价−成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：在y=−112x2+23x+53中，当y=0时，−112x2+23x+53=0，解得x1=−2(舍去)，x2=10，即小强此次成绩为10米，故选：B．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，设顶点式y=ax2+2，把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5，∴抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降2.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出：−2.5=−0.5x2+2，解得：x=±3，2×3−4=2，∴水面下降2.5m，水面宽度增加2m．∴水面宽度为2+4=6(m)故选B．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【解答】解：以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，得Q(9,15.5)，B(6,16)，OH =6，设抛物线解析式为y =−118x 2+bx +c ，{−118×81+9b +c =15.5−118×36+6b +c =16， 解得{b =23c =14所以抛物线解析式为y =−118x 2+23x +14．当y =0时，即0=−118x 2+23x +14，解得：x =6+12√2(负值舍去)，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离为6+12√2−6=12√2cm ． 故选：B ． 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．利用B 、D 关于y 轴对称，CH =1cm ，BD =2cm ，可得到D 点坐标为(1,1)，由AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，则AB 关于直线CH 对称，可得到左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，于是得到右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【解答】解：∵高CH =1cm ，BD =2cm ，且B 、D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1,1)，∵AB//x 轴，AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，∴AB 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，设右边抛物线的解析式为y =a(x −3)2，把D(1,1)代入得1=a ×(1−3)2，解得a =14，∴右边抛物线的解析式为y =14(x −3)2，故选：B ． 9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数模型的应用，利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键，根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：根据题意，将(2.5,0.5)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p =at 2+bt +c ，得：{2.52a +2.5b +c =0.516a +4b +c =0.852a +5b +c =0.5，解得：{a =−0.2b =1.5c =−2，即p =−0.2t 2+1.5t −2，当t =− 1.52×(−0.2)=3.75 时，p 取得最大值，故选B ． 10.【答案】A【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2= b．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月投放单车a(1+x)2辆，则y=a(1+x)2．故选A．11.【答案】10√2【解析】解：如右图所示，点C为抛物线顶点，坐标为(0,6)，则点A的坐标为(−10,0)，点B的坐标为(10,0)，设抛物线ACB的函数解析式为y=ax2+6，∵点A在此抛物线上，∴0=a×102+6，解得，a=−6，100x2+6，即抛物线ACB的函数解析式为y=−6100x2+6，当y=3时，3=−6100解得，x=±5√2，∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5√2−(−5√2)=10√2(m)，故答案为：10√2．根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y=3，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12.【答案】70【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．【解答】解：设每顶头盔的售价为x 元，获得的利润为w 元，w =(x −50)[200+(80−x)×20]=−20(x −70)2+8000，∴当x =70时，w 取得最大值，此时w =8000，故答案为：70．13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的加法，关键是掌握掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离．根据掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离令y =0得方程，解方程即可解答．【解答】解：由题意，得当y =0时，0=−15x 2+65x +75，解得：x 1=−1(舍去)，x 2=7．故答案为7． 14.【答案】80≤k ≤90【解析】解：把(15,1050)和(20,1200)代入q =mv 2+nv 得，{1050=225m +15n 1200=400m +20n， 解得：{m =−2n =100， ∴q =−2v 2+100v ，∵q =vk ，∴vk =−2v 2+100v ，把v =5和v =10分别代入上式得，5k =−2×52+100×5或10k =−2×102+100×10，解得：k =90或k =80，∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90，故答案为：80≤k≤90．把(15,1050)和(20,1200)代入q=mv2+nv解方程组即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．x2+12(0<x<24)15.【答案】y=−12【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查的是矩形的性质，根据实际问题列出二次函数解析式的有关知识，根据矩形的面积公式进行求解即可．【解答】解：由题意得x2+12(0<x<24)．y=−12x2+12(0<x<24)．故答案为y=−1216.【答案】解：(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果=500−10×(55−50)=450千克；(2)设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=(x−40)[500−10(x−50)]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=(m−40)[500−10(m−50)]=−10(m−70)2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．(1)由月销售量=500−(销售单价−50)×10，可求解；(2)设每千克水果售价为x 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；(3)设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y 与x 的关系式，有二次函数的性质可求解．17.【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示．则点A 的坐标为(0,85)，顶点为B(3,52).设抛物线的表达式为y =a(x −3)2+52，∵点A(0,85)在抛物线上，∴a(0−3)2+52=85，解得a =−110．∴抛物线的表达式为y =−110(x −3)2+52令y =0，则−110(x −3)2+52=0，解得x =8或x =−2(不合实际，舍去)．即OC =8．答：小丁此次投掷的成绩是8米．【解析】由点A 、B 的坐标求出函数表达式y =−110(x −3)2+52，令y =0，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解． 18.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2(a 不等于0)，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米．则D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)∴{25a =−ℎ100a =−ℎ−3，解得{a=−125ℎ=1，∴抛物线的解析式为y=−125x2；(2)由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米．∵1.75<3．∴船的速度不变，它能安全通过此桥．【解析】(1)以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax2，由待定系数法求出其解即可；(2)计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论．本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．19.【答案】解：(1)当长方形的宽AB=x时，其长BC=20−2x，故长方形的面积y=x(20−2x)=−2x2+20x，即y=−2x2+20x(0<x≤52)；(2)y=−2x2+20x=−2(x−5)2+50，∵−2<0，∴当x=5时，y取得最大值，最大值为50，答：当x=5时，面积最大为50m2．【解析】(1)首先表示出长方形的长，根据长方形面积=长×宽列出函数关系式；(2)将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值．本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意列出解析式是基础，配方是关键．20.【答案】解：(1)由题意得：w=(x−80)⋅y=(x−80)(−2x+320)=−2x2+480x−25600，∴w与x的函数关系式为：w=−2x2+480x−25600；(2)w=−2x2+480x−25600=−2(x−120)2+3200∵−2<0，80≤x≤160，∴当x=120时，w有最大值，w的最大值为3200元；(3)当w=2400时，−2(x−120)2+3200=2400，解得：x1=100，x2=140∴要想每天获得销售利润2400元，应定价为100元或140元每盒．【解析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确销售问题中的成本利润之间的关系以及利用正确利用二次函数的性质，是解题的关键．(1)用每件的利润(x−80)乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式；(2)把(1)中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值；(3)令(2)中顶点式函数值等于2400，然后解一元二次方程即可得答案．。

数学九下《二次函数》应用题专项练习（带答案）1.如图所示,已知△ABC 的面积为2400cm 2,底边BC 长为80cm.若点D 在BC 边上,E 在AC 边上,F 在AB 边上,且四边形BDEF 为平行四边形,设BD=xcm, BDEFS =ycm 2,求:(1)y 与x 的函数关系式; (2)自变量x 的取值范围;(3)当x 为何值时,y 有最值,最值是多少?BF A CDE2.如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A 处出手,出手时球离地面约213.铅球落地点在B 处,铅球运行中在运动员前4m 处(即OC=4)达到最高点,最高点高为3m.已知铅球经过的路线是抛物线,根据图示的直角坐标系,你能算出该运动员的成绩吗?3.有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)x B A C D y O4.某公司生产的A 种产品,每件成本是2元,每件售价是3元,一年的销售量是10万件.为了获得更多的利润,公司准备拿出一定资金来做广告.根据经验,每年投入的广告费为x(万元)时,产品的年销售量是原来的y 倍,且y 是x 的二次函数,公司作了预测,知x 与y 之间的对应关系如下表:(1)根据上表,求y 关于x 的函数关系式;(2)如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费,请你写出年利润S(万元) 与广告费x(万元)的函数关系式;(3)从上面的函数关系式中,你能得出什么结论?5.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在对称轴右边1m 处,桥洞离水面的高是多少?410mx y Ohb BF A CE 答案1.解:(1)设△DCE 的高为hcm,如答图所示.△ABC 的高为bcm,则y=BDEFS=x ·h∵S △ABC =12BC ·b, ∴2400=12×80b,∴b=60(cm).∵ED∥AB,∴△EDC∽△ABC.∴h DCb BC=, 即806080h x -=, ∴h=3(80)4x -. ∴y=3(80)4x -·x=-34x 2+60x.(2)自变量x 的取值范围是0<x<80. (3)∵a= -34<0,∴y 有最大值. 当x=40时,y 最大值=1200(cm 2).2.解:能.∵OC=4,CD=3,∴顶点D 坐标为(4,3),设 y=a(x-4)2+3,把A 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式,得 53=a(0-4)2+3,∴a=-112-, ∴y= -112-(x-4)2+3,即y=112-x 2+2533x +.令y=0,得112-x 2+2533x +=0,∴x 1=10,x 2=-2(舍去),故该运动员的成绩为10m.3.解:设窗框的宽为x 米,则窗框的高为7.232x-米. 则窗的面积S=x ·7.232x -=231825x x -+.当x=1853222b a -=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=1.2(米)时,S 有最大值. 此时,窗框的高为7.23 1.22-⨯ =1.8(米). 4.解:(1)设所求函数关系式为y=ax 2+bx+c,把(0,1),(1,1.5),(2,1.8)分别代入上式,得11.51.842ca b c a b c=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 解得13,,1105a b c =-==,∴2131105y x x =-++ (2)S=(3-2)×10y -x=(2131105x x -++)×10-x=-x 2+5x+10.(3)∵S=-x 2+5x+10=-256524x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴当0≤x≤2.5时,S 随x 的增大而增大,因此当广告费在0-2.5万元之间时, 公司的年利润随广告费的增大而增大. 5.解:(1)B 点坐标为(10,0),作AB 的中垂线CD 交AB 于D,交抛物线于C, ∵AB=10m,∴OD=12×10=5(m). 又∵CD=4m,∴抛物线顶点为(5,4).设所求抛物线的关系式为y=a(x-5)2+4, 把B(10,0)代入上式,得0=a(10-5)2+4,a=-425. ∴y=-425(x-5)2+4(0≤x≤10). (2)设对称轴右边1m 处的点为M.∵OM=5+1=6,∴当x=6时,y=-425(6-5)2+4=3.84(m). 故桥洞离水面的高是3.84m.。

九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1 4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B （1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C 位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF ＝OE ＝∵BF +AE ＝OE +AE ＝OA ＝∴S △ABC ＝S △BCD +S △ACD ＝CD •BF +CD •AE ∴S △ABC ＝CD （BF +AE ）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交于A （﹣1，0）和B （2，3）两点 ∴，解得：， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +1； （2）令x ＝0，则y ＝﹣x 2+2x +3＝3， ∴C （0，3），则OC ＝3，BC ＝2，BC ∥x 轴， ∴S △ABC ＝×BC ×OC ＝＝3．九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值62．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ） A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5)3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A ．22(2)1y x =-+- B ．22(2)1y x =--+ C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，②320a b +>，③24b a c ac >++，④a c b >>．正确结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论： ①c ≥−2 ；②当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；③若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（ ） A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥或0m < B ．m 1≥ C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =②方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根③若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ④不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________． 16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x 时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点． （1）若(1,0)A -，则b =______． （2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______． 三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y =A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到△ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）△ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得△ACE 与△ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：△抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，△设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，△()()21545y x x x x =-+-=-++．△该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C -∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD =MBC ∴20．解：（1）对于y =x =0时，y =当y =0时，03x -=，妥得，x =3 △A （3，0），B （0，把A （3，0），B （0，2y bx c++得：+=0b c c ⎧⎪⎨=⎪⎩解得，b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩△抛物线的解析式为：2y =（2）抛物线的对称轴为直线12b x a =-== 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，△B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，△△BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴△在菱形BQCP 中，BC △PQ△PQ △x 轴△点P 在x =1上，△点Q 也在x =1上，当x =1时，211y△Q （1，）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，△BC //PQ ，且BC =PQ△BC //x 轴，△令y =2y 解得，120,2x x ==△(2,C△PQ=BC=22=△PB=BC=2△迠P在x轴上，△P(1,0)△Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，△抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，△点A（﹣2，0），点B（8，0），△对称轴为直线x＝3，△△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，△当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，△点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，△连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，△0＝8k ﹣8，△k ＝1，△直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，△点D （3，﹣5）；（3）存在，△点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），△直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，△△ACE 与△ACD 面积相等，△DE △AC ，△设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，△﹣5＝﹣4×3+n ，△n ＝7，△DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， △点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝（2x ﹣1）2B ．y ＝（x +1）2﹣x 2C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +3 2．若抛物线258(3)23mm y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ） A ．3 B ．2-C ．2D ．2或3 3．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ）A ．1,3,5a b c ==-=B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-= 5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≠B ．a≥0C ．a=2D ．a>0 6．下列函数中①31y x ；②243y x x =-；③1y x =；④225=-+y x ，是二次函数的有（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( )A ．a≠0，b≠0，c≠0B ．a<0，b≠0，c≠0C ．a>0，b≠0，c≠0D ．a≠0 二、填空题9．若()2321mm y m x --=+是二次函数，则m 的值为______． 10．若22a y x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数．14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数；② 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m ）x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A2．C3．B4．D5．A6．B7．B8．D9．410．2±11．012．③13． 4，-2 414． 13215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数 18．（1）m =（2）m ≠m ≠19．①a≠0；②b=0或-1，a 取全体实数③当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y 关于x 的二次函数的是（ ）A ．y ＝4xB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝D ．y ＝2x 2+12．已知：a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能是下列图象中的（ ）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，。

二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，41-y A x B 两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.C B C A 03（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线B AB DC 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；BD l C （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到P A C P 什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.PAC ∆P PAC ∆3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙x(第13题)另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a-=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其502600y x =-+中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下%m 乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．m ）5.831 5.9166.083 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y x ，且时，；时，．y kx b =+65x =55y =75x =45y =（1）求一次函数的表达式；y kx b =+（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定W W x 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．x 6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案）一、单选题1.在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为[ ] A．28米B．48米C. 68米D．88米2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax2 +bx+c的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称．，题中的二次函数确定具有的性质是[ ] A．过点(3，0)B．顶点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是A．2mB．3mC .4 mD．5 m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是[ ] A．6 mB．8mC. 10 mD．12 m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为[ ] A．72 mB．36 mC．36 mD．18 m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2 +50x-500，则要想获得最大利润，销售单价为[ ] A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运行的路线是抛物线y=ax2 +bx+c所示，则下列结论正确的是①a<；② <a<0；③ a-b+c>0；④ 0<b<-12a[ ]A.①③B.①④C.②③D.②④8.关于x的二次函数y=2mx2 +(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值围是[ ] A．m<≥且m≠0C．m=D.m m≠09.某种产品的年产量不超过1 000吨，该产品的年产量（吨）与费用（万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）①②[ ] A．1 000B．750C. 725D．50010.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）[ ] A．5.1 mC．9.1 mD．9.2 m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[ ]A. y= - 2x2B．y=2x2C. y=-2 x2D．y= x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？[ ] A．第8秒B．第10秒C. 第12秒D．第15秒二、填空题13.把一根长为100 cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设其中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为S cm2，则S与x的函数关系式是( )，自变量x的取值围是( )．14.如图所示，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为( )．如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要( )，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是( )m .16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数，通常取10m/s)，若v0=10 m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面( )m三、计算题17.求下列函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l) (x-2).四、解答题18.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道设双行道，现有一辆货运卡车高为4.2 m，宽为2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．19.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x (元)满足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？能力提升20.如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用40 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB =x m，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200 m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=y m，如果x，y满足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是120元，为了解市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果如下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；方案乙：不断地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：(1)如果方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？(2)分析两种方案，为了获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2 +bx+c(a ≠0)相吻合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为7.5微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8的函数图象的示意图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)结合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0 的总时间．）23.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5 m，长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=x m．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36 m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践探究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有一批物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以40 km/h的速度开往乙地，当行驶1 h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？25.全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．如图所示是庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道．(1)建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线EHF的解析式；(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格30元／千克收购了这种野生菌1 000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．(3)经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）27.在如图所示的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10 m，为了减轻桥身重量，还为了桥形的美观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的顶点C、B、D离桥面的距离分别为4m、10 m、2 m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高，如图乙．根据图象提供的信息解答下面问题(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月最少获利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W（元）关于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x(元)满足w=-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每天的利润最大？最大利润是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？word参考答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2. 25 2.515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y= 3(x+l) (x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的解析式为y =+6．(2)当x=2.4时，y=+6 =-1. 44+6=4. 56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．19、解：(l)y=(x-30) (162-3x)= - 3 x2 +252x-4860 (2)y= -3 (x-42) 2 +432 当定价为42元时，最大销售利润为432元20、解：(l)S=x(40- 2x)=-2 x2+40x, 当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2 =x(x+y) ②由①、②解得x=20±，其中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y= -x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160 ×40+180 ×20+180 ×20-120 ×(70+50+40+20+20)=6 200元．方案甲前五天的总利润为(150-120)×50×5=7 500元，显然6200<7 500，前五天中方案甲的总利润大．(2)若按甲方案中定价为150元／件，则日利润为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S =xy-120y=x(-x+200) -120(-x+200)= -x2 +320x- 24000= - (x-160) 2 +1600，即将售价定在160元／件，日销售利润最大，最大利润为1600元．22、解：(1)图象略．(2) 当x=4时，函数y有最大值8．所以服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD= EF=BC=x m，所以AB=18-3x.所以水池的总容积为1. 5x(18-3x)=36，即x2- 6x+8=0，解得x1=2，x2=4，所以x应为2或4．2 +27x，且x的取值围是：0<x<6．(3)V=4.5 x2 +27．所以当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.24、解：(1)设抛物线的解析式为y= ax2，1 / 10word桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．所以即抛物线的解析式为y=-. (2)货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x 轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，显然E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．设抛物线的解析式为+bx+c 依题意有：所以y= +3．(2)y=1，路灯的位置为（，1）或（一，1）．（只要写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为1.08+2=3.08，因为3.08-0.5=2.58>2.5，所以能通过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3+910x+30000 (3)由题意得W=（-3+910x+30000）-30×1000-310x=-3（x-100）2+30000 当x=100时，W最大=30000．100天<160天，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．27、解：抛物线OBA过B(50, 40) ,A(100,0)，抛物线OBA的解析式为．当x=20, 30, 40时，y的值分别为：MC=4( m)，EN= (m)，FQ=50-= ( m)，GT= ( m)，BR= 10 (m). G1T1 =GT- (m)，PQ1-FQ= (m)．又抛物线CE过顶点C(10,46),E(20，)，解析式为y=-(x-10)2 +46．而抛物线PD过顶点D(85,48),P(70，)．解析式为y=-(x-85)2+48．x= 80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1 = (m)．综上：三条抛物线的解析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的顶点为(6,4),由题知t=3, 4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，其中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴所以该公司一月份最少获利元29、解：（1）当x=150吨时，利润最多，最大利润2 000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600 (2) y=-2+120x-1 600=-2（x-30）2+200 当x=30时，最大利润为y=200元．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）2+200=150解得x l=25，x2=3 5．又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得1 50元的利润．2 / 10。

二次函数的应用题(含答案)1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．3．如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =8，求点B 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB ′A ′B 的两条性质．7．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？8．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？9．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？答案得×，解得±；x得，﹣，﹣+解得，y=﹣时，×+1=，故，5．（2012•黑龙江）解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得b=2，c=0，所以解析式为y=﹣x2+2x；（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，∴﹣=﹣=1，==1，∴顶点为（1，1），对称轴为直线x=1；（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=8，∴b=8或b=﹣8，∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），∴b=﹣8，∴﹣x2+2x=﹣8，解得x解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．由表格中的数据，得，解得﹣＜==35解：（1）画图如图：由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴，解得：，∴函数关系式是y=﹣10x+700．（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+700），=﹣10x2+800x﹣7000，=﹣10（（x﹣40）2+9000，∴当x=40时，W有最大值9000．（3）对于函数W=﹣10（（x﹣40）2+9000，当x≤35时，W的值随着x值的增大而增大，故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．。

中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。

二次函数的应用练习题1、在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（ ）A ．y =（60+2x ）（40+2x ）B ．y =（60+x ）（40+x ）C ．y =（60+2x ）（40+x ）D ．y =（60+x ）（40+2x ）2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y = -x 2+50xB ．y =x 2-50xC ．y = -x 2+25xD ．y = -2x 2+253、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y =x 2＋a B ．y =a （x －1）2C ．y =a （1－x ）2D ．y =a （1＋x ）2 4、如图所示是二次函数y=2122x -+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）A ．4B ．163C ．2πD ．85、周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45 B ． 83 C ．4 D ． 566、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t（单位：s ）之间的关系式为h =30t -5t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ） A ．6sB ．4sC ．3sD ．2s7、如图，二次函数y = -x 2-2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线 上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P 的坐标是（ ）A ．（-3，-3）B ．（1，-3）C ．（-3，-3）或（-3，1）D ．（-3，-3）或（1，-3）8、向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9、将进货单价为70元的商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A．5元B．10元C．15元D．20元（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m= -10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案1.答案：A解析：解答：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=（60+2x）（40+2x）．故选A．分析：挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．2.答案：C解析：解答：设这个长方形的一边长为x cm，则另一边长为（25-x）cm，所以面积y=x（25-x）= -x2+25x．故选C．分析：由长方形的面积=长×宽可求解．3.答案：D解析：解答：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．4.答案：B解析：解答：函数与y 轴交于（0，2）点，与x 轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S 1=4，则以半径为2的半圆的面积为S 2=π×12×22=2π，则阴影部分的面积S 有：4＜S ＜2π．因为选项A 、C 、D 均不在S 取值范围内．故选 B分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了． 5. 答案：B解析：解答：设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x -=2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m 2 分析：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-32x，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

二次函数的应用练习题1、在一幅长 60cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么 y 关于 x 的函数是（）A ． y=（60+2 x）（ 40+2x）B． y=（60+x）（ 40+x）C． y=（60+2 x）（ 40+x）D． y=（60+x）（ 40+2x）2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为 y（ cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（）A ． y= - x2+50xB ． y=x2-50x C．y= - x2 +25x D ．y= -2x2+253、某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是（）A ． y=x2＋ aB ．y=a（ x－ 1）2C． y=a（ 1－x）2D． y=a（1＋ x）24、如图所示是二次函数y= 1 x2 2 的图象在x轴上方的一部分，对2于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A ． 416C． 2πD． 8 B ．35、周长 8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）2 m485A．B．C．4 D．5366、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位： m）与小球运动时间t（单位： s）之间的关系式为h=30t -5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）A ． 6s B． 4s C． 3s D． 2s7、如图，二次函数y= - x2 -2x 的图象与 x 轴交于点A、 O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P 的坐标是（）A ．（ -3， -3）B ．（1， -3）C．（ -3，-3）或（ -3， 1） D ．（ -3， -3）或（1， -3）8、向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（ a ≠ 0）、若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第 8秒B．第 10 秒C．第 12 秒D．第 15 秒9、将进货单价为 70 元的商品按零售价100 元 /个售出时每天能卖出 20 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价（）A ．5 元 B．10 元C．15 元 D．20 元10、如图，正方形 ABCD 的边长为 1， E、F 分别是边 BC 和 CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管 E、F 怎样动，始终保持 AE⊥ EF ．设BE=x，DF =y，则 y 是 x 的函数，函数关系式是（）A ． y=x+1B ．y=x-1 C．y=x2-x+1 D． y=x2-x-111、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y= -1x2，当水位4线在 AB 位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A ． 3m B．2 6 m C．4 3 mD． 9m12、如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=1x2 4 表示，1613、该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（）A ．不大于4mB ．恰好 4mC．不小于4m D ．大于 4m，小于 8m13、如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40 米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边 AB 为 x 米，面积为S平方米，要使矩形ABCD 面积最大，则x 的长为（）A ．10 米 B．15 米C．20 米 D．25 米14、如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 间，按相同间隔0.2 米用 5 根立柱加固，拱高OC 为 0.36 米，则立柱EF 的长为（）A ． 0.4 米B ．0.16 米C． 0.2 米D． 0.24 米15、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=125x +3.5 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A ．3.5mB ．4mC． 4.5m D ． 4.6m15、如图，已知⊙ P 的半径为2，圆心 P 在抛物线y 1 x2 1 上运动，2当⊙ P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 _____________16、如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为____________18、如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为 20 厘米， AC 与 MN 在同一直线上，开始时点 A 与点 N 重合，让△ ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动，最终点 A 与点 M 重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为____19、如图，点 A1、A2、A3、, 、 An 在抛物线 y=x2图象上，点 B1、B2、B3、, 、 B n 在 y 轴上，若△ A1B0B1、△A2B1B2、, 、△ A n B n -1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2015B2014B2015的腰长 =____19、如图，在△ ABC 中，∠ B=90°， AB=12mm， BC=24mm，动点P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s的速度移动（不与点 B 重合），动点Q 从点 B开始沿边BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发，那么经过 ____秒，四边形 APQC 的面积最小．．21、扎西的爷爷用一段长30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？22、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= -2x+100．（利润 =售价 -制造成本）（ 1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（ 2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？23、每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗 5%，运输费用是 0.7 元 /千克，假设不计其他费用．（ 1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？（ 2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元 / 千克）之间满足关系：m= -10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w 最大？24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元 /千度））与电价x（元 /千度）的函数图象如图：（ 1）当电价为600 元 /千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（ 2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元 /千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案1.答案： A解析：解答：长是： 60+2 x，宽是： 40+2x，由矩形的面积公式得则y=（ 60+2x）（ 40+2x）．故选 A．分析：挂图的面积 = 长×宽，本题需注意长和宽的求法．2.答案： C解析：解答：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25-x）cm，所以面积y=x（ 25-x） = -x2+25x．故选 C．分析：由长方形的面积=长×宽可求解．3.答案： D解析：解答：依题意，得y=a（1+x）2．故选 D ．分析：本题是增长率的问题，基数是 a 元，增长次数 2 次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．4.答案： B解析：解答：函数与y 轴交于（ 0， 2）点，与 x 轴交于（ -2， 0）和（ 2， 0）两点，则三点构成的三角形面积 S121×22=2π，则阴影部分的=4 ，则以半径为 2 的半圆的面积为S =π ×2面积 S 有： 4＜ S＜ 2π ．因为选项 A、 C、D 均不在 S 取值范围内．故选B分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了．5.答案： B解析：解答：设窗户的宽是x，根据题意得8 3x xS==3( x 4 )28(0 x 4) 233∴当窗户宽是4m 时，面积最大是8233m8-3x83x x分析：根据窗户框的形状可设宽为x，其高就是2，所以窗户面积 S=，再求2出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。

九年级数学：二次函数的应用练习题（含解析）一、精心选一选1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（）A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A.5元B.10元C.15元D.20元3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A.3sB.4sC.5sD.6s4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.－20mB.10mC.20mD.－10m5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A.60m2B.63m2C.64m2D.66m27﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）A.14元B.15元C.16元D.18元8﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A.2mB.3mC.4mD.5m 9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－1 4x2+34x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（）A.出球点A离地面点O的距离是1mB.该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC.此次羽毛球最高可达到25 16mD.当羽毛球横向飞出32m时，可达到最高点10.图2是图1拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝1400(x－80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A.16940米 B.174米 C.1674米 D.154米图1 图2二、细心填一填11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为________米.三、解答题17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价100 110 120 130 …（元/件）200 180 160 140 …月销量（件）已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？18.某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B商品，共需135元.（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？21.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.（1）若BE＝a，求DH的长；（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.21.4 二次函数的应用课时练习题参考答案一、精心选一选题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案A ABCD C C B B B1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（）A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得18＝9k，解得：k＝2，∴y＝2x2，当y＝72时，72＝2x2，∴x＝6．故选：A．2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A.5元B.10元C.15元D.20元解答：设应降价x元，则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选：A．3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A.3sB.4sC.5sD.6s解答：∵h＝﹣52t2+20t+1，∴h＝﹣52(t﹣4)2+41，∴当t＝4秒时，礼炮达到最高点爆炸．故选：B．4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.－20m B.10mC.20mD.－10m解答：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．故选：C．5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元解答：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，∴最大利润为：244ac ba-＝24(1)3084(1)⨯-⨯-⨯-＝46（万元），故选：D．6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ）A.60m 2B.63m 2C.64m 2D.66m 2解答：设BC ＝x m ，则AB ＝(16﹣x )m ，矩形ABCD 面积为y m 2， 根据题意得：y ＝(16﹣x )x ＝﹣x 2+16x ＝﹣(x ﹣8)2+64， 当x ＝8m 时，y 最大值＝64m 2， 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2． 故选：C ．7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A.14元B.15元C.16元D.18元 解答：设每张床位提高x 个2元，每天收入为y 元． 则有y ＝(10+2x )(100﹣10x ) ＝﹣20x 2+100x +1000． 当x ＝﹣2ba＝2.5时，可使y 有最大值． 又x 为整数，则x ＝2时，y ＝1120；x ＝3时，y ＝1120；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费＝10+3×2＝16（元）． 故选：C ．8﹒某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线 的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A.2mB.3mC.4mD.5m 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+403， 把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+403，得a (0﹣1)2+ ＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选：B．9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2+34x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（）A.出球点A离地面点O的距离是1mB.该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC.此次羽毛球最高可达到25 16mD.当羽毛球横向飞出32m时，可达到最高点解答：A.当x＝0时，y＝1，则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；B.当y＝0时，﹣14x2+34x+1＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；C.∵y＝﹣14x2+ x+1，∴y＝﹣14(x﹣32)2+2516，∴此次羽毛球最高可达到2516m，故C正确；D.∵y＝﹣14(x﹣32)2+2516，∴当羽毛球横向飞出32m时，可达到最高点．故D正确．∴只有B是错误的．故选：B．10.图2是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝1400(x－80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A.16940米 B.174米 C.1674米 D.154米图1 图2 解答：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y＝1400(x－80)2+16＝1400(－10－80)2+16＝﹣174，∴C（﹣10，﹣174），∴桥面离水面的高度AC为174m．故选：B．二、细心填一填11. 22； 12. 19.6； 13. 25；14. 20； 15. 75；6．11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.解答：设定价为x元，根据题意得：y＝(x﹣15)[8+2(25﹣x)]＝﹣2x2+88x﹣870∴y＝﹣2x2+88x﹣870，＝﹣2(x﹣22)2+98∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＝22时，y最大值＝98．故答案为：22．12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.解答：由题意得：t＝4时，h＝0，因此16a+19.6×4＝0，解得：a＝﹣4.9，∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：24( 4.9)019.64( 4.9)⨯-⨯-⨯-＝19.6（m），故答案为：19.6．13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.解答：设最大利润为w元，则w＝(x﹣20)(30﹣x)＝﹣(x﹣25)2+25，∵20≤x≤30，∴当x＝25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.解答：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5(t﹣2)2+20，当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．故答案为：20.15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.解答：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x(30﹣3x)＝﹣3x2+30x＝﹣3(x﹣5)2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，故答案为：75．16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为________米.解答：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x6，所以水面宽度增加到6米，故答案为：6．三、解答题17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：100 110 120 130 …售价（元/件）月销量200 180 160 140 …（件）已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？解答：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；②设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，由题意得，100200110180k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：2400kb=-⎧⎨=⎩，∴W＝﹣2x+400；（2）由题意得，y＝(x﹣60)(﹣2x+400)＝﹣2x2+520x﹣24000＝﹣2(x﹣130)2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．18.某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B商品，共需135元.（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？解答：（1）根据题意得：280 32135a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：2530ab=⎧⎨=⎩；（2）①由题意得：y＝(x﹣20)[100﹣5(x﹣30)]∴y＝﹣5x2+350x﹣5000，②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5(x﹣35)2+1125，∴当x＝35时，y最大＝1125，∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？解答：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝a，则AE＝2a，∴8a+2x＝80，∴a＝﹣14x+10，2a＝﹣12x+20，∴y＝(﹣12x+20)x+(﹣14x+10)x＝﹣34x2+30x，∵a＝﹣14x+10＞0，∴x＜40，则y＝﹣34x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y＝﹣34x2+30x＝﹣34(x﹣20)2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣34＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？解答：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.50.850.8 3.5c a c =⎧⎨+⨯+=⎩， 解得：251612a c⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5； （2）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．21.如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E ，F 分别从顶点B ，C 同时开始以相同速度沿边BC ，CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B ，E ，C ，G 在一条直线上.（1）若BE ＝a ，求DH 的长；（2）当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.解答：（1）连接FH ，∵△EGH ≌△BCF ，∴HG ＝FC ，∠G ＝∠BCF ，∴HG ∥FC ，∴四边开FCGH 是平行四边形，∴FH ∥CG ，且FH ＝CG ，又∵EG ＝BC ，∴EG －EC ＝BC －EC ，即CG ＝BE ，∴FH＝BE，∵FH∥CG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°，由题意可知：CF＝BE＝a，在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，∴DH；（2）设BE＝x，△DHE的面积为y，根据题意得：y＝S△CDE +S梯形CDHG－S△EGH＝12×3a(3a－x)+12(3a+x)x－12×3a×x，∴y＝12x2－32ax+92a2＝12(x－32a)2+278a2，∴当x＝32a，即E为BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是278a2.。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题专题训练1．某超市购进一批水果，成本为8元/kg ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m （元/kg ）与时间第x 天之间满足函数关系式1182m x =+（110x ≤≤，x 为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量()kg y 与时间第x 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？2．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）． (2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？3．来商店经市场调查发现：某种商品的周销售量y （件）与售价x （元/件）的关系为2200y x =-+，其售价与周销售利润w （元）的三组对应值如下表：注：周销售利润=周销售量×（售价-进价） (1)求该商品的进价；(2)求当该商品的售价是多少元/件时，周销售利润为1600元?4．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件）与售价x （元）的相关信息如下：(1)试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是______（填一次函数或二次函数），求这个函数关系式；(2)若当月销售量不低于300件，售价为多少时，当月利润最大？最大利润是多少？6．在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数2y x 的性质及其应用，请按要求完成下列各题．(1)函数2yx 中自变量x 的取值范围是：_________．(2)请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图像； (3)根据函数图像，写出此函数的三条性质； (4)写出不等式26x x -+<的解集．7．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元． (1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)该商品销售价定为每干克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？8．为落实国家精准扶贫政策，我市助农办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为每千克18元，售价不低于成本，且不超过30元/千克，根据市场的销售情况，发现该农产品一天的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．(1)请利用所学过的函数知识求该农产品一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系，并写出x的取值范围．(2)如果某天销售这种农产品获利4000元，那么这天该农产品的售价为多少元/千克？(3)这种农产品售价定为多少元/千克时，当天获利最大？最大利润为多少？9．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1)直接完成下列填空①每件商品的进价为元/件①y与x的函数关系式为（不要求写出自变量的取值范围）；(2)当每件商品售价为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；(3)若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（50＜m＜70），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，求出周销售的最大利润．10．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？11．某商场销售一款工艺品，每件工艺品的进价为11元，经过一段时间的销售发现，每天的销量y（件）与每件工艺品的售价x（元）满足一次函数关系，当每件售价为15元时，每天销售150件；当每件售价为20元时，每天销售100件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售该工艺品每天获得的利润为W（元），试求W与x的函数表达式；(3)既要保障商场每天的获利最大，还要尽快减少库存，问每件工艺品售价应定为多少？商场每天获得的最大利润是多少？12．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x （元）( x≥30)满足一次函数关系m＝162﹣3x．（提示：注意m的取值范围．）(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．13．在平面直角坐标系中已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线L1的表达式及点D的坐标；(2)将抛物线L1关于点A对称后的抛物线记作L2，抛物线L2的顶点记作点E，求抛物线L2的表达式及点E 的坐标；(3)是否在x轴上存在一点P，在抛物线L2上存在一点Q，使D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．14．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y （件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？15．“国庆节期间”某商场销售一款商品，每件的成本是50元．销售期间发现：销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件．但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为x元时，每天销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数表达式．(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要元．16．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？17．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；①当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？18．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？19．某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？20．某商场销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为w（元）．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得750元的利润，应将销售单价定为多少元？(3)当每天销售量不少于30件，且销售单价至少为35元时，该商场每天获得的最大利润是多少？答案1．(1)y ＝−x ＋35（1≤x ≤10，x 为整数）；(2)在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元． 2．(1)()4010x + (2)21060400y x x =-++ (3)24元/千克3．(1)该商品的进价为40元/件(2)当售价为60元/件或80元/件时，周销售利润为1600元 4．(1)5150y x =-+ (2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元． 5．(1)一次函数，10900y x =-+(2)当售价定为60元时，利润最大，最大值为6000元 6．(1)x 取任意实数 (2)见解析(3)①图像关于y 轴对称；①此函数有最小值0；①当0x >时，y 随x 的增大而增大．（答案不唯一） (4)3x <-或2x >7．(1)221201600w x x =-+-(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元 (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元 8．(1)()209601830y x x =-+≤≤ (2)这天该农产品的售价为28元/千克(3)当销售单价为30元时，当天获得的利润最大，最大利润是4320元 9．(1)①20；①y =-2x +200(2)每件售价为60元时，利润W 最大，为3200元(3)当50<m <62时，周销售最大利润为2(22484800)m m -+-元；当62≤m <70时，周销售最大利润为2888元10．(1)401016()y x x =-+≤≤(2)每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 11．(1)10300y x =-+； (2)2104103300W x x =-+-；(3)每件工艺品售价应定为20元，商场每天获得的最大利润是900元 12．(1)32524860y x x -+-＝（30≤x ≤54）(2)商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元13．(1)抛物线1L 的函数表达式为223y x x =--，顶点D 的坐标为()1,4- (2)抛物线2L 的函数表达式为265y x x =---，点E 的坐标为()3,4-(3)点Q 的坐标为()5,0-或()38---或()38-+- 14．(1)y ＝﹣2x +160 (2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 15．(1)2580027500y x x =-+- (2)80元，最大利润4500元 (3)500016．(1)第二批每个挂件的进价为40元(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元 17．(1)140元，20元(2)①W 1＝﹣6x 2+40x +7000；W 2＝﹣20x +1000 ①5，805018．(1)1005000y x =-+；(2)销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w 最大，最大利润为48400元； (3)当2030x ≤≤时，日获利w 不低于42000元 19．(1)y 是x 的一次函数，40y x =-+(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元 20．(1)W ＝﹣10x 2+600x ﹣8000 (2)应将销售单价定为25元(3)该商场每天获得的最大利润是750元。