初三直角三角形的存在性问题

直角三角形的存在性问题

代数法

1.写出三边的平方

2.分类列方程

3.解方程

几何法

1.分类

2.画图 ——“两线一圆”

3.计算

例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2.如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0

解答下列问题：

(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；

(2)设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

例3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.

(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式.

(2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比.

1 专题一 直角三角形的存在性问题

【考题研究】

这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．

怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．

【解题类型及其思路】

当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121kk ，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121kk ，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角

【典例指引】

类型一 【确定三角形的形状】

典例指引1．

（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

2 （3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

2

中考专题讲解：直角三角形的存在性问题

一、学习目标

1.经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧

2.体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性

二、课前准备

1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为

2.如图，A(0，4),C（4,0），点P是线段OC的中点，AP⊥BP，BC⊥PC，则BC的长度为

三、探究理解

如图，A(0，1)，C(4，3)是直线121xy上的两点，点P是x轴上的一个动点，问：是否存在这样的点P，使得△ABP为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标.

问题：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 针对直角顶点进行分类

（2）一般会有几种情况？ 3种

（3）分类时候需要做什么？ 画图

（4）解题有那些方法？

（5）当直角顶点在点P的时候，如何精确地找到点P？ 以AB为直径的圆与x轴的交点

总结：直角三角形的存在性问题的解题策略：

四、反馈练习

1.如图，点O（0,0），A(1，2),若存在格点P，使△APO为直角三角形，

则点P的个数有 个

2 2.在△ABC中，∠C=900，AC=8 cm,BC=6 cm，动点P、Q分别同时从点A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2 cm/s,点Q在线段BC上向点C运动，速度为1cm/s，设运动时间为t s,当t=

时，△BPQ是直角三角形.

3.如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4,MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x.若△ABC为直角三角形，

(1)求x的值.

（2）x的取值是多少.

五、链接中考

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0,8），点C的坐标为（6,0）.抛物线834942xxy经过A、C两点，与AB边交于点D，Q是AC上一点，且AQ=5.请问在抛物线对称轴l上是否存在点F，使得△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析

二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：

一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .

静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，

可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；

动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，

解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .

本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .

类型一：等腰三角形存在性问题

【例题1】如图，已知抛物线 y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 C .

（1）求点 A , B , C 的坐标；

（2）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 △ACM 是等腰三角形？

若存在请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 .

【分析】

（1）分别令 y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；

（2）分 A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 .

【解析】

（1）令 y = 0 , 得 -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，

∴ x^2 + 2x - 8 = 0 ,

∴ x = - 4（舍） 或 2 ，

∴ 点 A 坐标（2,0），点 B 坐标（-4,0），

令 x = 0 , 得 y = 2 ,

∴ 点 C 的坐标（0,2）.

（2）如图所示， ①

当

C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作 M1N⊥OC 于 N ,

在 Rt△CM1N 中，

∴ 点 M1 坐标（-1，2+√7），点 M2 坐标（-1 , 2-√7）.

② 点 M3 为顶点时，

∵ 直线 AC 解析式为 y = -x + 2 , 线段 AC 的垂直平分线为 y = x ,

∴ 点 M3 坐标为（-1，-1）.

③ 当点 A 为顶点的等腰三角形不存在 .