三年级数学专题讲义第十讲 差倍问题

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第八讲 差倍问题

差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数．解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再求出其它的数．解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系．

〖经典例题〗

例1、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析：如图：把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍．又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本．最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本．

①乙班的本数： 80÷(3-1)=40(本)

②甲班的本数： 40×3=120(本)或40＋80=120(本)．

例2、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本？

分析：如图：80本不再是两倍，我们可以将少的10本补上，这样

甲班比乙班多90本，即90本对应得是2倍．

①乙班的本数：(80+10)(3-1)=45(本)

②甲班的本数： 45×3－10=125(本)或45＋80=125(本)．

〖方法总结〗

本题属于一道基本的差倍问题解决茶杯问题的关键就是要找准数量差与倍数差之间的对应关系，一般情况下采用线断图的方法帮助我们来分析问题。

如果已经给出了两个量之间的数量差，但是两个量之间的倍数并不是完整的倍数关系，所以解决此类问题的关键就是要运用好移多补少的方法，使不完整的倍数关系变得完整。

〖巩固练习〗

1．甲数是乙数的5倍，又知甲数比乙数多72．甲、乙两数各是多少？

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2．某新款手机的价格是某旧款手机的3倍，且差价是1600元，则新款手机的价格是多少元？

3．某学校高年级的人数比低年级人数的２倍多16人，高年级人数比低年级人数多234人，高年级、低年级各有多少人？

4．白皮球的只数比红皮球的3倍少6只，红皮球比白皮球少24只，两种皮球各有多少只？

〖经典例题〗

例3、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相同的梨，剩下梨的数量甲筐恰好是乙筐的5倍，求两筐所剩的梨各是多少？

分析：取出相同的数目后，两筐的差不变。差是400240160(个)这160个正好是乙筐剩下的(5-1)倍，所以乙筐剩下：160(51)40(个)甲筐剩下：405200(个)答：甲筐剩下200个梨，乙筐剩下40个梨。

例4、粮店有94千克面粉、138千克大米，每天卖出面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？

分析：每天卖的面粉和大米数量相同，所以面粉和大米的差不变，是1389444千克，而倍数关系是剩下的，所以可以求出剩下的大米和面粉的数量。剩下的面粉：44(31)22千克，卖出的面粉：942272千克

卖了几天：7298天。

〖方法总结〗

本题表面上看并不是一道差倍问题，但仔细分析之后你会发现无论从两筐都取出多少，两筐之间的差值是不变的，我们紧紧抓住这个差不变即可解决此题。

〖巩固练习〗

1．一瓶蜂蜜重1500克，一瓶牛奶重1050克。两个空瓶一样重，并且蜂蜜的重量相当于牛奶的2倍，一只空瓶重多少克？

2．甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲

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厂人数的4倍，求甲厂原有多少人？

3．有两块布，第一块长74米，第二块长50米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米数是第二块的3倍，那么每块布各剪去了多少米？

4．甲袋内有小球160个，乙袋内有小球101个。要使甲袋小球是乙袋的8倍，需要从乙袋拿出多少个放入甲袋？

〖经典例题〗

例5、菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

分析：这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500(千克)．从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2(倍)，这样①运来萝卜：(1800-300)÷(3-1)=750(千克)②运来白菜： 750×3=2250(千克)

例6、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

分析：右图，两根绳子原来的长度一样长，但是从

第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根

的长度是第一根的3倍．应该把变化后的第一根长度

看作1倍，而12+14=26米，正好相当于第一根绳子

剩下的长度的2倍．所以，①第一根截去12米剩下的长度：(12+14)÷(3-1)＝13米②两根绳子原来的长度：13＋12＝25米。

例7、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

分析：已知两块花布同样长，由于第一块

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卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多．所剩的布第二块比第一块多31-19=12(米)．又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的(4-1)倍，这样，①第二块布比第一块布多剩：31-19＝12(米)②第一块布剩下：12÷(4-1)=4(米)

③第一块布原有：4+31=35(米)(两块布原有长度相等)

例8、小力的练习本数是小刚的3倍，若从小力的练习本中拿出8本给小刚，那么他们的练习本就相等了。小力、小刚原来各有多少练习本？

分析：小力拿出8本给小刚，这时他们的

本书相等，就说明原来小力比小刚多8216本

即16本就是小刚本数的312倍，小刚有本：

1628(本)小力有练习本：8324(本)

〖方法总结〗

以上几道例题都是明确的告诉我们两个量之间的倍数关系，但是两个量之间的数量关系却悄悄地隐藏起来了，我们在解决此类问题时首先要挖掘出这两个量之间的数量差值，然后就可以按照一般的差倍问题来解决。

〖巩固练习〗

1．有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮是乙仓库的3倍，甲仓库运出70吨，乙仓库运进10吨后，两仓库存粮数正好相等，甲仓库原来存粮多少吨？

2．有两筐数量相等的水果，甲筐买来7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐剩下的水果是乙筐的3倍．原来甲、乙两筐各有水果多少千克？

3．甲乙两个仓库各存有一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋数是乙仓库的3倍，从甲仓库运走850袋，从乙仓库运走50袋后，两个仓库所剩面粉相等，甲乙两个仓库原来各有面粉多少袋？

4．一开始甲、乙两车的载客人数相同。后来甲车下了14个乘客，乙车上了22个乘客，结果乙车载客人数是甲车的4倍。那么原来甲车载客多少人？

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5． 甲、乙二人各有若干本书，若甲给乙45本，则二人的书相等，若乙给甲45本，则甲的本书是乙的2倍，甲、乙原来各有多少本书？

6．甲、乙两桶各有油若干千克。如果从甲桶取出50千克放入乙桶，则乙桶比甲桶多40千克，如果从乙桶取出20千克放入甲桶，则甲桶的有恰好是乙桶的6倍，甲、乙两桶原来各有多少千克油？

〖经典例题〗

例9、(★★★)师傅生产零件的个数是徒弟的6倍，如果每人再生产20个，那么师傅生产零件的个数是徒弟的4倍，师徒原来各生产多少个？

分析：如图。从图中得知：

徒弟现在的4倍相当于徒弟原来的4

倍再加上4个20，就是师傅现在做的零件数目，即师傅原来比徒弟的4倍多做了2042060个，这60个正好是徒弟的642倍，所以徒弟原来生产有：60230个，师傅原来生产：306180(个)答：徒弟原来生产30个，师傅原来生产180个。

〖方法总结〗

本题并没有给出两个数量之间的差值，只是告诉我们按照一定的操作后，两个数量之间的倍数变化情况，解决此类问题就是要通过巧妙的放缩，并借助于线断图，求出原来两个量之间的差，从而解题。

〖巩固练习〗

练习1：动物园里猴子的只数是大象的8倍，如果猴子和大象各再买来4只，那么猴子的只数是大象的4倍。猴子和大象原来各有多少只？

练习2：饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。问原来有黑兔和白兔各多少只？

练习3：有两堆沙石，甲堆沙石的重量是乙堆的3倍，如果从两堆沙石中各用去20吨，那么甲堆沙石就是乙堆沙石的5倍，两堆沙石原来各重多少吨？

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〖经典例题〗

例10、(★★★)有甲、乙、丙三坛酒。若从甲坛倒出10千克给乙坛，甲坛还比乙坛多10千克，若从乙坛倒出5千克给丙坛，乙坛还比丙坛多5千克，已知甲坛原来是丙坛酒的6倍，求原来各坛有多少酒？

分析：“从甲坛倒出10千克给乙坛，甲坛还比乙坛多10千克”说明甲坛比乙坛多1021030(千克)，“从乙坛倒出5千克给丙坛，乙坛还比丙坛多5千克”说明乙坛比丙坛多52515(千克)，题中知道的是甲和丙的倍数关系，我们要求出甲和丙的差：301545(千克)是丙的615倍，所以丙有：4559(千克)，乙有：91524(千克)，甲有：243054(千克)

例11、甲、乙、丙三人种树，甲比乙多种6棵，丙种的棵树是甲的2倍，比乙多种22棵，他们一共种了多少棵？

分析：由“丙种的棵树是甲的2倍，比乙多种22棵”可知甲的2倍比乙多22，又因为“甲比乙多种6棵”可以知道甲为22-6=16棵，乙为16-6=10棵，丙为16×2=32棵，所以三人一共种了16+10+32=58棵树。

〖方法总结〗

以上两道题同属于三量之间的差倍问题，解决此类问题的原则是设法消掉一个两把三个量转化为两个量来解决。

〖巩固练习〗

练习1：三个物体的平均重量是37千克，甲物体比乙、丙物体重量之和重5千克，乙物体比丙物体的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？

练习2：三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，那么乙重______千克．

〖经典例题〗

例12、(★★★)水果店中的苹果是梨的2倍，如果每天卖出35千克梨和55千克苹果，那么当梨卖完之后，苹果还剩下135千克，原来有苹果多少千克？

分析：因为苹果是梨的2倍，如果每天卖出苹果35×2=70千克，那么苹果