上海交通大学2010-2末上海交大-高数试卷(a类)

上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期末试卷（满分150分，120分钟完成。

答案一律写在答题纸上）命题：陈海兵 审核：杨逸峰一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 如果复数=z 421ii -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。

2. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是 （用数字作答）. 3. 顶点在原点，以x 轴为对称轴且经过点)3,2(-M 的抛物线的标准方程为____________．4. 双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是__________．5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。

则双曲线的方程为 。

6.则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）.7. 某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8. 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。

已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11. △ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。

上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式042>+-x x的解集为_______________； 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、 行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m = 。

2.不等式204x x ->+的解集是 。

3.行列式cossin66sin cos 66ππππ的值是 。

4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。

5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。

若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。

6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 。

7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。

8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。

9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。

10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。

11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。

12.在n 行m 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

《高等数学》第二学期期末考试参考标准一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y xy y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.解 32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰32sin sin DDxy dxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰122sin sin D x ydxdy =⎰⎰答案：A 2. 设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则三重积分xe dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 解1 43xe dv dv πΩΩ>=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，排除答案A 、B ；猜：C 或D||:1 2.718x e →，34/ 1.12523ππ=，42/ 1.53ππ= 答案：D解2 222111x xy z x e dv dxe dydz -Ω+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)xe x dx π-=-⎰1202(1)x e x dx π=-⎰ 1024x xe dx ππ=-+⎰ 244(1)2e e ππππ=-+--=答案：D解3 xze dv e dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21cos 2000sin d d ed ππρϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰1cos 2002sin d ed πρϕπϕρϕρ=⎰⎰1cos 2cos 220022[sin sin ]d e d e d ππρϕρϕππρρϕϕρϕϕ-=+⎰⎰⎰1cos cos 20022[||]d e e πϕρϕρϕϕπϕπϕπρρρ=-====-+⎰104(1)2e d ρπρρπ=-=⎰答案：D3. 设F yi zj xk =++,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++； （B ）()i j k -++； （C ）i j k -+； （D ）i j k -+-.解 (1,1,1)ij k rot F x y z yzx∂∂∂==---∂∂∂ 答案：B 4. 幂级数211nn x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ）（A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 解 12022211()11xn n n n n n x x x x x dx n n ∞∞∞--=====--∑∑∑⎰01()ln(1)1xx dx x x x==---⎰ 答案：D5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2. 解 913()()()22222s s s πππ+-=-=-=-=- 答案：B二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设uz =+则()div grad u = . 解 ()div grad u div =x yx y=++++22==7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .解 220()22()tF t f d πρρρ=⋅⋅⎰，()F t '=()224t f t π8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z=++⎰. 解=⎰该积分==⎰)21e --9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 . 解1 (1)()0y x y dx e x dy +-++=⇒ (1)()0y x dx ydx xdy e dy -+++=⇒ 2(1)()()()02y x d d xy d e -++=⇒ 通解：2(1)2y x xy e C -++=解2 (,)(0,0)(1)()x y y u x y dx e x dy =+-++⎰00(1)()xyy x dx e x dy =-++⎰⎰2(1)12y x xy e -=++-⇒ 通解：2(1)12y x xy e C -++-=10.级数n ∞=∑的敛散性为 .解112n nu u +===，收敛三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2zx y∂∂∂.解1111z z z x e e ∂=-=∂--+， 1111z z z y e e∂=-=∂--+ 2223(1)1()1(1)(1)(1)z z z y y y z z z z e e z z e x y e e e e '+∂'==-=-=-∂∂++++12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.解=I 2219x y ≤+≤=⎰⎰2301d πθ=⎰⎰3232112(14)|12r π=⋅+3322(375)6π=-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.解 L ：0y =，方向从(1,0)-到(1,0)， 并记C L +所围区域为D ，则所求曲线积分 C LLI +=-⎰⎰11122Ddxdy dx -=-⎰⎰⎰1122ππ=+-=14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰解 记()22x P x y yλ=+，()2222x Q x y yλ=-+，则()()12222222xy x y x x y P yyλλλ-+-+∂=∂()()122322222x x y x xyQxyλλλ-+++∂=-∂P Qy x∂∂=⇒∂∂ 22232()20xy x x y x λλ+++=12λ⇒=-解1 ()u u y x ϕ∂=⇒=+∂2u y ∂=∂ 及 ()0,101u u =⇒=- 解2 2(,)(0,1)(,)x y u x y =-⎰100yxdy =+⎰⎰1=15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.解 记∑所围立体为Ω，则22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰222222228x y z x y z zdzdxdy dxdy +≤+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22202(8)8z z dz z dz πππ=⋅+⋅-=⎰⎰五、（本题10分） 16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数. 解 4321()(21)(2)212x f x x x x x -==++-+- 212(1)3(1)1x x =+-+-- 2112(1)31(1)13x x =⋅----+ 0022(1)(1)33nnn n n x x ∞∞==⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∑∑ ()()1021113n n nn x +∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，02x <<六、（本题8分）17. 设()2(1)()(1)!nnn f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.解 ()()()()011!nn n f f x x n ∞==-∑()()()11!kk fk -=，()0,1,2,k =()()101(1)!kn n k f e k ∞∞-==-==∑∑七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑绝对收敛.证明 ()()()202'0lim x f x f x f x x→---()()()32'0limx f x f x xf x →---=()()()22'0lim3x f x f x f x →''+--=()()lim6x f x f x x →''''--=()()()0'''0lim063x f x f x f →''''''+-==>()()112'0'''0lim 03n n f f f f n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→=>故由级数201k n∞=∑收敛，可知级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑绝对收敛.。

上海交大函数试题答案上海交通大学数学试题答案解析一、选择题1. 函数y = f(x)在点x=1处连续，且lim(x→1) [f(x) - f(1)] / (x - 1) = 2，根据极限定义，可以得出f'(1)等于多少？答案：根据题意，由于函数在x=1处连续，且给定的极限等于2，根据导数的定义，f'(1) = 2。

2. 设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求g(x)的极值点。

答案：首先求导数g'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令g'(x) = 0，解得x = 1 ± sqrt(1/3)。

通过二阶导数测试，g''(x) = 6x - 6，可以得知x = 1 - sqrt(1/3)为极大值点，x = 1 + sqrt(1/3)为极小值点。

3. 已知函数h(x) = e^(-x^2)，求h(x)的拐点。

答案：求导得h'(x) = -e^(-x^2) * 2x，再求二阶导数得h''(x) = e^(-x^2) * (2 - 2x^2)。

令h''(x) = 0，解得x = ±sqrt(1)。

由于h''(x)在x = 0处由正变负，因此x = 0是h(x)的拐点。

二、填空题1. 已知函数k(x) = sin(x) + cos(x)，求k(π/4)的值。

答案：k(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = sqrt(2)/2 +sqrt(2)/2 = sqrt(2)2. 函数p(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的零点为：答案：由于p(x)是完全对称的四次多项式，且p(1) = 0，因此x =1为其中一个零点。

通过因式分解，p(x) = (x - 1)^4，所以p(x)的四个零点均为x = 1。

三、计算题1. 求定积分∫(0 to 2π) sin(x) dx。

试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α=　4　β=　34　.5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式. 【考查方式】考查分式不等式的解法. 【难易程度】容易 【参考答案】()4,2- 【试题解析】204xx ->+等价于()()240x x -+<,42x ∴-<<. 2.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】考查共轭复数的概念及复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】62i -【试题解析】z z z +=(12i)(12i)12i 62i -++-=-.3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】利用抛物线定义求解标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】28y x =【试题解析】定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，2p =所以其方程为28y x =.4.行列式ππcossin 36ππsin cos 36的值是 .【测量目标】行列式.【考查方式】考查行列式运算法则. 【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】ππcossin36ππsin cos 36=πππππcos cos sin sin cos 036362-==.5.22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l :3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】三种距离公式. 【考查方式】考查点到直线距离公式. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2222:2440(1)(2)1,C x y y y x y +--+=⇒-+-=(步骤1)∴圆心()1,2到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.(步骤2)6.随机变量ξ的概率分布列由下图给出：x7 8 9 10 ()P x ξ=0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是 .【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【考查方式】考查期望定义式. 【难易程度】中等 【参考答案】8.2【试题解析】()70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.7.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示 上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人 数，则空白的执行框内应填入 .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，根据题意将程序框图补充完整. 【难易程度】中等【参考答案】S S a ←+【试题解析】由题意可知S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示 整点报道前1个小时内入园人数，S 随a 的变化而变化，故空白的执行框内应填入S S a ←+.8.对任意不等于1的正数a ，函数()()log 3a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 【测量目标】反函数.【考查方式】给出某一函数解析式，研究其反函数的图象所经过的定点. 【难易程度】中等 【参考答案】()0,2-【试题解析】()()log 3a f x x =+ 的图象过定点()2,0-，所以其反函数的图象过定点()0,2-. 9.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P AB = (结果用最简分数表示）.【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】考查随机事件概率公式. 【难易程度】容易 【参考答案】726【试题解析】 ()1137525226P AB =++ . 10.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】利用矩阵基本知识直接求解. 【难易程度】容易【参考答案】45【试题解析】1122339913579246845a a a a +++⋅⋅⋅+=++++++++=. 11.将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n +∈N ，2n ）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .第11题图【测量目标】极限及其运算.【考查方式】给出直线方程，画出图象，根据微积分基本定理直接求定积分. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】联立直线2l 和直线3l ，得0,,01nx y n nx y x ny n n +-=⎧⇒==⎨+-=+⎩(,)11n nB n n ∴++ ，直线2l 过点(1,0)C ，直线3l 过点(0,1)A ，（步骤1） BO AC ∴⊥，2,2,1n AC BO n ∴==+ n S =121221+=+⨯⨯n n n n , lim 1n n S →∞∴=.（步骤2） 12.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去AOB △,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为第12题图【测量目标】平面图形的折叠问题.【考查方式】考查了平面图形的折叠问题及三棱锥的体积公式. 【难易程度】中等 【参考答案】823【试题解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为32836223162131=⨯⨯⨯⨯.13.如图所示，直线2x =与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b ∈R ， 则a 、b 满足的一个等式是第13题图【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用直线与双曲线之间的位置关系及平面向量的坐标运算直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】41ab =【试题解析】)1,2(),1,2(21-E E 12OP ae be =+=),22(b a b a -+，点P 在双曲线上，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得41ab =.14.从集合{},,,U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a 、b 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有 种不同的选法. 【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用列举法直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】36【试题解析】列举法，共有36种二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个等式，判断它们之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】ππtan(2π)tan144k +==，所以充分； 但反之不成立，如5πtan14=，所以不必要. 16.直线l 的参数方程是()122x tt y t=+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）A.()1,2B.()2,1C.()2,1-D.()1,2- 【测量目标】参数方程.【考查方式】参数方程与直角坐标方程之间的互化. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确. 17.若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间 （ ）A. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出方程的一个解0x ，求其取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】312131312121,3121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，∴0x 属于区间(13,12). 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能 （ ） A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 【测量目标】利用余弦定理判断三角形的形状.【考查方式】给出三角形的三条高的长度，利用面积相等及余弦定理判断三角形的形状. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设三边分别为,,a b c ，利用面积相等可知11113115a b c ==， ::13:11:5a b c ∴=由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=A ，A ∴∠为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知π02x <<，化简：2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+.【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角.【考查方式】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角对函数进行化简. 【难易程度】容易 【试题解析】π02x <<， 2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x ∴+-+--+()()()lg sin cos lg cos sin lg 12sin cos x x x x x x =+++-+ ()()22lg sin cos lg sin cos x x x x =+-+()()2lg sin cos 2lg sin cos x x x x =+-+ 0=20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列的通项公式n a 与前n 项和n S 之间的关系，求证{}1n a -是等比数列及求数列{}n S 的通项公式，并通过判断其单调性来求最值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2）（2）由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤3）从而()1575906n n S n n -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n时，数列{}n S 单调递增；（步骤6）同理可得，当15n时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）21.（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m 铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用2m S 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到20.01m ）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3m 时， 求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小.（结果用反三角函数表示）第21题图【测量目标】利用函数的单调性求最值，异面直线所成的角.【考查方式】先利用函数的单调性求最值，再通过利用平面向量的数量积运算解决平面向量的夹角问题. 【难易程度】中等【试题解析】 (1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则()1.2200.6l r r =-<<， ()23π0.40.48πS r =--+，（步骤1）∴当0.4r =时，S 取得最大值约为21.51m ；（步骤2）(2) 当0.3r =时，0.6l =，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-， ()350.3,0.3,0.6A B =--，（步骤3） 设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3A B A B A B A B θ==，（步骤4） ∴13A B 、35A B 所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．（步骤5）第21题图22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分. 若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域k ππ,,24D x x k x ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R .任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对三角函数的基本性质的了解程度以及利用基本不等式证明绝对值不等式的能力. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）211x ->，211x ∴->或211x -<-（舍去）（步骤1） ((),22,x ∴∈-∞-+∞；（步骤2）（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab b +>222a b ab ab b +> （步骤3）()()23322220a b ab b a b ab ab b a b a b +--+-=+->，332222a b a b ab ∴+->+-，即33a b +比22a b ab +远离2；（步骤4）（3）π3πsin ,k π,π44()ππcos ,π,π44x x k f x x x k k ⎧⎛⎫∈++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤5）性质：1︒ ()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称；2︒ ()f x 是周期函数，最小正周期π2T =； 3︒函数()f x 在区间ππππ,2422k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递增，在区间ππππ,2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递减；4︒函数()f x的值域为⎤⎥⎣⎦．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为(),a b -.（1）若直角坐标平面上的点()(),0,,,0M A b B a -满足()12PM PA PB =+,求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点()()cos ,sin 0πQ a b θθθ<<，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=,写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【测量目标】向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题.【考查方式】给出直线与椭圆的方程，联立方程组，用消元法解方程组，求证E 为CD 的中点并求出θ的取值范围. 【难易程度】较难【试题解析】 (1)设点M 的坐标为(),x y ，由题意可知(),PM x a y b =+-， (),2PA a b =-，()2,PB a b =-，（步骤1） ()12PM PA PB =+3232x a a y b b⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，（步骤2）22a xb y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，,22a b M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；（步骤3） (2)由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程()()222222221120a k b x a k px a p b +++-=， （步骤4）直线11:l y k x b =+交椭圆Γ于C 、D 两点，∴0∆>，即222210a k b p +->，（步骤5）设()11,C x y 、()22,D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ， 则212102221201022212x x a k p x a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，（步骤6） 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程()21k k x p -=，（步骤7） 又2221b k a k =-，2102222112202221p a k p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪∴⎨⎪===⎪+⎩，（步骤8） 故E 为CD 的中点；（步骤9）(3) 求作点1P 、2P 的步骤：1︒求出PQ 的中点()()1cos 1sin ,22a b E θθ--⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2︒求出直线OE 的斜率()()21sin 1cos b k a θθ+=-， 3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率()()21221cos 1sin b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：()()()()1sin 1cos 1cos 21sin 2b b a y x a θθθθ+--⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点1P 、2P 的坐标．（步骤10）欲使1P 、2P 存在，必须点E 在椭圆内，()()221cos 1sin 144θθ-+∴+<，化简得1πsin cos ,sin 24θθθ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，（步骤11）又0πθ<<，即ππ3π444θ-<-<，ππarcsin 444θ∴-<-<，（步骤12）故θ 的取值范围是π0,arcsin 44⎛+ ⎝⎭．（步骤13）。

2010级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数21,0(,)0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(,)f x y 在(0,0)点 【 】(A ) 连续，且可偏导. (B ) 沿任何方向的方向导数都存在. (C ) 可微，且(0,0)d 0.f= (D ) (,)x f x y 和(,)y f x y 在(0,0)点连续.2. 设有三元方程ln e 1xy xy z y -+=. 由多元隐函数存在性定理，在(0,1,1)的某邻域内，该方程 【 】 (A ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =. (B ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =. (C ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =. (D ) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =.3. 设函数()f u 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f u f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是 【 】(A )(0)1,(0)0f f ''<<. (B )(0)1,(0)0f f ''>>. (C )(0)1,(0)0f f ''<>. (D )(0)1,f f ''>4. 如图，单位圆域221x y +≤被直线y x =±四个区域k D (k =1,2,3,4)，记cos d d kk D I x y x =⎰⎰则14max{}k k I ≤≤等于 【 (A )1I . (B )2I . (C )3I . (D )4I .5. 设D 是由曲线22(231)(43)1x y x y ++++-=围成的平面闭区域，则二重积分22[(231)(43)]d d Dx y x y x y ++++-⎰⎰之值为 【 】(A )π. (B )1π5. (C )1π10. (D )2π5.二、填空题（每小题3分，共15分）6. 极限22200sin()lim x y x y x y →→+＝ .7. 设函数()f t 可导，且2(e )1f '=. 又(,)()y u x y f x =，则(e,2)d u =_________.8. 曲线2221224x y z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点(1,1,2)-处的切线方程为: .9. 交换二次积分的次序：122(1)1d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.10. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由直线1,0x y ==和y x =所围成的有界闭区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ .三、（本共题8分）11. 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(1,1)1f =，(1,1)x f a =，(1,1)y f b =， 又()(,(,))x f x f x x ϕ=，求(1)ϕ及(1)ϕ'. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） 12.计算}221min)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D ：224x y +≤.13. 计算()22d d d I ax by cz x y z Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω为椭球体2222221x y z a b c ++≤.五、应用题（每小题8分，共16分）14.设物体位于1z Ω≤≤，其体密度函数为||e z ，求此物体的质量. 15. 求柱面122=+z x 介于平面0=y 和2=+y x 之间部分曲面的面积. 六、（每小题10分，共20分）16.设r =(,)()u x y f r =，其中()f r 具有二阶连续导数.(1) 把u ∆=2222u ux y∂∂+∂∂表示成r 的函数；(2) 若u 满足方程223/2()u x y -∆=+，求函数()f r . 17. 在曲线412y x =上求一点P ，使P 到直线220x y --=的距离最短，并求此最短距离.七、证明题（本题共6分）18. 设函数(,)f x y 在圆域D ：224x y +≤上可微，且|(,)|1f x y ≤. 证明：存在D 的内点00(,)x y ，使得()()220000(,)(,)1x y f x y f x y +<.。