矩阵运算及方程组求解

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附录Ⅰ 大学数学实验指导书

项目五矩阵运算与方程组求解

实验1 行列式与矩阵

实验目的

把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、

数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.

大体命令

在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.

1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.

如输入

{2,4,8,16}

{x,x+1,y,Sqrt[2]}

那么输入了两个向量.

2. 表的生成函数

(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:

Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};

Range[m, n]—生成表{m,…,n};

Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为dx.

2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令

Table[n^3,{n,1,20,2}]

那么输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}

输入

Table[x*y,{x,3},{y,3}]

那么输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}

3. 表作为向量和矩阵

一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵 5432

能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.

输入

A={{2,3},{4,5}}

那么输出 {{2,3},{4,5}}

命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:

MatrixForm[A]

那么输出 5432

注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A不能参与运算.

下面是一个生成抽象矩阵的例子.

输入

Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]

MatrixForm[%]

那么输出

]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[aaaaaaaaaaaa

注:那个矩阵也能够用命令Array生成,如输入

Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.

例如,输入

IdentityMatrix[5]

那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).

5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.

例如,输入

DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]

那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}

它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.

6. 矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法; 或

Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.

7. 求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].

8. 求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].

9. 求方阵A的逆的命令:Inverse[A].

10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].

实验举例

矩阵的运算

例设,421140123,321111111BA求AAB23及.BAT

输入

A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}

MatrixForm[A]

B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}

MatrixForm[B]

2AAAB23BAT33442142414101010120821444,5123641033252312A.1A1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD2222)1)()()()()()((dcbaabcddcdbdacbcaba,60975738723965110249746273A.),(|,|3AAtrA3),(|,|AAtrA12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111BA求AAB23及.BA

2.设,001001A求.10A一样地?kA (k是正整数). 3.求aaaaa1111111111111111111111111的逆.

4.设,321011324A且,2BAAB求.B

5.利用逆矩阵解线性方程组.353,2522,132321321321xxxxxxxxx

实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组

实验目的学习利用Mathematica以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向

量组的秩与最大无关组.

大体命令

1. 求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].

2. 把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A].

3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入

Join[{{1,0,1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]

那么输出 {{1,0,1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}

实验举例

求矩阵的秩

例设,815073131223123M 求矩阵M的秩.

输入

Clear[M];

M={{3,2,1,3,2},{2,1,3,1,3},{7,0,5,1,8}};

Minors[M,2]

那么输出 {{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11},{14,22,18,10,10,2,

16,16,18,22},{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11}}

可见矩阵M有不为0的二阶子式. 再输入

Minors[M,3]

那么输出

可见矩阵M的三阶子式都为0. 因此.2)(Mr

例求矩阵3224211631095114047116的行最简形及其秩.

输入

A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,9,0},{1,3,16,1},{2,4,22,3}}

MatrixForm[A]

RowReduce[A]00000000100005100101

矩阵的初等行变换

例用初等变换法求矩阵.343122321的逆矩阵.

输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}

MatrixForm[A]

Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(43210000010010102001

向量组的最大无关组

例求向量组 )0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321

的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.

输入

Clear[A,B];

A={{1,1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,1,2,0},{2,1,5,0}};

B=Transpose[A];

RowReduce[B]000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、

四列,因此421,,是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是

.3213第五列的前三个元素别离是,25,1,21于是.25214215

实验习题

1.求矩阵12412116030242201211A的秩.

2.求t, 使得矩阵tA23312231的秩等于2.

3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321的秩.

4.当t取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t的秩最小?

5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321是不是线性相关?

6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321的最大线性无关组. 并用最大无关

组线性表示其它向量.

7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121求证:向量组21,

与21,等价.

实验3 线性方程组

实验目的熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程

例6 利用逆矩阵求解方程组

123121232232,2,24.xxxxxxxx

解将方程组写成矩阵形式bAX，其中

.422,,121011322321bXAxxx

计算得01A，故A可逆. 因而有bAX1，即

.2620184224613513414221210113221321xxx

根据矩阵相等的定义，方程组的解为

.26,20,18321xxx

第6章求解线性代数方程组与计算矩阵特征值的迭代法

1数值计算与MATLAB第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法

《数值计算与MATLAB

》

2第6章求解线性代数方程组

和计算矩阵特征值的迭代法

§1 求解线性代数方程组的迭代法

§2 方阵特征值和特征向量的计算

§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法《

数

值

计

算与MATLAB

》

36.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，则方程组有唯一解。把这种方程中的方阵A分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C是非奇异的，把A它代入方程Ax=b中，得出(C-D)x=b，两边左乘C-1，并令M=C-1D，g= C-1b，移项可将方程Ax=b变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式：x

k+1=Mx

k+g，M=C-1D称为迭代矩阵。第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法

《数值

计算与MATLAB

》

42. 雅可比（Jacobi）迭代法如果方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，a

ii≠0，若可以把A

分解成：A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，

D=diag(a

11,a

22,…,a

nn)；

-L是严格下三角阵；

-U是严格上三角矩阵；

x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1b

k+1=D-1((L+U)x

k+b)= D-1(L+U)x

k+ D-1b

M=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法《

数

值

计

算与MATLAB

》

5









6 7- 4 1 2 1- 2 0 6- 0 3- 1 1 5- 1 2











6 0 0 0 0 1- 0 0 0 0 3- 0 0 0 0 2











0 7 4- 1 -0 0 2- 0 0 0 0 1-0 0 0 0











0 0 0 0 2- 0 0 0 6 0 0 0 1- 5 1 - 0

线性方程组求解及应用

线性方程组是由一组线性方程所组成的方程集合。线性方程组的解是满足所有方程的变量取值集合。求解线性方程组的过程就是找到使得所有方程都成立的变量取值，也就是找到方程组的解。

线性方程组可以用矩阵的形式表示。设线性方程组有n个未知数，m个方程，那么可以将方程组表示为一个n×m的矩阵A乘以一个m×1的向量X等于一个n×1的向量B。即

AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

求解线性方程组有多种方法，下面介绍常见的几种方法。

1.高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它通过消元法将线性方程组化为上三角形式。具体步骤如下：

a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；

b) 选取一个非零的元素作为主元，通过初等行变换将主元所在的列下方的元素都变为0；

c) 对剩余的行进行相同的操作，依次选取主元，直到将矩阵化为上三角形式；

d) 回代求解未知数。

2.矩阵求逆法：如果方程组的系数矩阵A可逆，那么可以通过求系数矩阵A的逆矩阵来求解线性方程组的解。即X=A^(-1)B。求逆矩阵可以使用伴随矩阵求解，也可以使用线性方程组的增广矩阵进行求解。

3.克拉默法则：克拉默法则适用于未知数个数和方程个数相等的线性方程组。该方法通过求解系数矩阵A对应的行列式和每个未知数对应的行列式的比值来求解方程组。具体步骤如下：

a)计算系数矩阵A的行列式D；

b)将方程组中第i个未知数的系数替换为常数向量B，计算系数矩阵A_i的行列式D_i；

c)未知数的取值即为D_i除以D的值。

线性方程组的应用范围很广，常见的应用包括：

1.电路分析：电路中的电流和电压关系可以表示为线性方程组，通过求解线性方程组可以分析电路中各部分的电流和电压分布。 2.优化问题：例如线性规划问题，可以通过线性方程组的求解来找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

矩阵及运算

〔1〕互换矩阵的两行或两列；

〔2〕把某一行同乘〔除〕以一个非零的数；

〔3〕某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个根本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例：

例1

例2

课堂练习：

〔1〕假设方程组的解与相等，求的值。

〔3〕解方程组：

矩阵运算

〔对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.〕

1．相等

定义如果两个矩阵，满足：

(1) 行、列数相同，即；

(2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )，

那么称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B

〔由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.〕例如，矩阵

A =， B =

那么A = B，当且仅当

a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4

而

C =

因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.

2．加法

定义2.3 设，是两个mn矩阵，那么称矩阵

C =

为A与B的和，记作

C = A + B =

〔由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.〕

同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =

称D为A与B的差.

例1 设矩阵A =， B =，求A + B，A - B.

例2、矩阵，，，假设，，，求的值。

矩阵加法满足的运算规那么是什么？

设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规那么 1. 加法交换律： A + B = B + A；

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矩阵运算及方程组求解

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例6 利用逆矩阵求解方程组

第6章求解线性代数方程组与计算矩阵特征值的迭代法

线性方程组求解及应用

矩阵及运算

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