「精品」高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何学案北师大版必修2
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1 第1课时 简单旋转体
[核心必知]
几种简单旋转体
名称 定义 图形表示 相关概念
球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球 球心：半圆的圆心
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥 高：在旋转轴上这条边的长度
底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面
母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线 圆台 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台 精品资料 值得拥有
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[问题思考]
1．铅球和乒乓球都是球吗？
提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．
2．圆台的母线一定交于一点吗？
提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．
3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？
提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．
讲一讲
1．下列叙述正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答] 解析：选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的精品资料 值得拥有
3 腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．
对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．
练一练
1．下列命题正确的是( )
A．过圆锥侧面上一点有无数条母线
B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段
C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行
D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台
解析：选D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.
讲一讲
2．如图，请描述(1)，(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．
[尝试解答] 解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．
(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．
(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．
(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是精品资料 值得拥有
4 由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．
练一练
2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？
解：旋转而成的几何体如图所示．
用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？
[错解] 截面是圆．
[错因] 本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．
[正解] 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面．
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ 精品资料 值得拥有
5 C．①③ D．②④
解析：选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．
2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．
3．有下列三个命题：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
③圆锥的轴截面是等腰三角形．
其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．
4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．
解析：若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．
答案：一个或无数个
5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．
答案：圆面
6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
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6 一、选择题
1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．
2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )
A．一个圆台和两个圆锥
B．两个圆台和一个圆锥
C．两个圆柱和一个圆锥
D．一个圆柱和两个圆锥
解析：选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的(
)
解析：选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．
4．以下几何体中符合球的结构特征的是( )
A．足球 B．篮球
C．乒乓球 D．铅球
解析：选D 因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．
5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( ) 精品资料 值得拥有
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A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
解析：选D 轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．
二、填空题
6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．
解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．
答案：两个圆锥
7．给出下列四个命题：
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．
答案：②
8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是______．
解析：画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝AB2－BM2＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝＋×92＝63(cm2)． 精品资料 值得拥有
8 答案：63 cm2
三、解答题
9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．
解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．
10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．
解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．
③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．
①不是圆柱，④不是圆锥．
第2课时 简单多面体
[核心必知]
1．简单多面体的定义
把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．
2．几种常见的简单多面体
名称 定义 图形表示 相关概念
