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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。
则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。
推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。
②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。
()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。
③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。
联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。
11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。
-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
归纳抽象函数的三性：对称性、奇偶性与周期性一、抽象函数的对称性。
性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。
注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。
y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。
二、复合函数的奇偶性。
性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
三、函数的周期性。
性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a)，②f(x＋a)＝－f(x)，③f(x＋a)＝1/f(x)，④f(x＋a)＝－1/f(x)。
四、函数的对称性与周期性。
性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。
性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。
性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。
在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。
首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。
奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。
与奇函数相对的是偶函数。
偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。
偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。
例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。
接下来，我们来复习抽象函数的周期性。
周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。
周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。
例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。
最后，我们来复习抽象函数的对称性。
对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。
对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。
例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。
综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。
它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。
图③图①图②抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性” 在高中数学的学习中，每个学生都或多或少的遇到过几次类似()()f a x f a x +=-亦或()()f x a f x b +=-+这类关于函数的抽象描述，大多数学生都能够通过积累经验后，认识到前式涉及到函数对称性，后式涉及到函数周期性。
但是大部分学生对于这类抽象表示依然不理解，那么有没有一种较为实在又准确的方式来理解它们并加以记忆呢？一、对称性：1.轴对称（1）. 以()()f x f x =-为引例：关于()()f x f x =-的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为x 和x -。
那么()()f x f x =-可以解读为：互为相反的两个自变量（x 和x -）所对应的函数值相等。
下面我们通过取若干个常数x ，来模拟(),y f x x R =∈的图象分别取12x a =、、()a R ∈，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性：那么就不难理解用()()f x f x =-作为偶函数的定义，即图象关于y 轴呈轴对称。
（2）. 下面按照上述方式对()()11f x f x +=-加以解读首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量分为1x -和1x +。
因为()()1112x x -++=，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量1x -和1x +始终保持着关于1x =对称的位置关系。
那么()()11f x f x +=-可以解读为：关于1x =对称的两个自变量对应的函数值始终相等。
模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性。
且其对称轴1x =是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆。
（3）. 对于一般的()()f a x f a x +=-，由于()()2a x a x a ++-=，那么按照上述方式可以解读为：关于x a =对称的两个自变量所对应的函数值相等，易得函数()y f x =关于x a =呈轴对称。
抽象函数的周期性、对称性和奇偶性及其应用周金国江苏省盐城市伍佑中学(224041)抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出具体表达式的函数，解决这类问题与解决具体函数问题的思路和方法并不完全相同，对抽象思维能力有着较高的要求，因而一直是高考考查的热点之一．本文在关于抽象函数的周期性、对称性和奇偶性讨论的基础上，通过几个例题的研究，为解决此类抽象函数问题提供一些常用方法，力求使此类问题的解法有“章”可循.1几个重要性质性质1定义在R 上的函数()f x ，若()f a x +=()f bx ，则函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.反之，若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，则必有()()f a x f b x +=成立．当a b =时，()f x 的图象关于直线x a =对称.特别地当0a b ==时，函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.简证：若()()f a x f b x +=.设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +，因为()[()]f m f b b m =[()]()f a bm f a bm =+=+，所以点Q 也在()f x 的图象上，即函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +也在()f x 的图象上，所以()()f m f a b m =+，令b m x =，则m b x =，所以()()f a x f b x +=.性质2定义在实数集R 上的函数()f x ，若()()(0)f x a f x b a b +=+≠恒成立，则()f x 是以a b +为一个周期的周期函数.反之，若0a b +≠为函数V 的一个周期，则必有()()f x a f x b +=成立.特别当a b =时，()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：因为()()f x a f x b +=，令t x b =，则x t b =+，所以()()f t f t a b =++,故()f x 是以a b+为一个周期的周期函数.同理，若0a b +≠为函数()f x 的一个周期，则()()f t f t a b =++，令t x b =，则x t b =+，所以()()f x a f x b +=.性质3定义在R 上的函数()f x ，若()()f x f x a b ++=恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在()()f x f x a b ++=中，将x 用x a +来代替，得()(2)f x a f x a b +++=,联立()()f x f x a b++=与()(2)f x a f x a b +++=，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质4定义在R 上的函数()f x ，若()f x =1()f x a ±+恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在1()()f x f x a =±+中，将x 用x a +来代替，得1()(2)f x a f x a +=±+,联立1()()f x f x a =±+与1()(2)f x a f x a +=±+，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质5定义在R 上的函数()f x 若满足()()f a x f bx +=,且()()f c x f dx +=，则()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.简证：由()()f a x f b x +=,得()()f x f a b x =+,由()()f c x f d x +=，得()()f x f c d x =+,所以()()f c d x f a b x +=+即()()f x f x a b c d =++,故()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.性质6定义在R 上的函数()f x ，若()f a x ++()2f a x b =恒成立，则()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.特别当0b =时，()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.当0a b ==时，()y f x =是奇函数，图象2008年第5期福建中学数学17关于点(0,0)对称.简证若()()2f a x f a x b++=,设(,())P m f m为()f x的图象上的任一点，而P关于直线点(,)a b的对称点为(2,2())Q a m b f m，令x a m=，则()()2f a a m f m b++=，故(2)2()f a m b f m=，所以点Q也在()y f x=的图象上，即()y f x=的图象关于点(,)a b对称.推论1定义在R上的函数()f x，若()f a x+= ()f a x且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.简证：因为()()f a x f a x+=，所以()(2)f x f a x=，①又由()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②用2a x代换x，得(2)(22)2f a x f b a x c++=，③由①②③得(2)(22)f b x f b a x=+而[4()][22(22)]f b a x f b a b a x+=++[2(22)](2)()f b b a x f a x f x=+==，所以()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.推论2定义在R上的函数()f x，若()f a x++ ()2f a x c=且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，2()b a是函数的一个周期.简证：由()()2f a x f a x c++=，得()(2)2f x f a x c+=，①又()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②由①②得(2)(2)f b x f a x=而[2()][2(2)]f b a x f b a x+=[2(2)]()f a a x f x==，所以()f x为周期函数,2()b a是函数的一个周期.性质7定义在R上的函数()f x，若()(f x f x= )()a f x a++恒成立，则()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.简证：由()()()f x f x a f x a=++，得()(2)()f x a f x a f x+=++，两式相加得(2)()f x a f x a+=，所以()(3)(6)f x f x a f x a=+=+，故()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.应用举例例1设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a=++∈≠满足：(1)当x R∈时，(4)(2)f x f x=且()f x x≥(2)()f x在R上的最小值为0；(3)当(0,2)x∈时，2()(1)/4f x x≤+，求()f x的表达式.解：由(4)(2)f x f x=知，()f x的图象关于1x=对称，所以/(2)1b a=,即2b a=；①由(2)知1x=时，0y=,即0a b c+=；②由(1)知(1)1f≥，又由(3)知(1)1f≤，所以(1)1f=即1a b c++=.③由①、②、③得1/4,1/2,1/4a b c===，因此2()/4/21/4f x x x=++.例2定义在R上的偶函数()f x，恒有(1)f x+(1)f x=成立，且当[2,3]x∈时，()f x x=，则当[2,0]x∈时，()f x的表达式为()A.4x+ B.2xC.3|1|x+ D.2|1|x++解析：根据题意,()f x是以2为周期的函数..当[2,1]x∈时，4[2,3]x+∈，所以()(4)4f x f x x=+=+；当[0,1]x∈时，2[2,3]x+∈，所以()(2)2f x f x x=+=+；又()f x为偶函数,当[1,0,]x∈时，[0,1]x∈，所以()()2f x f x x==+;故当[2,0,]x∈时，合并得,()3|1|f x x=+,选C.例3设()f x是定义在实数集R上的奇函数，且满足()(2)f x f x a++=，(1)0f=，其中a为常数，试判断方程()0f x=在(3，7)内至少有几个根？解析：根据性质3，4为()f x的周期，于是(5)(1)0,(3)(1)0f f f f====，(4)(0)0f f==.所以1，0，1，3，4，5是方程()0f x=在(3，7)内的6个根;另一方面，在()(4)()f x f x f x=+=中，令4x x+=，得2,(2)0x f==.于是(6)(2)(2)0f f f===，所以2，2，6是方程()0f x=在(3，7)内的3个根.因此方程()0f x=在(3，7)内至少有9个根.例4定义在实数集R上的函数()f x，若()f x= 1/(2)f x+，且当[2,2)x∈时，()f x=/21x+，则当[2,24)x n n∈+时，试求函数()f x的解析式.解析：因为()1/(2)(4)f x f x f x=+=+，所以函数()f x是以4为周期的周期函数.()当为奇数时，()+=+为的倍数18福建中学数学2008年第5期21n2221n n4.当[2,24)x n n ∈+时，22[2,2)x n ∈，所以(22)(22)/21f x n x n =+，于是有()(22)f x f x n =(22)/21/2x n x n =+=.(2)当n 为偶数时，可知2n 、24n +为4的倍数.当[2,22)x n n ∈+时，有2[0,2)x n ∈，于是(2)(2)/21f x n x n =+，从而有2()(2)1122xn x f x f x n n ==+=+；当[22,24)x n n ∈++时，有24[2,0)x n ∈，于是有(24)(24)/21f x n x n =+，所以()(24)f x f x n =(24)/21/21x n x n =+=.综合(1)(2)可得：当n 为奇数时，()/2,[2,24);f x x n x n n =∈+当n 为偶数时，/21,[2,22),()/21,[22,24).x n x n n f x x n x n n +∈+=∈++例5设函数()f x 在(,)∞+∞上满足(2)f x +=(2)f x ,(7)(7)f x f x +=且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.试求方程()0f x =在闭区间[2008,2008]上的根的个数.解:根据题意,由性质5知,函数()f x 为周期函数,它的一个周期为|(2+2)-(7+7)|=10又(1)(3)0f f ==,所以(11)(13)(7)(9)0f f f f ====,故()f x 在[0,10]和[10,0]上均有两个解,从而可知函数()f x 在[0,2008]上有402个解,在[2008,0]上有401个解,所以()f x 在闭区间[2008,2008]上803个解.例6已知()f x 是定义在R 上的函数，若(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.求()f x 在[2004，2008]区间上的最小值和最大值.解：由(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=知，()y f x =为周期函数，4(32)4=是函数的一个周期，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.所以()f x 在[2004，2008]区间上也有最小值2和最大值9.例7已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的x R ∈，有(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，且(3)2f =，(5)4f =，则(2008)f =().解：由(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，得()(1)(1)f x f x f x =++，故6是它的一个周期，所以(2008)(63344)f f =×+(4)(3)(5)246f f f ==+=+=.参考文献[1]李昭平.破解抽象函数问题“六法”.中学理科,2006,8.[2]王光炎.函数对称性与周期及其应用.中学数学教学，1999,1.怎样把实验带进数学课堂邓云云谭晓琴陕西宝鸡文理学院数学系(721013)通常认为，数学是一门严谨的学科，数学活动只是高度的抽象思维活动．因而，对于数学教学中是否需要实验，还存在一些认识上的偏差．历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验．新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、几何直观能力和运算能力，而且还需要数学建模能力和数据处理能力，数学实验正是为了综合培养这些能力而设置的[1]．数学学习无论是知识还是能力和方法的掌握都不可忽视实验的作用．“动手实践”是学生学习数学的重要方式之一，“实验操作”使以往的“学数学”变为“做数学”，使学生有兴趣、有信心地学习数学．因此，把实验带进数学课堂引起了现代教育专家的重视，特别是在课标课程背景下，已经成为一种必然趋势．1数学实验的概念中学数学实验是根据具体教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助一定的物质仪器和技术手段，并在数学思想和数学理论的指2008年第5期福建中学数学19。
抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。
抽象函数的奇偶性、对称性与周期性“妙趣横生”
李居强;李琪
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】在高中数学中,抽象函数的奇偶性、对称性与周期性往往形影相伴,三者之中“因二生一”的内在联系,在历年的高考中备受命题者的青睐,特别是已知抽象函
数y=f(x)的奇偶性和周期性,判断该函数对称性的这种问题.本文对奇偶性与轴对称
结合探究周期性、周期性与轴对称结合探究奇偶性的问题进行具体分析,以期能引
起广大同学们的思考.
【总页数】2页(P1-2)
【作者】李居强;李琪
【作者单位】陕西省宝鸡市教育教学研究室
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
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2.从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现
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数的对称性、奇偶性及周期性的相关问题4.巧记结论灵活处理抽象函数的对称性、奇偶性及周期性的相关问题5.2022年新高考Ⅰ卷第12题通法与“秒杀”——抽
象函数的奇偶性、周期性和对称性问题
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