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β⊂m α⊂n n m //高考数学考前冲刺模拟试卷（一）（共120分）一、填空题：本大题共14小题，每小题2分，共28分．1．设复数z 满足()i i z i 23+-=+(i 为虚数单位),则z 的实部是 . 2．若全集U {}23|||2,{|log (1)1}x x A x x =<=-<，则A =U.3．某单位聘请员工，有200名应聘者参与笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成果如下表：分数段 [)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数1366211若按笔试成果择优录用40名参与面试，由此可猜测参与面试的分数线为 分.4．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则消灭向上的点数之和为4的概率是 ． 5．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ． 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 给出下列命题： （1）若， ， ， ，则 ； （2）若， ， ， ，则 ； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，全部真命题的序号为 ．7．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的一般方程为 ．8．已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中全部整数的元素和为28, 则a 的范围是____ ____．9．如图，ABC ∆是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心， 1为半径的圆上的任意一点，则BP AP •的最小值 ．10．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为 ． （第9题图）11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝ ．12．已知△ABC 中，设,,,,,a b c A B C ∠∠∠分别为的对边长，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2b ac a b ab++的最大值为 .13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ． 14．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44f x x m x x x ππ=+++-， (1) 当m =0时，求()f x 在区间(0,)2π上的取值范围；(2) 当tan 2α=时， 3()5f α=，求m 的值．16．（本小题满分14分）已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(1) 求证：11B D AE ⊥； (2) 求证：//AC 平面1B DE ．PBACk ≥-3 开头 k ←1 S ←0 S ←S – 2k k ←k -1结束输出S Y N （第5题图）βα//βα//β⊥mα//n n m ⊥17.（本题满分14分）如图，有一位于A 处的雷达观测站发觉其北偏东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+（其中1tan ,0455θθ=︒<<︒）且与观测站A相距海里的C 处．（1）求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2）在离观测站A 的正南方20海里的E 处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不转变航向连续前行，该货船是否有触礁的危急？试说明理由．18．(本小题满分16分)已知双曲线 221.62x y -= （1）点P 在以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E 上，点C (2,1)关于坐标原点的对称点为D ，直线CP 和DP 的斜率都存在且不为0，试问直线CP 和DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由;（2）平行于CD 的直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程.19．（本小题满分16分）设12,x x 是()()321,,032a b f x x x x a b R a -=++∈>的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=北BAE（1）假如1224x x <<< ，求证：()23f '->； （2）假如1212,2x x x <-= ，求b 的取值范围；（3）假如2a ≥ ，且()21122,,x x x x x -=∈时，函数()()()22g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值.20．（本小题满分18分）假如无穷数列{a n }满足下列条件：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；② 存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1) 设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围； (2) 设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3) 设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.参考答案。
不 等 式〖学习指导〗1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；（2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n 1n 1b a >；（1）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
掌握不等式的性质，应注意： （1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号；（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+； 当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 在具体条件下选择适当的形式。
3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。
利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。
含参数的不等式应适当分类讨论。
5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。
在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。
研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。
〖例题与练习〗〖解不等式〗-----〖绝对值〗例1、不等式311<+<x 的解集为（ ）（A ）()2,0 （B ）())4,2(0,2 - （C ）()0,4- （D ）())2,0(2,4 --例2、不等式|2|+x ≥||x 的解集是 ．练习1、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x x D .}11|{-≠<x x x 且练习2．若关于x 的不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则a 的最大值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2〖解不等式〗-----〖二次不等式〗例3、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,a 的取值范围是( )A.(－∞，２]B.［－２，2］C.（－２，２] D （－∞，－２）例4．若关于x 的不等式02<--b ax x 的解集是}32|{<<x x ，则关于x 的不等式012>--ax bx 的解集是_____． 练习：如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是（ ）)10()12()02()22(，、，、，、，、D C B A ---〖解不等式〗-----〖分式不等式〗例5.不等式xx 1>的解集是 ( ) A }1{<x x B 1{-<x x 或}1>x C }11{<<-x x D 01{<<-x x 或}1>x例6、已知关于x 的不等式b xa x ≥+的解集是[1,0)-，则a +b = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．3练习1、不等式03)2(<-+x x x 的解集为（） A ．}30,2|{<<-<x x x 或 B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或练习2、不等式221x x +>+的解集是（ ） （A ）(1,0)(1,)-+∞ （B ）(,1)(0,1)-∞- （C ）(1,0)(0,1)- （D ）(,1)(1,)-∞-+∞〖解不等式〗-----〖分段函数与不等式〗例7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ） A ．(][]10,02, -∞- B ．(][]1,02, -∞- C ．(][]10,12, -∞- D ．[]10,1]0,2[ -【不等式的性质】例8．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A ．ab ac >B ． c b a ()-<0C ． cb ab 22<D ． 0)(<-c a ac例9．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 练习：已知函数f (x )= 232x bxc ++在区间[－1，2 ]上函数值恒为非正数，那么b ＋cA ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152【不等式的证明】例10、已知,,,0,02233xy y x b y x a y x +=+=>>则a 、b 的大小关系为（ ）A ．b a >B ． b a <C ．b a ≤D ．b a ≥例11、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．4)11)((≥++b a b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-|| 〖均值不等式〗例12．（1）已知532,(0,0)x y x y+=>>,则xy 的最小值是_______； （2）如果,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ）A ．2 B ．a C ．12-a a D ．3 （3）求函数()x x y 33-= （0<<x 1）的最大值.（4）已知,191,0,=+>yx y x 且求y x +的最小值. 例13．已知实数a 、b 、x 、y 满足a 2+b 2=m ，x 2+y 2=n ，则ax+by 的最大值是（ ）A ．mnB ．2n m +C ．222n m +D ．222n m + 练习1．已知12=+y x ，则yx 24+的最小值是（ ）A ．8B ． 6C ．22D ．32练习2．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ）A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(练习3．已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（ ）A ．4 B．练习4．实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥100y x y x ，则22y x +的最小值为 ；〖不等式综合举例〗例15．（2001年天津，17）解关于x 的不等式2a x a x --＜0（a ∈R ） 【补充练习】1、不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ ）A ．}21|{≥x x B ．}211|{≥-≤x x x 或 C ．}211|{≥-=x x x 或D ．}211|{≤≤-x x2、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x x x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）3、若a , b ∈R ，那么b a 11>成立的一个充分非必要条件是（ ）。
（A ）a >b （B ）ab (a -b )<0 （C ）a <b <0 （D ）a <b4、已知实数x ，y 满足250x y ++=ABC． D．5、若x+2y+3≥0，则(x+1)2+(y+2)2的最小值是A 、5B 、54C 、552D 、2256、若直线ax-by+1=0(a>0,b>0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则b 1a 1+的最小值A 、6B 、42C 、3+22D 、3+27、如果,2y lg x lg =+则y 1x 1+的最小值是 ( )A. 2B. 21C. 51D. 2018、设a 、b 、x 、y 均为正数,且a 、b 为常数,x 、y 为变量.若1=+y x ,则by ax +的最大值为 ( ) A. 2b a + B. 21++b a C. b a + D.2)(2b a +9、已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x+b（1）解关于a 的不等式f(1)>0；(2)当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a ，b 的值。
10、解不等式：).1(12)1(<>--a x x a11、解关于x 的不等式.1||,11≠>++a a x ax 其中12、已知函数b lg x )2a (lg x )x (f 2+++=满足2)1(f -=-且对于任意R x ∈, 恒有x 2)x (f ≥成立.(1) 求实数b ,a 的值; (2) 解不等式5x )x (f +<.13、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由.14、投资生产某产品，并用广告方式促销.已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()011≥++=x x kx W ，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品.预计此种产品的年销售收入M （万元）等于年成本（万元）的150﹪与年广告费用50﹪的和.（1） 试将年利润y （万元）表示为年广告费用x （万元）的函数；（2） 当年广告费用为多少时，年利润最大？【补充练习】参考答案A D C A C C D A9. 解题思路分析：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a 2+6a+b-3∵ f(1)>0∴ a 2-6a+3-b<0△=24+4b当b ≤-6时，△≤0∴ f(1)>0的解集为φ；当b>-6时，6b 3a 6b 3++<<+-∴ f(1)>0的解集为{}6b 3a 6b 3|x ++<<-- （2）∵ 不等式-3x 2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解∵ 3x 2-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3b 33)a 6(a 2 解之得⎪⎩⎪⎨⎧=±=9b 33a 10. 解：原不等式可化为,02)2()1(>--+-x a x a 即.0)2)](2()1[(>--+-x a x a ∵a <1，∵（x －2）.0)12(<---a a x 当212>--a a 时，即0<a <1时，解集为};122|{--<<a a x x当212=--a a 时，即a =0时，解集为φ； 当212<--a a 时，即a <0时，解集为.212|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--x a a x 11、 解：,0)1()1(01>+--->+--+a x a x a a x a x ax 即 若01,1>+->a x x a 则得原不等式的解集为}1|{a x x x -<>或 若01,1<+-<a x x a 则①,1,11<-<<-a a 时得原不等式的解集为}1|{<<-x a x ； ②1,1>--<a a 时，得原不等式的解集为}1|{a x x -<<.13、分析：本题是探索性应用问题，关键是求运输和保管总费用的最小值并与24000元比较.解：设全年需用去运输和保管总费用为y 元,由题意知：k x x y ⋅+⋅=20004003600由于400=x 时，,43600=y 所以,201=k 所以240001001440000≥+=x x y ，当且仅当x x 1001440000=时取等号,即120=x 时min y =24000元. 答：只要安排每批进货120台，就可以使资金够用.点评：建立的数学模型后，根据条件先求出待定系数.14、分析：本题的数学模型是年利润=年销售收入—年成本—年广告费用.解：（1）∵()011≥++=x x kx W ，且当1=x 时，2=y ，∴3=k 由题意知：()1501018⋅+=W y %+50⋅x ﹪()x W -+-1018=()1228632+++-x x x ()0≥x , （2）设,1+=x t 则5.262651822265182=+⋅-≤+⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t t t y 当且仅当tt 182=时取等号,即()3612=+x 时,5.26max =y ,此时,5=x 答: 当年广告费用为5万元时, 年利润最大, 最大年利润为26.5万元. 点评:通过换元,构造出x b ax +型再求最值.（47中杜建文）。
