阿波罗提出的难题倍立方体问题

引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。

尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。

直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。

公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。

在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。

于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。

数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。

尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。

所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。

传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。

起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。

人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。

这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。

用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。

任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。

于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。

但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。

于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。

正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。

古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。

这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。

这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。

三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。

人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。

这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。

另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。

用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。

化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。

然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。

比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。

这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。

貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。

也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。

可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。

其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。

可是谁也想不出解决问题的办法。

三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。

后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。

古希腊三大“不可解”的数学问题，最后一个既简单又复杂只用直尺和圆规能解决这三个问题吗今天，超模君想跟大家讲一下有关“古希腊三大几何问题”的故事……“倍立方体”问题Question：如何只用直尺和圆规作出一个立方体，使得该立方体的体积为已知立方体的体积的两倍。

原来这个问题源于古希腊的一次瘟疫。

传说在公元前429年，一场不知名的瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），岛上四分之一的人都因为瘟疫而丧生。

面对可怕的瘟疫，岛上的居民们推举出一个代表，到神庙里去询问阿波罗的旨意。

太阳神阿波罗结果阿波罗传下旨意：想要遏止瘟疫，就把神殿前的祭坛加大一倍吧！听到阿波罗的旨意，人们便把祭坛的边长都加长了一倍。

但是，当新的祭坛做好时，瘟疫并没有得到控制，反而愈加严重。

此时有人质疑说这样做根本不对，阿波罗说的是把祭坛的体积变成原来的两倍。

于是人们又把祭坛的体积修改为原来的两倍，但是祭坛的形状变成了一个长方体，瘟疫依旧肆虐。

无奈之下，岛民们只好去雅典求助智者柏拉图。

一开始柏拉图和他的学生都认为这个问题很容易，因为他们已经知道如何只用直尺和圆规，来作出一个面积为已知正方形两倍的正方形。

但是他们发现，这个问题远比想象的要复杂，以至于最后柏拉图并没有成功地用尺规作图来解决这个问题。

柏拉图：这回丢脸丢大了……于是这个问题被保留了下来，直到1837年，法国数学家万芝尔成功证明：只用尺规作图，根本无法解决“倍立方体”问题。

万芝尔的大致证明过程是这样的：假设已知的正方体棱长为a，体积为已知正方体的正方体棱长为x，由问题的要求，列式得x^3=2a^3，解出x等于2a^3的三次方根。

由于2的三次方根是无理数，而尺规作图能够作出的线段长度均为有理数，所以“倍立方体”问题无法只用尺规作图解决。

这个证明被数学界普遍认可，可如果抛开尺规作图这个限制，那么要解决“倍立方体”问题其实并不难。

柏拉图当时就有这么一个解法：“倍立方体问题”可以转化为另一个问题：即在a与2a之间，插入x、y两个数，使a、x、y、2a成等比数列。

旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。

智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。

于是三大几何难题就诞生了。

（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。

（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。

题目规则是尺规作图。

可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。

19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。

证明这个几何题目的方法，竟然是代数。

推理方法很值得借鉴。

简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。

ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。

同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。

阿波罗尼奥斯问题
问题是由公元前３世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的几何作图问题，载于他的《论接触》中，惜原书已失传。

后来公元４世纪学者帕波斯记载了其中所提出的一个作图问题：设有３个图形，可以是点、直线或圆，求作一圆通过所给的点（如果３个图形中包含点的话）并与所给直线或圆相切。

当中共有１０种可能情形，其中最著名的是：求作一圆与３个已知圆相切，常称为阿波罗
尼奥斯问题（Apollonius'problem）。

据说阿波罗尼奥斯本人解决了问题，可惜
结果没有流传下来。

１６００年法国数学家韦达在一篇论着中应用了两个圆相似中心的欧几里得解法，通过对每一种特殊情况的讨论，严格陈述了该问题的解。

后来牛顿、蒙日、高斯等许多数学家都对这一问题进行过研究，得到多种解决方法。

其中以法国数学家热尔岗约于１８１３年给出的解法较有代表性。

以上所说都是通常的标尺作图法。

如果放宽作图条件限制，则有多种简捷的解法。

三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。

其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。

历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。

古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。

它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。

这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。

这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。

在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。

并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。

因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。

化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。

三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。

三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。

其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。

历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。

古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。

它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。

这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。

这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。

在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。

并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。

因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。

1.化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。

2.三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？3.倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。