19.4课题学习 重心

吴起县第一中学八年级数学探究式教学案科目 数学 课题 19.4课题学习重心（2） 授课时间 序号45主备人 蔺彦彧审核人许宪飞班级姓名学习 目标 深入探究三角形重心的特点。

重点 难点三角形重心的特点以及重心特点的应用。

一、创设情境，引入新课： 复习回顾(1) 线段的重心 。

(2) 平行四边形的重心。

（3）三角形的重心。

二、合作探究，解读新知： 1、三角形的重心.ABC F EG DHI∵EF 是△ABC 的中位线∴EF BC 21∥ ＝ ∵HI 是△GBC 的中位线∴HI BC 21∥ ＝ ∴ EF ∥ ＝ HI ∴四边形EFHI 是平行四边形 ∴EG=HG,FG=IG ∴EG:GB=1:2,FG:GC=1:2三角形的重心把中线分成1：2的两部分。

分别取BG 、CG 的中点H 、I ，连结EF,FH,HI,IE2、活动与探究如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要做60°、30°、15°等大小的角,可以采用下面的方法（如下图）.（1）对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重和,得到折痕EF,把纸片展平.（2）再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.观察所得的∠ABM、∠MBN和∠NBC,在三个角有什么关系?你能证明吗?通过证明可知,简单而准确.由此,15°、60°、120°、150°等角,就都容易得到了.已知:矩形ABCD,E、F分别为边AB、CD的中点,N在EF上,且MN=AM,（如图）,BN=AB.求∠ABM、∠MBN和∠NBC的大小解:三、巩固练习：1、2、求：点G 到直角顶点C 的距离GC ；四、小结:五、课堂达标检 1、阅读填空题阅读下面命题的证明过程后填空：已知：如图BE 、CF 是ΔABC 的中线，BE 、CF 相交于G 。

求证：21==GC GF GB GE 证明：连结EF∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BF 且EF ＝21BC ∴21===BC EF GC GF GB GE 问题：的长。

XX省初中部分学科教学内容和要求调整意见数学一、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》调整意见第三学段（7-9 年级）中的下列内容调整为选教内容：第39页：（5）四边形中的第⑥条：探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义。

第⑦条：通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

第40页：（7）尺规作图中的第④条：……会写已知、求作和作法（不要求证明）。

（8）视图与投影中的第⑥条：了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。

第⑦条：通过实例了解中心投影和平行投影。

第42页：（4）图形的相似中的第④条：了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

二、浙教版义务教育课程标准实验教科书《数学》（一）下列内容调整为选教内容七年级上册（2010年7月第7 次印刷）第4页：1.1 从自然数到分数。

第120页：5.4问题解决的基本步骤。

七年级下册（2009年12月第6次印刷）第58页：课题学习美妙的镶嵌。

八年级下册（2009年12月第5次印刷）第98页：5.1多边形第3课时中有关镶嵌的内容。

第153页：课题学习简单平面图形的重心。

九年级上册（2010年5月第5次印刷）第122页：4.6图形的位似。

第126页：课题学习精彩的分形。

九年级下册（2010年5月第5次印刷）第70页：4.1视角与盲区。

第73页：4.2 投影。

（二）下列内容不作教学要求七年级下册（2009 年12 月第6 次印刷）第28 页：脚注①“本套教科书对于尺规作图题，……，都要求写作法”改为“本套教科书对于尺规作图题，……，不要求．．．写作法”。

第171 页：设计题。

八年级下册（2009 年12 月第5 次印刷）第82 页：设计题。

九年级上册（2010年5月第5 次印刷）第70 页：探究活动中的用圆规把圆四等分。

三、人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》（一）下列内容调整为选教内容七年级下册（2009 年11 月第6 次印刷）第87 页：7.4 课题学习镶嵌。

沪科版 19.4 综合与实践多边形的镶嵌教学设计教学目标1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.3.经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力.4.使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值.内容分析从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺:通常把这类问题画做用多边形的平面镶嵌.平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义.教学重点难点教学重点探索正多边形能够镶嵌的条件．教学难点通过数学实验发现用正多边形进行镶嵌的规律.数学思考1．通过用一种正多边形进行镶嵌的实验，探究平面镶嵌的条件. 2．探究用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌.3．用三角形与四边形能否进行平面镶嵌．问题解决获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.教学过程一、情境引入赏镶嵌之美1．图形欣赏．多媒体出示一组图片，让学生观察欣赏，引导学生思考：这些图案都是由哪些基本的平面图形构成的？这些图形拼成一个平面有什么共同特征？说明：图案中的平面图形有的规则，有的不规则；有的用多边形拼成，有的用多种多边形拼成．各图形之间没有空隙，边也没有重叠.设计意图：一方面让学生直观感受各种图形，特别是蜂窝的图学生都比较熟悉，体现了自然中、游戏中都蕴含着美妙的数学知识，激发学生学习的兴趣，另一方面使学生体会镶嵌的直观形象，进而明确其含义.2．感知概念平面镶嵌的定义用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.二、动手操作合作学习1．提出问题．（1）怎样铺设可以不留空隙，也不相互重叠？（2）可以用哪些图形？（3）用前面所学的正多边形能否拼成一个平面图形？（4）哪些正多边形可以镶嵌成一个平面，哪些不能？设计意图：恰当设计问题，使学生的认识由感性上升到理性，培养学生的合情推理能力，领会镶嵌的原理，进一步培养学生的思维能力，发挥教师的引导者和合作者的作用.2．操作发现寻镶嵌之理让学生先用课前准备好的若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼图游戏．教师巡视，观察学生的活动，共同展示交流.思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌？设计意图：通过亲自动手操作，让学生体验镶嵌的过程，品尝成功的乐趣.3．思考交流让学生思考为什么有的正多边形能进行平面镶嵌，而有的正多边形不能进行平面镶嵌．用一种正多边形镶嵌需要满足什么条件呢？说明：正三角形、正方形、正六边形都可以，正五边形不可以（1）在由正三角形拼成的图案中，每个拼接点处有六个角，每个角都等于60°，六个角的和等于360，即6×60°＝360°，刚好形成一个周角，所以能进行平面镶嵌。

教案中的学习重心教案中的学习重心是指教学过程中要注重培养学生的何种能力和素养，以及教师在设计教学内容时应注重哪些方面。

教案作为一种教学设计工具，对学生的学习起到了重要的引导和指导作用。

在设计教案时，教师需要明确学习重心，以便更好地促进学生的学习效果和发展。

本文将从学习目标、教学内容、教学方法和评价方法四个方面来探讨教案中的学习重心。

一、学习目标学习目标是教案设计的核心，它直接关系到学生的学习效果。

在设计学习目标时，教师应该根据教学大纲和学生的实际情况，确定学生应该学会什么、达到什么水平。

学习目标应该具有明确性、可实现性和可衡量性。

教师可以通过设立明确的学习目标，来引导学生的学习方向和努力方向。

二、教学内容教学内容是教案中的核心要素之一。

在确定教学内容时，教师应该充分考虑学生的年龄、认知水平和学习兴趣。

教学内容应该紧密结合学科知识和学生的实际生活，具有积极的社会意义和实际应用价值。

教师还可以根据不同学生的兴趣和差异性，设计丰富多样的教学内容，以激发学生的学习热情和主动性。

三、教学方法教学方法是实现学习目标的重要手段。

在选择教学方法时，教师应该根据学生的学习特点和能力发展规律，采用合适的教学方法。

教师可以采用讲授、讨论、实验、案例分析和合作学习等多种教学方法，以满足学生的不同学习需要。

教师还可以通过情景教学、问题导入和启发性教学等方式，激发学生的学习兴趣和思维能力。

四、评价方法评价方法是对学生学习成果进行评价的手段和方式。

在确定评价方法时，教师应该根据学习目标和教学内容，设计合理的评价方式。

评价方法既可以是定性的，也可以是定量的，还可以是综合性的。

教师可以采用考试、测验、作业、实验和观察等方式，对学生的知识、技能、思维和情感进行全面评价。

评价结果可以反馈给学生和教师，以促进学生的学习和教师的教学改进。

总结：教案中的学习重心是教师在设计教学过程中要注重的方面。

学习重心包括学习目标、教学内容、教学方法和评价方法四个方面。

19.4、课题学习《重心》教学设计
flash演示悬线法测定线段平衡点位置。

教学反思：
本节“课题学习”，主要是让学生多动手、多实践、多猜想、多论证、多总结。

对于其中一些结论，大胆地鼓励学生进行说理甚至证明，说理证明的形式多样，可口述，可书写，可交流探讨，通过学习，进一步让学生了解规则的几何图形的几何图形的重心就是它的几何中心，体会数学和物理学科之间的联系。

注重对学生以下各能力训练培养：学生的空间想象能力；动手操作能力；实践探究能力；猜想发现能力；说明理由逻辑推理能力。

第十九章 四边形19．4课题学习 重心课前预习篇1．物理实验告诉我们，能使物体保持__平衡 __的支点就是该物体的重心．2．确定物质的重心的方法：（1）平衡法：（2）悬挂法：3．物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心．如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等．线段重心是线段中点 ；．平行四边形的重心是对角线的交点 ；三角形的重心是三条中线的交点 ． 等边三角形重心是高或中线或角平分线交点；正多边形的重心是对称轴的交点 ．不规则的图形（物体）可以通过悬挂法 来确定它的重心．4．三角形的重心定理：三角形的重心到任意一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的 2 倍或三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一．如图：G 是△ABC的重心，则： ⎪⎩⎪⎨⎧====3:2:1::12AD AG GD GE CG GF BG GD AG典例剖析篇【例1】已知：△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC 于点E ，AE 与中线BF 相交于点G ，AE=18 cm,GF=5cm,求BC 的长．【解析】本题要利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线的性质，从而确定点G 是三角形的重心．根据三角形的重心定理，则此题可解．解：因为在△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC ，所以AE 是BC 边的中线．因为AE 与中线BF 相交于点G ，因为AE=18 cm,GF=5cm,所以根据重心定理可得：BG=2GF=10 cm ，GE= 13AE=6 cm ．因为A E ⊥BC ，BG=10 cm ，GE=6 cm ，222AB C E FG所以22106BE=-．因为AE是中线，E是BC的中点，所以BC=2BE=16 cm．基础夯实篇1．判下列说法错误的是（C）A．人体的重心有可能随着人体姿态的变化而改变B．经过平行四边形重心的直线把它分成面积相等的两部分C．规则形状的几何体的重心不一定是它的几何中心D．重心不一定在物体上2．（2010荆门）给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( D)(A)一个(B)两个(C)三个(D)四个3．小明和家在一次外出时，当地的人告诉他，要过独木桥，肩上挑一担重物再过去比空手过去安全，从重心的角度考虑，他们这样做是希望（ A ）A．重心低一点 B．重心高一点C．走得快一点 D．使重心落在桥上4．老翁有一块质地均匀的三角形金块，如何用最简单的方法把金块平均分给他的三个子女？（C）A．先找出三角形金块三边中垂线的交点，再以该点为中心，进行切割B．先找出三角形三个内角平分线的交点，再以该点为中心，进行切割C．先找出三角形三中线的交点，再以该点为中心，进行切割D．先找出三角形三边上的高的交点再以该点为中心，进行切割5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（D ）A．1种B．2种C．4种D．无数种6．在①线段②平行四边形③矩形④菱形⑤正方形⑥等边三角形⑦等腰梯形⑧等腰三角形中，绕它们的重心旋转180度后,所得的图形能与原图重合的有①②③④⑤．7．一个正方形的边长为a，则它的重心G到一个顶点的距离为22．8．已知G是正三角形ABC的重心，AG=3，则该三角形的边长是33．9．已知矩形ABCD中，AB＜BC，重心G到短边的距离为2，矩形的周长为20，则矩形的面积为24．决胜中考篇10．课堂上，老师拿出一根长为50 cm 的圆柱形木棒，要求同学们标出该木棒的重心，小明马上在该木棒的25cm 处标了出来，请问他找出的重心正确吗？答：小明的做法是不对的．如果木棒是质地均匀的，则木棒的重心就是它的几何中心，如果木棒的质地不均匀，则要用悬持法来确定木棒的几何中心．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，G为△ABC的重心，且GC=4，则△ABC的面积为多少？解：因为G为△ABC的重心，所以CD：GC=3：2，CD=BD=12 AB，因为GC=4，所以BD=CD=6，AB=12．因为∠ACB=90°，∠ABC=60°所以△BCD是等边三角形，所以BC=BD=6，∠BAC=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：22AC AB BC=-= 2212663-=所以△ABC的面积为12·AC·BC=18312．如图所示，有一块质地均匀的铁皮，请找出它的重心位置．解：如图，连接BE，根据图中数据可知，BE平分这块铁皮，从而只要再画出一条与BE相交肯平分这块铁皮的直线，它们的交点即为这块铁皮的重心．如图，点O就是所画的铁皮的重心．13．已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，G 是△ABC 的重心．（1）求点G 到直角顶点C 的距离GC ．（2）求点G 到斜边AB 的距离．（1）解：因为在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，所以根据勾股定理得：222AB AC BC =+ 所以AB= 22345+=．因为G 是△ABC 的重心，所以CD 是Rt △ABC 斜边的中线所以CD=12AB=2．5． 因为G 是△ABC 的重心，所以CD ：GC=3：2， 因为CD=2．5,所以GC= 53所以点G 到直角顶点C 的距离GC=53． （2）在Rt △ABC 中，因为AC=4，BC=3，AB=5，所以设AB 边上的高h ，SABC=12AC 12BC=12AB 12h ，所以SABC=6，h= 125． 因为D 是AB 的中点，所以S △ADC=12S △ABC ． 在△ADC 中，因为GD ：CD=1：3，所以S △AGD ：S △ADC=1：3，因为S △ADC=12S △ABC ，所以所以S △AGD ：S △ABC=1：6， 在△AGD 与△ABC 中，因为AD=12AB ，△ABC 中AB 边上的高h= 125，设△ADC 中，AD 边上的高为x,则x:h=1:6，所以x=25,所以点G 到斜边AB 的距离△ABC 中是25．。

《19.4 综合与实践多边形的镶嵌》公开课教学设计教学目标：1.了解平面图形镶嵌的含义和条件，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计；2、通过探索平面图形的镶嵌，会用一种三角形、四边形、或正六边形进行镶嵌，并能够运用这几种图形进行简单的设计；3、经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维，培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力；运用几种图形进行平面镶嵌设计，进一步提升自身的审美意识与创新意识。

4、使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。

5.通过实践体会数形结合的思想，提升自身的思维能力与逻辑推理能力，逐步由形象思维向抽象思维发展。

6.在实践中发现新问题，激发潜能，创造性的解决问题。

教学重点：经历平面镶嵌的探究过程，理解平面镶嵌的条件。

教学难点：通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律——用一种形状、大小完全相同的三角形，形状、大小完全相同的四边形进行平面镶嵌。

教学辅助设备：一体机希沃授课助手几何画板教学方法：多媒体教学法、实验法、讨论法、小组合作探究、展示交流法教学准备：吸铁石若干个课前准备：先让学生预习本节课的内容，然后对于整节课的活动流程有一个初步的了解。

教学过程：活动内容教师活动学生活动设计意图一、创设情境引入课题（5分钟）导入语：拉近与学生之间的距离师：“春秋多佳日，登高赋新诗。

”在这春意盎然、百花盛开的美好时节，我很荣幸能有这次机会来到美丽如画的适之中学东山校区，和生机勃勃的你们共同度过这愉快的40分钟。

同学们，你可知道百花盛开的万花丛中谁最忙吗？师：……毫无疑问当属我们的勤劳的小蜜蜂了。

那同学们知道蜂房截面的形状吗？师：对！你们看这些蜂房之间密密麻麻地排列在一起时有什么规律吗？比如每两个蜂房之间有缝隙吗？有重叠交叉吗？师：瞧！就连我们自然界的小精灵都知道巧妙地利用我们数学几何知识来搭建它们的温馨而又漂亮的新房。

课题学习重心教学设计课题学习重心教学设计教学目标：1、认识几何图形的重心。

2、探究规则几何图形的重心。

3、探究不规则几何图形的重心。

教学重点：寻找几何图形的重心，感受直觉意识。

教学难点：实验活动的规范操作，及寻找三角形的重心。

教学过程：一、情景引入教师操作：拿出一块准备好的木板（四边形）找到一点，用一个手指顶住这一点，木板会保持平衡，告诉学生这一点就是这个几何图形的重心。

教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨。

二、活动与思考问题1：寻找线段的重心。

学生活动：出示学具，一根均匀的木条，用前面所演示的方法去找这条木条的平衡点（分四人小组讨论）。

小组活动：（1）用刻度尺量出平衡点的位置，相互比较。

（2）从相互比较中得出线段的重心：线段的重心就是线段的中点。

教师活动：巡视，并和学生共同试验，发现问题，最后归纳。

问题2：寻找平行四边形的重心。

学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，相互比较。

小组活动：（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，寻找平衡点；（2）互相交流后，找到平行四边形重心是对角线的交点O。

（如图）（3）由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，•可以发现它们的重心也都在它们对角线的交点上。

归纳小结：平行四边形的重心是它的两条对轴线的交点。

问题3：寻找三角形的重心。

学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，发现问题。

小组活动：（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉作为悬挂点。

（2）用下端系有小锤的细线缠绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，•记录垂线的“痕迹”；（3）在另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）（4）在第三个小钉上重复（2）的'活动，观察第三条铅垂线经过点O，•三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边中点，点O就是三角形的重心。

（如图）归纳小结：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。