下载文档原格式
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
绝密★启用前淮南市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 已知集合{}{}(1)2,11A x x x B x x =+≤=->，则A ∩B=A. [1,0-)B. [2,0-)C. (0,1]D. (0, 2] 2．i 是虚数单位，复数22a i z i+=+是纯虚数，则实数a = A. 1- B. 1 C. 4 D. 4- 3．函数sin cos y x x =- 在[,]ππ-上的图象是4. 在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为A. 15 B ．25 C ．35 D ．455.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 17=S 18 ，则在a 18 ，S 35 ，a 17 -a 19 ， S 19 -S 16 这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 x6．为了得到正弦函数y =sin x 的图象，可将函数sin()3y x π=+的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（m>0，n>0），则m n -的最小值是 A. 3π B. 23π C. 43π D. 53π 7．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.32B. 2C. 3D. 928.设61215111245log ,log ,log a b c ===，则 第7题图 A. a <b<c B. c <b <a C. b<a <c D. c <a<b9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于 A. 118 B. 332 C. 29 D. 89 10. 在平行四边形 ABCD 中， AB=2AD 3E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且CF =2FD ，若172AE BF ⋅=-u u u r u u u r ，则∠DAB = A. 30° B. 60° C.120° D.150°11. 双曲线C : 221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，F 1，F 2 分别为双曲线C 的左、右 焦点，I 为△PF 1F 2 的内心，若内切圆I 的半径为1，直线IF 1，IF 2 的斜率分别为k 1，k 2 ， 则k 1 +k 2 的值等于 A.38 B. 38- C. 58- D. 5812. 定义在R 上函数 f (x)满足1(1)()2f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()121f x x =-- . 则使得1()16f x ≤在[,)m +∞上恒成立的m 的最小值是 A. 72 B. 92 C. 134 D. 154第 II 卷（非选择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 题~第23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）13. 已知公比不为 1 的等比数列{}n a ,且236457,23a a a a =+= ,则数列的通项公式_______n a =14．在5()(1)a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =_________.15．过抛物线 y 2 =4x 焦点F 的直线交抛物线于点 A 、B ，交准线于点P ，交 y 轴于点Q ，若PQ FB =u u u r u u u r ，则弦长______AB = .16．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”. 现有阳马S-ABCD , SA ⊥平面 ABCD ，AB =1, AD=3，SA 3= . BC 上有一点E ，使截面 SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于 __________________. 第16题图三、解答题：（本大题满分 60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ ABC 中，三内角 A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin A=2sin B 3= cos A .（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）已知a =2，8AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，求△ ABC 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ACB=∠C 1CB =90 °，∠A 1AC=60 °，D ，E 分别为 A 1A 和B 1C 1的中点，且AA 1 =AC=BC ．（Ⅰ）求证： A 1E //平面BC 1D ；（Ⅱ）求平面BC 1D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．第18题图19.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，原点到直线1x y a b+=的距离等于233，又知点Q(0，3)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C上总存在两个点 A、B关于直线 y =x +m对称，且3QA·QB<28，求实数m 的取值范围．20.（本小题满分12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m的次数填入下面的列联表：试写出a，b，c，d的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护,工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（k N *）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期（以120 天计）内的维护方案：T =30，k =1,2,3,4 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周 期内生产维护费的分布列及期望值.21.（本小题满分12分） 已知函数21()1,2x f x e x ax a R =-++∈ . （Ⅰ）若 f (x)为R 上的增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若a>0，12x x ≠，且 f (x 1 ) +f (x 2) =4，证明： f (x 1+x 2 ) <2.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B. 1 C. 4 D.3.函数在上的图象大致是A.B.C.D.4.在如图所示的算法框图中，若输入的，则输出结果为A. B. C. D.5.设公差不为0的等差数列的前n项和为若，则在，，，这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.为了得到正弦函数的图象，可将函数的图象向右平移m个单位长度，或向左平移n个单位长度，则的最小值是A. B. C. D.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.B. 2C. 3D.8.设，则A. B. C. D.9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于A. B. C. D.10.在平行四边形ABCD中，，E是BC的中点，F点在边CD上，且，若，则A. B. C. D.11.双曲线C：的右支上一点P在第一象限，，分别为双曲线C的左、右焦点，I为的内心，若内切圆I的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于A. B. C. D.12.定义在R上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的m的最小值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知公比不为1的等比数列，且，，则数列的通项公式______．14.在展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为8，则______．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若，则弦长______．16.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马，平面ABCD，，，，BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若B为锐角，且．Ⅰ求C；Ⅱ已知，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，，，D，E分别为和的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的离心率是，原点到直线的距离等于，又知点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线对称，且，求实数m 的取值范围．20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度单位：天数据，并绘制了如茎叶图：Ⅰ设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入下面的列联表：超过m不超过m改造前a b改造后c d根据中的列联表，能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：，kⅡ工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T天即从开工运行到第kT天进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为万元次；保障维护费第一次为万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元．现制定生产线一个生产周期以120天计内的维护方案：，，2，3，4．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值．21.已知函数．Ⅰ若为R上的增函数，求a的取值范围；Ⅱ若，，且，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；Ⅱ设点A，B分别是曲线，上两动点且，求面积的最大值．23.已知函数其中实数．Ⅰ当，解不等式；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，或，．故选：B．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由是纯虚数，得，即．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当时，，所以，排除选项C．故选：B．根据函数在上是奇函数，排除选项A，D；再根据时，排除选项C．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程，如下；，；，；，；，；，；所以x的值呈现以4为周期的特点，当时，输出结果与时结果相同，为．故选：B．模拟程序的运行过程，得出x的值呈现以4为周期的特点，由此求得时输出结果．本题考查了程序框图的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5.答案：C解析：解：设的首项为，公差为d，由，即，得，，，所以，．，．故选：C．设的首项为，公差为d，由，即，得，可得：，，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，即，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，即，所以的最小值为．故选：B．直接利用三角函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：A解析：解：，，；；；．故选：A．利用换底公式可得出，，容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．9.答案：C解析：解：有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，位同学所报选项各不相同的概率．故选：C．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，由此能求出4位同学所报选项各不相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：C解析：解：如图，结合条件可得，，则，又因为，即有，所以，解得，所以，故选：C．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，代入相关数据即可．本题考查平面向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，属于中档题目．11.答案：B解析：解：如图所示：可设、，设内切圆与x轴的切点是点H，、分别与内切圆的切点分别为M、N，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故，解得．由双曲线C：的，，，由题意可得I的纵坐标为1，即，又，，可得，故选：B．首先推出I的横坐标为a，由双曲线的方程可得a，b，c，求得内心I的坐标，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．12.答案：D解析：解：解：时，；时，，，时，，，时，，，令或者；故或，所以m的最小值为，故选：D．根据条件一步步转化到时，，，画出图象，即可求解结论．本题主要考查抽象函数解析式的求解，分段函数，数形结合思想，属于中档题目．13.答案：解析：解：公比不为1的等比数列，且，，，解得，，数列的通项公式．故答案为：．利用等比数列通面公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：设；令，则，令，则得，，即，求得．故答案为：．给展开式中的x分别赋值1，，可得两个等式，两式相加，再除以2得到答案．本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减，属于基础题15.答案：解析：解：设直线AB的方程为，，，联立得，，把代入得，，把代入得，，，，解得，点B在抛物线上，，，而，由抛物线的定义可知，．故答案为：．设直线AB的方程为，，，将其与抛物线的方程联立，写出两根之和，然后分别把和代入可得点P和Q的坐标，由于，借助平面向量的线性坐标运算可解得，再将其代入到抛物线方程即可求得k的值，最后利用抛物线的定义求得焦点弦的长度．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还涉及平面向量的线性坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：将平面ABCD沿BC折至，使SBC与共面，连接交BC于E，连接ED，此时周长最短，作交AD于F，则或其补角即为所求角，在中，求得，由得，在中，求得，在中，，故SE与CD所成角的余弦值等于．故答案为：．【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点E，然后利用平移法作出异面直线所成的角，不难求解．此题考查了侧面展开找最值，异面直线所成角，线面垂直等，难度适中．17.答案：解：Ⅰ，，可得，，或，为锐角，，即，．Ⅱ，可得，可得，，可得：，又根据正弦定理，及，，可得：，解得，可得，将代入，可得，可得，．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B为锐角，可求，即可求解C的值；Ⅱ利用平面向量数量积的运算结合，可得，又根据正弦定理及已知可求，联立可求，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ如图1，取线段的中点F，连接EF，DF，为的中点，，又D为的中点，，，四边形为平行四边形，，又DF在平面内，不在平面内，平面；Ⅱ作于点O，由，得，，即O为AC的中点，，，，又，平面，从而有，又，，平面ABC，故可以点O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图2，令，则，，，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面ABC的一个法向量为，设平面与平面ABC所成锐二面角为，则，平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．解析：Ⅰ先根据，可知四边形为平行四边形，由此，进而得证；Ⅱ先证明平面ABC，由此可以O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面ABC的法向量，再利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，，且，解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ由题意设直线AB的方程为：，联立，整理可得：，由可得，设，，则，，又设AB的中点，则，，由于点M在直线上，所以，可得，代入，可得，解得，因为，，所以，由，得，解得，所以，即，由可得，所以实数m的取值范围为解析：Ⅰ由椭圆的离心率及原点到直线的距离及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ由题意设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，及判别式大于0，可得参数的范围，进而求出AB中点的坐标，而中点在直线上，代入可得参数的关系，再求以，再由题意可得m的范围．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，和数量积的应用，属于中档题．20.答案：解：由茎叶图的数据可得中位数，根据茎叶图可得：，，，，超过m不超过m改造前515改造后155根据中的列联表，，有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，正常维护费为万元，保障维护费为首项为，公差为的等差数列，共次维护需要的保障费为万元，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，则，，，，，XX2 4P故E万元，解析：Ⅰ由茎叶图里面的数据得到中位数m，列出表格如下图，根据的二维联表求出判断即可；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，写出分布列，求出数学期望即可．本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图求中位数等，考查数学运算能力和实际应用能力，中档题．21.答案：Ⅰ解：，若在R上为增函数，则恒成立，即恒成立，设，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，故，实数a的取值范围为；Ⅱ证明：若，由Ⅰ知在R上单调递增，由于，已知，，不妨设，设函数，，则，则，设，则，由于，故在上为增函数，，在上为减函数，，，而在R上为增函数，，故，从而，即．解析：Ⅰ依题意，恒成立，即恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可；Ⅱ设函数，，利用导数可知在上为减函数，则，进而得，再结合函数的单调性即得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为其中为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．Ⅱ由Ⅰ得：曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，设，，所以，当时，面积的最大值为6．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用极径的应用和三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，则等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为；Ⅱ证明：由函数其中实数，可得，当且仅当时，上式等号成立．于是原不等式成立．解析：Ⅰ可得，由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ可结合绝对值不等式的性质和基本不等式，化简即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2017高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x ∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d 的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B 错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解(1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解(1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
