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2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={m, 4, 7}，若A ∩B ={1, 4}，则A ∪B =________．2. 若复数z =1+3i 1−i （i 为虚数单位），则|z|=________．3. 已知双曲线x 2m−y 28=1的离心率为√3，则实数m 的值为________．4. 一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：[10, 20]，2；(20, 30]，3；(30, 40]，4；(40, 50]，5；(50, 60]，4；(60, 70]，2．则样本在(10, 50]上的频率是________．5. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于________．6. 设函数f(x)=αsinx +x 2，若f(1)=0，则f(−1)的值为________．7. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA =4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为________．8. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．9. 已知tan(α+β)=25，tanβ=13，则tan(α+π4)的值为________．10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−3，a k+1=32，S k =−12，则正整数k =________．11. 已知正数x ，y 满足x +2y =2，则x+8y xy的最小值为________．12. 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →=2GO →，设CD → // AG →，若AD →=15AB →+λAC →(λ∈R)，则λ的值为________．13. 已知函数f(x)={(2x−x2)e x，x≤0，−x2+4x+3，x>0，g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________．14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3, 0)在圆C:x2+y2−2mx−4y+m2−28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)＝6cos2x−2√3sinxcosx．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA=45，求a和sinC．16. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60∘，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1 // 平面A1DC．17. 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求θ的值，使体积V最大.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上不同的三点，A(3√2, 3√22)，B(−3, −3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →⋅ON →为定值并求出该定值．19. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，且(S n+1+λ)a n =(S n +1)a n+1对一切n ∈N ∗都成立．（1）若λ=1，求数列{a n }的通项公式； （2）求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 20. 已知函数f(x)=mx −αlnx −m ，g(x)=ex e x，其中m ，α均为实数．（1）求g(x)的极值；（2）设m =1，α<0，若对任意的x 1，x 2∈[3, 4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求a 的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x 0∈(0, e]，在区间(0, e]上总存在t 1、t 2(t 1≠t 2)，使得f(t 1)=f(t 2)=g(x 0)成立，求m 的取值范围．选修4-1：几何证明选讲 三、附加题【选做题】在21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，第25题、第26题必做题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB =AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDAB =ABBE ．选修4-2：矩阵与变换22. 已知M =|1221|，β=|17|，计算M 5β．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −2|−|α2−2α|，若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数α的取值范围．[必做题]第25、26题，每题10分，共计20分。
南通数学网 初高中课件、教案、习题应有尽有 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 江苏南京 王刚 整理提供一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B).2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意2(52i)=25+20i 42120i z =+-=+，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B).3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解，220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【考点】流程图 (A).4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 【答案】13【解析】从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概念为2163P ==. 【考点】古典概型 (B).5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ . 【答案】6π 【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=， 所以2236k ππϕπ+=+或252()36k k ππϕπ+=+∈Z ，即22k πϕπ=-或2()6k k πϕπ=+∈Z . 又0ϕπ≤<，所以6πϕ=.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). （三角函数图象的交点与已开始 0←n 1+←n n 202>n输出n 结束 （第3题）NY知三角函数值求角）6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015+0.025)⨯10⨯60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图）7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q q =+，4220q q --=， 解得22q =或21q =-（舍），所以4624a a q ==. 【考点】等比数列 (C). （等比数列的通项公式）8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为1r 、1h ，2r 、2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =， 又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 ▲ . 255【解析】圆4)1()2(22=++-y x 的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). （直线与圆相交的弦长问题）10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .组距频率100 80 90 110 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6题）【答案】2,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x在[],m n上恒小于0的充要条件为()0,()0.f mf n<⎧⎨<⎩开口向下的二次函数()f x在[],m n上恒大于0的充要条件为()0,()0.f mf n>⎧⎨>⎩22()0,2(1)0.230.2mf mmf mm⎧<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈ ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州何睦）【考点】一元二次不等式(C). （一元二次方程根的分布、二次函数的性质）【变式】变式1已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意()1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22（江苏苏州何睦）变式 2 已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意[)1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ .⎥⎦⎤⎝⎛-0,22（江苏苏州何睦）变式3 已知函数,1)(2-+=mxxxf若存在]1,[+∈mmx，使得0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,23（江苏苏州何睦）变式 4 已知函数12)(2++=xxxf，若存在实数t，当],1[mx∈时，xtxf≤+)(恒成立，则实数m的最大值是__________ . 4 （江苏苏州陈海锋）变式5 若关于x的不等式012≥-++mmxx恒成立，则实数=m________. 2（江苏苏州陈海锋）变式6 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时,2)(xxf=,若对任意的]2,[+∈t tx，不等式)(2)(xftxf≥+恒成立，则实数t的取值范围是________.[)+∞,2（江苏苏州陈海锋）11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy+=2(a，b为常数)过点)5,2(-P，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①，又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.【考点】导数的几何意义 (B).12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u ur u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ . 【答案】22【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP u u u r u u u r向量用基底,AB AD u u u r u u u r表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，34BP BC CP AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅u u ur u u u r ，故22AB AD ⋅=u u u r u u u r . （江苏苏州 何睦）解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+u u u r ，(6,)BP a t =-u u u r. 由2AP BP ⋅=u u u r u u u r，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，所求822AB AD a ⋅==u u u r u u u r. （江苏苏州 何睦）【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可知1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =的图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象有4个交点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. A B DP（第12题）（江苏扬州 孟伟业）【考点】函数与方程 (A)，函数的基本性质 (B). （函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ . 62-【解析】由正弦定理得22a b c =，由余弦定理结合基本不等式有： 2222222222231231(2242242cos 2222a b a b a b a b a b cC abab ab ab ++-+++-====2231226242a b -≥=，当且仅当6a =时等号成立. （江苏苏州 何睦） 【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B)，基本不等式 (C). 变式1 △ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.21（江苏无锡 张芙华） 变式2 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A CB B AC C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=，若2ab c的最大值为_______. 23（江苏无锡 张芙华） 变式3 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是________． []5,2 （江苏苏州 陈海锋）变式4 已知三角形ABC ∆的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是_________. (]72,62（江苏南通 丁勇）拓展 在△ABC 中，已知(),0,1m n ∈，且sin sin sin m A n B C +=，求cos C 的最小值. 解：由正弦定理得ma nb c +=，由余弦定理结合基本不等式有：222222222(1)(1)21cos [(1)(1)]222a b c m a n b mnab a bC m n mnab ab b a+--+--===-+--22(1)(1)m n mn --.（当且仅当2222(1)(1)m a n b -=-时等号成立）.（江苏常州 封中华）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.(1) 因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α5，所以cos α＝2251sin α-.故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α2252510⎛+= ⎝⎭. (2) 由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝525425⎛=- ⎝⎭， cos2α＝1－2sin 2α＝1－25325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝3314433525⎛+⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考点】同角三角函数的基本关系式 (B)，两角和（差）的正弦、余弦及正切 (C)，二倍角的正弦、余弦及正切 (B)，运算求解能力.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 满分14分.(1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，（第16题）PDCEFBA所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B)，两平面平行、垂直的判定及性质 (B)，空间想象能力和推理论证能力.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c .(1) 因为()0,B b ，所以222BF b c a =+=，又22BF =故2a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=.(2) 解法一（官方解答）：（垂直关系的最后表征）因为()0,B b ，2(,0)F c 在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为1x yc b+=. 解方程组22221,1,x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()2122221222,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为直线1F C 的斜率为()()()22222222322023b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1F C AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又222b a c =-，整理得225a c =. F 1 F 2Oxy BCA故215e =，因此5e =.解法二：（垂直关系的先行表征）设000012(,),(.),(,0),(,0)C x y A x y F c F c --， 由1,FC AB ⊥得001y b x c c ⋅=-+-，由A 在2BF 上，则001x y c b-+=； 联立20000,.cx by c bx cy bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩解得：20222022,2.ca x b c bc y b c ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又00(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程整理得2242224(2)c a c a c +=-，即225a c =， 所以椭圆的离心率为5e =【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B)，直线的平行关系与垂直关系 (B)，直线方程 (C)，运算求解能力. （椭圆的标准方程、椭圆的离心率）18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分16分.解法一（官方解法一）：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy . 由条件知()()0,60,170,0A C ， 直线BC 的斜率4tan 3BCk BCO =-∠=-.170 m60 m 东北OA BM C170 m60 m xyOA BM C（第18题）又因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =. 设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得80,120a b ==.所以22(17080)(0120)150BC -+-. 因此新桥BC 的长为150m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d = m (060)d ≤≤. 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即2236806803543d dr --==+. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以80(60)80r d r d -≥⎧⎨--≥⎩，，即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩，解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二（官方解法二）：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F . 因为4tan 3FOC ∠=，所以4sin 5FOC ∠=，3cos 5FOC ∠=.因为OA = 60，OC = 170，所以680tan 3OF OC FOC =∠=，850cos 3OC CF FOC ==∠. 从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=.从而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD r = m ，OM d = m (060)d ≤≤. 因为OA OC ⊥，所以sin cos CFO FCO ∠=∠. 故由(1)知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，170 m60 m xyOA BM C（第18题）F D所以80(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩, 即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩,解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大.(1)的解法三：连结AC ，由题意知6tan 17ACO ∠=，则由两角差的正切公式可得： 2tan tan()3ACB BCO ACO ∠=∠-∠=，故cos 150BC ACB AC =∠⋅= m. 所以新桥BC 的长度为150m. （江苏苏州 何睦）(2)的解法三：设BC 与圆切于点N ，连接MN ，过点A 作//AH BC 交MN 于点H . 设OM a =，则60AM a =-，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ， 那么80(60)80r a r a -≥⎧⎨--≥⎩，解得1035a ≤≤. 由4tan tan 3AMH OCN ∠=∠=，可得3(60)5MH a =-，由(1)的解法二可得100AB =，所以33100(60)13655MN x x =+-=-+，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a =时取得半径的最大值.综上可知，当10OM = m 时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立.因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31e x x g x a x '=-+-.当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)03x ⎡∈⎣，此时3030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在03x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为03x ⎡∈⎣，000032000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在03x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小.令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. (本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【解析】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.(1) 证明：由已知，当1n ≥时，111222n n n n n n a S S +++=-=-=，于是对任意的正整数n ，总存在正整数1m n =+，使得2n n m S a ==，所以{}n a 是“H 数列”.(2) 解法一（官方解答）：由已知，得2122S a d d =+=+，因为{}n a 是“H 数列”，所以存在正整 数m ，使得2m S a =，即()211d m d +=+-，于是()21m d -=.因为0d <，所以20m -<，故1m =，从而1d =-. 当1d =-时，2n a n =-，()32n n n S -=是小于2的整数，*n ∈Ν.于是对任意的正整数n ，总存在正整数()3222n n n m S -=-=-，使得2n m S m a =-=，所以{}n a 是“H 数列”，因此d 的值为1-.解法二：由{}n a 是首项为1的等差数列，则1(1)m a m d =+-，22n n n S n d -=+，又数列是“H 数列”，不妨取2n =时，存在满足条件的正整数m ，使得1(1)2m d d +-=+，即(2)1m d -=，（i ）当3m ≥时，此时0d >，不符合题意，应舍去； （ii ）当2m =时，不存在满足条件的d ；（iii ）当1m =时，1d =-. 此时数列{}n a 的通项公式为2n a n =-， 下面我们一起来验证{}n a 为“H 数列”:2n a n =-；232n n n S -=，此时2432n n m -+=，容易验证m 为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设1(1)m a m d =+-；又等差数列{}n a 的前n 项和22n n nS n d -=+；由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，21(1)2n nm d n d -+-=+（*）；那么m 随着n 的变化而变化，可设满足函数关系式()m f n =.又0d <，那么要使（*）对任意自然数n 恒成立，则21()2m f n n Bn C ==++；代入得：221(1)(1)222d n n d Bnd d Cd n d ++-+=-+，即有1210d Bd d Cd ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩； 又当1n =时，1m n ==，即112B C ++=，由此可以解得3,22B C =-=,1d =-. 此时2n a n =-. （江苏苏州 王耀）解法四：,n m n N S a ∀∈=，所以1(2)n m S a n '-=≥，由题意得1n n S S -≤，所以m m a a '≤，即m m '≥. 对于任意的n ，存在,m m '使得n m m a a a '=-， 即1(1)1(1)[1(1)]n d m d m d '+-=+-=+-， 化简可得11n m m d'=--+.（*） 当1d <-时，此时1d不是整数，此时（*）式不满足； 当10d -<<时，此时11d ->，而0m m '-≥，所以113n m m d'=--+≥恒成立，不对n N ∀∈恒成立，所以1d =-. （江苏兴化 顾卫）解法五：由}{n a 是首项为1的等差数列，且数列}{n a 是“H 数列”，则2221S a a =+>，又0d <，所以22111S a a =+==，则20a =，从而211d a a =-=-，此时2n a n =-，21322n S n n =-+，由n m S a =得，2342n n m -+=为正整数，从而数列}{n a 是“H 数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()*11111()n a a n d na n d a n =+-=+--∈Ν. 令()()11,1n n b na c n d a ==--，则*()n n n a b c n =+∈Ν. 下证{}n b 是“H 数列”.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()()*112n n n T a n +=∈Ν， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得n m T b =，所以{}n b 是“H 数列”. 同理可证{}n c 也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得*()n n n a b c n =+∈Ν成立.解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列{}n b 中若111b d =-时, {}n b 是“H 数列”， 则1111(1)2n b b n d b b n =+-=-. 同理等差数列{}n c 中若121c d =时，{}n c 是“H 数列”，121(1)n c c n d c n =+-=. 任意的等差数列{}n a ，则可表示为n a An B =+. 令11b c A -+=，12b B =，此时12B b =，12B c A =+.所以对任意的等差数列{}n a ，总存在两个等差“H 数列”{}n b 和{}n c ， 使得*()n n n a b c n N =+∈成立.【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．【解析】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力. 本小题满分10分.证明：因为,B C 是圆O 上的两点，所以OB OC =. 故OCB B ∠=∠.又因为,C D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故,B D ∠∠为同弧所对的两个圆心角， 所以B D ∠=∠. 因此OCB D ∠=∠.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 【解析】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解：由已知，得1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α，1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α. 因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24,y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩ 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以72x y +=.(第21—A 题)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解析】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解法一（官方解答）：将直线l 的参数方程21,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =， 得222(2)4(1)22+=-. 解得120,2t t ==-所以1282AB t t =-=解法二：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4x y y x +=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，或97.x y =⎧⎨=-⎩，即交点,A B 分别为()1,2和()9,6-，所以22(19)(26)8 2.AB =-++= （江苏镇江 陈桂明） 解法三：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4,x y y x +=⎧⎨=⎩ 消去y 有21090x x -+=，则121210,9x x x x +==.所以2212121()411100368 2.AB k x x x x =++-+-=（江苏镇江 陈桂明）D ．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【解析】本小题主要考查算术－几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分10分.证明：因为0,0x y >>，所以223130x y xy ++≥， 故222233(1)(1)339x y x y xy x y xy ++++≥.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分10分.解：(1) 取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以222432296315.3618C C C P C ++++=== (2) 随机变量X 的所有可能的取值为2,3,4.{}4X =表示的随机事件是取到的4个球是4个红球，故44491(4)126C P X C ===；{}3X =表示的随机事件是取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球，故313145364913(3)63C C C C P X C +===；于是13111(2)1(3)(4)1.6312614P X P X P X ==-=-==--= 所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望120()234.14631269E X =⨯+⨯+⨯=23. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.(1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以12)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令=)(x g n *1),()(N n x xf x nf n n ∈+-所以x x xf x f x g cos )()()(101=+=，又)()()()1()()()()(111x g x xf x f n x f x x f x f n x g n n n n n n n++-=++='++'=' 故ΛΛ,sin )(,cos )(,sin )()(4312x x g x x g x x g x g -=-=-='= 所以)()(4x g x g n n =+，即22)4(=πn g ，命题得证.（江苏南通陆王华）。
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第15 题第20题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，此中 s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，此中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知会合A{ 2 ， 1，3，4} ， B{1，2，3} ，则A I B _______ ．【答案】 {1，3}【分析】由题意得 A I B {1,3} ．（ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2( i 为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】 21【分析】由题意z(52i) 225 2 52i(2i) 22120i，其实部为 21．（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _______．【答案】 5【分析】此题本质上就是求不等式2n20的最小整数解．2n20整数解为 n5，所以输出的 n 5．（ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 _______．【答案】132 个数共有 C42【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取6种取法，此中乘积为 6 的有1,6和2,3两种取法，所以所求概率为P2 1 ．63（ 5）【 2014年江苏， 5， 5 分】已知函数y cosx 与y sin(2 x)(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 _______ ．3【答案】6【分析】由题意 cos sin(23) ，即 sin(2) 1 ， 2k( 1)k， (k Z ) ，因为 0，所33236以．6（ 6）【 2014 年江苏， 6， 5 分】为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm．【答案】 24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025) 10 6024 ．（ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 1 ，a 8 a 6 2a 4 ，则 a 6 的值是 ________．【答案】 4【分析】设公比为 q ，因为 a 21 ，则由 a 8a 6 2a 4 得 q 6 q 42a 2 ， q 4 q 2 2 0 ，解得 q 22 ，所以a 6 a 2 q 4 4 ．（ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1 ，S 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，若它们的侧面积相等，且S 19，则V 1的值是 _______．S 24V 2【答案】32r2h r 2S9 【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1 ， r 2、h 2 ，则 2 r 1 h 12 r 2 h 2 ，1，又11，所h 2r 1S 22r 24以r 1 3V 1r 12 h 1r 12 h 1 r 12 r 2r 1 3r 22 ，则r 22 h 2 r 22 h 2 r 22 r 1 r 2 ．V 2 2（ 9）【 2014 年江苏， 9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为 ________．【答案】 2 555【分析】圆 (x2) 2 ( y 1)2 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为 r 2 ，点 C 到直线 x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3 ，所求弦长为 l 2 r 2 d 2 24 9 2 55 ． d12 2255 5 （ 10）【 2014 年江苏， 10， 5 分】已知函数 f ( x)x 2 mx 1 ，若对随意 x [ m ，m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【答案】2 ，2【分析】据题意 f (m)m 2 m 2 1 0，解得2 m 0 ．f (m 1) (m1)2 m(m 1) 1 0 2（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2bx ( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ________． 【答案】3【分析】曲线y ax 2b过点 P(2, 5) ，则 4ab 5 ①，又 y ' 2ax b 2 ，所以 4a b 7②，由①②解得x2x42a1，所以 ab2 ．b 1（ 12）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB 8，AD 5 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuurCP 3PD ， BP 2 ，则 AB AD 的值是 ________．AP【答案】 22 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur【分析】由题意， AP AD DP AD AB ，BP BC CP BC 4 CD AD AB ，4 3 uuur 1 uuur 4uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2所以 AP BP ( AD AB) (AD AB) AD AD AB AB ，4 4 2 16即 2 1 uuur uuur 3 uuur uuur25 AD AB 16 64 ，解得 AD AB 22．21（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x [0 ，3) 时，2．2f ( x) x 2x若函数 y f ( x)a 在区间 [ 3 ，4] 上有 10 个零点 ( 互不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 10 ，2【分析】作出函数f ( x)x22x 1 , x [0,3) 的图象，可见 f (0)1，当 x 1时， f ( x)极大1 ，222f (3)7，方程 f (x) a 0 在 x [ 3,4] 上有 10 个零点，即函数y f ( x) 和图象与直线2ya 与函数ya 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，因为函数f ( x) 的周期为 3，所以直线f ( x)x 2 2 x 1 , x [0,3) 的应当是4 个交点，则有 a (0, 1 ) ．22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若 ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是 _______ ．【答案】6 24a 2b 22a 2b 2( a2b )2【分析】由已知 sin A2sin B 2sin C 及正弦定理可得 a2b 2c ， cosCc 22ab2ab3a22b 22 2ab2 6ab 22ab6 2，当且仅当 3a 22b2，即 a2时等号成立， 所以 cosC8ab8ab4b3的最小值为6 2 ．4二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出必需的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．（ 15）【 2014 年江苏， 15， 14 分】已知， ， sin 5 ．25（ 1）求 sin4的值；（ 2）求 cos62的值．解：（ 1）∵2， ，sin 5，∴ cos1 sin 22 5 ，55sinsin coscos sin2(cos sin)10 ．444210（ 2）∵ sin 22sincos4，cos 2cos 2 sin 23 ，55∴cos62cos 6 cos2sinsin 233 14 3 3 4 ．6 25 2 5 10（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14 分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ，PA 6，BC 8，DF 5 ．（ 1）求证：直线 PA ∥平面 DEF ；（ 2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．解：（ 1）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点∴ DE ∥ PA ∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF ∴PA ∥平面 DEF ．（ 2）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点，∴ DE1PA3∵E ，F 为 AC ，AB 中点，∴EF1BC 4 ，2，∴ DE ⊥ EF ，∵2∴222，∴，，∴，DEEFDFDEF90°DE //PA PA ACDEAC∵ ACI EF E ，∴ DE ⊥平面 ABC ，∵ DE 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．（ 17）【 2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 1 2 y 21(a b 0)的左、2分别是椭圆 x22F ，Fab右焦点，极点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结2C ，BF 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点连结 FC 1 ．（ 1）若点 C 的坐标为4 1，且 BF 22 ，求椭圆的方程；3 ，3（ 2）若 FC 1AB ，求椭圆离心率 e 的值．4 1 16 1解：（ 1）∵ C9922 2 2 2( 2)2 22，，∴ a 2b 22b c a ，∴a，∴ b 1 ，3 39，∵ BF∴椭圆方程为x 2y 2 1 ．（ 2）设焦点 212A Cx 轴对称，∴A(xy)，∵ ， ，， 对于∵2b b y ，即 bx cy bc 0 ①B ，F ，A 三点共线，∴cx∵ 1AB ，∴ x yb1 ，即xc byc20 ②ccFCx ca 2a 2 c 2bc 2 ①②联立方程组，解得b 2c 2∴ C2bc 2b 2 2 ， 2 2yc b cb 2c 2a 2c22bc 22C 在椭圆上，∴b 2c 2b 2c 222c55a 2b 2 1 ，化简得 5c a ，∴ a 5 , 故离心率为 5 ．（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥 ，规划建一座新桥 ，同时建立一个圆形保护区．规OABC划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的界限为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两头 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m ．经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处 ( OC 为河岸 ) ， tan BCO 43 ．（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系xOy ．由条件知 A (0, 60) ， C (170, 0) ，直线 BC 的斜率 k BC－tan BCO4 ．3又因为⊥，所以直线 的斜率k AB3．设点 B 的坐标为 ( a , b ) ，AB BCAB4则 k BC = b 04， kAB =b603，解得 a =80， b=120．a 1703a 04所以 =22．所以新桥 的长是 ．BC(17080)(0120) 150 150 mBC（ 2）设保护区的界限圆M 的半径为 r m,OM =d m,(0 ≤ d ≤60) ．由条件知，直线BC 的方程为 y4( x 170) ，即 4 x 3y680 0，3| 3d 680 |680 3d ．因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是 r ，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，5 5rd ≥ 806803dd ≥ 805，解得 10≤ d ≤35．所以 ，即r (60 d ) ≥ 80 3d680 (60 d ) ≥ 805故当 d =10 时 , r 6803d最大，即圆面积最大． 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二： 5（ 1）如图，延伸 OA , CB 交于点 F ．因为 tan ∠ BCO = 4 ．所以 sin ∠ FCO = 4 ，cos ∠ FCO = 3．3 5 5 因为 OA =60, OC =170，所以 OF =OC tan ∠ FCO = 680． CF = OC 850 ，3 cos FCO 3进而500 ．因为 ⊥ ，所以 ∠ ∠4，又因为⊥ ，所以=AF OF OAcos AFB =sin AB BCBF AF3OA OC FCO = 5cos ∠ AFB ==400，进而 BC =CF －BF =150．所以新桥 BC 的长是 150 m ．3（ 2）设保护区的界限圆 M 与 BC 的切点为 D ，连结 MD ，则 MD ⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m ，OM =d m(0≤ d ≤60) ．因为 OA ⊥ OC ，所以 sin ∠ CFO =cos ∠ FCO ，故由（ 1）知， sin ∠ CFO =MDMD r 3所以 r 680 3d ．MFOF OM680 d 553因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于80 m ，rd ≥ 80680 3dd ≥ 80510≤ d ≤ 35所以，即，解得 ，r (60 d ) ≥ 80 680 3d(60 d ) ≥ 805故当 d =10 时， r6805 3d最大，即圆面积最大．所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．f (x) e x e x 此中 e 是自然对数的底数．（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若对于 x 的不等式 mf x ≤ e x m1在 (0 ，)上恒成立，务实数m( )的取值范围；（ 3）已知正数 a 知足：存在[1，a(x 3a 1 与a e 1的大小，并证明x) ，使得 f ( x )3x ) 成立．试比较 e你的结论．解：（ 1）xR ，f (x ) e xe xf ( )x ，∴ f (x) 是 R 上的偶函数．（ 2）由题意， xxxxxxxx(e e )≤e m 1，即m(ee 1)≤ e 1，∵x (0 ，) ，∴e e 1 0 ，m即 m ≤x e xx 1对 x(0 ， ) 恒成立．令te x ( 1)，则 m ≤21 t对随意 t (1，) 恒成立．ee1ttt 1∵t 21 t1 (t2t11) 1 11≥ 1，当且仅当 t 2 时等号成立，∴ m ≤ 1 ．t1)(tt 1t 11 33'( ) e xe x（ 3） f ，当时∴在 ，上单一增， 令 h( x)33x) ，，x 1f '( x)f (x)) a( x3ax( x 1)(1h'( x)∵ a0 ，x 1，∴ h '(x)0 ，即 h( x) 在 x (1，) 上单一减，∵存在 x 0e-1∵ lnaa 1ea1e2[1，ln a e 11e ．当 ) ，使得f ( x 0 ) a( x 0 33x 0 ) ，∴ f (1) e 1 2a ，即 a1 e 1 ． e2 eln e a 1 (e 1)ln a a 1 ， 设 m(a) (e 1)ln a a1 ， 则 m'(a)e1 1 e 1 a ，a a1 e 1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单一增；当 a e1 时， m'(a ) 0 ， m(a ) 单一2e减，所以 m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ；当1e 1 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1；当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ．2 e（ 20）【 2014 年江苏，20，16 分】设数列 { n} 的前 n nn ，总存在正整数nm，a 项和为 S ．若对随意的正整数m ，使得 Sa 则称 { a n } 是“ H 数列”．（ 1）若数列 { n }nnN )na 的前 n 项和 S 2 (n ，证明： { a } 是“ H 数列”；（ 2）设 a} 是等差数列，其首项 a1，公差 d．若 { a }是“ H 数列”，求 d 的值；{ n1n（ 3）证明：对随意的等差数列{ a n}nn，使得 a nnnN)成立．解：（ 1）当 n ≥ 2 时，，总存在两个“ H 数列” { b } 和 { c }bc (na nnn 12n2 n 12n 1 ，当n 1 时，11，S Sa S 2∴n 1 时，11na n 1，∴n} 是“ H 数列”．S a ，当 n ≥ 2 时， S{ a（ 2） n1n(n 1) d nn(n 1) dn N ， m N nmn n(n1)d 1 (m 1)dS na，对，22使 Sa ，即21取 n 2 得 1 d( m 1)d ， m 2 ，∵ d 0 ，∴ m 2 ，又 m N ，∴ m 1，∴ d1．d（ 3）设 ad ，令 b a (n 1)a (2 n) a ，对 n N， b b a c (n 1)(a d)，{ n} 的公差为 n111n 1n1， n1对 n N ， c c a d ，则 b c na 1(n 1)d a ，且 { b } ，{c } 为等差数列．n 1n1nnnnn的前 n 项和 T nna 1 n( n 1) ( a 1 ) ，令n1，则 mn(n 3)2 ．{ b }2T (2m)a2当 n 1时 m1；当 n 2 时 m 1；当 n ≥ 3 时，因为 n 与 n 3 奇偶性不一样， 即 n(n 3) 非负偶数， m N ．所以对n ，都可找到 m N T b {b } 为“ H 数列”．，使 n m 成立，即 n{c n } 的前ｎ项和 R nn(n1)(a 1d ) ，令 c n(m 1)(a 1 d ) R m ，则 m n(n 1) 1n22∵对N ， n(n 1) 是非负偶数，∴ mN，即对n N，都可找到 mN，使得Rcnm成立，即 {c n } 为“ H 数列”，所以命题得证．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有 A 、 B 、 C 、 D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第 22、 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前， 请您务势必自己的姓名、 准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点． 3． 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答 ，若多做，则按作答．．．．．． ．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 21-A ）【 2014 年江苏， 21-A ， 10 分】（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径， C 、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB =∠ D ．解：因为 ， 是圆 O 上的两点，所以 = ．故∠ =∠ ．又因为 ,是圆 O 上位于 AB 异侧B COB OCOCBBC D的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠ D ．所以∠ OCB =∠ D ．（ 21-B ）【 2014 年江苏， 21-B ，10 分】（选修 4-2 ：矩阵与变换） 已知矩阵 A1 2112 1， B2，向量，x1yx ，y 为实数，若 A α= B α，求 x ，y 的值．解： A 2 y 2 ， B α 2 y ，由 A α= B α得2 y 2 2，1，y 4 ．y解得 x2 xy 4 y2 xy 4 y ， 2（ 21-C ）【 2014 年江苏， 21-C ， 10 分】（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 lx1 2t ， 的参数方程为2 ( t 为参数 ) ，直线 l 与抛物线 y 2 4x 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长． y22 t2解：直线 l ：x y 3 代入抛物线方程 y 2 4x 并整理得 x 2 10x 9 0，∴交点 A(1，2) ，B(9， 6)，故| AB | 8 2 ．（ 21-D ）【 2014 年江苏，21-D ，10 分】（选修 4-5 ：不等式选讲）已知 x 0 ，y 0 ，证明： 1 x y 21 x2 y 9 xy ．解：因为 x >0, y >0, 所以 1+x +y 2≥ 3 3 xy 2 0 ，1+x 2+y ≥ 33 x 2 y0 ，所以 (1+ x +y 2)( 1+x 2+y ) ≥ 3 3 xy 2 33 x 2 y =9xy ． 【必做】第 22、 23 题，每题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题 卡的指定地区内 ． ．．．． ．．．．．．． （ 22）【 2014 年江苏， 22，10 分】盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 ；P（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，随机变量 X 表示 x 1 ，x 2 ，x 3中的最大数，求 X 的概率散布和数学希望 E ( X ) ．解：（ 1）一次取 2 个球共有 C 92 36 种可能状况， 2 个球颜色同样共有 C 42C 32 C 22 10种可能状况，∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P10536 18 ．43131（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，则 P( X4)C 4 1；P(X 3)C 4 C 5C 3C 613 ；43C 9126C 963P( X 2) 1 P( X3) P( X4)11 ．∴ X 的概率散布列为： X142 3 4P11 13114 63126故X 的数学希望E(X )2 113 134 1 20 ．14631269（ 23）【 2014 年江苏， 23， 10 分】已知函数 f 0 ( x)sin x (x 0) ，设 f n (x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（ 1）求2 f 1 2 2 f 2 2的值；（ 2）证明：对随意的 n N ，等式 nf n14f n 4 2成立．42解：（ 1）由已知，得 f (x)f (x) sin xcos x sin x ，1x x x 2于是 f 2 ( x)f 1 (x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x，所以 f 1 () 4) 216 xx 2xx 2x 32 2 , f 2 (3 ，2故 2 f 1 ( ) f 2 ( ) 1 ．2 2 2 x 求导，得（ 2）由已知，得 xf (x) sin x, 等式两边分别对 f 0(x) xf ( x) cosx ，即 f 0( x) xf ( x) cos x sin( x 2 ) ，近似可得 2 f 1(x) xf (x) sin x sin(x ) ，123 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos x sin( x3 ) ，4 f 3 ( x) xf 4 (x) sinx sin(x 2 ) ．2下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( xn ) 对全部的 n N * 都成立． （ i ）当 n =1 时，由上可知等式成立．2（ ii ）假定当 n =k 时等式成立 ,即 kf k 1 ( x) xf k (x) sin( x k ) ．2因为 [kf k 1 ( x) xf k (x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x)(k 1) f k ( x) f k 1 ( x),[sin( xk )]cos( x k ) ( xk ) sin[ x ( k 1) ]，所以22( k 1) 22( k 1) f k( x) f k 1( x) sin[ x ] ．2所以当 n=k +1时, 等式也成立．综合 (i),(ii)可知等式 nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( x n ) 对全部的 n N * 都成立．2n *2*令 x 4 ，可得 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 ) sin( 42 ) ( n N ) ．所以 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 )2 ( n N ) ．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱,其中s 为圆柱的表面积,h 为高．圆柱的侧面积公式:=S cl 圆柱,其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． (1）【2014年江苏,1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏,2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位），则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥,因此输出的5n =． （4)【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法,因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=,2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅,()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．(6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．(7）【2014年江苏，7,5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =,8642a a a =+,则6a 的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+,4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8)【2014年江苏，8,5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==,所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．(9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．255【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+,所求弦长为2292552245l r d =--． (10)【2014年江苏,10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，,都有()0f x <成立，则实数m的取值范围是________．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩,解得202m -<<． （11)【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数）过点(25)P -，,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-． （12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中,已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________． 【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-, 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点（互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点,则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏,14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_______．【答案】624-【解析】由已知sin 2sin 2sin A B C +=及正弦定理可得22a b c +=，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==223222262262884a b ab ab ab ab ab +---=≥=,当且仅当2232a b =，即23a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为624-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．(15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，,5sin 5α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-， ()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-．（2)∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2)平面BDE ⊥平面ABC ． 解：(1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°,∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ,∵DE ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面ABC ．(17)【2014年江苏,17,14分】如图,在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，,连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结1FC ． （1)若点C 的坐标为()4133，,且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 解：（1)∵()4133C ，，∴22161999a b+=,∵22222BF b c a =+=,∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线,∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组,解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上,∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =,∴5c a =， 5． （18）【2014年江苏,18，16分】如图，为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1)求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一:（1）如图,以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A （0, 60),C （170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ,所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为（a ，b ），则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． (2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,（0≤d ≤60）．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M （0，d ）到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥,解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大,即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二:（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60，OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m （0≤d ≤60）．因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．(19)【2014年江苏,19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数;(2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，,使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：(1)x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>,则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-,当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--， ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增;当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==,∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->;当e a =时,()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值;(3)证明:对任意的等差数列{}n a ,总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时,112a S ==，∴1n =时,11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．(2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+,对n *∀∈N ,m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+,∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =,∴1d =-．（3)设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-,令1(2)n T m a =-,则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =;当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同,即(3)n n -非负偶数,m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+,令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ,即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立, 即{}n c 为“H 数列”,因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21—A ）【2014年江苏，21—A ，10分】（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明:∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21—B ）【2014年江苏,21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,x y ，为实数,若A α=B α，求x y ，的值．解:222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α,由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C,10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏,21—D ，10分】（选修4-5：不等式选讲)已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以（1+x +y 2）（ 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（22）【2014年江苏,22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球,3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．(2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23)【2014年江苏,23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>,设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值;（2）证明：对任意的n *∈N ,等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解:（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x xf x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭, 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+, 故122()()1222f f πππ+=-．(2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+,类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+,344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i)当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立， 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时，等式也成立．综合(i)，(ii ）可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ）．所以1()()444n n nf f πππ-+=（n ∈*N )．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值X 围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第12题）PDCA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，求x+y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x>0，y>0，证明： 22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)xf x x x=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ，其中x =11ni i x n ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设集合21A x x x R ，，20B x x ≤≤，则A B = ▲．2．若1i1i i m n （m n R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为▲．3．已知双曲线2221(0)4x ya a 的一条渐近线方程为20x y ，则a 的值为▲．4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为▲．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于 2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为▲．6．函数222sin 3cos 4y x x 的最小正周期为▲．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x ≥≤≤，，，则225z x y 的最大值为▲．9．若曲线1C ：43236y x ax x 与曲线2C ：e xy 在1x 处的切线互相垂直，则实数a的值为▲．10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为▲ ．11．已知,66ppq ，等比数列n a 中，11a ，343tan 39a q ，若数列n a 的前2014项的和为0，则q 的值为▲．12．已知函数f(x)＝201,02(1),xx x x ≥，，若((2))()f f f k ，则实数k 的取值范围为▲．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B ，223a bc ，则c ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y ，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ．若PQ PM PN ，则PQ 的最小值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c ，(cos ,cos )n C A ．（1）若m n ∥，3c a ，求角A ；（2）若3sin m n b B ，4cos 5A ，求cosC 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC 中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ，求三棱锥F ABC 的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a ，525S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p ，q a b q ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E:22221(0)x y a b a b 的右准线为直线l ，动直线y kx m (00)k m ，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e （其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk 是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．ABM O P Qlxy（第18题）FB C EA1A 1B 1C （第16题）19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x ；②当6070x ≤≤时，()10076t x x ．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x ，a R ．（1）当0a 时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a 时，设函数()(1)11ag x f x x x ，若实数b 满足：b a 且()1bg g a b ，()22a bg b g ，求证：45b ．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC. B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y 在矩阵A 0112对应的变换作用下得到直线l ，若直线l 过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．（第21-A 题）AEOC D B在极坐标系中，已知点(23,)6P p ，直线:cos()224l p r q ，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC=BC=2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2P A a ，求异面直线P A 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小为55，求PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；（2）若M=123{,,,,}n a a a a ，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．A BCD O P（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．0,12．13．14．15 5．31.6（写成1585也对）6．p 7．7108．129．13e 10．（1）（2）11．9p12．12(log 9,4)13．4 14．335二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C ．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C ．化简，得sin2sin2A C ．………………………………………………2分∵,(0,)A C p ，∴22A C 或22A C p ，从而A C （舍）或2A C p ．∴2B p．………………………………4分在Rt △ABC 中，3tan 3a A c ，6A p．…………………………………6分（2）∵3cos m n b B ，∴cos cos 3sin a C c A b B ．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B ，从而2sin()3sin A C B ．∵A B C p ，∴sin()sin A C B ．从而1sin 3B ．……………8分∵4cos 05A ，(0,)A p ，∴(0,)2A p ，3sin 5A ．……………………10分∵sin sin A B ，∴a b ，从而A B ，B 为锐角，22cos 3B ．………12分∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B=42231382535315．…………………………………14分16．证明：（1）连结1AC ．∵直三棱柱111A B C ABC 中，11AAC C 是矩形，∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点，∴EF ∥BC ．……………2分又∵BC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC 中，1B B 平面ABC ，∴1B B BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B EF ．………………………………6分∵1B B AB B ，∴EF ⊥平面11ABB A ．………………………………8分∵EF 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ．………………………………10分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA ………………………………12分=3211122326a a a ．………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d ，，解得11,2.ad …………………4分∴21n a n ．……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数，由（1）得21p a p ，21q a q ．…………………8分进一步由已知，得21p b p ，21q b q ．………………………………………10分∵{}n b 是等差数列，p q ，∴{}n b 的公差1222q p d q p ．………………12分由211(22)b b b p d p ，得11b ．∴21(1)324n n n n nT nb d ．…………………………………………14分18．解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e ，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b ea a c，化简，得1b ．………2分∵5OQ OM ，∴252a ca ，化简，得25a c ．由222125a b c b a c ，，，解得225,4.a c …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y ．…………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m ，代入2215x y ，得222(51)10550k x mkx m ．……………………………………………8分当△0，22510k m 时，2551M mk x k ，251M my k ，从而点225(,)5151mk mM k k ．……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k ．由221515y x k x y ，，得2222551P kx k ．……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ ，从而22252(51)P M Q mkx x x k ．……………………………………………14分由2222525512(51)k mkk k ，得2m k ，从而2mk ，满足△0．……………15分∴mk 为常数2．………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x 时，(60)1600t ，代入2()(5)10050t x a x ，解得2a ．………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x ΝΝ≤≤≤即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x ΝΝ≤≤≤……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u ，3460u ≤，u R ，则2()6(161780)g u u u ．令()0g u ，解得182461u （舍去），282461(50,51)u ．……………7分当3450u 时，()0g u ，()g u 单调递增；当5160u 时，()0g u ，()g u 单调递减．…………………………………10分∵x Ν，(50)44000M ，(51)44226M ，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x 单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M ．…………………………………14分综上所述，当51x 时，月利润()M x 有最大值44226元．……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)．（1）当0a 时，()ln f x x x ，1()1f x x ，令()0f x 得1x ．………1分列表：x (0,1)1(1,)()f x + 0()f x ↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f ．…………………………………………3分(2) 2221()1ax x af x x x x ．令()0f x ，得20x x a ，记14a ．（ⅰ）当14a ≤时，()0f x ≤，所以()f x 单调减区间为(0,)；…………5分（ⅱ）当14a 时，由()0f x 得12114114,22a ax x ，①若104a ，则120x x ，由()0f x ，得20x x ，1x x ；由()0f x ，得21x x x ．所以，()f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22a a；…………………………………………………………7分②若0a ，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)；③若0a ，则120x x ，由()0f x ，得1x x ；由()0f x ，得10x x ．()f x 的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a．……9分综上所述：当14a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,)；当104a 时，()f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a．………………………………………………………10分（3）()ln(1)g x x （1x ）．由()()1b g g a b 得1ln ln(1)1a b ．∵1a b ，∴11b a (舍)，或(1)(1)1a b ．∵21(1)(1)(1)a b b ，∴2b ．…………………………………12分由()2()2a bg b g 得，1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b ，因为11(1)(1)=12a b a b ≥，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b ，即2111[1]21b b b （）．………………………………………………14分令1(1)b t t ，则211[()]2t t t ，整理，得4324210t t t ，从而32(1)(31)0t t t t ，即32310t t t ．记32()31,1h t t t t t ．2()361h t t t ，令()0h t 得2313t （舍），2313t ，列表：t 23(1,1)323(1,)3()h t +()h t ↘↗所以，()h t 在23(1,1)3单调减，在23(1,)3单调增，又因为(3)0,(4)0h h ，所以34t ，从而45b ．………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∴AD=BC ．从而AD BC ．∴∠ACD =∠BAC. ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD. …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC. ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l 上点(,)P x y ，则0112x xy y ，化简，得2,.x x y y x ……………………………………………4分代入0ax y ，整理，得(21)0a x ay ．……………………………8分将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1．……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为(3,3)，…………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y ，………………………………………8分从而点P 到直线l 的距离为3342622．…………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x ………4分=(1)(1)(1)y xy x ，………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ≤≥≥．………………………………………………8分从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ≤．………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面P AB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥OC ．∵AC=BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且2OA OB OC a ．……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz ．（1）2PA a ，2PO a ．(0,2,0)A a ，(0,2,0)B a ，(2,0,0)C a ，(0,0,2)P a ，22(0,,)22a aD ．…………4分从而(02,2)PA a a ，，22(2,)22CD a a a ，．∵223cos ,323PA CD a PA CD a a PA CD ，∴异面直线P A 与CD 所成角的余弦值的大小为33．……………………………6分（2）设PO h ，则(0,0,)P h ．∵PO ⊥OC ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面PAB ．从而(2,0,0)OC a 是平面P AB 的一个法向量．不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z ，zyxDO A BCP∵(02,)PB a h ，，(22,0)BC a a ，，0,0.n PB n BC ∴2,.ay hz x y 不妨令x=1，则y=1，2a z h ，则2(1,1,)an h ．………………………8分由已知，得22525222OC n a OC n a a h ，化简，得2223h a．∴2222226233PA PO OA a a a ．…………………………………10分23．解：（1）110；………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A,B)有2(21)n n 个．若A B ，并设B 中含有*(1,)k k n k N ≤≤个元素，则满足A B 的有序集合对 (A,B)有100(21)232n n nk kk kk n nn n n k k k C C C 个．…………………6分同理，满足B A 的有序集合对(A,B)有32n n 个．…………………8分故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ．……………………………10分。
2014年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I _______． 【答案】{13}-，【分析】由题意得{1,3}A B =-I ．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【分析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【分析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =和sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【分析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【分析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，测试时间为120分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【分析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【答案】255【分析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-=． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【分析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线和直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【分析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是________． 【答案】22【分析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u u r u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【分析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象和直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =和函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．62-【分析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c =，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=，当且仅当2232a b =，即23a b =所以cos C 62- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π，，，∴225cos 1sin αα=--=， ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并和BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 和直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠， 从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AFcos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 和BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -和e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a aa a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-， 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+．当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 和3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ． 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵和变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2122x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 和抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．测试时间30分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：X 2 3 4P11141363 1126 故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()12444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．（i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以12()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。
