浙大附中专用精品2018届理科数学专题复习试题精选2：函数的定义及其表示(学生版)

浙大附中2018学年第一学期高三数学试卷（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 要完成下列2项调查： ( )①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况. 应采用的抽样方法是 A ．①用随机抽样法 ②用系统抽样法B ．①用分层抽样法 ②用随机抽样法C ．①用系统抽样法 ②用分层抽样法D ．①、②都用分层抽样法2．已知2'()4f x x x =+，且10)3(=-f ，则函数)(x f 等于 （ ）Ａ．23231x x + Ｂ．49123++x x Ｃ．109123++x x Ｄ．123123++x x3． x x y sin 2=，则='y ( )A ．x x sin 2B ．x x cos 2C ．x x x x cos cos 22+D ．x x x x cos sin 22+4．lim +∞→n nn nn n n C C C C 22212210++++++++ 的值是 ( ) A ． 51 B ． 41 C ． 21 D ． 315．设随机变量ξ 服从正态分布N(0,1)，记Φ(x )=P (ξ<x )，则下列结论不正确的是（ ）A ．Φ (0)=0.5B ．Φ(x )=1－Φ(－x )C ．P(|ξ|<a )=2 Φ(a )－1D ．P(|ξ|＞a )=1－ Φ(a )6．设20)()(0)x f x a x x <=⎨⎪+≥⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为( ) A ． 0 B ． 1 C ．12D ． 不存在 7．用数学归纳法证明)12)(1()12(4321++=++++++n n n ，在验证1=n 时等式成立时，等式的左边的式子是 （ ）A ．1B ．21+C ．321++D ．4321+++ 8．xx f x f x x x )5(lim,23)2(lim00--=→→则的值是 ( )A ．415B ．415-C ．35- D ．359．已知随机变量ξ的分布列为：1(),1,2,3,3P k k ξ===则5)D ξ+=（3 ( )A ．6B ．9C ．3D ．410．以边长为1的正六边形的一边为边向外作正方形，以正方形的一边为底向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形一条直角边为边向外作正六边形，……，如此继续无限反复同一过程，则这些正六边形、正方形、等腰直角三角形面积之和为 ( ) A ．3363+ B ．3365+ C ．2365+ D ．235+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，11．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50 ]，5；（50，60 ]，4；（60，70 ] ，2 ；则样本在（50，+∞）上的频率为 ． 12．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ． 13．已知：1()(),2k P k k N ξ+==∈则E ξ= ． 14．设函数xx xx f cos sin cos )(+=，则=)4('πf ．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15． （本小题满分8分）22lim ()2n n pn q n →+∞-=+，且2()px q f x x q+=+，求出实数p ，q 的值，并求2lim ()x f x →．16．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足关系式a 1=a (a >0), a n =1121n n a a --+ (n ≥2, n ∈N )(1) 用a 表示a 2, a 3, a 4; (2) 猜想a n 关于a 和n 的表达式并且用数学归纳法证明17． （本小题满分14分）（1）求xex y sin cos ⋅=的导数．（2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程． （3）若直线x y =与曲线x bx x y 223+-=相切，求b 的值．18．（本小题满分12分） 在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，每支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答.（1）不放回的抽取试题，求只在第三次抽到判断题的概率；（2）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ的概率分布及ξ的期望.浙大附中2018学年第一学期高三数学试卷（一）答 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15． （本小题满分8分）22lim ()2n n pn q n →+∞-=+，且2()px q f x x q+=+，求出实数p ，q 的值，并求2lim ()x f x →．16．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足关系式a 1=a (a >0), a n =1121n n a a --+ (n ≥2, n ∈N )(1) 用a 表示a 2, a 3, a 4; (2) 猜想a n 关于a 和n 的表达式并且用数学归纳法证明．17． （本小题满分14分）（1）求xex y sin cos ⋅=的导数．（2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程． （3）若直线x y =与曲线x bx x y 223+-=相切，求b 的值．18．（本小题满分12分） 在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，每支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答.（1）不放回的抽取试题，求只在第三次抽到判断题的概率；（2）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ的概率分布及ξ的期望.浙大附中2018学年第一学期高三数学试卷（一）答案1． B 2．D 3．D 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．C11．103 12．),43[)2,0[πππ 13．2 14．21- 15．解：p ＝2，q ＝－4，2lim ()x f x →＝1216．解：(1) a 2=a 1a 2+, a 3=a 31a 4+, a 4=a71a 8+; (2) a n =a)12(1a21n 1n -+--；提示：(1) 逐次代入求得a 2, a 3, a 4, (2) 假设n =k 时命题成立，a k =a )12(1a21k 1k -+--, 当n =k ＋1时, a k +1=kk a a +12=a)12(1a 21a )12(1a 221k 1k 1k 1k -++-+⋅----=a )12(1a2kk -+, ∴n =k ＋1时命题成立． 17．解：（1）)'(cos )'(cos 'sin sin x x e x e x y ⋅+=)'(sin cos sin sin sin x e x e x x x ⋅⋅+⋅-= x e x e x x x cos cos sin sin sin ⋅⋅+⋅-=)sin (cos 2sin x x e x -= ．（2） 点)0,1(-在曲线21++=x x y 上， 且 22)2(1)2()1(2'+=++-+=x x x x y 1)21(1|'21=+-=∴-=x y ∴所求的切线方程为：1+=x y ，即 01=+-y x ．（3）设切点为 ),(00y x ， 2232'+-=bx x y⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-∴,1223,2020002030bx x x x bx x ⎩⎨⎧==⇒210b x 或⎩⎨⎧-=-=210b x ，故2±=b ．18．（1）若不放回抽取三道试题有38A 种方法，只在第三次抽到判断题有26A ·12A 种方法．则只在第三次抽到判断题的概率2853812261=⋅=A A A P . （2）若有放回的抽取试题，每次抽取的判断题概率为41，且相互独立．所以在三次抽取中抽到判断题的个数ξ的概率分布为： 6427)41()43()1(6427)43()0(2133======C P P ξξ641)41()3(649)41()43()2(32123======ξξP C P43413)41,3(~=⨯==∴np E B ξξ ．。

2018学年第一学期浙大附中期末考试高一数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1. 17sin 6π=（）A. 12 B. C.12- D. 2.已知函数()()()2log 030x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（） A. 19 B.9 C. 19- D.9- 3.已知向量()2,1a =，(),2b x =-，若//a b ，则a b +等于（）A. ()3,1-B. ()3,1-C. ()2,1D.()2,1-- 4.把函数2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，得到的函数图象的解析式是（） A. 2sin3y x =- B. 2sin3y x = C. 2cos3y x = D. 2sin 32y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 5.函数()33log f x x x =-+的零点所在的区间是（）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D.()3∞，+ 6.已知函数()()2sin1log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是（）A. (],4-∞B. [)4,+∞C. []4,4-D.(]4,4- 7.下面四个函数，其中既在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（） A. tan2y x = B. sin y x = C. cos2y x = D. cos y x =8.O 为坐标原点，向量()1,3OA =，()3,1OB =-，且2AP PB =，则点P 的坐标为（） A. ()2,4- B. 24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 71,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,4- 9.在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 取值范围是（） A. 5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 53,,442ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知()f x 在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（）A. 2-B. 2C.98- D.98 11.已知向量()1,3a =，()2,b m =-，若对于任意t R ∈的恒有a 与2t a b ⋅+平行，则m 的值为（）A. 23 B. 6 C. 6- D. 23-12.在ABC ∆中，已知D 是BC 延长线上一点，若2BC CD =，点E 为AD 线段的中点，34AE AB AC λ=+，则λ=（）A. 14 B. 14- C. 13D. 13- 13.已知函数()y f x =的图象是由sin2y x =向左平移12π得到，则下列结论正确的是（） A. ()()()024f f f << B. ()()()204f f f << C. ()()()042f f f << D.()()()420f f f << 14.函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =++-，则()f x 的值域是（） A.[]1,1- B. 2,1⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C. 21,⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D.21,⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）15.不等式5122x x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集是________________．16.函数1sin 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________________． 17.已知α是第二象限角且4sin 5α=，则tan α=________________．18.函数()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +=________________．19.已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且1a ≠）.当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+，*n N ∈，则n =________________．20.已知函数()2sin sin 2f x x a x a =-++，若()0f x =有实数解，则a 的取值范围是________________．21.在直角坐标系中，如果两点(),A a b ，(),B a b --在函数()y f x =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组），函数()()4cos ,02log 1,0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为________________．22.在ABC ∆中，ACB ∠为钝角，1AC BC ==，CO xCA yCB =+，,x y 为正数且1x y +=.若函数()f m CA mCB-=的最小值为3，则CD 的取值范围为________________．三、解答题（本大题共3小题，23题10分，24题10分，25题12分）23.函数()()sin 0,0,2f x A wx A w πϕϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示. （1）求()f x 的表达式；（2）求()2f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的值域.24.已知向量3sin ,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-. （1）当//a b 时，求22cos 2sin cos x x x -的值；（2）求函数()()()2sin f x x a b a b =++⋅-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，及取得最小值时x 的值.25.已知函数()22f x x x x a =+-，其中a ∈R .（1）若3a =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围.。

知能专练（二） 函数的概念与性质一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }． 首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )，∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0， 又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2a x－2bx ＝2－2ab ，x ＝a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2， 当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2.由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54， 又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.。

2018学年第一学期浙大附中高三数学(理)期中考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知扇形半径为12cm ，弧长为18cm ，则扇形圆心角的弧度数是 （ ） A 、23 B 、32C 、23πD 、32π2．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ）A 、－4B 、－6C 、－8D 、－103．不等式||(12)0x x ->的解集是 （ ）A 、1(,)2-∞ B 、1(,0)(0,)2-∞⋃ C 、1(,)2+∞ D 、1(0,)24．函数f (x )=2－x +1的反函数图象大致是 （ ）5．在(0，2π)内，使cos x ＞sin x ＞tan x 的成立的x 的取值范围是 （ ）A 、 (43,4ππ) B 、 (23,45ππ) C 、（ππ2,23） D 、(47,23ππ)6．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则||n m -= （ ） A 、1 B 、43 C 、21 D 、837．在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件8．若210<<a ，则下列不等式中成立的是 （ ） A 、1)1(log >-a a ； B 、)1sin()1sin(a a ->+；C 、aa ee -+>11)1()1(； D 、2233(1)(1)a a ->+ 9．等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值4，则抽取的是 （ ）A 、a 11B 、a 10C 、a 9D 、a 810．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1+a 2+a 3+…+a n =2n －1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于 （ ）A 、(2n －1)2B 、31(2n －1)C 、4n －1D 、31(4n －1)11．}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列}{n S 中 （ ）A 、任一项均不为0B 、必有一项为0C 、至多有有限项为0D 、或无一项为0，或无穷多项为0 12．已知函数)(x f y =图象如图甲，则x x f y sin )2(-=π在区间[0，π]上大致图象是（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．等差数列{}n a 中，1952=+a a ，405=S ,则1a ＝ ．14．若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，则函数cos sin y a x b x =+的最大值是 ．15．设有两个命题：①关于x 的不等式210mx +>的解集是R ，②函数2()(21)f x m x m=-+是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 ． 16．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为．三、解答题（本大题共6小题，共74分。

第01节 函数及其表示 【考纲解读】【知识清单】1. 函数与映射的概念对点练习：设集合{}=,,A a b c ，{}=0,1B ，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 【答案】2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.对点练习：若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )【答案】B【解析】A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2].3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.对点练习：若函数满足关系式，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A．4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.对点练习：【2017届湖南郴州监测】已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的值是____________. 【答案】42-或【考点深度剖析】函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．【重点难点突破】考点1 映射与函数的概念【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()f x 正确．③中2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中2()x f x x=与()g x x ＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A .【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（ ） A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B．【1-3】下列两个对应中是集合错误！未找到引用源。

专题2.2 函数与导数1. 函数概念不清致误函数的定义域、值域、对应法则是函数的三要素注意(())f g x 与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域.求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错.例1 【2018届北京市汇文实验中学高三九月月考】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数,且()20f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃ 【答案】D 【解析】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号∴函数()f x 在()0-∞，上也为增函数 结合函数()f x 的单调性示意图可得： 20x -<<，或02x << 故选D .点评：本题主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合.由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号，故有()0{0x f x ><或()0{ 0x f x <>；再结合函数()f x 的单调性示意图可得x 的范围. 2.忽视函数的定义域致误函数的定义域是函数的用三要素之一，是研究函数图像与性质的重要依据之一，在研究函数的奇偶性、单调性、极值、图像时，一定要定义域先行，可以避免忽视定义域致错.例2【2018届北京市中关村中学高三十月月考】函数()()2ln 23f x x x =-++的单调递减区间为_____.【答案】()1,3即答案为()1,3.点评：此题考查学生求对数函数及二次函数图象和性质的研究能力,以及会求复合函数的增减性的能力.在完成此类题目时,学生往往会仅仅抓住复合函数单调性的规律： “同增异减”,而不考虑函数的定义域,进而得出错误的结果.3. 将曲线在某点的切线与过某点的切线搞混淆致错在解曲线的切线问题时，一定要注意区分“过点A （x 0,y 0）的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.例3.【2018届北京市育英学校高三开学测试】已知函数()2ln f x x x mx =+．（I ）当1m =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （II ）当0m <时,设()()f x g x x=,求()g x 在区间[]1,2上的最大值． 【答案】（I ）32y x =-；（II ）2ln2m +.【解析】试题分析：(I)当1m =时,求出切点和斜率,根据点斜式写出切线方程.(II)先对函数求导,并求得函数得极值点,通过对m 分类讨论函数的单调区间,由此求得函数在给定区间上的最大值.（2）因为()11mx g x m x x '+=+=, []1,2x ∈,令10mx x +=,则1x m =-, 当1m ≤-时, 101m<-≤,()0g x '≤, ()g x 为减函数,所以()g x 的最大值为()1g m =, 当11m -<<-时, 112<-<时,所以()g x 的最大值为()11ln g m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭, 当102m -≤<时, 12m-≥时, ()0g x '≥恒成立, ()g x 为增函数, 所以()g x 的最大值为()22ln2g m =+.点评：本小题主要考查利用函数的导数求切线方程,考查利用函数的导数求含有参数的函数的最值问题.对于利用函数的导数求切线方程,首先要判断给定点是否在函数的图象上,如果在函数的图象上,则利用导数求得斜率,结合切点可以求得切线方程,若点不在函数图象上,则需要先设出切点坐标,利用导数写出切线方程,代入给定点的坐标来求得切点的坐标,从而求得切线方程. 4.极值的概念不清致误“函数y=f(x)在x=x 0处的导数值为0”是“函数y=f(x)在点x=x 0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f(x)在x=x 0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f(x):x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，即若f ′(x)在方程f ′(x)=0的根x 0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x 0处取极大值；“左负右正”f(x)在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)=0.f ′(x 0)=0是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)=0，又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则易产生增根. 例4 【2018届浙江省诸暨市高三上学期期末】已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）求证函数有唯一的极值点，且.【答案】（1）；（2）见解析试题解析：（1），由得切线方程为，，所以（2）令则所以当时，单调递减，且此时，在内无零点.又当时，单调递增，又所以有唯一解，有唯一极值点由，又，，.点评：求函数()f x 在某闭区间[]a b ，上的最值，首先需求函数()f x 在开区间()a b ，内的极值，然后，将()f x 的各个极值与()f x 在闭区间上的端点的函数值()f a 、()f b 比较，才能得出函数()f x 在[]a b ，上的最值．5.导数与单调性的关系理解不准致误已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.例5【2018届浙江省绍兴市高三3月模拟】已知函数.（Ⅰ）当时，判断的单调性；（Ⅱ）当时，恒有，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增(2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问利用导数求导，研究函数的单调性. (2)对进行分类讨论，探究每一种情况是否满足.②当时，，，存在，使得，故在单调递减，在单调递增.因为，所以 ，.由单调性知.符合题意.③当时， ，，在上递减，在上递增，且.符合题意.④当时，， ，，，对称轴.故在内有两个不同的实根，，设，则在单调递减，在单调递增，在单调递减.必有，不符合题意.综合①②③④，所以的取值范围是.点评：要掌握正确的已知函数单调性，求参数范围的方法，即先解大于（或小于）0恒成立的不等式，在验证参数取等号时，函数在给定区间上是否具有已知的单调性.1.已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数,且在()0,+∞上递增,则A. ()()()0.7223log 5f f f <-<- B. ()()()0.7232log 5f f f -<<- C. ()()()0.723log 52f f f -<-< D. ()()()0.722log 53f f f <-<- 【答案】D故选D.【易错点】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，易错点是不能正确进行如下转化：若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-= ，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．2. 【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数()()ln 10xf x x a a=-->，若()y f x =与()()y ff x =的值域相同，则a 的取值范围是（ ）A. 310,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]0,1D. (]1,e 【答案】A因为函数f(x)在（0,1）上是增函数，在（1，+∞）是减函数，所以3331ln 21ln 3ln 3ln 0a a a ea e a e ----≥∴-≥∴≤-=∴≤=>所以310a e <≤，故选A. 【易错点】本题的难点也是易错点，主要是难在转化， ()y f x =与()()y ff x =的值域相同如何转化？这里要结合函数的单调性和函数的值域分析.转化的数学思想是高中数学中很重要的数学思想，要理解掌握和灵活运用.函数的分析转化，主要是分析函数的图像和性质. 3.在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB.]3,0(πC.],3[ππD.),3(ππ【答案】D【易错点】三次函数有零点是易错点.4. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，均有()()2f x f x +=， 当[)0,1x ∈时， ()21xf x =-，则下列结论正确的是A. ()f x 的图象关于1x =对称B. ()f x 的最大值与最小值之和为2C. 方程()lg 0f x x -=有10个实数根D. 当[]2,3x ∈时， ()221x f x +=-【答案】C当[]2,3x ∈时，则[]20,1x -∈，又由函数为周期为2的周期函数， 所以()()2221x f x f x -=-=-，所以D 是错误的，综上可知，只有C 是正确的，故选C.【易错点】本题考查了函数基本性质的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性及值域（最值），函数的解析式的求解、以及函数的图象的应用等，知识面广，思维含量大，属于中档试题，其中熟记并应用函数的单调性、奇偶性和函数的图象与性质是易错点. 5. 已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵对任意实数，都有成立，∴函数在R 上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．选D ．【易错点】忽略分段函数分界点的大小是易错点. （1）函数单调性的几种等价表示形式，若函数在区间D 上为增函数，则对任意，则，或，或．（2）已知分段函数在实数集R 上的单调性求参数范围时，除了考虑函数在每一段上的单调性相同之外，还要注意在分界点处的函数值的大小，否则得到的范围会增大．6. 已知函数，若方程有个根，则的取值范围是（ ）A. B.或C.D.或【答案】D【易错点】忽视数形结合思想应用是易错点.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 7．【2018届浙江省诸暨市高三上学期期末】已知都是定义在上的函数，且为奇函数，图象关于直线对称，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数C. 函数图象关于直线对称 D.为偶函数【答案】B 【解析】因为，所以为偶函数；因为，所以函数图象关于直线对称；因为，所以为偶函数；因为不一定与相等，所以不一定为奇函数，选B.【易错点】对抽象函数的了解及函数性质的应用是易错点.8. 现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2xy x =⋅的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 【答案】C【易错点】在解函数图像题中忽视函数性质及特殊点的应用是易错点.9.【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（ ） A. 若13M =，则3N = B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N = 【答案】C【解析】由题意得()11f a b =++， ()11f a b -=-+ 则()(){}{}1111M maxf f max a b a b =-=++-+，，()()()11111112222M a b a b a b a b a a ≥+++-+≥++--+≥= 若2M =，则2a =，此时任意[]1,1x ∈-有222x ax b -≤++≤则31a b -≤+≤， 31b a -≤-≤， {}3a b max a b a b +=-+=，， 在12b a =-=，时与题意相符，故选C .【易错点】对绝对值不等式性质的掌握及应用是易错点.本题考查了含有绝对值的最值问题，借助条件计算得最值情况，这里需要注意取最值时的讨论以及在运算过程中对于绝对值不等式的放缩求结果，本题有一定难度.10. 【2017广东湛江市高三上学期期中调研考试，12】已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x +<′，设()2a f m m =-,()211mm b e f -+=,则a b 、的大小关系是（ ）A ．a b >B ．a b < C.a b = D ．a b 、的大小与m 的值有关 【答案】B 【解析】由()h x 的单调性得()()21h m m h ->.又20m m e ->，所以()()2221mmmmh m m e h e --->，即a b >.【易错点】本题考查导数与函数的单调性，属难题；导数在不等式中的应用问题是第年高考的必考内容，在解决利用导数解决比较大小的问题时，通常是根据题意，构造适当的函数，研究该函数的单调性，再利用单调性比较大小，如本题就是通过构造函数()()x h x e f x =求解的.11．【2018届北京市十一学校高三3月模拟】设函数(),af x x x=-①若()f x 在区间[)1,+∞上不单调,实数a 的取值范围是______;②若1,a =且()()0f mx mf x +<对任意[)1,x ∈+∞恒成立,则实数m 的取值范围是______. 【答案】 (],1-∞- (],1-∞-【解析】由题意得()2221a x af x x x+=+='，①()f x 在区间[)1,+∞上不单调， ()f x '=0在区间[)1,+∞上1,1a ><-.②11120m mx m x mx mx x mx x ⎛⎫-+-=--< ⎪⎝⎭对任意[)1,x ∈+∞恒成立，即()22210,mx m mx --<，因为无穷时需要小于零，所以m<0,解集为⎛⎫⎫⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1<解得m<-1. 【易错点】应用导数研究函数的性质的基本方法是易错点.(1)若可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增，则()f x '≥0在区间(a ，b)上恒成立；要检验()f x '=0。

第二章 函数一．基础题组1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】设函数()21x f x b a =+-（0a >且1a ≠）则函数()f x 的奇偶性（ ）A. 与a 无关，且与b 无关B. 与a 有关，且与b 有关C. 与a 有关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关 【答案】D2. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（ ） A. 若13M =，则3N = B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N = 【答案】C【解析】由题意得()11f a b =++， ()11f a b -=-+ 则()(){}{}1111M maxf f max a b a b =-=++-+，，()()()11111112222M a b a b a b a b a a ≥+++-+≥++--+≥= 若2M =，则2a =，此时任意[]1,1x ∈-有222x ax b -≤++≤则31a b -≤+≤， 31b a -≤-≤， {}3a b max a b a b +=-+=，， 在12b a =-=，时与题意相符，故选C点睛：本题是道函数综合题目，考查了含有绝对值的最值问题，借助条件计算得最值情况，这里需要注意取最值时的讨论以及在运算过程中对于绝对值不等式的放缩求结果，本题有一定难度.3. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】已知函数()()4log 4f x x =-，则()f x 的单调递增区间是______；()()204f f +=______．【答案】 (]4,0- 34. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】若()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，则()1f m -和()1f m + A. 都大于1 B. 都小于1C. 至少有一个大于1D. 至少有一个小于1 【答案】D【解析】()1f m -+ ()1f m +=()22f m +，因为()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，所以()0f m <∴ ()1f m -+ ()1f m +<2,即()1f m -和()1f m + 至少有一个小于1，选D.5.【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】已知4510a b==，则12a b+=__________． 【答案】2【解析】 4510a b==， 4511log 10,lg4,log 10,lg5a b a b∴====， 12lg42lg5lg4lg25lg1002a b∴+=+=+==，故答案为2. 6. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】若函数()()22211f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 12- C. 1或12- D. 0 【答案】C【解析】0a =时， ()1f x x =-+不是偶函数， 0a ≠时，二次函数()()22211f x ax a a x =+--+的对称轴为2212a a x a --=，若()f x 为偶函数，则22102a a a---=，得1a =或12a =-，故选C.7. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知函数()21,0,{ 3,0,x x f x xx x +>=-+≤若函数()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是A. [)1,3B. (]1,3C. [)2,3 D. ()3,+∞ 【答案】A【解析】【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .8. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知函数()211,0{ 2log 1,0xx f x x x ⎛⎫-≤ ⎪=⎝⎭+>，则()()12f f +-=______________.【答案】49. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】定义在上的偶函数，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（ ）A. 有两个B. 有一个C. 没有D. 上述情况都有可能 【答案】A【解析】由于函数，为偶函数，且在单调递增，如图所示，函数，在上恒成立，函数在上的图象位于的图象上方，当时，由可得，解得，故的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即，由于函数的值域为，故函数的图象和直线有个交点，关于的方的根有个，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．解答本题的关键是根据把在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t 的根转化为函数的图象和直线的交点.10. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（ ） A. (]1,3 B. []2,3 C. (]1,2 D. ()2,3 【答案】B11. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ba N =⇔ log a b N =.现在已知23a =， 34b=，则ab =__________.【答案】2【解析】∵23a =， 34b=∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为2.12. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】已知函数()3211132f x ax x x =+++（a R ∈），下列选项中不可能是函数()f x 图象的是（ ）A. B.C. D.【答案】D当104a <<时， 0∆>， ()f x '有两个不相等的负实数根， ()f x 先递增再递减然后再递增，故D 错误. 故选D13. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】设函数，则________；若，则实数的值为________．【答案】 2当时，f （f （a ））=1，23a ﹣1=1，解得a=，（舍去）．综上a=． 故答案为：2，．14. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】已知是偶函数，且，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D 【解析】∵是偶函数∴当时，，又∴故选：D15. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】已知函数()()22,0{ ,14,0x x f x xln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________．【答案】4个【解析】函数 ()f x 图像如图所示， ()22424t x x x =-=-- ，由图像可知，当40t -≤≤ 时， ()6f t = 无解，当0t > 时， ()6f t =由2个解，对应24t x x =-，各由2个解，故关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为为4 个16. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】函数y x =的值域为( ))).1)..(1,)A B C D ⎡+∞+∞+∞+∞⎣【答案】D由22123y x y -≤-＝，得y R ∈ ，由2232330022232y y y y x y y y y --+--≥⇒≥⇒>--＝．所以32y >． 综上，所求函数的值域为(1,)+∞.选D17. 【浙江省镇海中学2018届高三上学期期中】设函数()3f x x a a x=--+， a R ∈，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合__________．【答案】95⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭.即5a -<，且35225a ++=，解得95a =-，满足题意； 当13a -<≤时， x a <时()2f x =有两根，设为12,x x ， x a ≥时()2f x =有一根为3，且有1232x x +=.322x a x--+=即()22230x a x --+=的两根为12,x x .有1222x x a +=-， 123x x =解得a =,因为13a -<≤，所以a =； 当3a >时， ()2f x =最多有两个根，不符合题意.综上实数a 的取值构成的集合为95⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭. 18. 【浙江省镇海中学2018届高三上学期期中】函数331x x y =-的图象大致是()A. B.C. D.【答案】C19. 【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________．【答案】【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.20. 【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】．__________．【答案】21. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知函数()240{ 30x x x f x x x-≥=<，，，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数的取值范围为_________.【答案】()1,6,04⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦【解析】函数()240{ 30x x x f x x x-≥=<，，,若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点， 就是()()3h x f x x =-与y b =-有3个交点，()22,0{7,4 33,0x x x h x x x x x x-≥=->--<，画出两个函数的图象如图：,当x<0时, 336x x--…，当且仅当x=−1时取等号，此时−b>6，可得b<−6； 当04x 剟时, 21,4x x -…当12x =时取得最大值,满足条件的1,04b ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 综上, ()1,6,04b ⎛⎤∈-∞-⋃-⎥⎝⎦. 给答案为： ()1,6,04⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦. 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解. 22. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】设函数()f x a =，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A. 34⎛ ⎝⎭B. 32⎛ ⎝⎭C. ⎛ ⎝⎦D. ⎛ ⎝⎦【答案】A23. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0,)+∞上单调递增的是 （ ）（A ）1y x= （B ）21y x =-+ （C ）2x y = （D ）lg |1|y x =+【答案】D. 【解析】试题分析：对于A ，函数1y x=是关于原点对称且在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减；对于B ，函数21y x =-+是关于y 轴对称且在(0,)+∞上单调递减；对于C ，函数2x y =无对称性且在R 上单调递增；对于D ，函数lg |1|y x =+是关于1x =-对称且在(1,)-+∞上单调递增；故选D . 考点：1.函数的性质；2.常见函数的性质. 24.二．能力题组1. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知函数()2f x ax bx c =++．（1）当1,2a b ==时，若存在[]()1212,2,0x x x x ∈-≠，使得()()21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两个实数根12,x x 满足1211x x -<<<，求a b c ++的最小值．【答案】（1）21c -≤<-或23c ≤<.（2）11．试题解析：（1）当1,2a b ==时， ()()211f x x c =++-由题意可知， ()2f x =在[]2,0-上有两个不等实根，或()2f x =-在[]2,0-上有两个不等实根，则()()12{02f f -<≥或()()12{02f f -<-≥-,解得23c ≤<或21c -≤<-即实数c 的取值范围是21c -≤<-或23c ≤<.（2）设()2f x ax bx c =++，则由题意得()()21010{ 11240f f bab ac ->>-<-<∆=->，即21{21 41a b c a b b ac -+≥-≥-≥ ， 所以()212a b c a b c b b ++=-++≥+，由于2415b ac ≥+≥①当3b =时， 4a c +≥，且2124b ac -≤=无解， ②当4b =时， 5a c +≥，且211544b ac -≤=，于是3ac ≤无解， ③当5b =时， 6a c +≥，且2164b ac -≤=，由21a b -≥，得3a ≥，此时有解5,1a c ==， 综上所述， 11a b c ++≥，当5,5,1a b c ===时取等号，即a b c ++的最小值为11． 2.。

第二章 函数概念及基本初等函数第八节 函数与方程考点2 函数零点应用（2018·浙江卷）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则{x ＋y ＋z ＝100,5x ＋3y ＋13z ＝100,当z ＝81时，x ＝________，y ＝________. 【解析】方法一 由题意，得{x ＋y ＋81＝100,5x ＋3y ＋13×81＝100,即{x ＋y ＝19,5x ＋3y ＝73,解得{x ＝8,y ＝11.方法二 100－81＝19（只），81÷3＝27（元），100－27＝73（元）．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95（元）．因为95－73＝22（元），所以鸡母：22÷（5－3）＝11（只），鸡翁：19－11＝8（只）．【答案】8 11（2018·浙江卷）已知λ∈R ，函数f （x ）＝{x －4，x ≥λ,x 2－4x ＋3,x ＜λ.当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是________．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是________．【解析】当λ＝2时，f （x ）＝{x －4，x ≥2,x 2－4x ＋3,x ＜2. 其图象如图（1）．由图知f （x ）＜0的解集为（1,4）．f（x）＝{x－4，x≥λ,x2－4x＋3,x＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图（2），平移直线x＝λ，可得λ∈（1,3]∪（4，＋∞）．【答案】（1,4）（1,3]∪（4，＋∞）（2018·天津卷（理））已知a＞0，函数f（x）＝{x2＋2ax＋a,x≤0,－x2＋2ax－2a,x＞0.若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．【解析】作出函数f（x）的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间（不含直线l1，l2）变动时，符合题意．由{y＝ax,y＝－x2＋2ax－2a,消去y，整理得x2－ax＋2a＝0.由Δ1＝0，得a＝8（a＝0舍去）．由{y＝ax,y＝x2＋2ax＋a,消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.由Δ2＝0，得a＝4（a＝0舍去）．综上，得4＜a＜8.【答案】（4,8）（2018·全国Ⅰ卷（理））已知函数f（x）＝{e x,x≤0,ln x,x＞0,g（x）＝f（x）＋x＋A．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[－1,0）B．[0，＋∞）C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）【解析】令h（x）＝－x－a，则g（x）＝f（x）－h（x）．在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）图象的示意图，如图所示．若g（x）存在2个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有2个交点，平移y＝h（x）的图象可知，当直线y＝－x－a过点（0,1）时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞）．故选C．【答案】C。

浙大附中高三数学模拟试卷数学（理科）试题（2）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，Q={y|y=x3}，则P∩Q=1．设集合A. B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)”是“直线2. 已知直线l: y=x与圆C: (x－a)2+y2=1l与圆C相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3. 已知65，则cos(6－x)= （）A.－35B.35C.－45D.454. 下列命题正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在[,]62ππ上是单调函数，则ω应满足的条件是 （ ）A.0<ω≤1B. ω≥1C. 0<ω≤1或ω=3D. 0<ω≤3 6. 设F是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q （在第一象限内），使得2PF PQ =，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.(1，3)B.(3，+∞)C.(1，2)D. (2，+∞)7. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知二面角A 1－BD －A 的大小为6π，若空间有一条直线l 与直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面A 1BD 所成角的取值范围是 （ ）A.7[,]1212ππB. [,]122ππC. 5[,]1212ππD. [0,]2π 8. 过边长为2的正方形中心作直线l 将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)所有的单调函数都有最值．( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ )1．(2016·北京)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上单调递减． 2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，得a ＝－6.3．(2016·舟山模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________． 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0，所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 答案 (1)D (2)(－∞，－1]，[0,1]解析 (1)因为y ＝log 12t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 引申探究如何用导数法求解例2?解 f ′(x )＝a ·(x 2－1)－ax ·2x (x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1,1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法． (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”． (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)(2)函数f (x )＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)和(1，＋∞)答案 (1)B (2)C解析 (1)设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．(2)f ′(x )＝－2x ·e x ＋e x (3－x 2)＝e x (－x 2－2x ＋3)＝e x [－(x ＋3)(x －1)]．当－3<x <1时，f ′(x )>0，所以函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)，故选C. 题型二 函数的最值例3 (1)(2016·诸暨质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≤0，log 2(x 2＋2x ＋a )，x >0，其中a >0. 若函数f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,2]解析 设t ＝x 2＋2x ＋a (x >0)，则t >a ，∴log 2t >log 2a ，又x ≤0时，f (x )≤1，又f (x )的值域为R ， ∴log 2a ≤1，∴0<a ≤2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－ax2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时， a 的取值范围是(－3,1]．思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________．答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8.方法二 (导数法)f ′(x )＝(x －4)(x ＋2)(x －1)2，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去)． 当1<x <4时，f ′(x )<0， f (x )在(1,4)上是递减的； 当x >4时，f ′(x )>0， f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8.题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2016·温州模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足f (log 19x )>0的x 的集合为________________．答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由f (19log x )>0，得19log x >12，或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)(2016·杭州滨江区模拟)已知函数f (x )＝x (e x －1ex )，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22(2)(2016·金华模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)(－∞，－4) 解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x )＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数， f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数， 故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数． 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.1．解抽象函数不等式典例 (15分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[7分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[12分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[15分]解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范.1．(2016·北京东城区模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是()A．y＝－x＋1B．y＝11－xC．y＝－(x－1)2D．y＝31－x答案 B解析A中，函数在(1，＋∞)上为减函数，C中，函数在(1，＋∞)上为减函数，D中，函数在(1，＋∞)上为减函数．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >2，－x 2＋2x ，x ≤2，当x >2时，f (x )为增函数，当x ≤2时，(－∞，1]是函数f (x )的增区间； [1,2]是函数f (x )的减区间．3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥(4－a 2)＋2，解得4≤a ＜8.5．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)答案 D解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，即12≤x <23. 6．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，ab ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．(2017·杭州检测)设函数f (x )与g (x )的定义域为R ，且f (x )单调递增，F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )．若对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立，则( )A ．F (x )，G (x )都是增函数B ．F (x )，G (x )都是减函数C ．F (x )是增函数，G (x )是减函数D ．F (x )是减函数，G (x )是增函数答案 A解析 由[f (x 1)－f (x 2)]2－[g (x 1)－g (x 2)]2>0，得[F (x 1)－F (x 2)][G (x 1)－G (x 2)]>0，所以F (x )，G (x )的单调性相同，又因为F (x )＋G (x )＝2f (x )为增函数，所以F (x )，G (x )都是增函数，故选A.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．(2016·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是___． 答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图象如图所示，其递减区间为[0,1)．*10.(2016·北京东城区模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． (1)证明 任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0， ∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 由(1)可知，f (x )在[12，2]上为增函数， ∴f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 12．(2017·金华十校高三上学期调研)已知函数f (x )＝|ax 2－8x |(0<a ≤8)，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值．解 f (－1)＝|a ＋8|>f (1)＝|a －8|，f (4a )＝16a≥2， ①当0<a ≤4，即1≤4a时，f (x )max ＝f (－1)＝a ＋8； ②当4<a ≤8时，f (－1)＝a ＋8，f (4a )＝16a， 当a ＋8＝16a时，a ＝42－4， 所以当a >42－4时，f (x )max ＝f (－1)＝a ＋8.综上，f (x )max ＝a ＋8.13.已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a的取值范围为(2，＋∞)．。