003005-3[高等数学(专)-3] 天津大学考试题库及答案

高等数学(专)-1 作业1：1.函数的定义域是2.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是3.4.函数的定义域是5.函数的定义域是6.已知，则7.下列函数为偶函数的是8.设函数9.函数的周期为10.设，那么新添加题目：1.当时，下列变量中为无穷大量的是2.设函数3.设4.设是无穷大量，则x的变化过程是5.极限6.当时，下列函数中为无穷大量的是7.8.9.当时，是同阶无穷小量，则常熟10.新添加题目：1.下列变量中，当等价的无穷小量是2.3.4.5.6.7.8.9.10..新添加题目：1.2.3.4.5.6.7.8.9.新添加题目：出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．f f不存在，存在y 0,1 x 0,1f f存在，不存在y 0,1 x 0,1f f，均存在 x 0,1 y 0,1f f，均不存在 x 0,1 y 0,1B ．C ．D ．1,x 0 22．函数f x 1 x的原函数为（）。

x 1 cos x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0A ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0B ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0C ．F xx 1 sin x cos x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0D ．F xx 1 sin x cos x ,x 03．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0２０２３年考研《数学三》真题及答案【解析版】4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数 an 1n与bn 1n均收敛，则“级数an 1n绝对收敛”是“bn 1n绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件*5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则A E0B ＝（A ．A B *B *A *0B A * B ．B A * A *B *0A B * C ．B A * B *A *0A B * D ．A B * A *B *B A *。

）6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

【最新整理，下载后即可编辑】2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0000.11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x例2. 设线性方程组b Ax =,其中 11231112341113451A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法例1. 设线性方程组b Ax =为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----221221122321x x x ααα ， 0≠α写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛.例2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中b Ax =为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=-522826233213231x x xx x x x3.插值例 1. 已知,12144,11121,10100===（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位）（2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位） 例 2. 由下列插值条件4. Runge —Kutta 格式例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题⎩⎨⎧==+-=1)0(,1)0(sin 2'2'''y y xy xy y 的计算格式5. 代数精度例 1. 数值求积公式形如)1()0()1()0()()(321010f A f A f A f A x S dx x xf '+'++=≈⎰试确定其中参数,,,,4321A A A A 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度.例 2. 验证数值求积公式20120()(1(1)(1f x dx A f A f A f ≈+++⎰是Gauss 型求积公式.6．Romberg 方法例 对积分⎰+1021dx x ，用Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过510-并将结果填入下表（结果保留至小数点后第五位）.7（1）设)(x ϕ为],[b a 上关于权函数)(x ρ的n 次正交多项式，以)(x ϕ的零点为节点建立Lagrange 插值基函数)}({x l i ， 证明：⎰⎰==ba ba i i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ证明: 设n 次正交多项式()x ϕ的零点为12,,n x x x ，则以这n 个零点为节点建立的Lagrange 插值基函数{()},1,2,i l x i n =是n-1次多项式，[]2()i l x 是2n-2次多项式. 故当()f x 取()i l x 和[]2()i l x 时Gauss 型求积公式1()()()nb k k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰等号成立, 即 1()()()nb i k i k iak x l x dx A l x A ρ===∑⎰221()()()nbi k i k ia k x l x dx A l x A ρ===∑⎰则有 ⎰⎰==b abai i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ（2）对线性方程组b Ax =，若A 是n 阶非奇异阵，0≠b ，*x 是b Ax =的精确解，x 是b Ax =的近似解。

《线性代数》课程试卷：A 卷一、选择题(每小题3分，共15分)1、一个值不为零的n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值______________．(A) 保持不变； (B) 保持不为零； (C) 保持相同的正、负号； (D) 可以变为任何值． 2、下列公式正确的是_______________． (A)111)(---=B A AB ； (B) T T A A )()(11--=；(C)111)(---+=+A B B A ； (D)113)3(--=A A ．3、设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则下列矩阵中为单位矩阵的是 _______________．(A)ACB ； (B)CBA ； (C)BAC ； (D)BCA ．4、设A 是n m ⨯矩阵，),min()(n m r A r <=，则A 中必有________． (A) 没有等于零的1-r 阶子式，至少有一个r 阶子式不为零； (B) 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的1+r 阶子式； (C) 有不等于零的r 阶子式，所有1+r 阶子式等于零； (D) 任何r 阶子式不等于零，任何 1+r 阶子式等于零．5、设向量组),,,(:21s A ααα ，),,,,,(:21r s s B +αααα ，则必有_______． (A) A 线性相关⇒B 线性相关； (B) A 线性无关⇒B 线性无关； (C) B 线性相关⇒A 线性相关； (D) B 线性无关⇒A 线性相关.二、填空题(每小题3分，共24分)1．=-601504321；2.在五阶行列式中项256651144332a a a a a a 符号是 ；（填“正号”或“负号”）3.行列式中两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值等于 ；4.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001A ，则1A -= ；5.设132325510,256236132A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A B += ；6.设2131,4262A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则AB = ；7.若三阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，已知21||=A ，求=--|*2)3(|1A A ； 8.已知向量组TT T T )8,7,6,5(,)7,6,5,4(,)6,5,4,3(,)5,4,3,2(4321====αααα，则=),,,(4321ααααr .三、解答题(共61分)1、计算下列行列式：(第1小题3分，第2小题4分，第5小题，共12分)(1)1log log 1ba ab ； (2) 043021200； (3)3111131111311113.2、(10分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T.3、(10分)求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010312022A ．4、(6分)求向量组T T T T )0,10,3,1(,)11,3,2,3(,)4,2,1,1(,)2,4,1,1(4321=--=--==αααα的一个极大无关组.5、（10分）求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x .6、（13分）λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.《线性代数》试卷参考答案及评分标准卷别：A 卷一、选择题（每题3分，合计15分）1、B ；2、B ；3、D ；4、C ；5、A ．二、填空题（每题3分，合计24分）1、-58；2、正号；3、0；4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001；5、7712911124910⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；6、0000⎛⎫ ⎪⎝⎭；7、2716-；8、2.三、解答题（合计61分）1、1、计算下列行列式：(第1小题3分，第2小题4分，第5小题，共12分)(1)1log log 1ba ab ； (2)043021200； (3)3111131111311113.解：(1)1log log 1b aa b =1×1-b a log ×a b log ……………… 2分=1-1=0 ……………………3分（2）043021200=4321)1(231+-⋅ ……………… 2分=-4 ……………………………………4分(3)311113111131666631111311113111134321r r r r +++ ……………………3分48200002000020111163111131111311111661413121=---÷r r r r r r r ………………5分2、(10分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ………1分=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111120926508503 ………………4分 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22942017222132 ……………………………5分B A T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--150421321111111111 ……………………………7分= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-092650850 ………………………………………10分3、(10分)求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010312022A ．解：把所给方程变形为A X E A =-)(. ……………………………2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010110312302022021)(A EA ……………………………4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→↔-33234001011002202131122r r r r ……………………………6分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-÷+312100010110022021)1(4313r r r ……………………………7分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-+31210030211062202121322r r r r ……………………………8分 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-312302622)(1A E A X . ……………………………10分4、(6分)求向量组T T T T )0,10,3,1(,)11,3,2,3(,)4,2,1,1(,)2,4,1,1(4321=--=--==αααα的一个极大无关组.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011421032432111311),,,(4321αααα ……………………………2分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→25206156025201311 ……………………………3分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000000125101311 ……………………………4分 知2),,,(4321=ααααr ，且21,αα是一个极大无关组. …………………6分5、（10分）求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x .解：对系数矩阵A 施以初等行变换.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=463046301221341122121221A ………………………3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→00003/42103/520100003/42101221 ……………………………5分 即⎩⎨⎧--=+=432431)3/4(2)3/5(2x x x x x x （43,x x 可取任意值） ……………………………7分 令2413,c x c x ==，将其写成向量形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103/43/50122214321c c x x x x （21,c c 为任意实数）. ………………………10分 6、（13分）λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=λλλλλλλλ222~3302233012121121121212111212112A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→)2)(1(000)1(23301212000223301212λλλλλλλλ ……………3分 （1）当2,1-≠λ时，3)(2)(~=<=A r A r ，方程组无解； ……………5分 （2）当1=λ时，32)()(~<==A r A r ，方程组有无穷多解， 这时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=000001101121000003301121)2)(1(000)1(2330121~λλλλA从而有⎩⎨⎧=-=+-01232321x x x x x ，令c x =3，则原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321c x x x ，（R c ∈） ……………8分 （3）当2-=λ时，32)()(~<==A r A r ，方程组有无穷多解， 这时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=000021102121000063302121)2)(1(000)1(2330121~λλλλA从而有⎩⎨⎧=--=+-22232321x x x x x ，令c x =3，则原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321c x x x ，（R c ∈） ………………………11分（4）方程组不存在有唯一解的情况. ………………………13分。

解：
有无穷多解
同 其中
3、求非齐次线性方程组 的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
4、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
（2）写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：
（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
正定从而 正定
4、设 求正交矩阵 ，使 为对角形。
解：
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
七、1、设 为 阶方阵且满足 ，证明 可逆。（证明略）
2、设 阶方阵 若 ，证明 不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组 基础解系为
通解为 其中
2、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
A、 B、 C、 或 D、
三、解矩阵方程
1、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ， 可逆
2、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
3、设 ，求矩阵 ，使得
解：由 ，
可逆
4、设 ，求矩阵 ，使得 。

当 时，所以
21、求不定积分
解：
22、计算不定积分 。
解：
23、求定积分 .
解：
24、计算定积分 ，其中 。
解：
令设 ，则 ，
当 时， ，当 时，
25、计算由曲线 , 所围成的平面图形的面积 ，及该图形绕着 轴旋转而成的旋转体体积 .
解：
26、计算极限 .
解：
27、求球面
解：
28、一平面
解：
由已知平面方程2x-y+z-1=0，可知已知平面 的法线向量为
17、计算由曲线 ， 轴， 轴及直线 所围成的平面图形的面积 ，及该图形绕着 轴旋转而成的旋转体体积 .
解：选择 为积分变量， 与直线 的交点为
18、计算极限 。
解：
19、求函数 在区间 上的最值.
解：
令 得到
所以最大值为16，最小值为-4.
20、设 是由方程 确定的隐函数，求 .
解：方程 两边对 求导得：
； ； ； .
13、设 ， ，则 时， 的（ D ）。
等价无穷小； 同阶，但非等价无穷小；
高阶无穷小， 低阶无穷小.
14、定积分 =（ C ）。
； ； ； .
15、已知 在 处连续，则 为（ A ）。
； ； ； .
16、设 的一个原函数为 ，则 （A）。
； ； ； .
二、填空题
1、极限 （ ）。
2、函数 在区间 上的最小值是（8）。
； ； ； .
6、定积分 =（ D ）。
； ； ； .
7、当 时，与 等价的无穷小量是（D）。
； ； ； .
8、若函数 在 内 ，则 在 内是（ D ）。
单调减少的凹曲线； 单调减少的凸曲线；

j i 1
m
p ( i ) min u ij min p ( i )u ij
i 1 j
5、 max min E ( x, y x ) min max E ( x y , y ) E ( x , y )
* * x* y* y* x*
6、分布函数；
X F 1 ( R )
考试科目编号：813
uij , i 1, , m, j 1, , n, 则 决 策 问 题 的 完 全 信 息 期 望 值
EVPI=_______________________________________，由于它与最小期望机会损失相等，因此，它的 另一种表示形式是：EVPI=______________________________________。 5．在矩阵决策中，设 S { X } 为局中人甲的混合策略集， D {Y } 为局中人乙的混合策略集，
二 对偶问题
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6
min W 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4 2 2 y1 y2 4 y3 4 y4 3 2 y1 2 y2 y 0, i 1, 2,3, 4 i 2 y1 y 2 4 y 3 2 x1 0, x 2 0, 其对偶问题取严格等式 2 y1 2 y 2 4 y 4 3 第1，两种资源有剩余，即原问题约束 4 (1)、 (4)取严格不等式 对应对偶问题变量y1 0, y4 0
1 1/10 10
2/3 1/4 9
708 135
(1) 写出此问题的线性规划模型，约束依表 1 中次序； (2) 引入松弛变量（依约束次序）后用单纯形法计算得某单纯形表如表 2，请填完表中空白，并 判断其是否终表，如果是，请写出最优生产计划、最大利润和资源剩余； 表2 10 CB 9 0 10 0 XB x2 x4 x1 x6 B-1b 252 120 540 18 x1 0 0 1 0 9 x2 1 0 0 0 0 x3 1.875 -0.9375 -1.25 -0.34375 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 x6 0 0 0 1

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高等代数资源博客
高等代数问题解答
高等代数资源博客 November 21, 2010
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即A的特征值只能为−1, −2, −3.由A的阶数为偶数知|A| > 0.(因为行列式为所有特征值的 1 1 乘积).A−1 的特征值只能为−1, − 2 , −3 .而A∗ = |A|A−1 .易知A∗ 实对称.从而A∗ 的特征值都 是负的. 1
高等代问题解答

2.设V 是数域P 上的线性空间,V = W1 ⊕ W2 . A1 , A2 分别为W1 , W2 上的线性变换.定义 法则A 如下: A (α1 + α2 ) = 2A1 (α1 ) − 3A2 (α2 ), ∀α1 ∈ W1 , α2 ∈ W2 1)求证A 是V 上的线性变换; 2)求证W1 是A −子空间; 3)若dim W1 = n1 , dim W2 = n2 , detA1 = d1 , detA2 = d2 ,求detA . 证明:1)∀α1 , β1 ∈ W1 , α2 , β2 ∈ W2 , ∀k ∈ P,则 A [(α1 + α2 ) + (β1 + β2 )] = A [(α1 + β1 ) + (α2 + β2 )] = 2A1 (α1 + β1 ) − 3A2 (α2 + β2 ) = 2A1 (α1 ) + 2A1 (β1 ) − 3A2 (α2 ) − 3A2 (β2 ) = A (α1 + α2 ) + A (β1 + β2 ) A [k (α1 + α2 )] = A (kα1 + kα2 ) = 2A1 (kα1 ) − 3α = k (2A1 (α1 ) − 3A2 (α2 )) = 2A (α1 + α2 ) 故结论成立. 2)∀α1 ∈ W1 ,则 于是 A (α1 ) = 2A1 (α1 ) − 3A2 (0) = 2A1 (α1 ) ∈ W1 故结论成立. 3)设 α1 , · · · , αn1 与 β1 , · · · , βn2 分别为W1 , W2 的基,则它们合起来为V 的基.设 A1 (α1 , · · · , αn1 ) = (α1 , · · · , αn1 )A1 A1 (β1 , · · · , βn2 ) = (β1 , · · · , βn2 )A2 则 A (α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 ) = (α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 ) 于是 detA = 2A1 −3A2 = |2A1 || − 3A2 | = 2n1 d1 (−3)n2 d2 . ( 2A1 ) −3A2 α1 = α1 + 0, α1 ∈ W1 , 0 ∈ W2

天津大学招收2005年硕士学位研究生入学考试试题参考答案一、 填空1、-M 基变量2、偏差 小 目标（软）3、s t v Vv V ∈∈ 正4、ij i mi jijjmi iu p up EMV EPPI )(max max )(*11θθ∑∑==--（先）或ij i mi ij jmi i u p u p )(min min )(11θθ∑∑==+-5、******max min (,)min max (,)(,)x y y y x x E x y E x y E x y ==6、分布函数； 1()X F R -=二 对偶问题1234123124min 128161224222430,1,2,3,4iW y y y y y y y y y y y i =+++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥=⎩⎩⎨⎧=++=++∴>>3422242,0,042132121y y y y y y x x 其对偶问题取严格等式 （*） 1414(1)(4)0,0y y ∴== 第，两种资源有剩余，即原问题约束、取严格不等式对应对偶问题变量代入（*）式，2432=+y y ，322=y 23,8123==∴y y []140812**********=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∴W**14z w ∴==由121122844162x x x x x +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 综上，原问题最优解[]14,24*==Z x T对偶问题最优解14,08123*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=W y T三 设标准袋生产1x ,高档袋生产2x （1）21910max x x Z +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+≤+0,135411017083260065216301072121212121x x x x x x x x x x1j j B j C C B P σ-=-[]375.434375.025.19375.0875.10100903133-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∴-p B C σ )6,,1(0 =≤j j σ∴是终表∴最优生产计划[]1801200252540=x ，即普通袋540个，高档袋252个∴最大利润Z []7668252540910*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= (美元) 345601200182412018x x x x ====因为松弛变量，，，所以第，种资源有剩余，分别为，。

第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

自动控制原理复习题一、单位反馈最小相位系统开环传递函数的幅频特性曲线如右图所示： 1、写出校正前系统开环传递函数()G s ； 2、校正前系统的相角裕度γ=？幅值裕度h=？3、设计串联校正装置的传递函数)(s G c ，使校正后系统响应输入4521)(2++=t t t r 的稳态误差为1=ss e ，且维持校正后系统开环对数幅频特性曲线的中、高频段特性与校正前相同。

解： １、)16.31(6.31)(+=s s s G ２、6.31=c ω，οοοοοο45)4590(180)16.31(6.31180)(180=--+=++=∠+=c c c j j j G ωωωγοο1806.3190)16.31(6.31)(-=--=+∠=∠g g arctg j j j G ωωωω ∞=g ω∞=+==)16.31(6.311)(1g g g j j j G h ωωω3、为使4521)(2++=t t t r 的稳态误差为1=ss e ，则需=υ２，,111===K K e a ss可得1==a K K设校正后低频段与校正前低频段交于ω，则有ωω6.31lg201lg 202=，得6.311=ω 校正后开环传递函数为)16.31()16.31()(2'++=s s s s G 校正装置为ss s G c 6.3116.31)(+=二、试建立如图所示电路的动态微分方程，并求传递函数。

解：1. 建立电路的动态微分方程 根据KCL 有200i 10i )t (u )]t (u )t (d[u )t (u )t (u R dt C R =-+-即 )t (u )t (du )t (u )()t (du i 2i 21021021R dtC R R R R dt CR R +=++ 2. 求传递函数对微分方程进行拉氏变换得)(U )(U )(U )()(U i 2i 21021021s R s Cs R R s R R s Cs R R +=++得传递函数 2121221i 0)(U )(U )(R R Cs R R R Cs R R s s s G +++==三、系统如图，210510)(t t t r ++=， 1、判定使系统稳定的τ的取值范围； 2、求系统的稳态误差ss e 。

天津大学招收2005年硕士学位研究生入学考试试题考试科目名称：运筹学基础 考试科目编号：813一、填空（12%）1．用大M 法求解Max 型线形规划时，人工变量在目标函数中的系数均为__-M_____，若最优解的_____基变量__中含有人工变量，则原问题无解。

2．目标规划模型的一个主要特点是引入了_____偏差_____变量，模型的目标就是这些变量的极___小_（大还是小）化，模型的约束中也要包括用这些变量表示的 目标（软）___约束。

3．用标号法求解网络最大流问题，当求的最大流的同时，也得到了最小截集，它是由__________点集和__________点集构成的点集切割中_____正___（正还是反）向弧组成。

4．设风险型决策问题中，相应于状态i θ的概率为(),1,,,i P i m θ= 相应于i θ和决策jd 的结局（利润）为,1,,,1,,,ij u i m j n == 则决策问题的完全信息期望值EVPI=_______________________________________，由于它与最小期望机会损失相等，因此，它的另一种表示形式是：EVPI=______________________________________。

5．在矩阵决策中，设*{}S X =为局中人甲的混合策略集，*{}D Y =为局中人乙的混合策略集，A 为局中人甲的赢得矩阵，则**(,)X Y 是对策的解的条件是 ____________________________________________________，其中****,X S Y D ∈∈。

6．随机模拟中任意分布X 的随机数产生方法的依据是：若R 是服从[0，1]上均匀分布的随机变量，X 的____________________为(x),X F 则X =______________________。

二（8%）、线性规划问题1212121212max 23221228416412,0z x x x x x x xx x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≤+≤≤≤≥已知其最优解x 1，x 2 > 0，而第1，4两种资源（相应于第1，4两约束）均有余量，应用互补松弛定理求出原问题和对偶问题的最优解。

水力学练习题及参考答案一、是非题(正确的划“√”，错误的划“×)1、理想液体就是不考虑粘滞性的实际不存在的理想化的液体。

（√）2、图中矩形面板所受静水总压力的作用点与受压面的形心点O重合。

(×)3、园管中层流的雷诺数必然大于3000。

(×)4、明槽水流的急流和缓流是用Fr判别的，当Fr＞1为急流。

(√)5、水流总是从压强大的地方向压强小的地方流动。

（×）6、水流总是从流速大的地方向流速小的地方流动。

（×）6、达西定律适用于所有的渗流。

（×）7、闸孔出流的流量与闸前水头的1/2次方成正比。

（√）8、渐变流过水断面上各点的测压管水头都相同。

(√)9、粘滞性是引起液流运动能量损失的根本原因。

(√)10、直立平板静水总压力的作用点就是平板的形心。

（×）11、层流的沿程水头损失系数仅与雷诺数有关。

(√)12、陡坡上出现均匀流必为急流，缓坡上出现均匀流必为缓流。

(√)13、在作用水头相同的条件下，孔口的流量系数比等直径的管嘴流量系数大。

(×)14、两条明渠的断面形状、尺寸、糙率和通过的流量完全相等，但底坡不同，因此它们的正常水深不等。

(√)15、直立平板静水总压力的作用点与平板的形心不重合。

（√）16、水力粗糙管道是表示管道的边壁比较粗糙。

(×)17、水头损失可以区分为沿程水头损失和局部水头损失。

(√)18、牛顿内摩擦定律适用于所有的液体。

(×)19、静止液体中同一点各方向的静水压强数值相等。

（√）20、明渠过流断面上各点的流速都是相等的。

(×)21、缓坡上可以出现均匀的急流。

(√)22、静止水体中,某点的真空压强为50kPa，则该点相对压强为-50 kPa。

(√)24、满宁公式只能适用于紊流阻力平方区。

(√)25、水深相同的静止水面一定是等压面。

(√)26、恒定流一定是均匀流，层流也一定是均匀流。