数学物理方法5.1B

2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz

Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk

e2 ki/4

i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数

f
因此

第五章
5.1
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程解的一般性质 5.2 常点邻域内的幂级数解法
(为待定参数) ，在 z 0 的邻域内的级 1. 求厄米特方程 2 z 0，
数解。 解： （1）级数的形式。由于 p( z ) 2 z 和 q( z ) 在 z0 0 解析，故 z0 是 厄米特方程的常点。级数解具有下述形式
(k 2)(k 1)Ck 2 (2k )Ck 0
整理后即得待定系数的递推公式
Ck 2 2k Ck (k 2)(k 1)
（3）
（3）归纳出通项表达式，得级数解。由（3）式可见，偶次幂项系数 与奇次幂项系数是互不相干的，可以分别用 C0 和 C1 表示
(0) 1, (0) 0 的解。
解： 1. 解的形式 系数 p( z ) 0, q( z ) z 在 z0 0 解析， z0 是方程的常点 解的形式为： w( z ) ck z k
k 0
2. 系数递推公式 将 w( z ) 代入方程
k (k 1)ck z k 2 ck z k 1 0
（3） 因 c2 0 ，故 c5 c8 0 3. 方程的通解
w( z ) c0
c0 z 3k c1 z 3k 1 z k 1 3k (3k 1) 6 5 3 2 k 1 (3k 1)3k 7 6 4 3
4. 由初始条件定 c0 , c1 由
c3k c3k 3 1 c3k 6 3k (3k 1) 3k (3k 1) (3k 3)(3k 4) 1 c0 3k (3k 1)(3k 3)(3k 4) 6 5 3 2

生成的积分变换

F () sin xf (x)dx
与

F () cosxf (x)dx
分别称为正弦型和余弦型的傅立叶变换.
汉克变换 梅林变换 希尔伯特变换
§5.2 傅立叶积分与变换
1. 实数形式的傅立叶积分与变换
g(x)以2l为周期，则在[l, l]上

(2)
证明:
设f
(t)与f
(t)的公共增长指数为

，则
0
Re
p


时，
0
lim e pt f (t) 0
t
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例：已知
1 e ptdt 1 (Re p 0),
0
p
e p0t

e e p0t pt dt 1
b
a K (s, ) f ( )d
定义了一个从" f ( )到F (s)"的变换，即
F (s)＝
b
K(s, )
f
( )d
a
这种经过积分的方法，把一个函数变为另一个函 数的运算，称为积分变换.
注：I [a,b] E{(s, )
}，a,b可分别是 和 .
sI ,[a,b]
其中
ak


1
kl
l
l f ( ) coskd
,
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
k

2, k 0 1, k 0
考虑l 时的极限，若lim l f ( )d有限，则 l l
lim

3
∑ ∑ cos
1 = ∞ (−1)k (
1 )2k z
=
∞
(−1)k z−k
z k =0 (2k )!
k =0 (2k )!
所以 resf (0) = − 1 ， resf (∞) = 1
2
2
z −1
的系数为：
C −1
=
−
1 2
2.计算下列围道积分
∫ （2）
zdz
l (z −1)(z − 2)2
iπ
z1 = e 4
f
(z)
= 1+ 1+
z2 z4
的奇点为： z
i (2k +1)π
=e 4
，分别为: z2
z3
i 3π
=e 4
i 5π
=e 4
z4
=
i 7π
e4
其中，上半平面有两个奇点，分别为
z1
=
iπ
e4
和
i 3π
z2 = e 4
，它们都是函数 f (z)
的单极点，由公式 resf (b) = φ(b) ，得函数在这两个奇点的留数分别为： ψ '(b)
a2
是奇函数;
f (z) =
z z2 + a2
,
满
足条件： ①在实轴上无奇点；②在上半平面除有限个奇点外单值解析；③当
z → ∞ 时， f (z) → 0
∫ 所以
∞
0 x2
x +
a2
sin
bxdx
=
π
函数
zeibz z2 + a2
在上半平面的奇点的留数之和
函数
zeibz z2 + a2