《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第三篇 第2讲 导数的应用(一).pptx

A.(－∞，－1)
B.(－1，1)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 f′(x)＝a（（x12＋－1x）2）2，令 f′(x)>0，解得－1<x<1，故 f(x)的单调递增区间是(－1，
1).
答案 B
基础诊 断
考点突 破
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4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极
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基础诊 断
考点突 破
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规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一 般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不 恒等于0的参数的范围. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a， b)上有解.
基础诊 断
考点突 破
h′(x)＝1x＋176x－2＝16＋71x62x－32x＝（7x－4）16（x x－4）， ∵x∈[1，4]， ∴h′(x)＝（7x－4）16（x x－4）≤0， 当且仅当x＝4时等号成立.(***) ∴h(x)在[1，4]上为减函数. 故实数 a 的取值范围是－176，＋∞.
基础诊 断
考点突 破
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易错警示 (1)本例中，对特称命题理解不清，不能把第(1)问转化为1x－ax－2<0 有 解，难以得到不等式(*).错求 a 的取值范围.(2)错误理解“f(x)为减函数的充要条件是 对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≤0，且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0”. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.导致在第(2)问中(**)处易错求 h′(x)<0 恒成立，另外在(***)处容易忽视 a＝－176进行检验.

第5讲 几何概型A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是( )．A ．1B ．0.1C ．0.01D ．0.001解析 设事件A 为“10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝101 000＝0.01，所以10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 答案 C2. (2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )．A.165B.215C.235D.195解析 由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为235，故选C. 答案 C3．(2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14 B.13 C.12D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |. 故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12.答案 C4．(2012·辽宁)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( )．A.16B.13C.23D.45解析 设出AC 的长度，先利用矩形面积小于32 cm 2求出AC 长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm ，0＜x ＜12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，故所求概率为812＝23. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·长沙模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为________．解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.答案 136．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P (D )＝1－(12)2π－(14)2ππ＝1316. 答案 1316 三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 8．(13分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx 有不等实数根的概率为( )．A.14B.12C.34D.25解析 方程x ＝22a －2bx ，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．解析 确定点P 到点O 1，O 2的距离小于等于1的点的集合为，以点O 1，O 2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V ＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积为V ＝Sh ＝3π，所以点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为V ＝1－4π33π＝59. 答案 594．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析 三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh＝78.答案 78三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中b ，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”发生的概率． (1)若随机数b ，c ∈{1,2,3,4}；(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x |0≤x ≤1}，b ，c 是算法语句b ＝4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”） 解 由f (x )＝x 2＋bx ＋c 知，事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”，即⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3.(1)因为随机数b ，c ∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b ，c )，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3包含了其中6个数对(b ，c )，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以P (A )＝616＝38，即事件A 发生的概率为38. (2)由题意，b ，c 均是区间[0,4]中的随机数，点(b ，c )均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S (Ω)＝16.事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S (A )＝12×(1＋4)×3＝152. 所以P (A )＝S (A )S (Ω)＝15216＝1532，即事件A 发生的概率为1532.6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解 甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以y 和x 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式，得P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是67288.。

第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )．A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3. 答案 B2．(2012·安徽)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．(2013·潍坊模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )．A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析 计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，得到右边草图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1，故选A. 答案 A4．(2013·银川一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·北京)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 26．(2011·江苏)设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2三、解答题(共25分)7．(12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.8．(13分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0， 设圆心C (a ，b )半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①又由在y 轴上截得的线段长为43，知r 2＝12＋a 2， 可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)， 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎨⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122.代入③式，得m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足判别式Δ>0， ∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·南昌模拟)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M所处位置为点M ′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A 在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2，1m 2＋n2＝4－1， ∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3. 答案 34．(2012·浙江)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________. 解析 x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x 的距离为42－2＝2，所以y ＝x 2＋a 到y ＝x 的距离为2，而与y ＝x 平行且距离为2的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得a ＝94. 答案 94三、解答题(共25分)5．(12分)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.6．(13分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·潍坊一模)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A.74B ．2C.94D ．4解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C2．(2012·台州质检)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.33B.12C.22D.13解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22.答案 C3．(2012·临沂二模)抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于( )．A ．7B ．3 5C ．6D ．5解析 点A (1,2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F (1,0)，则B (4，－4)，故|F A |＋|FB |＝7. 答案 A4．(2013·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( )．A ．1＋2 2B ．4－2 2C ．5－2 2D ．3＋2 2解析 如图，设|AF1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5－22，故应选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)，∵x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即该弦所在直线的方程为2x ＋4y －3＝0. 答案 2x ＋4y －3＝06．(2013·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝1 三、解答题(共25分)7．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． (1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．8．(13分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4. 故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy ，①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线， 得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·皖南八校联考)已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是( )．A.13B.223C ．2 2D.24解析 法一 据题意画图，作AA1⊥l ′，BB 1⊥l ′，BD ⊥AA 1.设直线l 的倾斜角为θ，|AF |＝2|BF |＝2r ， 则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|AD |＝2r ， 所以有|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r ，k ＝tan θ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.法二 直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)，可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|F A |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k >0，故k ＝2 2. 答案 C2．(2012·沈阳二模)过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ．(5,52)解析 令b ＝5－a 2，c ＝a 2＋b 2，则双曲线的离心率为e ＝ca ，双曲线的渐近线的斜率为±ba .据题意，2<ba <3，如图所示． ∵ba ＝e 2－1， ∴2<e 2－1<3， ∴5<e 2<10， ∴5<e <10. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.答案 634．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b 的值为________．解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28. (2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．6．(13分)(2012·临沂二模)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP |＝2|DM |，点P 在圆上运动． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点C (－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝x ，y 0＝2y .∵P (x 0，y 0)在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4.∴x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1.点M 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1(x ≠±2)．(2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (n,0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.∴NA →·NB →＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2) ＝(1＋k 2)x 1·x 2＋(x 1＋x 2)(k 2－n )＋n 2＋k 2 ＝(1＋k 2)×2k 2－41＋2k 2＋(k 2－n )×－4k 21＋2k2＋k 2＋n 2 ＝k 2(4n －1)－41＋2k2＋n 2 ＝12(2k 2＋1)(4n －1)－12(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2n 2＋4n －1)－2n ＋721＋2k 2.∵NA →·NB→是与k 无关的常数，∴2n ＋72＝0. ∴n ＝－74，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，此时NA →·NB→＝－1516.当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB →＝－1516. 综上所述，在x 轴上存在定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，使NA →·NB→为常数．。