2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练9统计与统计案例理

(八)数列(B)1．(2018·江苏金陵中学期末)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，且满足a 1＝2，对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(其中常数p >1)，数列{b n }满足b n ＝1nlog 2(a 1a 2…a n )． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若p ＝222017，求b 2 018的值；(3)若∃k ∈N *，使得p ＝2221k +，记c n ＝⎪⎪⎪⎪b n －32，求数列{c n }的前2(k ＋1)项的和． (1)证明 因为∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2， a n ＋2＝(p －1)S n ＋1＋2，所以两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝(p －1)a n ＋1， 即a n ＋2＝pa n ＋1，当n ＝1时，a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1， 所以a n ＋1＝pa n (n ∈N *)，又a 1＝2，p >1，所以{a n }是以2为首项，p 为公比的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n (n －1)2 017 所以b 2 018＝2.(3)解 由(1)得a n ＝2p n －1. b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1n log 2(1)2122n n n k -+⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝1＋n －12k ＋1.因为b n －32＝2n －2k －32(2k ＋1)， 所以当1≤n ≤k ＋1时，c n ＝32－b n ， 当n ≥k ＋2时，c n ＝b n －32. 因此数列{c n }的前2(k ＋1)项的和T 2k ＋2＝－(b 1＋b 2＋…＋b k ＋1)＋(b k ＋2＋b k ＋3＋…＋b 2k ＋2)＝－0＋1＋…＋k 2k ＋1＋ (k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ＋12k ＋1＝－k (k ＋1)22k ＋1＋ (k ＋1)(k ＋2k ＋2)22k ＋1＝(k ＋1)22k ＋1. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列， a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k ) ＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2。

板块四模拟演练·提能增分[级基础达标]．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则( )．＝<．＝<．＝<．＝＝答案解析随机抽样包括：简单随机抽样，系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等．．[·海口调研]某校三个年级共有个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为到，现用系统抽样方法，抽取个班进行调查，若抽到的最小编号为，则抽取的最大编号为( )．．．．答案解析系统抽样的抽取间隔为＝，若抽到的最小编号为，则抽取到的最大编号为×＋＝.故选.．[·青岛模拟]某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )．．．．答案解析由分层抽样的定义可知高中二年级被抽取的人数为×＝.故选.．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为，…，的个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取组数作为个红色球的编号，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个红色球的编号为( )．．．．答案解析从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的个红色球的编号依次为，故选出的第个红色球的编号为.．某工厂的三个车间在月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为，，，且，，构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )．．．．答案解析因为，，成等差数列，所以＝＋.所以＝.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×＝.．[·东北三校联考]某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为∶∶，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有件，则样本容量＝( )．．．．答案解析依题意得×＝，解得＝，即样本容量为.．某工厂平均每天生产某种机器零件件，要求产品检验员每天抽取件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为，…，，若抽取的第一组中的号码为，则第三组抽取的号码为( )．．．．答案解析将零件分成段，分段间隔为，因此，第三组抽取的号码为＋×＝，选.．[·无锡模拟]若采用系统抽样的方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随。

板块四模拟演练·提能增分[级基础达标]．[·湖北模拟]已知变量和满足关系＝－＋，变量与正相关．下列结论中正确的是( )．与正相关，与负相关．与正相关，与正相关．与负相关，与负相关．与负相关，与正相关答案解析因为＝－＋的斜率小于，故与负相关．因为与正相关，可设＝＋，>，则＝＋＝－＋＋，故与负相关．．[·桂林模拟]根据如下样本数据：．>，> ．>，<．<，> ．<，<答案解析由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知<，>.．通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量的观测值≈，参照附表，得到的正确结论是( )．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”答案解析因为的观测值≈>，所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．．[·洛阳模拟]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(轴、轴的单位长度相同)，用回归直线方程＝＋近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )．线性相关关系较强，的值为．线性相关关系较强，的值为．线性相关关系较强，的值为－．线性相关关系较弱，无研究价值答案解析由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比＝的斜率要小。

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数答案 B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.2．[2018·湖南模拟]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是() A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×735＝4人．3．[2018·广州联考]学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为( )A.100 B ．120 C ．130 D ．390 答案 A解析 由图知[10,30)的频率为：(0.023＋0.01)×10＝0.33，[30,50)的频率为1－0.33＝0.67，所以n ＝670.67＝100，故选A.4.[2018·郑州质量预测]PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定答案 A解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．5．甲、乙两人在一次射击比赛中射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案 C解析 甲的平均数是4＋5＋6＋7＋85＝6，中位数是6，极差是4，方差是(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋225＝2；乙的平均数是5＋5＋5＋6＋95＝6，中位数是5，极差是4，方差是(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋325＝125，故选C.6．[2018·金华模拟]设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a答案 A解析 由均值和方差的定义及性质可知：y ＝x ＋a ＝1＋a ，s 2y ＝s 2x ＝4.故选A.7．[2015·重庆高考]重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A．19 B．20 C．21.5 D．23答案 B解析由茎叶图知，平均气温在20 ℃以下的有5个月，在20 ℃以上的也有5个月，恰好是20 ℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.选B.8．[2018·聊城模拟]某校女子篮球队7名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为________．答案 2解析由题意有：175×7＝180×2＋170×5＋1＋1＋2＋x＋4＋5⇒x＝2.9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：________．答案甲解析x甲＝x乙＝9，s2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定．10．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则(1)图中的x＝________；(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．答案(1)0.0125(2)72解析x等于该组的频率除以组距20.由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003＋0.003)，解得x＝0.0125.上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿．[B级知能提升]1．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是()A．35 B．48 C．60 D．75答案 C解析设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n＝5＋15＋250.75＝60.2．[2015·安徽高考]若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32答案 C解析已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.3.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝________；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是________．答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝ 76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×(142＋1＋0＋92＋62)＝3145，s 2乙＝15×(132＋42＋0＋92＋82)＝3305，所以s 2甲<s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组．4．[2018·南宁模拟]某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由；(2)若从甲、乙两人90分以上的成绩中各随机抽取1次，求抽到的2次成绩均大于95分的概率．解 (1)由茎叶图可知，甲的平均成绩，x －甲＝79＋84＋85＋87＋87＋88＋93＋94＋96＋9710＝89，乙的平均成绩x －乙＝75＋77＋85＋88＋89＋89＋95＋96＋97＋9910＝89，甲、乙的平均成绩相等．又甲成绩的方差s 2甲＝110[(79－89)2＋(84－89)2＋(85－89)2＋(87－89)2＋(87－89)2＋(88－89)2＋(93－89)2＋(94－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2]＝30.4，乙成绩的方差s2乙＝110[(75－89)2＋(77－89)2＋(85－89)2＋(88－89)2＋(89－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2＋(99－89)2]＝60.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适．(2)从甲、乙两人90分以上的成绩中各随机抽取1次的不同结果有(93,95)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(94,95)，(94,96)，(94,97)，(94,99)，(96,95)，(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,95)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共16种．记“抽到的2次成绩均大于95分”为事件A，则事件A的结果有(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共6种．因此抽到的2次成绩均大于95分的概率P(A)＝616＝38.5．[2017·云南统一检测]某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：(1)(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．∴P＝162200＝81100＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为x－＝16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62200＝73，∴这次数学测验的年级平均分大约为73分．。