重庆大学电磁复试资料
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题1 图示1. 已知二维静电场的场强j y x y i y x x y x E2/3222/322)(3)(3),(+++=伏/米，试求场中P(3, 5)、Q(7, 0)两点间的电压。
解：中已知电场分布，可采用电场积分计算电位差。
()()()⎰⎰⎰+++=⋅+⋅⋅=⋅=QPQ Py x Q P PQyyxyx yxxe y e x E l E U d 3d 3d d d 23222322//静电场积分与路径无关，可以选择任意路径求取该积分，如上图中彩色线所示。
实际选择便于积分的路径2作为积分路径：()()()()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=QRRP PQy yxyx y x xy yxyx y x x U d 3d 3d 3d 32322232223222322//// ()()⎰⎰+++=QRRPy y yx xxd 493d 253232232//()()5049337253212212//+-++-=y x493343-== 0.1103 伏2. 写出电荷体密度分别为1ρ和2ρ，半径分别为a 与b 的双层同心带电球体的静电场的边值问题。
解：边值问题一般包含反映待求区域内场源情况的泊松方程和该区域的边界条件。
（1）如图所示，设三处电位分别为1ϕ、2ϕ、3ϕ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂===∇-=∇-=∇∞→========→0lim 03323221210132222112r b r b r b r b r ar a r a r a r r r r r rϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕερϕερϕ//3. 有三块相互平行、面积均为S 的薄导体平板，Ａ、Ｂ板间是厚度为d 的空气层，Ｂ、Ｃ板间则是厚度为各为d 的两层介质，其介电系数分别为1ε和2ε（都是常数），如图所示。
设Ａ、Ｃ两板接地，Ｂ板上的电荷为Q ，忽略边缘效应，试求： （１）板间三区域内的电场强度； （２）两介质分界面上的极化电荷面密度； （３）Ａ、Ｃ板上各自的自由电荷面密度。
题2图解：由题意可知：Ａ、Ｂ板间，Ｂ、Ｃ板间形成2个电容器。
故有Ａ、B、Ｃ导体板上的自由电荷：Q B= QＡ+ QＣ。
建立如图直角坐标系，在介质区ε1ε和2ε，电场都均匀分布，设各区的电场强度正方向如图示，则电场强度仅是x坐标的函数。
（1）板间三区域内的电场强度１）由分界面衔接条件：1ε区和2ε区电场强度满足关系式2132EEεε=２）过Ｂ板作与之相正交的圆柱面，底面积S∆，由高斯定律得：2211ddS d21SDSDDSSS⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰()SeDSeDxx∆⋅+∆-⋅=21SSQ∆=有：SQEE=-121εε3）由题意：0d=⋅=⎰C AAClEU，得：321=++dEdEdE联立上述三个方程得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=-3211212132dEdEdEsQEEEEεεεε解得()()x e SQE1221211εεεεεεεε+++-=()x e S QE 10022122εεεεεεε++=()x e SQ E 10022113εεεεεεε++=（2）两介质分界面上的极化电荷面密度Ｂ、Ｃ板间介质分界面处介质1ε区的外法线方向为2e，其面极化电荷密度为2P σ，在分界面处介质2ε区的外法线方向为3e ,其面极化电荷密度为3P σ，设分界面上面极化电荷密度P σP σ＝2P σ＋3P σ＝()x x e P e P-⋅+⋅32此时，紧靠分界面介质1ε侧： 2022E D Pε-=紧靠分界面介质2ε侧： 3033E D Pε-=在分界面上有： 3322D D D D n n ===则：P σ＝()x e E E⋅-230ε＝()()S Q100221210εεεεεεεεε++-（3）自由电荷面密度 Ａ板上A σ＝n e D⋅1＝()()S Q100221021εεεεεεεεε+++-Ｃ板上c σ＝()ne D -⋅3＝()S Q10022121εεεεεεεε++--4. 在图示球形电容器中，对半地填充有介电系数分别为1ε和2ε的两种均匀介质，两介质交界平面是以球心为中心的圆环面。
在内、外导体间施加电压U 时，试求： （1）电容器中的电位函数和电场强度； （2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。
解：由图可知，设内、外导体表面分布的电荷为 q 和 －q 。
球形电容器中的电场具有球对称性，若以球心为原点建立球坐标系，则电场方向均由球心沿径向r 方向指向外导体内表面。
（1）计算电位函数和电场强度做一半径为r （R 1 < r < R 2）的高斯面Ｓ，处在介质1ε中的半球面面积为1S ，介质2ε中的半球面面积为2S ，S d 的方向（即球面外法线方向）如图示，由高斯定律得：221121S D S D S D d d d S S S ⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰221121S D S D d d S S ⋅+⋅=⎰⎰22221122r E r E πεπε⋅+⋅=＝q在介质1ε和2ε分界面上有t t E E 21== 21E E =，则q r E =+)(21212εεπ∴R r qe )(E E 212212εεπ+==设外导体电位01=ϕ，内导体电位2ϕ，已知两导体电位差为U ，即得：r E d U R R ⋅=-=⎰21112ϕϕdr r qR R⎰+=212122)(εεπ|)(21212RR r q εεπ+-=++-=2212R q )(εεπ1212R q )(εεπ+ ∴ ()U R R R R q 1221212-+=εεπ∴ 电容器中的电场强度： ()r e r R R R UR E E2122121-==介质中的电位函数：r E R rd 21⋅=⎰ϕ()|2212R r r qεεπ+-=)(2122111R r R R R UR --=（2）内导体表面上的自由电荷密度设介质1ε中的内导体外表面上自由电荷密度为1σ，介质2ε中的内导体外表面上自由电荷密度为2σ()1212111111R R R UR e E D e r n -=⋅=⋅=εεσ()1212222222R R R UR e E D e r n -=⋅=⋅=εεσ（３）电容器电容：()1221212R R R R U q C -+==εεπ2-10 半径为a 的导体球，被内半径为b （b >a ）、外半径为c （c >b ）的一个同心导体球壳所包围，两导体间填充介质，其介电系数为ε（常数），外球壳之外为空气。
设外导体带有电荷Q ，内球接地（假定大地在无限远处）， 试求：（１）内球上应有的电荷q ；（２）两个介质区间中的电位函数与电场强度； （３）求静电独立系统的能量。
解：外导体具有电荷Q ，内球电位为零，两导体之间有电位差，内外导体之间有电容；外导体与大地之间也有电容。
设内球上有电荷q ，则外球壳内表面有感应电荷－q ，外球壳外表面有电荷（q ＋Q ）。
（1）于球心处设置坐标原点，并建立球坐标系，充分利用内球接地（01=ϕ）这一已知条件。
做一高斯面S 1，如图示。
由高斯定律得：q S =⋅⎰S E d 11ε214rE πε⋅＝q∴r rq e E 214πε=（a <ｒ<b ）同理，做一高斯面2Sq Q S +=⋅⎰S E d 220ε2204r E πε⋅＝Q q +∴rrQq e E 2024πε+=（ｒ>c ） 外球壳电位：r E d 22⋅=⎰∞cϕdr rq Q c⋅+=⎰∞204πεc Qq 04πε+= 内球壳电位：r E d 11⋅=⎰∞a ϕ21ϕ+⋅=⎰r E d ba cQ q b a q 04114πεπε++-=)( 由内球接地01=ϕ，得： εεεab a b c Qab q +--=)(0（2）将q 代入下列各式，可得两个介质区间中的电位函数与电场强度rQ q b a q r 014114πεπεϕ++-=)()( （a ≤ｒ≤b ）rQq r 024πεϕ+=)( （ｒ≥c ）r rqe E 214πε=（a <ｒ<b ）rrQq e E 2024πε+=（ｒ>c ）（３）内、外导体与大地组成了三导体静电独立系统静电独立系统的能量：解法一∑==⋅+⋅==||c r a r k k e Q q q W 21212121ϕϕϕc Q q Q 08πε)(+=解法二：V W V e d 21⎰⋅=E D 111d 211V V ⎰⋅=E D 222d 212V V ⎰⋅+E Dr r E D ba d 421211⎰⋅=)(πdr r E D c ⎰∞⋅+)(222421π cQ q Q 08πε)(+=（４）系统的等值电容解法一：按定义式eW Q C 22=q Q cQ+=04πε c a b ab 044πεπε+-= 解法二：外导体对内导体（接地）有电容1C ，外导体对大地有电容2C ，系统的等值电容为1C 、2C 并联：C =1C +2C121ϕϕ-=q C a b ab-=πε4 （01=ϕ）， 022-+=ϕQq C c 04πε=∴C。
