数论综合(四)

济南六年级奥数题及答案：面积1.一半模型如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD ，长方形 ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．2.直线型面积如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为________．1.分百应用题小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？2.列方程解应用题有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和B ，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开A孔，关闭B孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，则需要 22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过分钟才能将水箱注满．济南六年级奥数题及答案：质数和合数1.质数和合数一个三角形的三条边的边长都是质数，三条边长之和是16。

那么最长边与最短边的差是____。

2.数阵、数表下列数表的最后一个数的个位数是_____。

1 2 3 4 5……97 98 99 1003 5 7 9 …… 195 197 1998 12 16 …… 392 39620 28 (788)…… ……1.行程问题四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米．他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长米．2.行程问题已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲、乙分别从B ，A 两地出发同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么A ，B 两地的距离是多少？济南六年级奥数题及答案：数论综合1.数论综合已知四位数的个位数与千位数之和为10，个位数既是偶数又是质数，百位数与十位数组成两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，则所有满足条件的四位数中最大的是．2.数论综合有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数(包括1和本身)，其中有一个质因数的末位数字是1，求这个四位数．1.计算与巧算11×19+12×18+13×17+14×16=2.计算与巧算济南六年级奥数题及答案：乘法原理1.乘法原理，分类讨论现有1角币1张，2角币1张，5角币1张，1元币4张，5元币2张。

数论综合
数论是专门研究整数的数学分支。

小学里面讲的数论主要包括以下方面的内容：数的整除性、奇数与偶数、质数与合数、分解质因数、约数与倍数、带余数的除法、数的十进制和完全平方数等。

【1】一个六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是____
【2】一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数中最小的是_____
【3】在算式A×（B＋C）＝110＋C 中，A、B、C 是三个互不相等的质数，那么三个数分别是____ ，____ ，____
【4】是否存在自然数a 和b，使得ab（a＋5b）＝15015
【5】两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是_________
【6】如果一个质数分别加上2、8、14、26 后，得到的和都是质数。

那么原来的质数是 ________
【7】一个长方体的长宽高是三个两两互质且均大于1 的自然数，长方体的体积是8721，那么它的表面积是__________
【8】四个连续自然数，它们从小到大依次是3 的倍数、5 的倍数、7 的倍数、9 的倍数，这四个连续自然数的和最小是__________
【9】一个大于1 的自然数去除300、243，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是__________
【10】一个两位数十位数字是7，将这个两位数的两个数字交换，相差的数是一个完全平方数，这个两位数是__________。

数论提高班综合题目第一节． 基础知识例1.1.设(,)1,a m =则存在整数,1,k k m ≤<使得1(mod )k a m ≡例1.2，求不定方程223m n x +=的全部正整数解。

例1.3.求出方程22567130x xy y -+=的全部整数解。

解答：判别式=22(6)457465005y y y --⨯⨯+⨯≥⇒≤，将0,1,2,3,4,5y =±±±±±逐例11a +例记S =例5(y 例例（2例（2（3）设p 是异于2和5的任何一个质数。

证明：(1)99...9p k p -个，这里k 是任意正整数。

例1．10..设31000!k ，但是13|1000!k +/。

求k 。

例 1.11.设11(mod ),m a m -≡对于1m -的任一约数n ，当01n m <<-时都有1(m o d )n a m≡/。

证明：m 是质数。

例1.12.证明：2124nk k n =⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑。

例1.13.证明：当n 通过一切自然数时，形如41n -的数中一定有无穷多个质数。

例14.设二元一次不定方程ax by c +=（,,a b c 都是正在整数而(,)1a b =）有一组解00(,)x y ，那么它的任何一组解可以表为,x x bt t Z y =-⎧∈⎨=⎩ 例例49x -例1a a -1b b -例例例1.20.设整数,,x y z 满足()()()x y y z z x x y z ---=++。

证明：27x y z ++例1.21.设 1.n >证明：11...1n不是完全平方数。

例 1.22．设有两个数列{}n x 为1,3,5,11，。

满足112,2n n n x x x n +-=+≥；{}n y 为7，17,55,161，。

满足1123n n n y y y +-=+。

证明：这两个数列没有相同的项。

第二十一讲第二十一讲 数论综合数论综合例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。

将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。

请求出这24个四位数中最大的一个。

例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。

按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？例5：一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？例6：某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？A1．一个六位数2323□□5656□是□是88的倍数的倍数,,这个数除以88所得的商是所得的商是_______________或或_____.2．下面一个1983位数3333……3□4444……4中间漏写了一个数字中间漏写了一个数字((方框方框),),),已知这已知这已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是整除，那么中间方框内的数字是_____. _____.3．只修改21475的某一位数字的某一位数字,,就可知使修改后的数能被225整除整除,,怎样修改？怎样修改？4．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数和它本身为约数..已知一个长方形的长和宽都是质数个单位的长和宽都是质数个单位,,并且周长是36个单位个单位..问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?5. 把7、1414、、2020、、2121、、2828、、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等. .B6．有这样的两位数有这样的两位数,,它的两个数字之和能被4整除整除,,而且比这个两位数大1的数的数,,它的两个数字之和也能被4整除整除..所有这样的两位数的和是所有这样的两位数的和是____. ____.7. 学生1430人参加团体操人参加团体操,,分成人数相等的若干队分成人数相等的若干队,,每队人数在100至200之间之间,,问哪几种分法分法? ?8. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,,每瓶和其他各瓶分别合称一次每瓶和其他各瓶分别合称一次,,记录千克数如下:8:8、、9、1010、、1111、、1212、、13.13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,,求最重的两瓶内有多少油两瓶内有多少油? ?9．一个小于200的自然数的自然数,,它的每位数字都是奇数它的每位数字都是奇数,,并且它是两个两位数的乘积并且它是两个两位数的乘积,,那么这个自然数是然数是_____. _____.1010．试问．试问．试问,,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上个自然数排列在圆周上,,使得在任何5个相连的数中个相连的数中,,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明则需给出说明. .C11.11.一个学校参加兴趣活动的学生不到一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5 。

第19讲数论综合知识点精讲一、特殊数的整除特征1.尾数判断法1)能被2整除的数的特征：2)能被5整除的数的特征：3)能被4（或25）整除的数的特征：4)能被8（或125）整除的数的特征：2.数字求和法：3.99的整除特性：4.奇偶位求差法：5.三位截断法：特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1.基本定义【质数】——【合数】——注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】——【分解质因数】——用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<a n。

【互质数】——【偶数】——【奇数】——2.质数重要性质1)100以内有25个质数：2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3)1既不是质数,也不是合数4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5)最小的质数是2.最小的奇质数是36)有无限多个3.质数的判断：1)定义法：判断整除性2)熟记100以内的质数3)平方判断法：例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数1)无限多个2)最小的合数是43)每个合数至少有三个约数5.互质数1)什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3⨯7,不能写成：3⨯7=21.6.偶数和奇数1)0属于偶数2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3)除2外所有的正偶数均为合数4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶四、约数与倍数1.约数与倍数概念：2.一个数约数的个数：3.平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

计数综合知识点总结一、基本概念1.1 整数的计数整数的计数是计数综合的基础，它涉及到了对一定范围内的整数进行统计和计数。

在整数的计数中，通常需要掌握一些计数的基本规则和方法，如加法原理、乘法原理、排列、组合等。

这些基本规则和方法在解决实际问题时发挥着重要作用，可以帮助我们快速有效地进行计数和统计。

1.2 排列和组合排列和组合是计数综合中常用的概念和方法。

排列是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行排列，每个元素只能用一次，且考虑元素的先后顺序。

组合是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行组合，不考虑元素的先后顺序。

在实际问题中，排列和组合经常被用来求解具体的计数问题，例如排队、选组、抽样等。

1.3 概率与计数概率与计数是紧密相关的，概率可以看作是一种特殊的计数问题。

在概率计算中，我们通常需要对一个事件发生的可能性进行估计和计算，而这种估计和计算通常涉及到了对事件的计数和统计。

因此，在概率计算中，我们经常需要运用排列、组合等计数方法来进行计算和推理。

1.4 数论与计数数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和规律。

在数论中，我们通常需要对整数的计数和排列进行研究和分析，例如素数分布、约数个数等。

因此，数论和计数综合有着密切的关系，通过对整数性质的研究，我们可以进一步深化对计数综合的理解和应用。

二、常用方法2.1 加法原理加法原理是计数综合中常用的基本规则之一，它用于求解特定情况下的计数问题。

加法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相加得到最终的计数结果。

例如，如果一个事件可以分解为两个相互独立的子事件，那么这两个子事件的计数结果之和就是该事件的计数结果。

加法原理在解决复杂的计数问题时发挥着重要作用，它能够帮助我们简化问题、降低求解难度。

2.2 乘法原理乘法原理是计数综合中另一个常用的基本规则，它也用于求解特定情况下的计数问题。

乘法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相乘得到最终的计数结果。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

第三部分数论知识一、奇偶性判断奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶奇数的连乘永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定为偶数。

相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。

奇数用2K＋1 或2K－1（K 是整数）表示；偶数用2K 表示。

典型题1：用0，1，2，…9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的小，那么这五个两位数的和是多少？典型题2：用1，2，3，4，5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问：乘积中是偶数多还是奇数多？典型题3：3—9这七个数，两两相乘后得到乘积的和，是奇数还是偶数？为什么？重点1：两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性典型题4：能否用1，2，3…101这101个数各一次及“+”，“-”运算符合，列出一个结果为0的算式？若能，请列出一个，若不能，说明理由。

典型题5：在下图的每个○中填入5个自然数（可重复），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）都等于图中两个○之间的那个数，能否办到？为什么？重点2：利用“奇数不等于偶数”证明一些较复杂的奇偶性问题典型题6：小明与小光参加数学竞赛，比赛试题共50道，评分标准是：（1）每对一题给3分；（2）不答给1分；（3）答错倒扣1分小明说：“我得了107分”，小光说：“我得了98”，他们两人中只有一人说对了，你能判断出是非吗？请说明理由典型题7：图中每条直线上都有四个圆圈，将这些圆圈任意涂上红色或蓝色，是否可以使得恰好有三条直线上的红圈数是奇数？典型题8：在一个联欢会上，有5位同学，他们中的每一位同学与三位同学各握一次手，这可能吗？二、位值原则形如：abc=100a+10b+c，这是解决数论问题时我们经常用到的。

典型题1：三位数abc与它反序数cba的差能被99整除吗？若能，这个商是多少？典型题2：已知abcd+abc+ab+a=1370，求abcd。

六年级下册奥数第9讲~数论综合【知识精讲】本讲属于数论专题，数论专题在近几年的升学中占比大约在5% ——10%，在各类竞赛中的占比约为15%，虽然分值不是很高，但是题型多变，考察方式也呈现多样化。

在2015年辅仁，2008年大桥以及各类竞赛中都有出现。

这部分的内容主要以填空和选择的形式考察，偶尔会有创新题的形式出现，对学生提取信息以及综合运用的能力要求比较高，但是有不少知识点需要同学们在理解的基础上加以记忆。

本讲需要掌握以下三点内容：1、位值原理2、进位制3、整除的性质和判定。

知识点一：位值原理例1、【大桥期初题】一个两位数的中间加上一个 0，得到的三位数比原两位数的8倍小1。

原来的两位数是多少？练1、在一个两位数的两个数字中间加一个 0,所得的三位数比原来大8倍，求这个两位数例2、一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7,试求两个数的差。

练2、把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来数大792,那么原来的三位数最大可以是多少?知识点二：进位制例 3、(2012) 5=( )io 2015=( )8=( )12 练 3、( 3A2) 12= ( ) 10 2014=( )5= ( ) 16知识点三：整除的性质和判断例4、某个七位数2013□□口能够同时被2，3，4，5，6，7次是多少？练4、已知13ab45c能被792整除，求a,b,c的值自我挑战:1、【希望杯】在算式“希望杯就是好 8就是好希望杯 5希望杯就是好”所代表的的六位偶数是多少?，8, 9中，不同的汉字代表不同的数字，则2、在六进制中有三位数abc，化为九进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?3、1111 111仁22222 22222是一个4023位数，它能被13整除，□内应填数字是多少?2011个1 2011个24、【大桥】由0— 6组成，百位比十位大，十位比各位大的三位数，能被3整除的数有多少个?温故而知新!1、进制互化1CA16= 101248 10 = 3120 10= 1611202 4=2、六位数口2004□能被99整除，这个六位数是多少?3、一个两位数，将个位与十位交换位置后，得到一个新的两位数，已知新数比原数大54,求原数是多少?4、已知个五位数1a75b能被72整除，则这个五位数是多少?5、依次写上1,2,3,4……，2008,则123456789101112…20072008除以9的余数是多少?6、由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少?。