广西省桂林市2011届高三第二次联合调研考试数学试题(理)
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广西省桂林市2011届高三第二次联合调研考试
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证
号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P (A +B )=P (A )+P (B ) cl S 2
1
=锥侧
如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=球
次的概率()(1)
k k n k
n n P k C P P -=- 其中R 表示球的半径 一、选择题 1．复数21i
i +等于
（ ）
A ．1i -+
B ．1i +
C ．22i -+
D ．22i +
2．若等比数列13455
{}10,,4
n a a a a a +=+=满足则数列{}n a 的公比q 为 （ ）
A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．8 3．已知3(,),sin ,tan()254ππ
απαα∈=+则的值为
（ ）
A ．17-
B ．7
C ．1
7
D ．—7
4．若函数1
()x y f x +=与y=e 的图象关于直线y x =对称，则()f x =
（ ）
A ．ln 1(0)x x =>
B ．ln(1)(1)x x ->
C ．ln 1(0)x x +>
D ．ln 1(1)x x ->
5．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为 （ ）
A
．
6
B
．
3
C ．
12
D
．
2
6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为21
33a b
+则
的最小值为 （ ）
A
B
C ．2
D ．1
7．过点M 1(,1)2
的直线l 与圆C 22:(1)4x y -+=交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为
（ ）
A ．20x y -=
B ．220x y ++=
C ．2430x y -+=
D ．2450x y +-=
8．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0x f x '+<（其中()f x '是函数()f x 的导数），又
0.112
1
(log 3),[()],(ln3),3a f b f c f ===则
（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
9．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等将的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书，若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有 （ ） A ．288种 B ．144种 C ．108种 D ．72种 10．设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点A （0，2），若线段FA 与抛物线的交点B 满足
3FA FB =
，则点B 到该抛物线的准线的距离为
（ ）
A
．
12
B
．
12
C
．
18
D
．
18
11．
已知向量(2,0),(2,2),)OB OC CA θθ===
()R θ∈，则向量OA OB 与
的夹角的取值范围是
（ ）
A ．[
,]123
ππ
B ．[
,
]412ππ
C ．5[
,
]1212ππ
D ．5[
,]122
ππ 12．已知l αβ--是大小为45°的二面角，C 为二面角内一定点，且到半平面αβ和的距离分
6，A 、B 分别是半平面,αβ内的动点，则△ABC 周长的最小值为（ ） A
．6
B
．5
C ．15
D
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中相应题的横线上。
13．设全集{*|lg 1},{|21,1,2,3,4,5}U U A B x N x A C B m m n n ==∈<==-= 若，
则集合B= . 14
．已知2(
a x -的展开式中3x 的系数为9
4
，则常数a 的值为 . 15．已知P 是双曲线22
1916
x y -=上的动点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且20F M MP ⋅=
，O 为坐标原点，则|OM|= .
16．已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若
点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(2)tan tan ,c b B b A -=求角A 。
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，
AB//DC ，∠BCD=90°，E 为棱PC 上异于C 的一点，DE ⊥BE 。
（1）证明：E 为PC 的中点； （2）求二面角P —DE —A 的大小。
19．（本小题满分12分）某大学毕业生参加一个
公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A 、B 两个题目，该学生答对A 、B
两题的概率分别为
12和1
3
，两题全部答对方可过入面试，面试要回答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为1
2
，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个题目回答
正确与否是相互独立的） （1）求该学生被公司聘用的概率；
（2）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(21)(*)n n S n a n N =--∈ （1）设(21)n n b n S =+，求数列{}n b 的通项公式；
（2）证明：
222111111
.2
n b b b +++< 21．（本小题满分12分）如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交地F 1，焦点为F 2，以F 1、F 2为焦点，离心率1
2
e =
的椭圆C 2与抛物线C 2在x 轴上方的交点为P 。
（1）当m=1时，求椭圆C
2的方程；
（2）延长PF 2交抛物线于点Q ，M 是抛物线C 1上一动
点，且M 在P 与Q 之间运动，当△PF 1F 2的边长 恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ 面积的最 大值。
22．（本小题满分12分）设曲线
2
31:()()C f x x ax b a b R =-+∈ （1）若函数()ln [()]2a
g x x f x a x b
'=-
+-存调递减区间，求a 的取值范围；
（2）若过曲线C 外的点A （1，0）作曲线C 的切线恰有三条，求a ，b 满足的关系式。
