-线性代数方程组的解法-LU分解
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线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
lu分解条件 主子式不为零
lu分解条件主子式不为零1.引言1.1 概述在数学和线性代数中，LU分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵(Lower triangular matrix)和一个上三角矩阵(Upper triangular matrix)的乘积。
LU分解条件指的是在进行LU分解时，矩阵的主子式不为零的要求。
主子式是指从一个矩阵中选择若干行和若干列所形成的子矩阵的行列式。
矩阵的主对角线上的行列式称为一阶主子式，主对角线两侧排列的两行两列行列式称为二阶主子式，依此类推。
主子式的值可以用来确定矩阵的性质和特征。
主子式不为零的意义在于确保LU分解的可行性和唯一性。
当矩阵的主子式都不为零时，LU分解存在且唯一。
这是因为当主子式不为零时，矩阵中的行和列之间存在一定的关系和约束，使得LU分解可以被准确地进行。
LU分解的重要性在于它可以简化矩阵计算和求解线性方程组的过程。
通过LU分解，我们可以将复杂的线性方程组转化为两个简单的三角形方程组，从而更方便地求解未知数。
此外，LU分解还具有数值稳定性强、计算效率高等优点，在科学计算、工程领域和数据处理中被广泛应用。
因此，深入理解和掌握LU分解条件和主子式不为零的意义对于学习和应用线性代数及相关领域的人来说是至关重要的。
本文将从讲解LU分解条件的概念和重要性入手，详细阐述主子式不为零的定义与意义，并总结它们在实际应用中的价值和需要注意的事项。
通过对这两个概念的全面理解，读者将能够更好地应用LU分解方法解决实际问题，并在相关领域中取得更好的成果。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照如下编写：文章结构部分旨在介绍本文的整体架构和内容安排。
通过清晰明了的结构安排，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和思路。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对整篇文章进行了概述，概括了文章的主题和目的，引起读者的兴趣。
接着介绍了文章的具体结构，包括引言、正文和结论部分，并简要描述了每个部分的内容。
矩阵的LU分解应用
矩阵的LU分解应用
矩阵的LU分解是一种常见的矩阵分解方法，通常用于解线性方程组和求逆矩
阵等计算问题。
LU分解将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U
的乘积，即A = LU。
LU分解的原理
矩阵A的LU分解是将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L为下三
角矩阵，U为上三角矩阵。
LU分解的基本思想是通过一系列初等行变换将矩阵A
转化为上三角矩阵U，并记录这些行变换的乘积，得到下三角矩阵L。
LU分解的应用
1. 解线性方程组
LU分解可以用于解线性方程组。
将矩阵A分解为LU后，可以通过分别求解
Ly=b和Ux=y两个方程组来解原方程Ax=b。
这种方式比直接求解Ax=b更为高效，尤其在需要多次解不同的b的情况下。
2. 矩阵求逆
矩阵的LU分解也可以用于求矩阵的逆。
设A的LU分解为A=LU，只需要求解Ly=ei和Ux=y即可获得A的逆矩阵。
3. 求行列式
LU分解也可以用于求矩阵的行列式。
由于LU分解后矩阵U为上三角矩阵，
其行列式即为主对角线元素的乘积，而L为下三角矩阵，其行列式为1。
因此，矩阵A的行列式等于L和U的行列式乘积。
总结
矩阵的LU分解是一种重要的矩阵分解方法，有着广泛的应用。
通过LU分解，可以更高效地解线性方程组、求矩阵的逆以及计算行列式等操作。
掌握LU分解的
原理和应用对于线性代数和数值计算有着重要意义。
lu分解的充要条件及证明
lu分解的充要条件及证明题目：LU分解的充要条件及证明引言：LU分解是线性代数中常用的一种矩阵分解方法，它将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
在实际问题的求解中，LU 分解有着广泛的应用，如线性方程组的求解、矩阵求逆等。
本文将从充要条件的角度出发，对LU分解进行详细的论述和证明。
一、LU分解的定义和基本概念LU分解是将一个n×n矩阵A分解为两个矩阵L和U相乘的形式，其中L 是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
即，A=LU。
其中，下三角矩阵L的对角线元素均为1。
下面将给出LU分解的充要条件及证明。
二、充要条件的论述为了得到LU分解的充要条件，我们需要明确以下两个问题：1. 矩阵A是否存在LU分解？2. 如果存在LU分解，那么L和U的形式是否是唯一的？以下，我们将对上述两个问题进行逐步讨论。
2.1 矩阵A的非奇异性首先，我们需要确定矩阵A是否为非奇异矩阵。
如果A不是奇异矩阵，即A ≠0，则存在A的逆矩阵A^-1。
为了证明矩阵A的非奇异性是LU分解的充要条件，我们需要证明如果A是奇异矩阵，那么不存在LU分解。
证明思路：假设A是奇异矩阵，存在一个非零向量x使得Ax=0。
我们令L和U分别为A的LU分解矩阵，则有A=LU。
将其代入Ax=0可以得到LUx=0。
由于L和U都是三角矩阵，LUx=0意味着L(Ux)=0。
根据矩阵乘法的性质，我们可以推出Ux=0。
然而，对于非零向量x，如果Ux=0，则矩阵U的第一行必然存在一个为非零的元素，否则U为奇异矩阵，与U是上三角矩阵的定义相矛盾。
因此，我们可以得出结论：如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么矩阵U不能是上三角矩阵。
因此，如果A是奇异矩阵，则不存在LU分解。
综上所述，矩阵A的非奇异性是存在LU分解的充要条件。
2.2 L和U的唯一性接下来，我们研究如果A存在LU分解，L和U的形式是否是唯一的。
对于一个给定的矩阵A，其LU分解为A=LU。
线性代数上07矩阵的LU分解与分块矩阵
11
尤其要注意 AB = 0 时的特殊情况: AB = A( B1 , B2 ,L , Bn ) = ( AB1 , AB2 ,L , ABn ) = (0, 0,L , 0)
⇒ AB j = 0, j = 1,L , n.
说明 B 的每一列都是齐次线性方程组 AX = 0 的一个解. 类似可以考虑 A 按行分块, 而 B 作为一整块的情形.
⎡ A11 A12 L A1n ⎤ ⎡ B11 B12 L B1n ⎤ ⎢ 0 A L A ⎥ ⎢ 0 B L B2 n ⎥ 22 2n ⎥ 22 ⎥ A=⎢ ,B = ⎢ ⎢L L L L ⎥ ⎢L L L L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 L Ann ⎦ 0 0 L Bnn ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ A11 + B11 A12 + B12 L A1n + B1n ⎤ ⎢ ⎥ A22 + B22 L A2 n + B2 n ⎥ 0 A+ B = ⎢ , ⎢ L ⎥ L L L ⎢ ⎥ L Ann + Bnn ⎦ 0 0 ⎣ L * * ⎤ ⎡ A11 B11 ⎢ 0 A22 B22 L * ⎥ ⎥ , 证明类似Ex2.43, 44 AB = ⎢ ⎢ L L L L ⎥ ⎢ ⎥ L Ann Bnn ⎦ 0 0 ⎣
第七讲 LU分解与分块矩阵
本讲内容提要 矩阵的LU分解 分块矩阵 分块矩阵的初等变换 附: 矩阵的相抵和相抵标准形
1
解方程 Ax = b Gauss消去法等价于矩阵的LU分解
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ a n1 a12 L a1n ⎤ ⎡ 1 a 22 L a 2 n ⎥ ⎢ l 21 ⎥=⎢ M M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ a n 2 L a nn ⎦ ⎣ l n1 AX = b LUX = b ⎤ ⎡ u11 ⎥⎢ ⎥⎢ O ⎥⎢ ⎥⎢ L 1⎦ ⎣ u12 L u1n ⎤ u22 L u2 n ⎥ ⎥ O M ⎥ ⎥ unn ⎦
lu分解原理
LU分解是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
这种分解方法在数值计算中非常常用，可以用于求解线性方程组、求矩阵的行列式和逆矩阵等问题。
LU分解的原理比较简单，本文将对其进行详细介绍。
1. LU分解的定义LU分解是将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程，即A=LU。
其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
下三角矩阵指除主对角线及其上方的元素外，其他元素均为0的矩阵；而上三角矩阵则是指除主对角线及其下方的元素外，其他元素均为0的矩阵。
2. LU分解的实现方法LU分解的实现方法有很多种，这里我们介绍其中的高斯消元法和克洛内克积分法。
（1）高斯消元法高斯消元法是一种经典的线性代数求解方法，它可以通过不断消元来把一个矩阵变成一个上三角矩阵。
具体来说，高斯消元法的过程如下：①首先将待分解的矩阵A赋值给一个新的矩阵U。
②初始化一个下三角矩阵L为单位矩阵。
③从第一行开始，对每一行做如下操作：a. 将该行的第一个非零元素除以该元素所在的系数，使其成为1。
b. 将该行的第一个元素下方的所有元素消为0，即对该行下面的所有行做如下操作：i. 将该行下面的行的第一个元素除以当前行第一个元素的值，使其变成0；ii. 将当前行乘以该行第一个元素的值，减去该行下面的行。
④最终得到的矩阵U就是原矩阵A的上三角矩阵，而L则是通过每一次操作中的系数变换所得到的下三角矩阵。
（2）克洛内克积分法克洛内克积分法是一种比较高效的LU分解方法，它采用矩阵的Kronecker积来进行分解。
具体来说，克洛内克积分法的过程如下：①首先将待分解的矩阵A赋值给一个新的矩阵U。
②将下三角矩阵L初始化为单位矩阵。
③对于每一列j，做如下操作：a. 将矩阵U的第j列中j行及其下方的元素除以U(j,j)，使U(j,j)为1。
b. 将矩阵U的第j列下方的所有元素消为0，即对该列下面的所有列做如下操作：i. 将该列下面的列的第j行的元素除以当前列第j 行的元素值，使其变成0；ii. 将当前列乘以该列第j行的元素值，减去该列下面的列。
5.LU分解ppt课件
LU分解法的基本思想
2
内容:LU分解. 关键词: 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
a1 b1 , 1 c1 a1
ai bi ai i1
(i 2,3, , n)
i ci (bi i i1 )
(i 2, , n)
15
实现A的Crout分解后
求解
Ax d
当A LU时，可由 Ly d及Ux y解出
从而得之对角方程组的 计算公式
1
c1 a1
i
bi
ci
a i i 1
9
特殊方程组的解法
1.追赶法 2.LDLT分解法
10
1.追赶法
追赶法与稀疏线性方程组
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
11
三对角线性方程组：
i
( B )即根据矩阵乘法及相等
定义，有：
b1 a1 , c1 a11 ; ai i , bi i i1 ai (i 2, , n)
ci ai i (i 2, , n 1)
由比较系数所得关系式 推得计算ai ,i , i 的计算公式
14
追赶法计算公式
i ai
(i 1,2, , n 1)
li1=ai1 / u11
i=2,3,…,n
lii 1
2
内容:LU分解. 关键词: 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
a1 b1 , 1 c1 a1
ai bi ai i1
(i 2,3, , n)
i ci (bi i i1 )
(i 2, , n)
15
实现A的Crout分解后
求解
Ax d
当A LU时，可由 Ly d及Ux y解出
从而得之对角方程组的 计算公式
1
c1 a1
i
bi
ci
a i i 1
9
特殊方程组的解法
1.追赶法 2.LDLT分解法
10
1.追赶法
追赶法与稀疏线性方程组
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
11
三对角线性方程组：
i
( B )即根据矩阵乘法及相等
定义，有：
b1 a1 , c1 a11 ; ai i , bi i i1 ai (i 2, , n)
ci ai i (i 2, , n 1)
由比较系数所得关系式 推得计算ai ,i , i 的计算公式
14
追赶法计算公式
i ai
(i 1,2, , n 1)
li1=ai1 / u11
i=2,3,…,n
lii 1
lu分解的条件
lu分解的条件
LU分解是一种线性代数算法，用来解决方程组。
它将矩阵A分解为两个下三
角矩阵L与U。
其中L是一个单位对角矩阵，它的对角线上的元素为1，其余元素
均为0；而U是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素除1外均为0。
LU分解的执
行过程如下：首先，根据原矩阵的选主元或停止条件，将矩阵A分为两个矩阵L与U；然后，根据L和U的特性，迭代求解系数矩阵。
LU分解一般有两个应用：一是
分解大矩阵，从而减少计算时间；二是完成线性系统的求解，用有效的方法实现快速求解。
LU分解的条件是它要求被分解的矩阵A必须是一个非奇异的方阵，并且通过置换
方法，被置换后的矩阵是一个简化的下三角矩阵。
这意味着，A的任意子矩阵必须
有可逆元素，并且A中的每个主元必须大于0。
只有满足上述条件，LU分解才能有效地执行。
LU分解是数学建模、统计分析以及数值积分中常用的数值求解方法。
它更加
适合那些不能采用其他更简单更快捷的解法求解的复杂方程组，从而节省计算时间、提高求解效率。
LU分解的另一个应用是它可以分解多元函数的偏导数矩阵，从而
简化一阶及二阶雅克比矩阵的积分过程，避免积分出错，提高计算精度。
总之，LU分解是一种线性代数处理方法，具有广泛的应用前景。
通过它，可
以减少计算量，有效提高求解效率，为科学研究奠定基础。
lu分解的方法
lu分解的方法宝子，今天来唠唠LU分解这个超有趣的数学方法哦。
LU分解呢，就是把一个矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
这就像是把一个复杂的东西拆成两个比较有特点的部分。
下三角矩阵L呢，它主对角线以上的元素都是0，就像一个三角形趴在下面。
而上三角矩阵U呢，主对角线以下的元素都是0，像个倒着的三角形在上面。
那为啥要做这个分解呢？这可有用啦。
比如说解线性方程组Ax = b的时候，如果A能进行LU分解，那就可以把问题变得简单些。
我们可以先把A分解成LU，然后方程Ax = b就变成了LUx = b。
这时候呢，我们可以先设y = Ux，先解Ly = b求出y，这个过程因为L是下三角矩阵所以很容易解哦。
然后再解Ux = y就可以得到x啦，因为U是上三角矩阵，解起来也不难。
那怎么得到L和U呢？有好几种方法呢。
有一种比较常用的是Doolittle算法。
这个算法就像是在玩一个数字游戏。
我们从矩阵A的第一行和第一列开始，逐步确定L和U的元素。
比如说，先确定U的第一行元素，再确定L的第一列元素，然后按照一定的规则，一行一行、一列一列地确定其他元素。
不过呢，不是所有的矩阵都能进行LU分解的哦。
有些矩阵可能需要做一些小小的变换，像交换行之类的，才能进行LU分解。
这就像是给矩阵化个妆，打扮一下才能符合要求。
总的来说，LU分解就像是给矩阵世界的一把小钥匙，打开了一种新的解题思路。
它虽然听起来有点复杂，但是一旦掌握了，就会觉得特别酷。
就像学会了一个小魔法，在处理线性代数那些让人头疼的问题时，就能轻松一点啦。
宝子，现在是不是对LU分解有点感觉了呀 。
LU分解
m 1
l jk u jk / d k
j
k k
1,2, , n 1, k 2,
, n
例 1 用 LDLT 分解法来解方程组
5x1 4x2 x3 2 4x1 6x2 4x3 1 x1 4x2 6x3 1
解 本题是对称线性方程组，故可用 LDLT 分解法求解，由其 求解公式
，
k
k
n 1, ,1
用这组公式解线性方程 组的方法亦称为追赶法 。
追赶法实际上也是 Gauss消元法中的变形 Crout或Doolittle分解。因而较特别 ，
求解公式也比较简单， 计算量、乘除法次数仅 有5n 4次，若另外增加一个方 程
组Ax
d
，只需增加
2
3n
2次乘除法运算。追赶法
的特殊求解过程，节省
k 1, d1 a11 5 j 2,u21 a21 4,l21 u21 / d1 0.8 j 3,u31 a31 1,l31 u31 / d1 0.2
k 2, d2 a22 u21l21 2.8 j 3, u32 a32 u l31 21 3.2 l32 u32 / d 2 1.14286
a a a … a 11 12 13
1n
u u u … u 11 12 13
1n
(1)
a a a … a 21 22 23
2n
l u u … u 21 22
23
2n
(3)
a a a … a 31 32 33
3n
l l u … u 31 32
33
3n
(5)
...
… … …
... … … …
a a a … a n1 n2 n3
23
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称为矩阵 A 的谱半径.
19
例
求 A 的谱半径
⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 − 2 4 ⎟. ⎜ 2 4 − 2⎟ ⎝ ⎠
解
矩阵 A 的特征方程为
2 −2 ⎤ ⎡λ − 1 ⎥ det( λI − A) = ⎢ 2 λ + 2 − 4 ⎢ ⎥ ⎢ − 4 λ + 2⎥ ⎣ −2 ⎦ = λ3 + 3λ2 − 24λ + 28 = (λ − 2) 2 (λ + 7) = 0,
AI ij = B（为交换 A 第 i 列与第 j 列得到的矩阵）；
(11) 置换阵： 由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 A ∈ R n×n 则下述命题等价： (1) 对任何 b ∈ R n , 方程组 Ax = b 有唯一解. (2) 齐次方程组 Ax = 0 只有唯一解 x = .0 (3) det( A ) ≠ 0. (4) A −1 存在. (5) A 的秩 rank ( A) = n.
（1）选定根的初始近似值 （2）按照某种原则生成收敛于根的近似点列
12
迭代法的优点： （1）计算机存储量小； （2）程序设计简单； （3）初始方程组系数矩阵在计算过程中保持不变。 迭代法必须考虑的关键问题： （1）算法的收敛性问题 （2）算法的收敛速度问题 收敛性与收敛速度是如何定义的？
13
6.1.2
这种实数排成的矩形表，称为 m 行 n 列矩阵.
⎡ ⎢ x ∈R n ⇔ x = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 ⎤ ⎥ x2 ⎥ ⎥ ⎥ xn ⎥ ⎦
称为
n 维列向量.
14
写成列向量的形式
A=
(
a1
a2
an
)
其中ai为A 的第 i 列. 也可写成行向量的形式
⎛ bT 1 ⎜ T ⎜ b2 A=⎜ ⎜ T ⎜ b m ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
4
线性方程组的数值解法一般有两类：
1. 直接法
经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法 (若计算过程中没有舍入误差). 但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方 法也只能求得线性方程组的近似解. 回顾已经学过的一种求解线性方程组的直接方法
5
克莱姆法则：
⎧ a x + a x ++ a x = b 1n n 1 ⎪ 11 1 12 2 a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 如果线性方程组 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ a x + a x ++ a x = b nn n n ⎩ n1 1 n 2 2
D1 D2 D3 D4 x = ,x = ,x = ,x = 由 1 D 2 D 3 D 4 D,
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = = −108 0 −5 −1 2 1 0 −7 6 2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = = 27 0 2 −1 −5 1 4 −7 0
得唯一一解为
对称正定阵. 定理4(若当（Jordan）标准型) 设 A为 n 阶矩阵， 则存在一个非奇异矩阵 P 使得
⎛ J1 (λ1 ) ⎞ ⎜ ⎟ J 2 (λ2 ) ⎜ ⎟ −1 P AP = ⎜ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ J r (λr ) ⎟ ⎝ ⎠
25
其中
⎛ λi ⎜ ⎜ J i (λi ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
10
直接方法中，最具有代表性的就是高斯-约当消去法。 该方法适用于求解低阶稠密矩阵方程组及大型稀疏 矩阵方程组。 2.迭代法 是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的 方法.也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个 无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不 到精确解)
11
迭代法实现的基本步骤：
(8) 正交矩阵： 如果A−1 = AT . (9) 酉矩阵：设A ∈ Cn×n , 如果A−1 = AH . (10) 初等置换阵 由单位矩阵 I 交换第 i 行与第 j 行(或交换第 i 列与 第 j 列)，得到的矩阵记为 I ij ,且
22
~ I ij A = A（为交换 A第 i 行与第 j 行得到的矩阵）；
23
定理2
设 A ∈ R n×n 为对称正定阵，则
(1) A为非奇异矩阵，且 A−1亦是对称正定阵. (2) 记 Ak 为 A的顺序主子阵，则
Ak (k = 1,2, , n) 亦是对称正定矩阵，其中
⎛ a11 ⎜ Ak = ⎜ ⎜a ⎝ k1
a1k ⎞ ⎟ ⎟ akk ⎟ ⎠
(k =1,2,, n).
T b 其中 i 为 A 的第 i 行.
15
矩阵的基本运算： (1) 矩阵加法 C = A + B cij = aij + bij (2) 矩阵与标量的乘法 C = α A, (3) 矩阵与矩阵乘法 C = AB ,
cij = ∑ aik bkj
k =1 n
( A, B, C ∈ R m× n ) cij = α aij .
(d) det (A ) ≠ 0 ⇔ A 是非奇异矩阵。
18
6.1.3 矩阵的特征值与谱半径 矩阵的特征值及其各种计算方法前面张老师已经 详细讲述，这里不再赘述。
A 的全体特征值称为 A 的谱，记 若 λ 为 A 的特征值，
为σ ( A)，即 σ ( A) = {λ1, λ2 ,, λn }.
λi 记 ρ ( A) = max 1≤i ≤ n
解:
系数行列式为
r1 − 2 r2
4 2
D=
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 0 1 2 4 −1 −7 2 6
===== r −r 0
0
0 7 −5 13 1 −3 0 −6 2 7 −1 2 −7 12
= 1× (−1) 2+1
7 5 13 2 −1 2 7 −7 12
===== C + 2C
第6章 线性方程组的求解方法
6.1 引言与预备知识 6.2 高斯消去法 6.3 矩阵三角分解法 6.4 向量和矩阵的范数 6.5 误差分析 6.6 共轭梯度法
1
6.1
引言与预备知识
2
6.1.1 引言 在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的 许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中 网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行 中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构 的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或 非线性方程组的数学问题。因此线性方程组的求解 对于实际问题是极其重要的。
故 A 特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 7, A 的谱半径为 ρ ( A) = 7.
20
6.1.4 特殊矩阵
n×n A = ( a ) ∈ R . 设 ij
aij = 0. (1) 对角矩阵: 如果当 i ≠ j 时，
aij = 0. (2) 三对角矩阵：如果当 i − j > 1 时， aij = 0. (3) 上三角矩阵：如果当 i > j 时，
x1 = 3, x2 = −4, x3 = −1, x4 = 1
9
通过上述例子, 我们看到用克莱姆法则求解线性方程 组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个计算量是相当 大的, 所以, 在具体求解线性方程组时, 很少用克莱 姆法则. 但这并不影响克莱姆法则在线性方程组理论中的重要 地位。克莱姆法则不仅给出了方程组有唯一解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.
aij 的余子式.
行列式性质：
(a) det (AB ) = det (A )det (B ), (b) det (AT ) = det (A ), (c) det (cA ) = c n det (A ), A,B ∈ R n× n .
A ∈ R n× n . c ∈ R, A ∈ R n× n .
3 2
C1 − 2 C2
−3 3 = 27 ≠ 0 − 0 −1 0 = −7 −2 −7 −7 −2
−3 −5
3
故方程有唯一一解.
8
2 D= 0 1
1 2 4
−5 0 −1 −7
1 −6 2 6
1 −3
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81 −5 2 −1 2 0 4 −7 6 2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = = −27 0 2 −5 2 1 4 0 6
再谈向量和矩阵
用 R m× n 表示全部 m × n实矩阵的向量空间， C m×n表 示全部 m × n 复矩阵的向量空间.
A ∈R
m×n
⎡ a11 ⎢ a21 ⎢ ⇔ A = (aij ) = ⎢ ⎢ a ⎢ ⎣ m1
a12 a22 am 2
a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ⎥ amn ⎥ ⎦
(4) 上海森伯格（Hessenberg）阵
如果当i > j &# = A.
21
(6)
埃尔米特矩阵：设 A ∈C
n× n
, 如果 A H = A.
A H = A∗T
(7) 对称正定矩阵：
如果 (a) AT = A,
(b) 对任意非零向量x ∈ R n , ( Ax, x) = xT Ax > 0.
的系数行列式不等于零,即
a11 D= a21 an1
a12 a22
a1n a2 n ≠0
6
an 2 ann
则方程组有唯一的解,且唯一的解为
D1 D2 Dn x1 = , x2 = ,, xn = , D D D
其中 Dj (j=1,2,…,n) 是系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即