湘教版八上数学练习题 通分

湘教版数学八年级上册测试题及答案第一章线性方程组与解集1. 已知一线性方程组：$$\begin{cases}2x - y = 1 \\x + 3y = 2\end{cases}$$求该方程组的解。

答案：该线性方程组的解为 $x=1$，$y=0$。

2. 解方程 $\frac{1}{2}(5x - 4) - \frac{3}{4}(x - 3) = x + 2$。

答案：该方程的解为 $x=14$。

第二章平方根与线性方程1. 求解方程 $2x^2 - 5x - 12 = 0$。

答案：该方程的解为 $x=3$ 或 $x=-2$。

2. 求解方程 $(x+1)(2x-3)-(x-2)(3+x)=0$。

答案：该方程的解为 $x=\frac{5}{2}$ 或 $x=-\frac{10}{3}$。

第三章几何作图1. 在数平面中，作出一个边长为3个单位的正方形。

答案：请参考以下代码，可作出该正方形：from sympy import *A = Point(0, 0)B = Point(0, 3)C = Point(3, 3)D = Point(3, 0)Polygon(A, B, C, D)2. 在坐标平面上，以原点为圆心，半径为2的圆。

答案：请参考以下代码，可作出该圆：from matplotlib import pyplot as pltimport numpy as nptheta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)x = 2 * np.cos(theta)y = 2 * np.sin(theta)plt.plot(x, y)plt.axis('equal')plt.show()以上是湘教版数学八年级上册的测试题及答案的一部分。

请根据需要逐步添加并完善。

专题1.4.2分式的通分（知识讲解）【学习目标】1．让学生了解什么是最简公分母，会求最简公分母．2．了解通分的概念，并能将异分母分式通分．3．在学习过程中体会从分数到分式的类比的方法，培养由具体到抽象，由个别到一般的数学思维品质．【知识梳理】知识模块一 怎样确定最简公分母异分母分数相加减，要先找到分母的最小公倍数作为公分母，通分后化为同分母分数，再加减． 类似地，异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减．归纳：1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分．2．通分时怎样确定公分母最简便？⎭⎬⎫系数应取各个分母的系数的最小公倍数；字母或式子应取各个分母的所有字母和式子；指数应取它在各分母中次数最高的；这样的公分母称为最简公分母. 注意：分母是多项式时，要先将分母因式分解，然后确定最简公分母．知识模块二 如何将异分母分式通分通分的一般步骤：(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．【典型例题】类型一、怎样确定最简公分母 例1.y 4x 2，56xy ，x 9y 2的最简公分母是36x 2y 2；1a （a －b ），1b （a －b ）的最简公分母是ab(a －b)； 求x x 2－1与1x 2－x的最简公分母． 分析：第一个分式的分母含有哪些因式？即x 2－1＝(x ＋1)(x －1)；第二个分式的分母含有哪些因式？即x 2－x ＝x(x －1)；因此，最简公分母是x(x ＋1)(x －1)．例2．通分：(1)12x 2y ，23x ，34x 2y ；(2)x x 2－4，2（x ＋2）2.通分的一般步骤：(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．解：(1)最简公分母是：12x 2y ，12x 2y ＝1·62x 2y ·6＝612x 2y， 23x ＝2·4xy 3x ·4xy ＝8xy 12x 2y， 34x 2y ＝3·34x 2y ·3＝912x 2y. (2)最简公分母是：(x ＋2)2(x －2)，x x 2－4＝x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）， 2（x ＋2）2＝2（x －2）（x ＋2）2（x －2）. 【针对训练1】分式y−z 12x ，y+z 9xy ，x−y 8z 2的最简公分母是( )A.72xyz 2B.108xyzC.72xyzD.96xyz 2【答案】A【解析】按照求最简公分母的方法求解即可．【解答】解：∵ 12，9，8的最小公倍数为72，x 的最高次幂为1，y 的最高次幂为1，z 的最高次幂为2，∵ 最简公分母为72xyz 2.【点评】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：∵如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．∵如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．【针对训练2】分式1x−1，2x 2−1，3x 的最简公分母是( )A.x 2−1B.x(x 2−1)C.x 2−xD.(x +1)(x −1) 【答案】B【解析】解：∵ 分式x 2−1=(x +1)(x −1)，∵ 三个分式的最简公分母是x(x +1)(x −1)，即x(x 2−1).【针对训练3】对分式y 2x ，x 3y 2，14xy 通分时，最简公分母是________.【答案】12xy 2【解析】利用分式通分即可求出答案．【解答】解：∵ 分式y 2x ，x 3y 2，14xy 的分母是2x ，3y 2，4xy ，∵ 它们的最简公分母为12xy 2.【点评】本题考查分式的通分，属于基础题型．类型二、如何将异分母分式通分 例3.通分：(1)x 6ab 2,y 9a 2bc 、 (2)a−1a 2+2a−1,6a 2−1；(3)1x−y 与2x 2−y 2 ； (4)2x 2−9与x 6−2x .【解析】找出各项的最简公分母，通分即可．解：(1)最简公分母为18a 2b 2c ，通分为：3acx 18a 2b 2c ，2by 18a 2b 2c .(2)最简公分母为(a +1)2(a −1)，通分为：(a−1)2(a+1)2(a−1)，6(a+1)(a+1)2(a−1).(3)最简公分母为(x +y)(x −y)，通分为：x+y (x+y)(x−y)，2(x+y)(x−y)．(4)最简公分母为2(x −3)(x +3)，通分为：42(x+3)(x−3)，−x(x+3)2(x+3)(x−3)．【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．【针对训练1】对于试题：“先化简，再求值：x−3x 2−1−11−x ，其中x =2. ”小亮写出了如下解答过程：∵ x−3x 2−1−11−x =x−3(x−1)(x+1)−1x−1 ∵=x−3(x−1)(x+1)−x+1(x−1)(x+1)∵=x−3−(x+1)=2x−2，∵∵ 当x=2时，原式=2×2−2=2. ∵(1)小亮的解答在哪一步开始出现错误：________（直接填序号）；(2)从∵到∵是否正确：________；若不正确，错误的原因是：________；(3)请你写出正确的解答过程.【解析】(1)第∵步最简公分母是(x+1)(x−1)，把1−x变为−(x−1)，而第∵步没变符号；(2)从第∵到∵应按同分母分式的加减法则：分母不变，分子相加减，而不是把该分母去掉；(3)最简公分母为(x+1)(x−1)，通分化简即可得到最简分式，再将x=2代入求值即可.【解答】解：(1)由x−3x2−1−11−x=x−3(x+1)(x−1)+1x−1∵，故小亮的解答从第∵步出现错误.故答案为：∵.(2)不正确，错误的原因是：同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.故答案为：不正确；同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.(3)正确的解答过程为：x−3x2−1−11−x=x−3(x+1)(x−1)+x+1(x+1)(x−1)=x−3+x+1(x+1)(x−1)=2x−2(x+1)(x−1)=2x+1，当x=2时，原式=22+1=23.【点评】本题考查了异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式．【针对训练2】通分：（1）4a5b2c ,3c10a2b,5b−2ac2；（2）x(2x−4)2,16x−3x2,2xx2−4．解：（1）∵ 最简公分母是10a2b2c2∵ 4a5b2c =4a×2a2c5b2c×2a2c=8a3c10a2b2c2、3c10a2b=3c×bc210a2b×bc2=3bc310a2b2c25b −2ac2=−5b×5ab22ac2×5ab2=−25ab310a2b2c2.（2）∵ (2x−4)2=[2(x−2)]2=4(x−2)2.6x−3x2=−3x(x−2).x2−4=(x+2)(x−2)∵ 最简公分母是12x(x+2)(x−2)2∵ x(2x−4)2=3x2(x+2)12x(x+2)(x−2)2.1 6x−3x2=4(x+2)(x−2) 12x(x+2)(x−2)2.2x x2−4=24x2(x−2)12x(x+2)(x−2)2。

1.4 分式的加法和减法
第2课时 分式的通分
学习目标：
了解分式通分的意义及最简公分母的概念和求法，会正确熟练地进行异分
母分式通分。

学习重点：
分式的通分
学习难点：
分母是多项式的异分母分式的通分。

一、情境导入：
计算并回答下列问题
①3184
-= ②2156+= 问：①中的分母相同吗？②中的分母相同吗？你是如何将它变成相同
的？
二、自主学习
阅读课本P25－26内容，完成下面问题
1、把几个 的分式化成 的分式的过程，叫作分式的
通分，分式通分的根据是 ，分式通分的关键
是 。

2、确定最简公分母的方法
是 ；即系数取各个分母的系
数的 ，字母取 的字母，并且相同字母的指数取 的。

3、当分母是多项式时，应该先将 ，然后
再确定最简公分母。

4、分式、、 、 的最简公分母是 ；分式
22y
x x -、 xy x y +2，2
1y xy -的最简公分母是 。

三、合作探究
通分：
（1）24x y ，xy 65，29y x （2）()b a a -1，()b a b -1
（3）1
22++x x x ，112-x （4）22y x x -，xy x y +221y xy - xy 6529y x。

初中数学试卷马鸣风萧萧1.4.2分式的通分一、课堂演练：1、判断下列通分是否正确：通分：。

解：∵最简公分母是，∴；。

2、填空：（1）将通分后的结果是__________；（2）分式与的最简公分母是__________。

3、通分：（1）；（2）。

二、同步达标：1．对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是( )A．24x2y3 B．12x2y2C．24xy D．12xy22．分式1x2－4，x4－2x的最简公分母为( )A．(x＋2)(x－2) B．2(x＋2)(x－2) C．2(x＋2)(x－2)2 D．－(x＋2)(x－2)3．分式1a＋b，2aa2－b2，bb－a的最简公分母是( )A．(a2－b2)(a＋b)(a－b)B．(a2－b2)(a＋b)C．(a2－b2)(b－a)D．a2－b24．下列各题中，所求最简公分母正确的是( )A.13x与a6x2的最简公分母为6x2B.13a2b3与13a2b3c的最简公分母为3ab2cC.1a（x－y）与1b（y－x）的最简公分母为ab(x－y)(y－x)D.am＋n与bm－n的最简公分母为ab(m2－n2)5.1x2－y2与1x2＋xy的最简公分母为________．6．分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是________．7．分式32x＋6，－16－2x，39－x2的最简公分母是________．8．分式aa2－2ab＋b2，ba2－b2，b2a2＋2ab＋b2的最简公分母是( )A．(a2－2ab＋b2)(a2－b2)(a2＋2ab＋b2) B．(a＋b)2(a－b)2C．(a＋b)2(a－b)(a2－b2)D．a4－b49．把下列各组中的分式通分：(1)y4x2，56xy，x9y2；(2)y2（x＋1），1x2－x，xx2＋x.10．写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a.。

1.1 分式基础导练1．若分式2a＋1有意义，则a的取值范围是()A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠02．当a ________时，分式1a＋2有意义．3. 若式子2x－1－1的值为零，则x＝________．4．求出使分式|x|－3（x＋2）（x－3）的值为0的x的值．能力提升5．a，b为有理数，且ab＝1，设P＝aa＋1＋bb＋1，Q＝1a＋1＋1b＋1，则P____Q(填“＞”、“＜”或“＝”)．6．解方程：2x－1＝1x－2.7．解方程：23x－1－1＝36x－2参考答案1．C 2.≠－23.34．【解析】要使分式的值为0，必须使分式的分子为0，且分母不为0，即|x |－3＝0且(x ＋2)(x －3)≠0.解：要使已知的分式的值为0，x 应满足|x |－3＝0且(x ＋2)·(x －3)≠0.由|x |－3＝0，得x ＝3或x ＝－3，检验知：当x ＝3时，(x ＋2)(x －3)＝0，当x ＝－3时，(x ＋2)(x －3)≠0，所以满足条件的x 的值是x ＝－3.5．＝6．解：方程两边都乘(x －1)(x －2)，得2(x －2)＝x －1，去括号，得2x －4＝x －1，移项，得x ＝3.经检验，x ＝3是原方程的解，所以原分式方程的解是x ＝3.7．解：方程两边同时乘6x －2，得4－(6x －2)＝3，化简，得－6x ＝－3，解得x ＝12.检验：当x ＝12时，6x －2≠0，所以x ＝12是原方程的解．1.2 分式的乘法和除法 基础导练 一、选择题 1．约简分式后得 () A ．； B ． ； C ．； D ．．2．等于 ()22y x ayax -+y x a -2y x a-y x a+y x a+2cd axcd ab 4322-÷A ．；B ．b 2x ；C ．－；D ．－． 3．·5(a +1)2等于 () A ．a2+2a+1； B ．5a2+10a+5； C ．5a2－1； D ． 5a2－5．4．下列各式中，化简成最简分式后得的是 ( ) A ．； B ． ；C ．；D ．．5．若x 等于它的倒数，则分式的值为 () A ．－1； B ．5； C ．－1或5； D ．－或4．能力提升二、计算题1．2．三、若=1,求x 的取值范围．参考答案x b 32223x b 322222283d c x b a 23222++-+a a a a 121-x 144122+-+x x x 144122+--x x x 4141212--x x 4121212+--x x x 1332622+-+÷--+x x x x x x 4122222121221⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷-+-÷⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x x x x 22222222223654523212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x x x x x x x )(|3|))(3(x m x m x x ----一、1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．C ．二、 1．；2．1 ． 三、x ＜3,且x ≠m ．1.3.1 同底数幂的除法基础导练1．下列各项计算正确的是()A ．a 7÷a ＝a 7B ．a 6÷a 2＝a 3C.（－xy ）8（－xy ）4＝－x 4y 4 D ．a 6÷a 3÷a 2＝a 2．下列运算正确的是()A ．8a 3b 8÷4ab 4＝2a 2b 2B ．(－2x 2y 4)÷⎝⎛⎭⎫－12xy 2＝xy 2 C ．(－x y )6÷(－xy )3＝－x 3y 3D ．(－a 4b 5c )÷ab 3＝－a 4b 2c3．下列各项计算正确的是()A.（－x ）9（－x ）6＝x 3 B.（x 2y ）5（xy ）2＝x 3y 3 C.（－a ）2n （－a ）2n －1＝－a D.⎝⎛⎭⎫a 3n a n 3＝a 9 4．计算：(x －y )6÷(y －x )3＝________．5．计算：(－2a 2)3·(－a )4÷(－a )8＋3a 2＝________.能力提升6．计算：⎝⎛⎭⎫4a 2＋2ab ＋b 25÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7.22--x x7．先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a＝2，b＝1. 参考答案1．D【解析】a7÷a＝a6≠a7，a6÷a2＝a4≠a3，（－xy）8（－xy）4＝(－xy)4＝x4y4≠－x4y4，a6÷a3÷a2＝a6－3－2＝a，所以选项D正确，故选D. 2．C3．C【解析】（－x）9（－x）6＝－x9x6＝－x3≠x3；（x2y）5（xy）2＝x10y5x2y2＝x8y3≠x3y3；⎝⎛⎭⎫a 3n a n 3＝(a 2n )3＝a 6n ≠a 9；（－a ）2n （－a ）2n －1＝a 2n－a 2n －1＝－a ，故选C.4．－(x －y )3【解析】(x －y )6÷(y －x )3＝(x －y )6÷[－(x －y )]3＝(x －y )6÷[－(x －y )3]＝－(x －y )6÷(x －y )3＝－(x －y )3.5. －5a 2【解析】原式＝－8a 6·a 4÷a 8＋3a 2＝－8a 6＋4－8＋3a 2＝－8a 2＋3a 2＝－5a 2，故填－5a 2.6．【解析】先将a 2＋2ab ＋b 2因式分解，再根据先乘方、后乘除的顺序计算．解：原式＝⎣⎡⎦⎤22（a ＋b ）25÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7＝⎝⎛⎭⎫2a ＋b 10÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7＝⎝⎛⎭⎫2a ＋b 3＝8（a ＋b ）3.7．【解析】先化简，要知道(a ＋b )(a －b )这个式子是a 与b 的平方差的形式．解：(a ＋b )(a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab＝a 2－b 2＋4ab 3÷4ab －8a 2b 2÷4ab＝a 2－b 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab .当a ＝2，b ＝1时，原式＝a 2－2ab ＝22－2×2×1＝4－4＝0.1.3.2 零次幂和负整数指数幂基础导练1．(－2)0等于 ()A ．1B ．2C ．0D ．－22．3－1等于()A ．3B ．－13C ．－3 D.133．把(－100)0，(－3)－2，⎝⎛⎭⎫13－2按从小到大的顺序排列并用“<”连接，正确的是()A ．(－100)0<(－3)－2<⎝⎛⎭⎫13－2B.⎝⎛⎭⎫13－2<(－3)－2<(－100)0 C.⎝⎛⎭⎫13－2<(－100)0<(－3)－2D ．(－3)－2<(－100)0<⎝⎛⎭⎫13－24．计算：(－1)2 012－(－3)＋⎝⎛⎭⎫－12－1.5．计算：(－1)2 012×(3－π)0＋⎝⎛⎭⎫12－1.能力提升6．要使代数式(4x －5)0＋(2x －3)－2有意义，求x 的取值范围，并求当x ＝34时，代数式的值．7．已知x 2＋1＝3x ，求x 2＋x－2的值．参考答案1．A2.D3．D 【解析】(－100)0＝1，(－3)－2＝1（－3）2＝19，⎝⎛⎭⎫13－2＝32＝9，19<1<9，即(－3)－2<(－100)0<⎝⎛⎭⎫13－2.4．解：原式＝1＋3－2＝2.5．解：原式＝1×1＋2＝3.6．解：必须4x －5≠0且2x －3≠0时代数式才有意义，即要x ≠54且x ≠32， 所以x 的取值范围是x ≠54且x ≠32. 当x ＝34时，原式＝⎝⎛⎭⎫4×34－50＋⎝⎛⎭⎫2×34－3－2＝(－2)0＋⎝⎛⎭⎫－32－2＝1＋49＝139. 7．解：因为x 2＋1＝3x ，所以x ＋1x＝3， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝9，所以x 2＋1x 2＋2·x ·1x ＝x 2＋1x2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝x 2＋1x2＝9－2＝7.1.3.3 整数指数幂的运算法则基础导练1．下列运算正确的是()A ．a 2·a 3＝a 6B ．a 3÷a 2＝aC ．(a 3)2＝a 9D ．a 2＋a 2＝a 52．计算(－x )2·x 3的结果是()A ．x 5B ．－x 5C ．x 6D ．－x 63．计算(a 3)2·a 3的结果是()A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 114．下列式子中，正确的有()①a 2÷a 5＝a －3＝1a 3；②a 2·a －3＝a －1＝1a； ③(a ·b )－3＝1（ab ）3＝1a 3b 3；④(a 3)－2＝a －6＝1a 6. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．下列计算正确的是()A ．a 2·b 3＝a 6B ．5a 2－3a 2＝2a 2C ．a 0＝1D ．2－1＝－2 6．根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a 6的算式________．能力提升7．计算24a 3b －2－12a 2b －2（－2a ）2b －1的结果是() A.2a －1b 3 B.3（2a －1）bC ．(2a －1)bD ．(2a －1)b 38．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－x x －16÷(－x )3·⎝⎛⎭⎫1x －1－4； (2)8x 2y 2÷⎝⎛⎭⎫y 3－xy 2·⎝⎛⎭⎫－y 24x 2； (3)(－3a n ＋1)－2÷[a n ＋2·(a n b 2)－3]． 参考答案1．B 2.A3．B 【解析】本题考查的是同底数幂的乘法与幂的乘方，需注意它们之间的区别：同底数幂的乘法法则为底数不变，指数相加；幂的乘方法则为底数不变，指数相乘．原式＝(a 3)2·a 3＝a 3×2·a 3＝a 6＋3＝a 9.故选B.4．D5.B6．答案不唯一，如(a 2)3＝a 67．B 【解析】原式＝12a 2b －2（2a －1）4a 2b －1＝3（2a －1）b －2b －1＝3（2a －1）b －1·b 2＝3（2a －1）b ，故选B. 8．解：(1)原式＝x 6（x －1）6·⎝⎛⎭⎫－1x 3·(x －1)4＝－x 3（x －1）2. (2)原式＝8x 2y 2·x 2y 2y 6·y 416x 2＝12x 2y 2. (3)原式＝19a 2n ＋2÷a n ＋2a 3n b 6＝19a 2n ＋2·a 3n b 6a n ＋2＝a 3n b 69a 3n ＋4＝b 69a 4.1.4 分式的加法和减法基础导练1．化简x 2x －1＋x 1－x的结果是() A ．x ＋1 B ．x －1C ．－xD ．x2．化简a 2a －b －b 2a －b的结果是() A ．a ＋b B ．a －bC ．a 2－b 2D ．13．对分式y 2x ，x 3y 2，14xy通分时，最简公分母是() A ．24x 2y 3B ．12x 2y 2C ．24xyD ．12xy 24．分式1x 2－4，x 4－2x 的最简公分母为() A ．(x ＋2)(x －2)B ．2(x ＋2)(x －2)C ．2(x ＋2)(x －2)2D ．－(x ＋2)(x －2)5．化简⎝⎛⎭⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a 的结果为()A ．aB ．－aC ．(a ＋3)2D ．16．化简⎝⎛⎭⎫1＋4a －2÷aa －2的结果是()A.a ＋2aB.a a ＋2C.a －2aD.a a －2能力提升7．已知数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为________．8．化简：⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2－1÷⎝⎛⎭⎫2＋1x －1－1x ＋1.9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1，其中x ＝－3.参考答案1.D2.A3.D4.B5.A6.A7．78．解：原式＝x 3－x ＋x （x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2.9．解：⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1＝⎣⎡⎦⎤3x ＋4（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2＝3x ＋4－2x －2（x ＋1）（x －1）×（x －1）2x ＋2 ＝x ＋2（x ＋1）（x －1）×（x －1）2x ＋2 ＝x －1x ＋1. 当x ＝－3时，原式＝－3－1－3＋1＝2.1.5 可化为一元一次方程的分式方程基础导练1．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程x －2x 2－4x ＋4＝0的根为2；③方程12x ＝12x －4的最简公分母为2x (2x －4)；④x ＋1x －1＝1＋1x －1是分式方程．其中正确的个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下面是四位同学解方程2x －1＋x1－x＝1过程中去分母的一步，其中正确的是() A ．2＋x ＝x －1B ．2－x ＝1C ．2＋x ＝1－xD ．2－x ＝x －1 3．分式方程32x ＝1x －1的解为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝44．某商店销售一批服装，每件售价为175元，可获利40%，求这种服装的进价．设这种服装的进价为x 元，则可得到的方程为() A ．x ＝175×40% B ．40%x ＝175 C.175－xx×100%＝40% D ．175×(1－40%)＝x5．已知一汽船在顺水中航行46千米和逆水中航行34千米共用去的时间，正好等于它在静水中航行80千米用去的时间，并且水流速度是2千米/时，求汽船在静水中的速度．若设汽船在静水中的速度为x 千米/时，下列所列方程正确的是()A.46x－2＋34x＋2＝80x B.46x＋2＋34x－2＝80xC.80x＋2＝46x－34x－2D.34x＋2＝80x－2＋46x能力提升6. 解关于x的方程2x－2＋mxx2－4＝0有增根，求m的值．7. 为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行一次考核，某校决定为全校数学老师每人购买一本义务教育《数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)，同时每人配套购买一本《数学课程标准(2011年版)解读》(以下简称《解读》)．其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元，若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1 053元，请问：《标准》和《解读》的单价各是多少元？8.我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书本数相等，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10 000元再购进一批文学书和科普书，问：购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？参考答案1.A2.D3.C4.C5.B6．解：分式方程有增根，最简公分母(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝2或x＝－2.去分母，得2(x＋2)＋mx＝0，当m≠－2时，x＝－42＋m.将x＝－2代入得－2＝－42＋m，解得m＝0；将x＝2代入得2＝－42＋m，解得m＝－4，所以m的值为0或－4.7．解：设《标准》的单价为x元，则《解读》的单价为(x＋25)元．根据题意，得378x＝1 053x＋25，解得x＝14.经检验x＝14是所列方程的解，所以x＋25＝39，故《标准》的单价为14元，《解读》的单价为39元．8．解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为(x＋4)元，根据题意，得12 000x＋4＝8 000x，解得x＝8，经检验，x＝8是方程的根，且符合题意，x＋4＝12，即去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书，根据题意，得550×8＋12y＝10 000，解得y＝4662 3，由题意知y取整数，所以y＝466.答：至多还能购进466本科普书．第2章三角形__三角形__第1课时三角形1．一位同学用三根木棒拼成图形如下，则其中符合三角形概念的是()图2－1－42．如图2－1－5所示，∠BAC的对边是()图2－1－5A．BD B．DCC．BC D．AD3．图2－1－6中的三角形共有()图2－1－6A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知三角形ABC的三边a、b、c满足|a－b|＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对5．[2012·郴州]以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，4 cmB．4 cm，6 cm，8 cmC．5 cm，6 cm，12 cmD．2 cm，3 cm，5 cm6．[2012·长沙]现有3 cm，4 cm，7cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1 B．2C．3 D．47．如图2－1－7中，△ABE中AE边的对角为________，AD是△A CD中________的对边，CE是________的公共边．图2－1－78．指出图2－1－8中有几个三角形，并用字母把它们分别表示出来．图2－1－89．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图2－1－9中以BC为公共边的“共边三角形”有()图2－1－9A．2对B．3对C．4对D．6对10．[2012·绥化]若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________．11．湖边上有A，B两个村庄(如图2－1－10)，从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B.试判断哪条路更短，并说明理由．图2－1－10答案解析1．D【解析】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形．故选D.2．C3．D【解析】图中的三角形有：△ABD，△ADC，△ABC，△AEC，△DEC，共5个．4．C【解析】由题意，得a－b＝0，b－c＝0，解得a＝b，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C.5．B6．B【解析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.7．∠ABE∠ACD△ACE与△DCE8．解：图中共有8个三角形，分别是△AEO、△AEC、△AOC、△ABD、△ABC、△ADC、△BEC、△ODC.9．B【解析】△ABC与△DBC，△ABC与△EBC，△DBC与△EBC.10．11或1311．解：A→Q→B更短，理由：延长AQ交BP于E.在△APE中，AP＋PE＞AQ＋QE①，在△BEQ中，QE＋BE＞BQ②.①＋②得，AP＋PE＋QE＋BE＞AQ＋QE＋BQ，即AP＋PB＞AQ＋BQ.第2课时三角形的高、角平分线、中线1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？()A．中线B．高C．角平分线D．边的垂直平分线2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是() A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上答案均正确3．如图2－1－16，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是()A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE＝∠EBD＝∠DBC4．如图2－1－17，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE.(1)______是△ABC的中线，DE是________的中线；(2)△ABC的角平分线是________，BF是________的角平分线．5．如图2－1－18，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BE为△ABC的中线，如果AC＝12cm，则AE＝________；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝________．6．已知△ABC，如图2－1－19，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.图2－1－16图2－1－18 图2－1－17图2－1－197．如图2－1－20，网格中小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出其三边的中线(顶点与对边中点连接的线段)，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？图2－1－208．如图2－1－21所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？说明理由．图2－1－219．有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，如图2－1－22所示．政府要将这块土地按人口分给甲、乙、丙三家，若甲家有6口人，乙家有5口人，丙家有4口人，且每户所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．图2－1－22答案解析1．A2．A【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．D【解析】正确理解三角形的高、中线与角平分线的概念．4．AD△BECBE△ABD【解析】由三角形的中线和角平分线的有关概念可得．5．6 cm40°【解析】由三角形的中线、角平分线的定义计算即可．6．解：画法及图略．7．解：画图略．(1)三条中线交于一点；(2)在同一条中线上，三条中线的交点到边中点的距离等于它到顶点距离的一半．8．【解析】比较两个三角形的周长即是比较两个三角形三边之和的大小关系；而比较两个三角形的面积大小，则是比较底与高乘积的大小．解：△ABE的周长为AB＋AE＋BE，△ACE的周长为AC＋CE＋EA.又因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE.所以△ABE与△ACE的周长之差为(AB＋AE＋BE)－(AC＋AE＋CE)＝AB－AC＝8－5＝3(cm)，即△ABE比△ACE的周长长3 cm.△ABE和△ACE的面积相等，理由如下：因为AD是△ABE与△ACE的高，所以S△ABE ＝12BE·AD，S△ACE＝12CE·AD.又因为BE＝C E，所以S△ABE ＝S△AC E.9．【解析】此题要求按人口分给甲、乙、丙三家，也就是说使三家土地的面积比为6∶5∶4；与灌渠相邻，即把BC边分成(6＋5＋4)份，甲家占6份，乙家占5份，丙家占4份．解：如图所示．第9题答图第3课时三角形的内角和1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是() A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．[2012·云南]如图2－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()图2－1－29A．40°B．45°C．50°D．55°3．[2012·梧州]如图2－1－30，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是()图2－1－30A．10° B．12°C．15°D．18°4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是()图2－1－31A．28° B．31°C．39° D．42°5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放在一起，则图中∠α的度数是()A．45°B．60°C ．75°D ．90°6．如图2－1－33，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B ＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A 等于________．图2－1－337．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A ＝100°，∠B ＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC ＝90°，∠B＝21°，∠C ＝20°.检验工人量得∠BDC ＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？图2－1－35图2－1－32图2－1－349．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．图2－1－3610．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．图2－1－37答案解析1．B【解析】三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.2．A【解析】因为∠B＝67°，∠C＝33°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.因为AD是△ABC的角平分线，所以∠CAD＝1 2∠BAC＝12×80°＝40°. 故选A.3．A【解析】因为AD⊥BC，∠C＝36°，所以∠CAD＝90°－36°＝54°，因为AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，所以∠CAE＝12∠BAC＝12×128°＝64°，所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝64°－54°＝10°.故选A.4．C【解析】因为a∥b，所以∠DBC＝70°，所以∠ABD＝180°－70°＝110°，所以∠A＝180°－31°－110°＝39°.故选C.5．C【解析】如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.第5题答图6．80°【解析】因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－40°＝80°.7．408．【解析】可以先计算出合格时∠BDC的度数．由于∠BDC与∠A，∠B，∠C不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线．解：方法一：连接AD并延长，如图(1)所示．第8题答图因为∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠B＋∠C，所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC＝131°.由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．方法二：延长CD交AB于E，如图(2)所示．因为∠CEB＝∠C＋∠A，∠CDB＝∠CEB＋∠B，所以∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B＝20°＋90°＋21°＝131°.由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．9．【解析】运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小．解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4，所以∠3＝2∠2，所以∠2＝12∠3，在△ABC中，∠2＋∠3＋∠BAC＝180°，因为∠BAC＝63°，所以12∠3＋∠3＋63°＝180°，所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC＝180°－78°－78°＝24°.10．解：因为∠AGL＝∠A＋∠B，∠CHG＝∠C＋∠D，∠ELH＝∠E＋∠F，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠AGL＋∠CHG＋∠ELH(即△GHL 的外角和)．所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.__命题与证明__第1课时定义与命题1．下列属于定义的是()A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的补角相等D．线段是直线上的两点和两点间的部分2．下列说法正确的是()A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．三角形的三条中线的交点为三角形的重心C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题也是正确的D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义3．[2012·贵州]定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)，例如f(2，3)＝(3，2)，g(－1，－4)＝(1，4)则g(f(－5，6))等于()A．(－6，5) B．(－5，－6)C．(6，－5) D．(－5，6)4．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是__________________________________________________，它的条件是____________，结论是_____________________________________________________________．5．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是____________________ __ .6．叙述下列概念的定义．(1)轴对称图形；(2)分式；(3)两平行线间的距离．7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．(1)末位数字是5的整数都能被5整除；(2)直角三角形的两个锐角互余．8．阅读下列材料，然后回答问题．材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．如图2－2－1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线．问题：请叙述三角形的中线的定义，并比较三角形的中线与三角形的中位线这两个概念的异同．图2－2－19．某位同学在学过对顶角后，根据自己对对顶角的特征性质的了解给出了自己的定义：没有公共边且相等的两个角叫作对顶角．你认为他的定义正确吗？若不正确，请写出“对顶角”的正确定义，并举出一个例子，说明他的定义是不正确的．10．我们知道平移是将图形中的每一个点都按同一方向移动相同的距离，试判断水磨转动是否为平移现象，并说明原因．答案解析1．D2．B【解析】“作线段CD＝AB”没有对事情作判断，不是命题，故选项A错误；三角形的三条中线的交点为三角形的重心；命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是若x2＝1，则x＝1是错误的，x也有可能等于－1，故选项C是错误的；同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项，故选项D错误．3．A4．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等两个角相等这两个角的余角相等5．互为补角的两个角的和为180°【解析】因为原条件为：和为180°，结论为：这两个角互补，所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°. 6．解：(1)如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．(2)一个整式f除以一个非零整式g，所得的商记作fg，把代数式fg叫作分式.(3)两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．7．解：(1)如果一个整数的末位数是5，那么这个数就能被5整除；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．8．解：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．相同点：这两个概念都与三角形的边的中点有联系．不同点：三角形的中线是连接一边中点与这边所对顶点的线段，而三角形的中位线则是连接三角形两边中点的线段．9．解：不正确．对顶角：两个角有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫作对顶角．如图，将一个直角三等分，那么∠AOB＝∠COD＝30°，并且它们没有公共边，但是它们显然不是对顶角．第9题答图10．解：水磨转动不是平移现象，原因是每个点移动的方向不同，移动的距离也不相等．第2课时真假命题、证明、定理与逆定理1．下列命题中，是真命题的是()A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是()A．a＝－2 B．a＝－1C．a＝1 D．a＝23．下列命题中，错误的是()A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．若|x|＝5，则x＝5.4．下列命题中，是真命题的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝05．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)两个锐角的和是钝角．8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．9．命题：若a＞b，则1a< 1 b.(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．10．如图2－2－3，点B，A，E在同一条直线上，(1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．图2－2－3答案解析1．A【解析】对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.2．A【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a ＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，所以选项A正确；故选A.3．D4．D【解析】选项A，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，是真命题．故选D. 5．①②④6．对顶角相等(答案不唯一)7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；(2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．8．解：(1)假命题．反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.此命题为假命题．反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.9．解：(1)假命题．如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足1a< 1 b.(2)改成：若a＞b＞0，则1a< 1 b.10．解：命题：如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC.(答案不唯一)它是真命题，理由如下：因为AD∥BC，所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC.又因为∠B＝∠C，所以∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.故是真命题．第3课时命题的证明1．[2012·张家界]如图2－2－6，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是()图2－2－6A．当∠1＝∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1＝∠2C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b2．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°3．如图2－2－7，下列推理不正确的是()图2－2－7A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BCC．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD4．用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．已知：如图2－2－8, l1∥l2, l1、l2被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.图2－2－8证明：假设____________．因为l1∥l2，所以∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.所以____________不成立.所以____________．5．已知：如图2－2－9所示，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.(填写分析和证明中的空白)图2－2－9分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明________＝________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角和∠1、∠2的关系．由AD⊥BC于D，EF⊥BC 于F可推出________∥______，然后根据平行线得出的同位角相等，内错角相等，即可将所要证明相等的角与∠1，∠2联系起来．证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，所以________∥________(在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，所以________＝________(两直线平行，内错角相等)，________＝________(两直线平行，同位角相等)．因为________(已知)，所以________＝________．即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．6．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．7．求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．答案解析1．D2．C【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.3．C4．∠1＋∠2≠180°∠1＋∠3∠1＋∠2≠180°∠1＋∠2＝180°5．∠BAD∠CADEFADEFAD∠1∠BAD∠2∠CAD∠1＝∠2∠BAD∠CAD 6．解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.求证：∠A<90°，∠B<90°.证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与“三角形内角和等于180°”矛盾．所以假设不成立，原命题成立，即等腰三角形的底角是锐角．7．解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点M，且EF交CD于点N.求证：EF⊥CD.证明：因为EF⊥AB，所以∠EMB＝90°.又因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，所以∠END＝90°，所以EF⊥CD.第7题答图2.3__等腰三角形__第1课时等腰三角形的性质1．给出下列关于等腰三角形性质的叙述：①等腰三角形两底角相等；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是() A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对3．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图2－3－5，中塔左右两边所挂的最长钢索AB＝AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是________米．图2－3－54．[2012·淮安]如图2－3－6，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．图2－3－65．做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．其中由上述操作可得出的是________(将正确结论的序号都填上)．6．如图2－3－7，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.图2－3－77．如图2－3－8，已知等边三角形EAD和正方形ABCD，试求∠BEC的度数．图2－3－88．[2012·牡丹江]如图2－3－9①，△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H .易证PE ＋PF ＝CH . 证明过程如下： 如图①，连接AP .因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，所以S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又因为S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， 所以12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . 因为AB ＝AC ， 所以PE ＋PF ＝CH .如图2－3－9②，P 为BC 延长线上的点时，其他条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．图2－3－9答案解析1．D2.C3．456【解析】因为AB＝AC，BD＝228米，AD⊥BC，所以BD＝CD，所以BC＝2BD＝456米．故填456.4．35°【解析】因为△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝12∠BAC＝12×70°＝35°.5．②③6．证明：作AF⊥BC于F.因为AB＝AC(已知)，所以BF＝CF，又因为AD＝AE(已知)，所以DF＝EF，所以BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE(等式的性质)．第6题答图7．【解析】要求∠BEC，先求出∠AEB与∠CED，由题意可知△ABE与△DCE为等腰三角形，且顶角为60°＋90°＝150°，于是可得∠AEB与∠CED的度数．解：因为已知等边△EAD与正方形ABCD，所以AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝∠ABE＝12(180°－150°)＝15°.同理∠CED＝15°，所以∠BEC ＝∠AED －∠AEB －∠CED ＝60°－15°－15°＝30°. 8．解：PE ＝PF ＋CH .证明如下： 连接AP .因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，所以S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 因为S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ，所以12AB ·PE ＝12AC ·PF ＋12AB ·CH ， 又因为AB ＝AC ， 所以PE ＝PF ＋CH .第2课时 等腰三角形的判定1．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 满足(a －b )(b －c )·(c －a )＝0，那么△ABC 的形状是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形 2．下列条件中，不能得到等边三角形的是() A ．有两个内角是60°的三角形 B ．有两边相等且是轴对称的三角形 C ．有一个角是60°且是轴对称的三角形 D ．三边都相等的三角形3．如图2－3－14，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝________．图2－3－144．如图2－3－15，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD 是等腰三角形．图2－3－155．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图2－3－16折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．图2－3－166．如图2－3－17，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC 于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．图2－3－177．如图2－3－18所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB 到E使BE＝BD，连接DE.(1)请你写出图中的一个等腰三角形(除△ABC外，不必说明理由)．(2)如果已知AC＝2 013 cm，你能求出图中CE的长吗？试试看．(3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使(1)(2)成立？图2－3－18答案解析1．A【解析】因为(a－b)(b－c)(c－a)＝0，所以a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0，即a＝b或b＝c或c＝a，因而该三角形一定是等腰三角形．故选A.2．B3．10【解析】由AD∥CE，得∠BEC＝∠A，由已知可得∠BEC＝∠B，从而得出BC＝EC.4．解：因为AB∥CD，所以∠A＝∠D，∠B＝∠C，又因为OA＝OB，所以∠A ＝∠B，所以∠C＝∠D，所以△OCD是等腰三角形．5．解：正确．由折叠，得∠PEF＝∠FEC′.又因为BD′∥AC′，所以∠FEC′＝∠PFE.所以∠PEF＝∠PFE，所以PE＝PF.所以△PEF是等腰三角形．6．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，所以∠BAD＝∠CAD(等腰三角形三线合一定理)．因为DE∥AB，所以∠BAD＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)，所以∠CAD＝∠ADE，所以AE＝DE，所以△ADE是等腰三角形．7．解：(1)△BDE为等腰三角形；(2)因为△ABC为等边三角形，所以AB＝AC＝2 013 cm；又因为CD是AB边上的高，所以BD＝12AB＝1 006.5 cm，所以BE＝BD＝1 006.5 cm，所以CE＝BC＋BE＝2 013＋1 006.5＝3 019.5 cm；(3)把“CD是AB边上的高”改成“CD是AB边上的中线”或“CD是∠ACB的平分线”仍能使(1)(2)成立．__线段的垂直平分线__第1课时线段的垂直平分线的性质1．如图2－4－7，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()图2－4－7A．80° B．70°C．60° D．50°。

先确定最简公分母
系数的最小公倍数20
字母a，b，c的最高
次幂的指数是2,2,2
例4
通分：
（
x x 1）
1
1
（1） ， 2
x x x
解：（1）最简公分母是（
x x 1）
1
x 1
=
x （
x x 1）
1
1
=
2
x x （
x x 1）
例4
通分：
2
（x - 2）
（x + 2）（x 2） （2） 21 ， x

∙

=
=−
− −( − ) ∙
( − )
课堂小结
通分的一般步骤：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）确定各分式的最简公分母；
（2）利用分式的基本性质进行变形，把异分
母的分式转化为同分母的分式.
课后作业
1.教材P30习题1.4A组第2题；
2.完成学法P17。
（2）最简公分母是20a 2b2c 2

∙

=
=
∙

∙

=
=
∙

∙

=
=
∙
然后再按照分母是单项式时最简公分母的确定
方法确定最简公分母.
课堂练习
1.通分：
1 1
（1） ，
4x 6 y
解： ()
最简公分母
为12xy

∙

=
=
∙

∙

=
=
∙

第1章 分式
1.4 第2课时 通分
情景引入
做一做
计算：
1 2
+
1 3
=
2 5
-
1 3
=
3 6
2 6
5 6
；
6 15
155
1 15
.
获取新知
1 2
+
1 3
=
5； 6
2 5
-
1 3
=115.
异分母的分数相加减，要先通分，化成同分母的分数，再加减.
类似地，异分母的分式进行加、减运算时，也要先化成同分母的分式， 然后再加减.
x 3y 2
，1 4xy
解 最简公分母是 12xy2.
x 3 y2
=
x· 4x 3y2· 4x
=
4x2 12xy2
，
1 4xy
=
1· 3 4xy·
y 3
y
=
3y 12 xy2
.
例题讲授
(2)
4a 5b2c
， 3c 4a2b
， 5b 2ac 2
.
最简公分母是 20a2b2c2.
4a = 4a· 4a2c = 16a3c ， 5b2c 5b2c· 4a2c 20a2b2c2
获取新知
通分过程如下:
1 2x
=
13y 2x 3y
=
3y ， 6xy
1 3y
=
1 2x 3y 2x
=
2x 6xy
.
获取新知
确定最简公分母的方法: (1)各分母都是单项式时,确定最简公分母的方法: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式; ③同底数幂取次数最高的,这样得到的积就是最简公分母.

第2课时 通分基础题知识点1 最简公分母1．分式14x 2y 2和26xy 3z 2的最简公分母是( ) A ．6x 2y 3z B ．24xyzC ．6xy 2D ．12x 2y 3z 22．分式1x －y 与2x ＋y的最简公分母是( ) A ．x －yB ．x ＋yC ．(x －y)(x ＋y)D ．2(x －y)(x ＋y)3．分式xy 4y －2x 与x ＋y x 2－4y 2的最简公分母为( ) A ．(x ＋2y)(x －2y)B ．2(x ＋2y)(x －2y)C ．2(x ＋2y)(x －2y)2D ．－(x ＋2y)(x －2y)4．分式13a 2c 2，－12ab ，15b 3c的最简公分母是________． 知识点2 通分5．分式2x x 2－4与1x －2通分时，1x －2的分子、分母要同乘以( ) A ．x －2B ．x ＋2C ．2xD ．x 2－46．分式b a 2－2ab ＋b 2的分母经过通分后变成2(a －b)2·(a ＋b)，那么分子应变为( ) A ．2a(a －b)2(a ＋b)B ．2(a －b)C ．2b(a ＋b)D ．2(a ＋b)(a －b)7．将13，1a ，1b通分后，它们分别是______，______，______． 8．将分式1a 2－9和a 9－3a进行通分时，分母a 2－9可因式分解为________，分母9－3a 可因式分解为________，因此最简公分母是________．9．通分：(1)16xy 2，19x 2y ； (2)a 4b 2c ，2b 3ac 2；(3)32a 2b ，a －b ab 2c ； (4)1a －b ，1a ＋b；(5)1y 2－x 2，x 2x ＋2y、中档题10．下列说法中，正确的是( )A 、23ab 与12a 2的最简公分母是5a 2bB 、1a ＋b 2与1a 2＋b的最简公分母是(a ＋b)2 C 、a ＋14b （a －b ）（a ＋b ）与b ＋16a 2（b －a ）（b ＋a ）的最简公分母是12a 2b(a －b)(a ＋b) D 、1x 2－2x ＋1与1x 2－1的最简公分母是(x 2－2x ＋1)·(x 2－1) 11．(百色中考)下列三个分式12x 2，5x －14（m －n ），3x 的最简公分母是() A ．4(m －n)xB ．2(m －n)x 2C 、14x 2（m －n ）D ．4(m －n)x 212．把分式a －b a 2＋2ab ＋b 2，b a 2－b 2，1a 2－2ab ＋b 2通分后，其分子分别为() A ．(a －b)3，b(a ＋b)(a －b)，(a ＋b)2B ．(a ＋b)2(a －b)3，b(a ＋b)(a －b)，(a －b)2C ．(a ＋b)2(a －b)2，(a ＋b)(a －b)，(a ＋b)2D ．(a －b)3，b(a ＋b)(a －b)，(a －b)213．分式1a 2－3a 与12a的最简公分母是________． 14．把分式23b 2c ，3c 2a 2b ，b 5ac通分时，这三个分式的分子分母依次乘以________，________，________．15．通分：(1)x 6ab 2，y 9a 2bc ； (2)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2；(3)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9、16．写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a 2b ，且其中一个分式的分母不含字母a 、综合题17．通分：29－3a ，1a 2－6a ＋9，23a 2－27、参考答案1．D 2、C 3、B 4、30a 2b 3c 2 5、B 6、C 7、ab 3ab 3b 3ab 3a 3ab 8、(a ＋3)(a －3) －3(a －3) －3(a ＋3)(a －3) 9、(1)最简公分母是18x 2y 2，16xy 2＝1·3x 6xy 2·3x ＝3x 18x 2y 2，19x 2y ＝1·2y 9x 2y ·2y ＝2y 18x 2y 2、(2)最简公分母是12ab 2c 2，a 4b 2c ＝3a 2c 12ab 2c 2，2b 3ac 2＝8b 312ab 2c 2、(3)最简公分母是2a 2b 2c ，32a 2b ＝3bc 2a 2b 2c ，a －b ab 2c ＝2a （a －b ）2a 2b 2c 、(4)最简公分母是a 2－b 2，1a －b ＝a ＋b a 2－b 2，1a ＋b＝a －b a 2－b 2、(5)最简公分母是2(x ＋y)(x －y)、1y 2－x 2＝－1（x ＋y ）（x －y ）＝－22（x ＋y ）（x －y ），x 2x ＋2y ＝x 2（x ＋y ）＝x （x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）、 10、C 11、D 12、A 13、2a(a －3) 14、10a 2 15bc 6ab 2 15、(1)最简公分母是18a 2b 2c 、x 6ab 2＝x·3ac 6ab 2·3ac ＝3acx 18a 2b 2c ，y 9a 2bc ＝y·2b 9a 2bc ·2b ＝2by 18a 2b 2c 、(2)最简公分母是10xy 2z 2，45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y 210xy 2z 2、(3)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2，2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2、 16、答案不唯一，两个分式可以为12a 2b 和13b 、 17、最简公分母为3(a ＋3)(a －3)2，29－3a ＝－23（a －3）＝－2（a ＋3）（a －3）3（a ＋3）（a －3）2，1a 2－6a ＋9＝1（a －3）2＝3（a ＋3）3（a ＋3）（a －3）2，23a 2－27＝23（a －3）（a ＋3）＝2（a －3）3（a ＋3）（a －3）2。

八年级数学上册《第一章 分式》同步练习题及答案(湘教版)一、单选题 1．如果把分式2x y xy+中的x 、y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）． A ．是原来的15 B ．扩大5倍 C ．不变 D ．以上都不正确 2．下列变形正确的是（ ）A ．33y y x x +=+B ．y y x x -=-C ．22y y x x =D ．y x x y= 3．若分式2424x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．2±B ．2-C ．0D ．2 4．若分式3y x y -的值为5，则x 、y 扩大2倍后，这个分式的值为（ ） A ．52 B ．5 C ．10 D ．255．将分式2+x x y中的x y 、的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A ．扩大3倍B ．扩大6倍C ．扩大9倍D ．扩大27倍 6．若把分式2x y x y -+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大2倍C ．缩小为原来值12D ．缩小为原来值的14 7．分式12x x --有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．2x ≠ C ．2x = D ．2x > 8．下列各式中，错误的是（ ）A ．ac a bc b =B ．1a b a b -+=--C ．22142x x x -=-+D ．2211x x x x--=++ 9．若分式211x x -+值为0，则x 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．2-D ．2 10．若分式212x x -+的值等于0，则x 的值是 ( ) A ．1x =； B ．2x =； C ．1x ≠； D ．2x ≠．二、填空题11．已知23b a =，则a a b =+ ．12．若分式12x -在实数范围内有意义，则x 的值是 （写出一个正确的即可）． 13．如果把分式x x y 2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值 （填“变大”、“缩小”、“不变”） 14．分式232,25bc c 的最简公分母是 ． 15．若23x y =，则x y y -＝ ．三、解答题 16．（1）x 取何值时，分式2||369x x x --+的值为零？无意义？ （2）当m 等于什么时，分式()()21332m m m m ---+的值为零．17．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：(1)232645x x x x--+-； (2)23721x x x -+-+-． 18．通分：1a a -和11a-． 19．先化简，再求值（1）2(2)(3)(1)(1)x x x x x +-+++-，其中2x =．（2）2395222m m m m m +⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中3120m -= 20．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．①35a -；①235x y -；①25b a--；①1115y x ---． 参考答案：1．A2．B3．D4．B5．A6．A7．B8．D9．A10．A11．35/0.612．1（答案不唯一，2x ≠即可） 13．不变14．210bc15．13-16．（1）3-、3，（2）3 17．(1)232465x x x x --+(2)23721x x x --+18．1aa -和1111a a =---．19．（1）9；（2）1220．①35a -；①235x y -；①25b a ；①1115yx-。

2
1 -xy
=
1 （x x-y）
y = y x = -xy y - x （- x-y）x （x x-y）
课后小结
通分的一般步骤：
（1）确定各分式的最简公分母； （2）利用分式的基本性质进行变形，把异分 母的分式转化为同分母的分式.
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
5b = 5b 10ab2 = 50ab3 2ac2 2ac2 10ab2 20a2b2c2
先确定最简公分母
系数的最小公倍数20 字母a，b，c的最高 次幂的指数是2,2,2
例3 通分：
（1）1 x
， x
2
1
x
（ x x 1）
解：（1）最简公分母是（ x x 1）
1 = x1 x （x x 1）
1= 1 x2 x （x x 1）
例3 通分：
（2 x - 2）
（x + 2）（x 2）
（2） x
1 2
4
， 4
x -2
x
解：（2）最简公分母是（ 2 x + 2）（x 2）
1=
2
x2 4 （2 x + 2）（x 2）
x =- （x x + 2） 4 - 2x （2 x + 2）（x 2）

湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！第2课时　分式的通分1．会确定几个分式的最简公分母；2．会根据分式的基本性质把分式进行通分．(重点，难点)一、情境导入1．通分：，.12232．分数通分的依据是什么？3．类比分数，怎样把分式通分？二、合作探究探究点一：最简公分母分式与的最简公分母1x 2－3x 2x 2－9是________．解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为：x (x ＋3)(x －3)．方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．探究点二：分式的通分【类型一】 分母是单项式分式的通分通分．(1)，； c bd ac 2b 2(2)，； b 2a 2c 2a3bc 2(3)，，. 45y 2z 310xy 25－2xz 2解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．解：(1)最简公分母是2b 2d ，＝c bd 2bc 2b 2d，＝； ac 2b 2acd 2b 2d (2)最简公分母是6a 2bc 2，＝b 2a 2c ，＝；3b 2c 6a 2bc 22a 3bc24a 36a 2bc 2(3)最简公分母是10xy 2z 2，＝45y 2z ，＝，＝－8xz 10xy 2z 2310xy 23z 210xy 2z 25－2xz 2.25y 210xy 2z 2方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 【类型二】 分母是多项式分式的通分通分．(1)，； a 2（a ＋1）1a 2－a (2)，. 2mn 4m 2－93m 4m 2－6m ＋9解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，＝，a 2（a ＋1）a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1）＝； 1a 2－a 2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）(2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， ＝，2mn 4m 2－92mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2＝.3m 4m 2－6m ＋93m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．三、板书设计 1．最简公分母 2．通分：(1)依据：分式的基本性质；(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。