2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升

第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。

沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对3、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90 B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦6、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°9、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）4、如图，一次函数1y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，作ABO 的外接圆C ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB ＝AC ，∴点C 在⊙A 上∵BC ＝BD ，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC ＝12∠CAD∵点D ，P 在⊙A 上，∴∠CPD ＝12∠CAD （______________________） （填推理的依据）∴∠APC ＝∠BAC2、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．3、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．4、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．5、如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC ，请画出将△ABC 绕点C 旋转180°得到的△A 'B 'C '．（需写出△A 'B 'C '各顶点的坐标）．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180 后能与自身重合.2、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．3、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90 ，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．7、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】×2π×2×3＝6π（cm2）．解：它的侧面展开图的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r ，则周长为2πr ， 120°所对应的弧长为120222π3603r r ππ︒⨯==︒ 解得r =3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、12【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．2-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．332π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．5【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，CE CD DE CD2∴CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴AB∴∵∠AMC=2∠AOC=120°，∴=AC=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案 【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，∵BC 是弦，OA ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．4、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．5、A '（-1，-3），B '（1，-1），C '（-2,0），画图见解析．【分析】先画出点A ，B 关于点C 中心对称的点A '，B '，再连接A '，B '，C 即可解题．【详解】解： A 关于点C 中心对称的点A '（-1，-3），B 关于点C 中心对称的点B '（1，-1），C 关于点C 中心对称的点C '（-2,0），如图，△A 'B 'C '即为所求作图形．【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．。

圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】5=R60%1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算． 【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30C. 45 D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．D O A FE 例题2图 C B A OF D E【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38 cm B ．316cm C ．3cm D ．34cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156 B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm ．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的AO B 120o 120°OAB第1题图 第2题图第3题图 第4题图值等于（ ） A ．OD B ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（ ） A．3B．3C ．4D．35.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ）A．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第3题图 第9题图第7题图 第6题图第5题图 第4题图。

圆周角记忆导图 ⎪⎩⎪⎨⎧圆内接四边形性质定义圆周角 考点1 圆周角1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。

2、圆周角的性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，①同弧或等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：①半圆或直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

3、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

考点2 圆的内接四边形1、圆的内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

2、性质：定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。

推论：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。

【同步练习巩固】知识点1圆周角概念、定理及推论1．如图，图中的圆周角有__∠ADB ，∠CAD ，∠CBD ，∠ACB__，CD ︵所对的圆周角有__∠CAD ，∠CBD__.2．(教材P29，练习，T2改编)(安徽模拟)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠C ＋∠O ＝63°，则∠O 的度数是( D )A ．21°B ．27°C ．30°D ．42°3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为88°，30°，则∠ACB 的大小为( C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°4．(江苏无锡中考)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝__15°__.5．(江苏南京鼓楼区期末)如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ︵、BD ︵的度数分别为60°，40°，则∠APC 的度数为__50°__.6．(广西柳州中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( D )A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D7．(江苏南京秦淮区二模)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在半圆AB 上，且AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，连接AC ，AD ，则∠CAD 的度数是__30__°.8．(四川自贡中考)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC. 求证：(1)AD ︵＝BC ︵； (2)AE ＝CE.证明：(1)∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴AD ︵＝BC ︵.(2)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ＝BC. 由同弧所对的圆周角相等， 得∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ， ∴△ADE ≌△CBE(ASA)， ∴AE ＝CE.9．如图，以等腰三角形ABC 的腰AB 为直径作圆，交底边于点D ，连接AD ，那么∠1与∠2的关系是( C )A ．∠1＋∠2＝90°B ．∠1>∠2C ．∠1＝∠2D ．∠1<∠210．(安徽芜湖南陵一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 为__66__度．11．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，以BC 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E. (1)求证：AB ＝2AE ； (2)若AE ＝2，CE ＝1，求BC.解：(1)证明：如图，连接BE.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC ＝90°，即∠AEB ＝90°.∵∠A ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∴AB ＝2AE. (2)∵AE ＝2，∴AB ＝2AE ＝4， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝23.∵CE ＝1，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝13.知识点2圆的内接四边形12．(教材P31，练习，T1改编)(陕西西安工大附中三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则∠BAD 的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．(浙江杭州滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则∠D 的大小是( C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°14．(安徽池州青阳六校联考)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AE ︵的度数为40°，则∠B ＋∠D 的度数是__160°__.15．(黑龙江哈尔滨南岗区一模)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 是在CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠DPC 的度数是__135__度．16．(安徽淮南潘集区第二次联考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE.求证：DB ＝DC.证明：∵∠DAC 与∠DBC 是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠DBC.∵AD 平分∠CAE ，∴∠EAD ＝∠DAC ， ∴∠EAD ＝∠DBC.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAD ＝∠BCD ， ∴∠DBC ＝∠BCD ，∴DB ＝DC.【能力培优提升】1．(广西北部湾经济区模拟)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD.则下列结论中错误的是( D )A ．AC ＝CD B.AC ︵＋BD ︵＝BC ︵C ．OD ⊥ABD ．CD 平分∠ACB2．(湖北武汉调研)如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝61，AD ＝10，点C 在BD ︵上移动，连接AC ，H 是AC上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是( D )A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为( B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°5．(河北石家庄一模)如图，点A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，AC ︵＝AE ︵，∠B ＝122°，则∠D ＝( B )A ．58°B ．116°C ．122°D ．128°6．(四川内江模拟)如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知⊙O 的半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是__203__.7．(辽宁辽阳中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__.8．(北京西城区二模)如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是 BD ︵的中点，AB ＝CD.若∠ODC ＝50°，则∠ABC 的度数为__100__°.9．(安徽合肥联考)如图，四边形ABDC 内接于⊙O ，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，连接OB ，OC ，BD ，CD.(1)求证：四边形OBDC 是菱形；(2)若∠ABO ＝15°，OB ＝1，求弦AC 的长．解：(1)证明：如图，连接OD. 由圆周角定理，得∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵AD 平分∠BAC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠BOD ＝∠COD ＝60°.∵OB ＝OD ，OC ＝OD ，∴△BOD 和△COD 是等边三角形， ∴OB ＝BD ＝DC ＝OC ，∴四边形OBDC 是菱形． (2)如图，连接OA.∵OB ＝OA ，∠ABO ＝15°， ∴∠OAB ＝15°，∴∠AOB ＝150°， ∴∠AOC ＝360°－150°－120°＝90°， ∴AC ＝OA 2＋OC 2＝2.10．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ； (2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C.∵点A ，B ，E ，D 都在⊙O 上， ∴∠CDE ＝∠B ， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC.(2)如图，连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC.又AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.∵∠C ＝∠C ，∠CDE ＝∠B ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CD CB ＝CEAC ，∴CE ·CB ＝CD ·CA. 又AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝32.11．(天津南开区一模)如图1，在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E. (1)∠E 的度数为__60°__；(2)如图2，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图3，直径AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．解：(2)如图2，直线AD ，CB 交于点E ，连接OD ，OC ，AC. ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°，∴∠EBD ＝30°. ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠E ＝90°－30°＝60°. (3)如图3，连接OD ，OC.∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠CBD ＝30°. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠BED ＝60°，∴∠AEC ＝60°.。

第 4 课时圆的确定 ]一、选择题1．用反证法证明“a＞ b”时应假设()A．a＞b B ．a＜bC．＝b D ．≤ba a2．以下条件中能确立一个圆的是 ()A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个极点3．三角形的外心是 ()A．三边中线的交点B．三边垂直均分线的交点C．三条高的交点D．三条内角均分线的交点4．若△的外接圆的圆心在△的内部，则△是链接听课例 2归纳总结() ABC ABC ABCA．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．没法确立5．2018·烟台如图K－ 6－ 1，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点O，，，C在格点 ( 两条网格线的交点叫格点) 上，以点O为原点建立直角坐标系，则过，，A B A B C三点的圆的圆心坐标为()图 K－ 6－1A．( －1，－ 2) B ．( －1，－ 3)C．( －2，－ 2) D ．( －3，－ 1)6．2017·山西公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，以致了第一次数学危机 . 2 是无理数的证明以下：q q 22假设 2是有理数，那么它可以表示成p( p与q是互质的两个正整数 ) ．于是 ( p)＝( 2)＝2，因此q2＝ 2p2. 于是q2是偶数，从而q 是偶数．从而可设q＝2m，因此(2 m)2＝2p2， p2＝2 2，于是可得p 也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有m理数”的假设不可以立，因此，2是无理数．这类证明“2是无理数”的方法是()A．综合法 B ．反证法C．举反例法 D ．数学归纳法二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点(1 ， 0) ， (0 ，－ 3) ， (2 ，－ 3)__________ 确立一个A B C圆( 填“能”或“不可以”) ．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不可以有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________ ．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，此中四块碎片如图K－ 6－ 2 所示，为配到与原来大小相同的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应当是第________块. 链接听课例 1归纳总结图 K－ 6－210．2017·宁夏如图K－6－ 3，点A，B，C均在 6× 6 的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A， B， C三点外还经过的格点有________个．图 K－ 6－311．2017·巢湖月考若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠ BOC＝60°，底边BC＝2，则△ ABC的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M，使⊙ M经过点 A(－4，0)， B(0，－2)，O(0，0)，求点 M的坐标．13.求证：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 链接听课例 3归纳总结14．如图 K－6－ 4 所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图 K－ 6－415．如图 K－ 6－ 5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A， B， C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的地点画出来 ( 尺规作图，不写作法，保留作图印迹) ；(2)若在△ ABC中， AB＝8米， AC＝6米，∠ BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图 K－ 6－516．如图 K－ 6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝ 24，BD＝ 10，E，F，G分别为 AB， BC， CD的中点．试求以 E， F， G三点所确立的圆的周长．(结果保留π)图 K－ 6－6如图 K－ 6－ 7，D 是△ABC的边BC的中点，过延长线上的点E作的垂线，AD AD EF E F，点 O在 AD 上， AO＝ CO， BC∥(1)求证： AB＝ AC；(2)求证：点 O是△ ABC的外接圆的圆心；(3)当 AB＝5， BC＝6时，连接 BE，若∠ ABE＝90°，求 AE的长．图 K－ 6－7详解详析[ 课堂达标 ]1． [ 解析 ] D反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不可以立，故证明“a＞b”时应假设“ a≤ b”．2．[ 解析 ] D确立一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确立一个圆；过一个三角形的三个极点即可确立一个圆．综上所述，选项 D 正确．3．[ 答案]B4．[ 解析 ]A△ABC的外接圆的圆心在△ ABC的内部，则△ ABC是锐角三角形．应选 A.5．[ 解析 ]A依据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC， AB的垂直均分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－ 2) ．6．[ 解析]B阅读资猜中的证明方法切合反证法的步骤．7．[ 答案 ]能[ 解析 ] ∵ B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) ，∴ BC∥x 轴，而点 A(1 ， 0) 在 x 轴上，∴点 A， B， C 不共线，∴三个点 A(1 ，0) ， B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) 能确立一个圆．8．[ 答案 ]在一个三角形中有两个内角为钝角9．[ 答案 ]②10．[ 答案 ] 5[ 解析 ] 如图，分别作 AB， BC的中垂线，两直线的交点为O，以点 O为圆心， OA为半径作圆，则⊙ O即为过 A， B，C 三点的圆，由图可知，⊙ O还经过点 D， E， F， G， H 这 5 个格点．故答案为 5.11．[答案 ] 2 －3或 2＋3[ 解析 ]如图，当△ ABC是钝角三角形时，△BOC是等边三角形，且∠ AOB＝∠ AOC＝30°，BD＝ CD＝ 1，∴OD＝3BD＝ 3，则 AD＝ OA－ OD＝ 2－ 3，∴ S ＝2BC× AD＝2×2×(2 － 3)△ ABC1111＝2－ 3；当△ ABC是锐角三角形时， AD＝ OA＋ OD＝ 2＋3，∴ S△ABC＝2BC×AD＝2× 2× (2 ＋3)＝2＋ 3.12．解：以以以下图：∵△ AOB是直角三角形，∴△ AOB的外心 M是斜边 AB 的中点．过点 M作 MC⊥ x 轴于点 C，作 MD⊥ y 轴于点 D，则 MD∥ OA， MC∥ OB，∴ C 是 OA的中点， D 是 OB的中点，11∴OC＝ OA＝ 2， OD＝ OB＝ 1，22∴点 M的坐标为 ( － 2，－ 1) ．13．解：已知：以以以下图，直线AB∥ EF， CD∥ EF.求证： AB∥ CD.证明：假设AB与 CD不平行，则直线AB 与 CD订交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线 (AB，CD)都和直线 EF 平行，这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，因此假设不可以立，故AB∥CD.14．证明：以以以下图，取BC的中点 F，连接 DF， EF.∵BD，CE是△ ABC的高，∴△ BCD和△ BCE都是直角三角形，∴DF，EF 分别为 Rt △ BCD和 Rt △BCE斜边上的中线，∴ DF＝ EF＝ BF＝ CF，∴ E， B， C， D四点在以点 F 为圆心，1BC为半径的圆上．215．解： (1) 用尺规作出两边 ( 如 AB，AC)的垂直均分线，交点即为圆心O，以 OA为半径作出⊙ O，⊙ O即为所求 ( 图略 ) ．(2)∵∠ BAC＝90°， AB＝8 米， AC＝6 米，∴ BC＝10 米．∵直角三角形的外心为斜边的中点，∴△ ABC外接圆的半径为 5 米，∴小明家圆形花坛的面积为 25π平方米．16．解：如图，连接EF，FG， EG.∵E，F 分别是AB，BC的中点，∴ EF是△ ABC的中位线，1∴EF∥AC，且 EF＝2AC＝ 12.1同理可得 FG∥ BD，且 FG＝2BD＝ 5.∵AC⊥BD，∴ EF⊥ FG.∴EG＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长，∴以 E， F， G三点所确立的圆的周长为13π.[ 涵养提高 ]解： (1) 证明：∵ AE⊥ EF， EF∥ BC，∴ AD⊥BC.又∵ D是 BC的中点，∴AD是 BC的垂直均分线，∴AB＝AC.(2)证明：连接 BO，由 (1) 知 AD是 BC的垂直均分线，∴ BO＝ CO.又∵ AO＝ CO，∴ AO＝ BO＝CO，∴点 O是△ ABC的外接圆的圆心．(3)解法 1：∵∠ ABE＝∠ ADB＝90°，∠ BAD＝∠ EAB，AB AD∴△ ABD∽△ AEB，∴＝.AE AB1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，5 4∴AD＝4，∴ ＝，AE 525∴AE＝4.解法 2：由 (2) 得 AO＝ BO，∴∠ ABO＝∠ BAO.∵∠ ABE＝90°，∴∠ ABO＋∠ OBE＝∠ BAO＋∠ AEB＝90°，∴∠ OBE＝∠ OEB，∴ OB＝OE.1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，∴AD＝4. 设 OB＝ x，则 OD＝ 4－ x，在 Rt△ OBD中，有 32＋ (4 －x) 2＝ x2，25解得 x＝8，25∴AE＝2OB＝ .4。

沪科版九年级下册数学24.2圆的基本性质一、单选题1．已知点P 与⊙O 在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法判断2．下面命题中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个圆 B ．垂直于弦的直线平分弦C ．经过四点不能作一个圆D ．三角形有一个且只有一个外接圆3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点(10,0)A ，直线8y kx =+与O 交于B 、C 两点，则弦BC 长的最小值（ ）． A ．8B ．10C ．12D ．164．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ） A ．45B ．215C ．16D ．85．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．已知⊙O 的半径r =3cm ，PO =1cm 时，点P 与⊙O 的位置关系是________________． 7．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．8．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．9．如图，已知在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD =______．10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为_____ 。

三、解答题11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB ＝4，CD ＝1，求⊙O 半径的长．12．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）， （1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______； （2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．13．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．14．如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =． （1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．15．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD ＝3：5，则AB 的长为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．29116.。