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x xa x i i a x x a x
a
1
mod x 1
n
mod x 1
n
定理： （n,k）循环码C( x)中存在唯一的一个
非零的，首一的和最低次为r（r<n）的码
多项式g(x)满足： g(x)=xr+gr-1xr-1+….+g X+g0
1
信息论与编码
Information Theory and coding
内蒙古工业大学 电子信息工程系 宋丽丽
Email: songlili@
§6.3.1 循环码的多项式描述
§6.3.2循环码的生成矩阵 §6.3.3系统循环码
循环码
循环码是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。 编码设备不太复杂，而且检纠错能力较强。
循环码的定义
定义
如果一个线性分组码的任意一个码字c(n 元组)都是另外一个码字c’的循环移位,称 此线性分组码为一个循环码.
例 6.3.2 如下确定的CA是线性循环码，CB是非 循环的线性分组码，CC是非线性的循环码。
， ，
循环码的多项式描述
将循环码的码字用多项式c(x)， 称为码多项式（简称码式）表示后，循环码集合 表示C(x),
k n
(n,k)循环码的校验矩阵为
hk , hk 1 , 0, h , k H 0, 0,
h0 , 0, 0, 0 h1 , h0 , 0, 0 hk , hk 1 , h0 rn
i 1, 2,, n
a x an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 ai 0,1 1 a x an 2 x n 1 an 3 x n 2 a1 x 2 a0 x an i a x an 1i x n 1 an 2i x n 2 a1 x i 1 a0 x i an 1 x i 1 an i
定理：
g(x)是（n,k）循环码的生成多项式， 当且仅当g(x校验矩阵
(n,k)循环码的生成矩阵为
g r , g r 1 , g 2 , g1 , g0 , 0, , 0 0, g , g , g , g , g ,, 0 r r 1 r 2 1 0 G , 0, g r , g r 1 , g1 , g0 , 0, 0,
C c c b , b C C x c x c x b x , b x C x
i i
ai 0,1 a a0 , a1 , , an 2 , an 1 1 a an 1 , a0 , a1 , , an 3 , an 2 i a an i , an i 1 , , an 1 , a0 , a1 ,, an 1i ,
例题
已知（7，3）循环码的全部码字0000000， 1101001，0011101，1010011，0111010， 0100111，1110100，1001110 1）写出该循环码的生成多项式和生成矩阵； 2）根据监督多项式写出监督矩阵； 3）写出系统循环码的生成矩阵，并求解输入信 息序列为[1 1 0]的系统码。
作业
6-7，6-8
g0≠0 r=n-k 并且c(x)是码式当且仅当c(x)是g(x)的倍式
定义 由上述定理确定的码式g(x)
称为循环码(n,k)的生成多项式.
循环码由生成多项式的倍式组成
C x c x c x a x g x , a x k
因此(n,k)循环码的构造是如何构造生成 多项式g(x)。
