北京市丰台区2012-2013学年高三第二学期一模理科数学试题

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e -5.已知命题p:(0,),32x xx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线1y x =+总有公共点，则圆F C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若21PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .12.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅= .13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______. 14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

三、解答题15. 已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,44ππ上的值域.16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值. 17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

18.已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++=；② 1231n a a a a ++++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22nii a in=≤-∑ 丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）参考答案一、选择题二 填空题10. 30； 11．15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1； 13. 2+； 14. 3，21k -(第一个空2分，第二个空3分)。

三、解答题15. （本题13分）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-，………………………………………3分∴最小正周期T=π, …………………………………………………………………………………4分单调增区间3[,]()88k k k Z ππππ-+∈, …………………………………………………………7分（Ⅱ）33,24422x x ππππ≤≤∴≤≤， 52444x πππ∴≤-≤， ………………………………………………………………………………10分 ∴()f x 在3[,]44ππ上的值域是[-. ………………………………………………………13分16．（本题14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且1=NB ，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值. 解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形, ∴BC ∥AD.∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB ∥平面AMD. ∵NBBC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,∴平面AMD ∥平面BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD,∴AM ∥平面BCN …………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分) （Ⅱ）⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .∴)1,2,0(=, ………………………………………6分)1,2,2(-=，)2,2,0(-=,设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,则⎩⎨⎧=-=-+022022z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为θ,∴552352122sin =⨯⨯+⨯==θ. ……9分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，MEMNλ=，ME MN λ∴=，又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，∴E 点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，23λ∴=∴23ME MN =. ………………………………………………………………………………14分17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分则P （A ）=211422211644110C C C C C C ⋅⋅=，答：甲和乙都不获奖的概率为110. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分P(X=0)=38, P(X=400)= 2526311448C C ⋅⋅=, P(X=600)= 2526131448C C ⋅⋅=,P(X=1000)=12552266113448C C C C +⋅⋅= , ……………………………………………………………………10分∴X 的分布列为…………………………………11分 ∴E(X)=0×38+400×18+600×18+1000×38=500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). ……………………………………………………………13分18. （本题13分）已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，……………………………………………………………1分则21()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=---+， …………………………………………………3分 h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩即2130,11230.(1)b a b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,36.a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩……………………6分(Ⅱ)记ϕ(x)=()()g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2+3x)(x ≠-a), ab=8，所以8b a =，∴28()()(3)x x a x x a ϕ=++(x ≠-a), ∴2211()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a aϕ'=++=++,令()0x ϕ'=，得34x a =-，或16x a =-, …………………………………………………8分因为[)3,a ∈+∞，∴所以3146a a -<-，∴故当34x a <-，或16x a >-时，()0x ϕ'>，当3146a x a -<<-时，()0x ϕ'<，∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31(,),(,),(,)46a a a a -∞----+∞，单调递减区间为31(,)46a a --, ……………………………………………………………………10分[3,)a ∈+∞,∴3944a -≤-,162a -≤-，① 当26a-≤-，即12a ≥时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递增,∴ϕ(x)在该区间的最小值为64(2)446a aϕ-=-+-， ………………………………………11分② 当216a-<-<-时,即612a <<,ϕ(x)在[-2,6a -)单调递减, 在(,1]6a--单调递增，∴ϕ(x)在该区间的最小值为()6a ϕ-=225108a -，………………………………………………12分③当16a-≥-时,即36a ≤≤时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为8(1)113a aϕ-=-+-，………13分综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a -+-；当612a <<时，最小值为225108a -；当12a ≥时，最小值为64446a a-+-. （不综述者不扣分） 19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过点P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A 、B 。