淮 海 工 学 院11 – 12 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)2,0,1(=OA ，)2,1,0(=OB 围成的三角形OAB ∆面积为--------------（A ） （A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）4注1：已知,a b ，会求,,a b a b a b ⋅⨯⨯，举例说明并练习.注2：已知,a b ，会求由,a b 构成的面积s a b =⨯，举例说明并练习.2．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导. 如： 2(,)1,f x y y xy =+求(3,1),(,1),(,1),(0,1),(0,),(0,)x x xx y y yy f f x f x f f y f y . 又如：对选择题2，求(1,1),(0,1)x y f f .3. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1(注1：(,,)u f x y z =在点0M 处沿梯度方向000((),(),())x y z f M f M f M 的方向导数达到最大值222000()()()x y z f M f M f M ++.如：函数32),,(222+-+=z y x z y x f 在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简要解答：,2x f x =z f y f z y 4,2-==则 )72,2,2()27,1,1(-=g r a df ，6)27,1,1(][max )27,1,1(==∂∂grad l f . 又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰1),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰10),(（C ）x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ）x d y x f dy eeey ⎰⎰1),(注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：⎰⎰1),(yydx y x f dy 的另一种积分次序为--------------------------------------------（C ） （A ）⎰⎰10),(xx dy y x f dx （B ）⎰⎰10),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰102),(xx dy y x f dx （D ）⎰⎰12),(x xdy y x f dx又如：x d y x f dy e ey ⎰⎰1),(的另一种积分次序为⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(.5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ） 22π注1：第一种曲线积分的计算需利用(,),L Lx y L ds s ∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） 5l （D ） 5l6．设∑为锥面22y x z +=与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰----------------------------------------------------（D ）（A ）π- （B ）3π- （C ）3π （D ）π 注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kv ΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧. 如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96 .又如：对选择题6，设∑为空间闭区域{}22(,,)1,1x y z x y z Ω=+≤≤的表面内侧，用高斯公式计算223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--⎰⎰.简要解答: Ω是半径为1、高为2的圆柱体，其体积为2π，令2,23P x z Q xyz R z ==-=-，则3x y z P Q R ++=-则原式()xyz P QR dv Ω=++⎰⎰⎰3dv Ω=⎰⎰⎰6π=．7．设)1(1+=n n u n ，则级数-------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∑∞=∞=121n n n nu u 与都收敛 （B ）∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散，而∑∞=12n nu收敛注1：对于p 级数11p n n ∞=∑，当1p ≤时发散，当1p >时收敛． 如：下列级数中收敛的是--------------------------------------------------------------------（D ）（A ）∑∞=+11n n n （B ）∑∞=+1)1(1n n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+111n n n又如：若级数5611pn n∞-=∑收敛，则p 的取值范围是-----------------------------------------（A ）（A ）(,23)-∞ （B ）(,23]-∞ （C ）(23,)+∞ （D ）[23,)+∞ 8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ） （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3注1：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：对选择题8，24(7)2S πππ--+=.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 注1：设),(y x f z =是由(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则有公式法如下： ,x x z y y z z F F z F F =-=-．解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1 则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.-------------------------------------------------3如： 设0)3cos()2sin(=-+-z y z x 确定了隐函数),(y x z z =，求23x y z z +. 2． 设1(,)z f xy x y x =+，其中f 可微，求)0,1(dz . 解：12211()z f yf f x x x ∂=-++∂-----------------------------------------------------------------2121()z xf f y x∂=+∂-----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz= 212[(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]f f dx f f dy -++.-----------3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： )(),(xyg yx xy f z +=,其中g f ,均可微，求x y xz yz +. 简要解答: ),(1221y x g x y f y yf x z '-+=∂∂ ),(1221y x g x f yx xf y z '+-=∂∂ 则12x y xz yz xyf +=.又如：对计算题2，求x y z z -.注2：(,)z f x y =的全微分公式为x y dz z dx z dy =+，求出,x y z z ，可得dz ， 进一步，将00,x x y y ==代入dz ，可得00(,)x y dz，或00(,)dz x y .如：设(,)y z yf x y x=-，其中f 可微，求(1,0)dz -.简要解答: 122()x y z y f f x =-+，121()y z f y f f x=+-， 因x y dz z dx z dy =+，则(1,0)(0,1)dz f dy -=-. 又如：对计算题1，求dz .3．设D 由23,1y x y x ==-及x 轴所围成，求2221(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,03D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式122300(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212220(1)(1)6r d r π-=++⎰12π=.----------------------------------3 注1：若积分区域为圆（扇、环）域，被积函数为22()f x y +，则用极坐标.如： 若{}1),(22≤+=y x y x D ，求221Dx y dxdy --⎰⎰.简要解答: 原式212001d d πθρρρ=-⋅⎰⎰01)1(32232ρπ--=32π=. 又如：对计算题3，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰.4．取L 为22132x y +=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dx x y +-++⎰. 解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰--------------------------------------------------------------3 221321622x y d σπ+≤=-=-⎰⎰.----------------------------------------------------------2 注1：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(π2-. 再如：对计算题4，求2(2)(2)y Ly y dx xy e dy --+⎰.三、计算题（8分）记曲面zxy z ln 21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y xL -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程. 解： 设=),,(z y x F z z x y 21ln-+，则 )211,1,1(),,(000--=z x F F F M z y x ------2 由L ⊥∏，知 0000111211,22112x z x z --==⇒==- ------------------------------3 代入zxy z ln 21+=可得：2ln 210+=y ----------------------------------------------1故∏：0)2()2ln 21()21(2=----+-z y x ，即 02ln 22=--+z y x .---2注1：曲面(,,)0F x y z =在点0M 处的法向量为0(,,)x y z M F F F .如：在曲面xy z =上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面.093=+++z y x 简要解答: 设所求点为 ),,(0000z y x M , 令(,,)F x y z z xy =- 则点0M 处的法向量为000(,,)(,,1)x y z M F F F y x =-由已知得113100-==x y ，解之得: 1,300-=-=y x ，则 3000==y x z 故所求点为)3,1,3(--.又如：求曲面0162222=++-+-z x z y x 在)1,3,1(处的切平面I 的方程, （1）判断平面∏：0536=---z y x 与切平面I 的位置关系；（2）判断直线11:63x z L y --==与切平面I 的位置关系. 简要解答: （1）令162),,(222++-+-=z x z y x z y x F则,14-=x F x 62,2+=-=z F y F z y ，切平面I 法向量)8,6,3(1-=n切平面I 方程为： 07863=++-z y x ，∏平面法向量为)3,1,6(2--=n由021=∙n n 知 21n n ⊥ ，即 ∏⊥I . （2）直线L 的方向向量为(6,1,3)s =-由10n s ∙=，知1n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,1)∉I ，则L I .注意：当1n s ⊥时，若直线L 上的某点M ∈I ，则有L ⊂I . 四、计算题（８分）求幂级数∑∞=+---11212)12(2)1(n n n nn x 的收敛半径和收敛域．解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 24x -----------------------------------------------------------------2当142<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当214x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R ---------------------------------------------------------------------------12±=x 时，相应级数为∑∞=--±1121)1(41n n n 收敛--------------------------------------2∴收敛域为]2,2[-． -------------------------------------------------------------------------1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程． 如：求幂级数n n n x n 2114⋅⋅∑∞=-的收敛半径和收敛域．简要解答: 1lim |()()|n n n u x u x +→∞=24x ，当241x <时，即||12x <时，该级数绝对收敛； 当241x >时，即||12x >时，该级数发散，则收敛半径12R = ，12x =±时，相应级数为14n n∞=∑发散，∴收敛域为(12,12)-． 五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y y x e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2yyP x y x e x y Q x y x e x y =+-=-+ ----------------------------------1231y P Q x e y x∂∂=-=∂∂-----------------------------------------------------------------------2 则(,)u x y 与积分路径无关-------------------------------------------------------------------1 (,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y yx e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------12300(32)(2)x yy x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1 注1：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)(,)(,)(,)x y x yx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．简要解答: 因x y y x yPx Q cos 2sin 2+-=∂∂=∂∂，则命题得证； (,)2(0,0)2(2sin sin )x y xyu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++又如：对证明计算题五，求证:LI Pdx Qdy =+⎰与积分路径L 无关,仅与L 的起点仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，并求出I ． 简要解答: 因231y Q Px e x y∂∂==-∂∂，则命题得证； (,)23(0,0)(32)(2)x x xxy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求,122σd y x D⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤．[解] 如图,原式122222(1)(1)D D x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰------------------------------212222(1)2(1)DD x y d x y d σσ=+-+--⎰⎰⎰⎰-----------------------------221112220000(1)2(1)dx x y dy d r rdr πθ=+-+-⎰⎰⎰⎰-------------------------2143π=-.----------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一座半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR ， 设,PR x AM y ==，求该停车场PQCR 的最大面积.解：在Rt APM ∆中，222(100)90x y -+=----------------------------------1 停车场PQCR 的面积(100)S x y =-，,(0,100)x y ∈------------------------1 构造222(100)[(100)90]L x y x y λ=-+-+-， ------------------------------------------1 由(100)2(100)0,20x y L y x L x y λλ=---==-+=----------------------1 解得x y =或100x y +=------------------------------------------------1 当x y =时，易得2950S m =---------------------------------------------------------------------1 当100x y +=，易得2(1405090002)S m =----------------------------------------------1 故停车场PQCR 的最大面积为2(1405090002)m -.-----------------------1 注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统．现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄A B C D 、、、，A B C D 、、、恰好座落在边长为km 2的正方形顶点上，该道路子网有一条关于,AD BC 对称的中心道21O O 及四条支道1122O A O B O C O D 、、、，整个设计要求11,O A O B x ==22O C O D y ==，设21O O 长为2z ，问,,x y z 为多少时，道路子网总长度最短？A BO 1O 2D C简要解答:221122x y z -+-+=，且(1,2),(1,2),(0,1)x y z ∈∈∈该题要求在上述条件下求道路总长度2()d x y z =++的条件最小值构造拉格朗日函数222()(1122)L x y z x y z λ=+++-+-+-222220120122011220x y z xL x y L y L L x y z λλλλ⎧=+=⎪-⎪⎪⎪=+=⎨-⎪⎪=+=⎪=-+-+-=⎪⎩解得213,1333x y z ===-，可使道路子网总长度最短． 注意：本题也可将221122x y z -+-+=化为222211z x y =----，代入目标函数222()2(1)11d x y z x y x y =++=++----令0x y d d ==进行求解．八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dyf x dxg y =⎰⎰.对选择题1，,x y y e e '=y xe dy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x y y e -'=的通解.2、12x y C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求；若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r x r xy C eC e =+； 若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rx y C C x e =+.对选择题2，因011,x x x e e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12x x y C e C e -=+； 通解为12x x y C e C e -=+，则微分方程为0=-''y y . 又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+； 通解为12()x y C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=.3、 微分方程x xe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ） （A ）2()x ax b e -+ （B ）x e b ax x 2)(-+ （C ）x e b ax x 22)(-+ （D ）xe x 23-注1：xy py qy ceλ'''++=的特解可设为*k xy ax eλ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()x y ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xedx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdx xdx x ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y e e dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y e x -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x xx x x e u ee e e e e x x --=====．。
