2021(北师大版)八年级数学下册第一次月考试卷(含答案)

2015-2016年八年级下第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是（）㎝? B．12㎝????C．12㎝或15㎝? ? D．15㎝2.如果ba>，那么下列各式一定正确．．的是（）A. 22ba> B.22ba< C. ba22-<- D. 11-<-ba3.下列命题中正确的是 ( )A．有两条边分别相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．有两条边分别相等的两个直角三角形全等 D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等4．下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（）.A B C D5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB,若BE=2，则AE的长为（）A.√3B.1C.√2（第5题图）（第6题图）6．函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（）．A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>27．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（）．8．已知关于x的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122baxbax的解集为53<≤x，则ab的值为（）．A．-2 B．21- C．-4 D．41-9．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°13{xx≥≤A CB D次得到△1、△2、△3、△4…，则△2016的直角顶点的坐标为 （ ）A ．8065 .8064 C D. 8062(第9题图) ( 第10题图)二、填空题.（每小题4分，共24分）11．如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE=3， 则点P 到AB的距离是 。

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.1等腰三角形的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020秋•长春期末)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为()A．30°B．25°C．15°D．10°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，再根据角的和差关系即可求解．【解析】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝(180°﹣60°)÷2＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．故选：C．2．(2020秋•建华区期末)下列四个说法：①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等媵三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．其中正确的个数为()A．1个B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形性质即可判断①，画出图形证△BDC ≌△CEB ，即可判断②，根据直角三角形性质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断③，根据三角形的三边关系定理即可判断④．【解析】如图1，∵在△ABD 中，∠BDA ＝90°，则AC ＝AB ≥BD ，∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；如图2，∵AB ＝AC ，AD ＝DC ，AE ＝EB ，∴DC ＝BE ，∠DCB ＝∠EBC ．在△BDC 和△CEB 中，{BC =BC ∠BCD =∠CBE CD =BE，∴△BDC ≌△CEB (SAS )．∴BD ＝CE ，故②正确；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，∴只能三边是10，10，5，∴它的周长是25，故④错误．故选：A ．3．(2020秋•喀什地区期末)下列说法错误的是( )A ．等腰三角形的两个底角相等B ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C ．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D ．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解析】A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．4．(2020秋•香坊区期末)等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为() A．10B．13C．17D．13或17【分析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，②当等腰三角形的三边长是3，7，7，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合，求出三角形的周长即可．【解析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；综合上述：三角形的周长是17，故选：C．5．(2020秋•武都区期末)已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是() A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A ＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C=12×(180°﹣∠A)＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．6．(2020秋•肇州县期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为()A．20°B．22.5°C．25°D．30°【分析】可设∠C＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质可得∠EDB＝25°+12x，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A＝12.5°+14x，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，解得x＝30°．故选：D．7．(2020秋•崆峒区期末)如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于()A．54°B．60°C．72°D．76°【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，由角的和差关系可求∠BCO，再根据等腰三角形的性质可求∠B．【解析】∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．8．(2020秋•松桃县月考)若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为() A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．【解析】①当这个角为顶角时，底角＝(180°﹣40°)÷2＝70°；②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故选：C ．9．(2020秋•西湖区校级期中)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE ＝CA ，则∠DAE 的大小为( )A ．αB ．34αC ．23αD ．12α 【分析】由AB ＝BD ，AC ＝CE ，可得∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，则{x +z =αx =z +2y ，解得y +z ＝35°，由此即可解决问题．【解析】∵AB ＝BD ，AC ＝CE ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，则{x +z =αx =z +2y ，解得y +z =12α，∴∠DAE ＝∠DAC +∠CAE =12α；故选：D ．10．(2020秋•江州区期中)已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为( )A ．5cmB ．10cmC ．11cmD ．5cm 或11cm 【分析】根据分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差，再分两种情况求出腰长，然后根据三角形的三边关系判断即可．【解析】设腰长为xcm ，根据题意得x ﹣8＝3或8﹣x ＝3，解得x ＝11或x ＝5，当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．综上所述，腰长为5cm或11cm．故选：D．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2020秋•沙河口区期末)等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是12cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故答案为：12cm．12．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C 的大小为35度．【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB 是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝40°，∴∠B＝∠ADC=12(180°﹣40°)＝70°，∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA＝∠DAC+∠C，又∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12×70°＝35°，故答案为：35．13．(2020秋•讷河市期末)已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于50˚或80˚．【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【解析】∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．14．(2020秋•宽城区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC的大小为72度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ABC和∠ACB的度数，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠ABD的度数，然后根据∠BDC＝∠A+∠ABD，即可得到∠BDC的度数．【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故答案为：72．15．(2020秋•香坊区期末)如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠P AC的度数为90°．【分析】根据等边三角形的性质，得∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．【解析】∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，∴∠P AC＝∠P AQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，故答案为：90．16．(2020秋•绿园区期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是80°．【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．【解析】∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．17．(2020秋•二道区期末)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为90度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】∵k＝2，∴设顶角＝2α，则底角＝α，∴α+α+2α＝180°，∴α＝45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．18．(2020秋•定西期末)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点A 1、B 1，使OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在A 1B 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θn ＝ (2n −1)⋅180°+α2n ．(用含α的式子表示)【分析】设∠A 1B 1O ＝x ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，即可求得θ1=180°+α2，同理求得θ2=180°+θ12，即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案． 【解析】设∠A 1B 1O ＝x ，则α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，∴θ1=180°+α2， 设∠A 2B 2B 1＝y ，则θ2+y ＝180°①，θ1+2y ＝180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，∴θ2=180°+θ12=(22−1)⋅180°+α22， …θn =(2n−1)⋅180°+α2n ． 故答案为：(2n −1)⋅180°+α2n ．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝40°．求：(1)∠ADC的大小；(2)∠BAD的大小．【分析】由已知AB＝AC，D是BC边上的中点，可得AD为三角形的高，在直角三角形中，可求解各个角的大小．【解析】(1)∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；(2)∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．20．(2020秋•莫旗期末)如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．【分析】由BD＝CD得∠BCD＝∠CBD，由AB＝BC＝AD得∠ABD＝∠ADB＝2∠DBC，∠A＝∠C，从而可推出∠ABC＝3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而不难求得∠ABC的度数．【解析】∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，设∠BCD＝∠CBD＝x°，∵AB＝BC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，∴∠ABC＝3∠C＝3x°，∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36，∴∠C＝36°∴∠ABC＝3∠C＝108°．21．(2020秋•船营区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC 的度数．【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠ADC，则可求得∠EDC．【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE=12(180°﹣∠DAE)=12×(180°﹣28°)＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．22．(2020秋•乐亭县期末)若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+(b﹣4)2＝0(1)试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．(3)若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为(2x﹣20)°试求此三角形各内角度数．【分析】(1)利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；(2)分腰长为3或4两种情况进行计算；(3)分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【解析】(1)∵|a﹣3|+(b﹣4)2＝0，∴a＝3 b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；(2)当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；(3)当底角为x°、顶角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、(2x﹣20)°时，则等腰三角形性质可得x＝2x﹣20，解得x＝20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．23．(2020秋•萧山区月考)在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD＝4，点E是AB的中点，连接DE．(1)求∠B的度数；(2)求三角形BDE的面积．【分析】(1)根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；(2)根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，根据中线的性质求得答案即可．．【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C=12(180°﹣∠BAC)＝45°；(2)∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∵点E是AB的中点，∴S△AED＝S△BED=12S△ABD=12×12AD•BD=12×12×4×4＝4．24．(2020秋•朝阳区校级期中)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD ＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为22.5°；(2)如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．【解析】(1)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，∴∠BAD＝45°，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∴∠2＝22.5°；故答案为：22.5°．(2)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．。

八年级数学下册第一次月考试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》班级姓名得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是()A. ∠B=∠CB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. AB=2BD2.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是()A. ∠A=40°，∠B=50°B. ∠A=40°，∠B=60°C. ∠A=40°，∠B=80°D. ∠A=20°，∠B=80°3.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是()A. a−c>b−cB. a+c<b+cC. ac>bcD. ab <cb4.若a>b，则()A. a−1≥bB. b+1≥aC. a+1>b−1D. a−1>b+15.不等式组{x−1<−3,2x+9≥3的解集是()A. −3≤x<3B. x>−2C. −3≤x<−2D. x≤−36.某商品进价10元，标价15元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于2元，则最多打几折销售()A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折7.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D.若AC=DB，则下列结论中不正确的是()A. ∠A=∠DB. ∠ABC=∠DCBC. OB=ODD. OA=OD9.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°10.若3a−22和2a−3是实数m的平方根，且t=√m，则不等式2x−t3−3x−t2≥512的解集为()A. x≥910B. x≤910或x≤6.5C. x≥811D. x≤811二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=度．12.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB=7，DE=4，则△ABD的面积为．13.商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗．为了避免亏本，售价至少应定为______元/千克．14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则不等式kx+b<x+a的解集为______．15.若关于x的不等式组{3x+5<5x+1 x>a−1 解集为x>2，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共100.0分）16.（8分）解不等式组：{3(x+1)>x−1 x+92>2x17.（10分）已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，(1)求BC的长；(2)求AE的长；(3)求BD的长18.（10分）解不等式组{4(x+1)≤7x+13,①x−4<x−83,②并求它的所有整数解的和．19.（10分）某工厂计划生产甲、乙两种机器共10台，其生产成本和利润如下表所示：(1)某工厂计划投入成本26万元，这些成本刚好生产出整数台机器.问：甲、乙两种机器各应安排生间多少台？(2)若工厂计划生产甲机器的数量不少于4台，并共能获利不少于16万元，问：工厂有哪几种生产方案？并说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？20.（10分）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．(1)现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村(即AC+AB)(如图2)；方案2：作A点关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM(即AM+BM)(如图3)．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．(2)有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间(即点Q在线段CD上)，当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．21.（8分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．22.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，F是边CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：AB=AD；(2)若∠BCD=114°，求∠BAD的度数．23.（10分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n，如：1※2=12×2−1×2−3×2=−6．(1)求(−2)※√3；(2)若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．24.（12分）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x(s)，甲、乙行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙比甲晚出发___________s，乙提速前的速度是___________cm/s，m=___________，n=___________；(2)当x为何值时，乙追上了甲？(3)何时乙在甲的前面？25.（12分）(1)如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小(不需要说明理由)．(2)如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6√3，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．(3)如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．答案1.D2.D3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.B10.B11.4012.1413.1014.x>315.a≤316.解：{3(x+1)>x−1①x+92>2x②解不等式①得x>−2，解不等式②得x<3，∴不等式组的解集为−2<x<3．17.解：(1)∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC=√102−82=6；(2)∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，{BD=BDCD=DE，∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，∴BE=BC=6，∴AE=AB−BE=10−6=4；(3)设CD=DE=x，则AD=8−x，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即42+x2=(8−x)2，解得x=3，所以，CD=DE=3，在Rt△BCD中，BD=√62+32=3√5．18.解：−3≤x<2．所有整数解的和为−5．19.解：(1)设甲、乙两种机器各应安排生间x台，(10−x)台，2x+5(10−x)=26，解得，x=8，则10−x=2，答：甲、乙两种机器各应安排生间8台、2台；(2)设生产甲种机器的数量为a台，{a+3(10−a)≥16a≥4，解得，4≤a≤7，∵a是整数，∴a=4，5，6，7，即工厂有四种进货方案，方案一：生产甲种机器4台，乙种机器6台；方案二：生产甲种机器5台，乙种机器5台；方案三：生产甲种机器6台，乙种机器4台；方案四：生产甲种机器7台，乙种机器3台；设利润为w元，w=a+3(10−a)=−2a+30，∴当a=4时，w取得最大值，此时w=22，即方案一获利最大，最大利润是22万元．20.解：(1)方案1：AC+AB=1+5=6，方案2：AM+BM=A′B=√CD2+(AC+BD)2=√41，∵6<√41，∴方案1更合适；(2)(方法不唯一)如图，①若AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时，CQ1=CQ4=√52−12=2√6(或√24)>4∴(不合题意，舍去)②若AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时，DQ=√52−42=3，③当AQ3=BQ3时，设DQ3=x，则有x2+42=(4−x)2+128x=1∴x=1，8；即：DQ=18故当DQ=3或1时，△ABQ为等腰三角形．821.解：(1)大货车、小货车各有12辆、8辆．(2)设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有(10−x)辆，到B地的大货车有(12−x)辆，到B地的小货车有(x−2)辆，∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)=100x+15600(2≤x≤10，且x为整数).(3)根据题意，得15x+10(10−x)≥140.解得x≥8．∴8≤x≤10．∴当x=8时，y取最小值，y最小=100×8+15600=16400．22.解：(1)连接AC，∵点E 是边BC 的中点，AE ⊥BC ，∴AB =AC(三线合一)同理AD =AC ，∴AB =AD ；(2)∵AB =AC ，AD =AC ，∴∠B =∠1，∠D =∠2，∴∠B +∠D =∠1+∠2，即∠B +∠D =∠BCD ，∵∠BAD +(∠B +∠D)+∠BCD =(4−2)⋅180°=360°，∠BCD =114°， ∴∠BAD =360°−114°−114°=132°．23.(1)3√3.(2)m ≥−2.解集在数轴上表示图略．24.解：(1)15 15 31 45(2)设y 1=k 1x.∵点A(31,310)在OA 上，∴31k 1=310．解得k 1=10.∴y 1=10x ．设BC 段对应的函数关系式为y 2=k 2x +b ，∵点B(17,30)，C(31,450)在BC 上，∴{17k 2+b =30,31k 2+b =450,解得{k 2=30,b =−480.∴y 2=30x −480(17≤x ≤31)．当y 1=y 2时，则10x =30x −480，解得x =24．∴当x =24时，乙追上了甲．(3)由图象可知，当x >24且x ≤45时，乙在甲的前面．25.解：(1)如图①中，作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交直线l 于P ，连接PA.则点P 即为所求的点．(2)如图②中，作DM//AC ，使得DM =EF =2，连接BM 交AC 于F ，∵DM=EF，DM//EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM，∴DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC=3√3，在Rt△ADO中，OD=√AD2−OA2=3，∴BD=6，∵DM//AC，∴∠MDB=∠BOC=90°，∴BM=√BD2+DM2=√62+22=2√10．∴DE+BF的最小值为2√10．(3)如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ACD=∠ADB=60°∵DM=DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，∴∠ADM=∠BDC，∵AD=BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM=BC，∴AC=AM+MC=BC+CD，∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，∵AD=AB=6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4√3，∴四边形ABCD的周长最大值为12+4√3．。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2（含答案）1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）2．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．3．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．4．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．）5．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s 的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？6．如图，已知在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，EF是线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．求证：△ADC是等腰三角形．7．如图的直角△ABC中，∠BAC＝90°，AF⊥BC于点F，BD平分∠ABC交AF于点E，交AC于点D，试判定△ADE的形状并说明理由．8．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠BAD＝∠CAE，∠ADE＝∠AED，求证：△ABC是等腰三角形．9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E．那么△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（）A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定12．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．18B．21C．20D．18或2113．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．914．线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．715．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠ADE ＝∠AED，∠EDC＝20°，则∠BAD为（）度．A．20B．30C．35D．4017．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30°B．32°C．40°D．48°18．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°19．已知：如图∠BAC＝69°，BD＝AD＝AC，则∠DAC的度数为（）A．32°B．40°C．52°D．36°20．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（）A．10°B．15°C．20°D．30°21．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（）A．当β为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当γ为定值时，∠CDE为定值D．无法确定22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D．设∠ADB＝α，∠CAD ＝β，则下列结论正确的是（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°23．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°24．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC的度数等于（）A．B．αC．90°﹣D．90°﹣α25．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．26．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝时，△AOP为等腰三角形．27．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．28．如图，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是．29．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝∠B，AB＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．30．如图所示，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当三角形APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是．31．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．32．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．参考答案1．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，证明：∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）CG＝DE+DF证明：连接AD，∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．2．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，即△EFG是等腰三角形．4．解：如图所示：5．解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B＝90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP＝BQ，∴12﹣2x＝x，解得：x＝4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．6．证明：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°，∵∠C＝40°，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC，即△ADC是等腰三角形．7．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴∠ABD+∠BDA＝90°，∠CBD+∠BEF＝90°，∴∠BDA＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF（对顶角相等），∴∠BDA＝∠AED，∴AD＝AE．故△ADE是等腰三角形．8．证明：∵∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．9．答：△ADE是等腰三角形，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．10.解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．11．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，故选：B．12．解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，故选：D．13．解：如图：故选：C．14．解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．15．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．16．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+20°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+40°．又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C+40°＝∠BAD+∠C，∴∠BAD＝40°．故选：D．17．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝64°，∴∠B＝∠ADB＝64°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝116°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣116°）÷2＝32°，故选：B．18．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，∴∠ODC＝24°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．故选：D．19．解：∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∵DA＝CA，∴∠ADC＝∠C，而∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠C＝2∠B，∵∠BAC＝69°，∴∠C+∠B＝3∠B＝111°，∴∠B＝37°，∴∠DAC＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣37°×4＝32°．故选：A．20．解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠α，∴2∠CDE＝∠α，∴∠CDE＝∠α．即当∠α为定值时，∠CDE为定值，故选：B．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠ADB＝α，∴∠B＝∠C＝90°﹣α，∵∠CAD＝β，∴α＝β+90°﹣α，∴2α﹣β＝90°．故选：D．23．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝70°，∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．故选：B．24．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴2x+y＝y+α，解得x＝．∴∠EDC＝．故选：A．25．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．故答案为：4．26．解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°；②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为：45°或67.5°或90°．27．解：分为以下5种情况：①OA＝OP，∵∠AOB＝30°，OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A＝（180°﹣30°）＝75°；②OA＝AP，∵∠AOB＝30°，OA＝AP，∴∠APO＝∠AOB＝30°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；③AB＝AP，∵∠AOM＝60°，AB＝AP，∴∠APO＝∠ABM＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；④AB＝BP，∵∠ABM＝60°，AB＝BP，∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；⑤AP＝BP，∵∠ABM＝60°，AP＝BP，∴∠ABO＝∠P AB＝60°，∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，故答案为：75°或120°或90°．28．解：由图可知，∵AC＝BC，∠C＝36°，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．故答案为2．29．解：当AB＝AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝2cm，∴BD＝AB•cos30°＝2×＝3cm，∴BC＝6cm，即运动的时间6s；当AB＝BP时，∵AB＝2cm，∴BP＝2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．30．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝18﹣3x，AQ＝2x，即18﹣3x＝2x，解得x＝3.6．故答案为：3.6s．31．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．32．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°。

一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（ ）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是22．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，在ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(,0)m 、(0,2)和(5,3)，则当ABC 的周长最小时，m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，已知等边,2ABC AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD CF DE BC =⊥，于点,E FG BC ⊥于,G DF 交BC 于点P ，则下列结论中：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．一定正确的是（ ）A ．①B ．②④C ．①②③D ．①②④ 6．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．5a =，12b =，13c =B ．6a =，8b =，10c =C ．7a =，24b =，25c =D ．8a =，12b =，15c =8．如图所示，在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果1AP =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，若100BAC ∠=︒，则EAG ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°11．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 12．如图，每个小正方形的边长都相等，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒二、填空题13．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．14．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．15．如图，已知△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，有以下四个结论：①点P 在∠BAC 的平分线上；②△BRP ≌△QSP ；③QP ∥AR ；④△PQC 是等边三角形，其中正确的有______个．16．如图，在ABC 中，,45,,AB AC BAC AD BE =∠=︒是ABC 的高，点Р是直线AD 上一动点，当PC PE +最小时，则BPC ∠为______度．17．如图，在第1个1A BC 中，36B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是________________．18．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③BFDCED S BF S CE ∆∆=；④EF//BC ；一定成立的结论是______（请将正确结论的序号填在横线上）19．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP=，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．20．如图，点M 是等边△ABC 的边BC 的中点，AB =4，射线CD BC ⊥于点C ，点P是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP +NP 的值最小时，则AN 长为____．三、解答题21．在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点(),0A a ，()0,B b ，(),0C c ()0,0a b <>满足()210c a b -++=，F 为射线BC 上的一个动点．（1）c 的值为______，ABO ∠的度数为______．（2）如图()a ，若AF BC ⊥，且交OB 于点E ，求证：OE OC =．（3）如图()b ，若点F 运动到BC 的延长线上，且2FBO FAO ∠=∠，O 在AF 的垂直平分线上，求ABF 的面积．22．如图，已知：AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝BD ，过点B 作BE ⊥AC ，与AD 交于点F ． （1）求证：AC ∥BD ；（2）若AE ＝2，AB ＝3，BF ＝355，求△ABF 中AB 边上的高．23．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．（1）求证：OB=OA；（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是度．25．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证BD＝CE；（2）若AC+CD＝2，则四边形ACDE的面积为．26．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．（1）求证：∠DBE＝∠DCF；（2）求证：△ABC为等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：AB=22242025+==，故选项A 正确，不符合题意；∵AC ＝22125+=，BC 2234255=+==，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意； 点A 到直线BC 的距离25525AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．C解析：C【分析】过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，求出∠EDF ，根据角平分线性质求出DE=DF ，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD ，证Rt △DEB ≌Rt △DFC ，求出∠EDB=∠CDF ，推出∠BDC=∠EDF ，即可得出答案．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE ⊥OM ，DF ⊥ON ，OD 平分∠MON ，∴DE=DF ，∵P 为BC 中点，DP ⊥BC ，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．C解析：C【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时ABC的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m 的值为2．故选：C ．【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A 点位置是解题关键．4．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP 为底，②OP 为腰，讨论点P 的个数，再求出m 的值即可.【详解】解：由点P （m ，0）知点P 在x 轴上，分两种情况：当OP 为底时，以A 点为圆心OA 为半径画圆，交x 轴于点P ，以OA=AP 为腰，点P 的坐标为m=2×3=6，当OP 为腰时，以O 为圆心，OA 长为半径，画圆交x 轴于两点P ，点P 在y 轴左侧或右侧，OP=OA=222313+=，∴m=13±，点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．5．D【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE ＝CG ，DE ＝FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP ＝∠GFP ，EP ＝PG ，得出PC ＋BE ＝PE ，就可以得出PE ＝1，从而得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°．∵∠ACB ＝∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠FGC ＝∠DEP ＝90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△FGC （AAS ），BE ＝CG ，DE ＝FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE ＝PG ，∠EDP ＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG ＝PC ＋CG ，∴PE ＝PC ＋BE ．∵PE ＋PC ＋BE ＝2，∴PE ＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．6．B解析：B【分析】由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，故②不正确，④正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故③正确；∴①③④正确．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．7．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC 的长度．解：∵在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的角平分线，∴30ABP DBP BAP ∠=∠=∠=︒，∴1AP BP ==，∵90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60EAP AEP ∠=∠=︒，∴△APE 是等边三角形，∴AP=BP=AE=PE=1，∵30DBP C ∠=∠=︒，∴CE=BE=1+1=2，∴213AC CE AE =+=+=；故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．9．B解析：B【分析】由作法知EF 是AC 的垂直平分线，可得AP=CP ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，由点D 是底边BC 的中点，可BD=CD =6，由AB=AC ，可得AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8即可．【详解】解：连结PA ，由作法知EF 是AC 的垂直平分线，∴AP=CP ，∴PC+PD=PA+PD ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，∵点D 是底边BC 的中点，∴BD=CD=11BC=12=622⨯， ∵AB=AC ，∴AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8=，（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．故选择：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．10．B解析：B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°−80°＝20°，故选B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，∴BD＝DF，CE＝GE，∵FG＝2，ED＝6，∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED−FG＝6−2＝4，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．12．A解析：A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数．【详解】解：如图，连结AC，由题意可得：2222221310,125,125,AB AC BC+==+==+=∴AC=BC，222AB AC BC=+，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．二、填空题13．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B作BE⊥AC1于点E∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题解析：3834(1)nn+【分析】首先求出S1，S2，S3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴22221312BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴1113312AC B S ∆=⨯=由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====133248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …， 所以111n AC B n S S n ∆=+， ∵111331224AC B S ∆=⨯⨯=， ∴3n n S = 33n 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个 解析：11702n -︒⨯【分析】根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．【详解】在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=12∠BA 1C=12×70° ． 同理可得：∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=12∠EA 3A 2=(12)3×70°， 综上可知规律：第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：112n -×70° ， 故答案为 70° ×112n -． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 15．4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质角平分线的性质可得所以内错角相等所以所以为等边三角形所以可判断③④正确再根据①③④的结论易证②正确【详解】点P 在的平分线上故①正确；A解析：4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得APQ QAP ∠=∠，QAP BAP ∠=∠，所以APQ BAP ∠=∠，内错角相等，所以//QP AR ，所以60BAC C ∠=∠=︒，PCQ △为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确．【详解】,,PR PS PR AB PS AC =⊥⊥90PRB PSQ ∴∠=∠=︒∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；PQ AQ =APQ QAP ∴∠=∠AP 平分BAC ∠QAP BAP ∴∠=∠APQ BAP ∴∠=∠//QP AR ∴，故③正确； ABC 为等边三角形60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒//QP AR60BAC PQS ∴∠=∠=︒PQC ∴是等边三角形，故④正确；∴在BRP △和QSP 中B PQS PRB PSQ PR PS ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BRP △≌QSP 故②正确综上所述①②③④都正确故答案为：4.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质定理，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】连接PC 只要证明PB=PC 即可推出PC+PE=PB+PE 可得PBE 共线时PC+PE 的值最小最小值为BE 的长度从而结合等腰三角形的性质求解【详解】解：如图连接PC ∵AB=ACAD ⊥BC ∴BD=解析：135【分析】连接PC ，只要证明PB=PC ，即可推出PC+PE=PB+PE ，可得P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小，最小值为BE 的长度，从而结合等腰三角形的性质求解．【详解】解：如图，连接PC ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∴PB=PC ，∴PC+PE=PB+PE ，又∵BE ⊥AC∴P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小为BE 的长，∵AB=AC ，∠BAC=45°，BE ⊥AC∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=45°∴∠PBC=∠PCB=67.5°-45°=22.5°∴∠BPC=180°-22.5°×2=135°故答案为：135．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和分别求出的度数找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数【详解】解：在中是的外角同理得第个三角形中以为顶点的 解析：20201722⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭︒【分析】 先根据等腰三角形的性质求得1BA C ∠的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出213243DA A EA A FA A ∠∠∠、、的度数，找出规律即可得到第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数．【详解】解：在1CBA 中，136,B A B CB ∠=︒=1180722B BAC ︒-∠∴∠==︒ 1211,A A AD BA C =∠是12A A D 的外角，211117222DA A BAC ∴∠=∠=⨯︒ 同理得2321()722EA A ∠=⨯︒， 3431()722FA A ∠=⨯︒ ∴第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()722n -⨯︒ ∴第2021个三角形的底角度数是：20201()722⨯︒，故答案为：20201()722⨯︒．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．18．①②③【分析】由三角形ABC 中∠BAC 的平分线交BC 于点D 过点D 作DE ⊥ACDF ⊥AB 根据角平分线的性质可得DE=DF ∠ADE=∠ADF 然后根据全等三角形的性质可得AF=AE 继而证得①∠AFE=∠A解析：①②③【分析】由三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，根据角平分线的性质，可得DE=DF ，∠ADE=∠ADF ，然后根据全等三角形的性质，可得AF=AE ，继而证得①∠AFE=∠AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分EF ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFD CED S BF S CE ∆∆=，EF 平行BC 不能判断，于是可得④ ． 【详解】解：①∵三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠ADE=∠ADF ，DF=DE ，∵AD=AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF ，故正确；②∵DF=DE ，AF=AE ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ，故正确；③∵12BFD DF S BF ∆=•，S △CDE =12CE DE •，DF=DE ， ∴BFD CED S BF S CE∆∆=；故正确； ④∵∠EFD 不一定等于∠BDF ，∴EF 不一定平行BC ．故错误．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．6【分析】作点P 关于OA 的对称点P1点P 关于OB 的对称点P2连结P1P2与OA 的交点即为点M 与OB 的交点即为点N 则此时MN 符合题意求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P 关于OA 的对称点P1点P 关解析：6【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故答案是：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．20．1【分析】作点M关于直线CD的对称点G过G作于N交CD与P再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M关于直线CD的对称点G过G作于N交CD与P∵△ABC是等边三角形AB=4∴AB=BC=AC=4解析：1【分析】⊥于N，交CD与P，再根据等边三角形作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN AB的性质计算即可；【详解】⊥于N，交CD与P，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN AB∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=BC=AC=4，30G ∠=︒，∵M 是BC 的中点，∴2BM CM CG ===，∴6BG =，在Rt △BNG 中，30G ∠=︒，6BG =，∴3BN =，∴431AN =-=；故答案是1．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）1； 45°；（2）见解析；（3）94【分析】（1）根据非负数的性质可求得c 的值，得到OA=OB ，即可求得∠ABO 的度数；（2）证明△AOE ≅△BOC 即可证明OE OC =； （3）连结OF ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为点G ，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OF ，证明∠OBC=30°，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】（1）∵()210c a b -++=，∴10c -=，0a b +=，∴1c =，∵A(a ，0)， B(0，b)，∴OA=OB ，∵∠AOB=90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，故答案为：1；45°；（2）∵AF BC ⊥，∴90AOE BFE ∠=∠=︒，∵AEO BEF ∠=∠，∴OBC OAE ∠=∠，由（1）得：OA=OB ，在AOE △和BOC 中， AO BO AOE BOC OBC OAE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴AOE BOC ≅△△(AAS)，∴OE OC =；（3）连结OF ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为点G ，∵O 在AF 的垂直平分线上∴AO OF =，∴OAF OFA x ∠=∠=，∴2GOF OAF OFA x ∠=∠+∠=∵22FBO FAO x ∠=∠=，OB OA OF ==，∴2OFC OBF x ∠=∠=，∴4BCO COF OFB x ∠=∠+∠=，∵90OBC OCB ∠+∠=︒，∴690x =，解得15x =，∴230OBC GOF x ∠=∠==︒，∵1c =，∴C(1，0)，1OC =，∵90BOC ∠=°，30OBC ∠=︒，∴22BC OC ==，22OB BC OC 3=-= ∴3OA OF OB === 同理可得：32FG =， ∴31AC AO OC =+= ∴)11119331333222244ABF ACB ACF S S S AC FG AC OB =+=⋅+⋅==+△△△ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）见解析；（2）△ABF 中AB 边上的高为255 【分析】 （1）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠CAD ＝∠BDA ，根据平行线的判定定理证明即可；（2）作FG ⊥AB 于G ，根据勾股定理求出BE ，进而求出FE ，根据角平分线的性质定理解答即可．【详解】（1）证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵AB ＝BD ，∴∠BDA ＝∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BDA ，∴AC ∥BD ；（2）解：作FG ⊥AB 于G ，在Rt △ABE 中，AE ＝2，AB ＝3，∴BE 2222325AB AE =-=-=，∴FE ＝BE ﹣BF 3255555=-=， ∵AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AC ，FG ⊥AB ，∴FG ＝FE 255=，即△ABF 中AB 边上的高为255．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．23．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA平分∠BAD且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a；∴ EA=3910a．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．24．（1）见解析；（2）22.5【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△BAE，进而得出OB=OA；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．【详解】证明：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD与△BAE中，135BE AD EBA DAB AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BAE （SAS ），∴∠DBA=∠EAB ，∴OB=OA ；（2）由（1）得：OB=OA ，在△OBC 与△OAC 中，OB OA OC OC BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OAC （SSS ），∴∠OCB=∠OCA=12∠ACB=12×90°=45°， ∵AC=BC ，AC=OC ，∴OC=BC ， ∴∠CBO=∠COB 1801804567.522OCB ︒︒︒︒-∠-===， 在Rt △BCD 中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．25．（1）详见解析；（23【分析】（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．【详解】证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，∴EM ＝EN ，∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，∴EM ＝EN 3∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形1122AC EM CD EN =⨯+⨯ ()1132322EM AC CD =+== 3【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．26．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据HL 可证明Rt △DBE ≌Rt △DCF ；（2）由全等三角形的性质得出∠EBD ＝∠FCD ，由等腰三角形的性质得出∠DBC ＝∠DCB ，则可得出结论．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BE CF BD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）；（2）∵Rt △DBE ≌Rt △DCF ，∴∠EBD ＝∠FCD ，∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴∠DBC ＋∠EBD ＝∠DCB ＋∠FCD ，即∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

北师大版2021年八年级数学上册第一次月考试卷及答案【完整版】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．-2019的相反数是（ ）A ．2019B ．-2019C ．12019D ．12019- 2．下列各数中，313.14159 8 0.131131113 25 7π-⋅⋅⋅--，，，，，，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知x+y ＝﹣5，xy ＝3，则x 2+y 2＝（ ）A ．25B ．﹣25C ．19D ．﹣19 4．若关于x 的方程333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m ≠32C ．m ＞﹣94D ．m ＞﹣94且m ≠﹣34 5．方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为（ ） A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =⎧⎨=-⎩ C ．21x y =-⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩6．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18715 ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠BAE=（ ）A ．80°B ．60°C ．50°D ．40°9．如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）.A ．BD =DC ，AB =AC B ．∠ADB =∠ADC ，BD =DCC ．∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D ．∠B =∠C ，BD =DC10．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）A ．12B ．1C 2D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．2x 1-x 的取值范围是 ▲ ．3．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为____________．4．如图，一次函数y=﹣x ﹣2与y=2x+m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组22{20x m x x +----＜＜的解集为________．5．如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ．折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上．若5DE =，则GE 的长为__________．6．如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm /s 和2cm /s ，则最快_________s 后，四边形ABPQ 成为矩形．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：241244x x x x -=--+．2．先化简，再求值：22122()121x x x x x x x x ----÷+++，其中x 满足x 2－2x －2=0.3．若方程组3133x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x 为非负数，y 为负数． （1）请写出x y +=_____________；（2）求m 的取值范围；（3）已知4m n +=，且2n >-，求23m n -的取值范围．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE ．（1）求证：CE ＝AD ；（2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．5．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）6．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、B3、C4、B5、D6、C7、C8、D9、D10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、100．2、x13、32或424、﹣2＜x＜25、49 136、4三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、4x2、1 23、（1）1；（2）m＞2；（3）-2＜2m-3n＜184、（1）略；（2）四边形BECD是菱形，理由略；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由略5、（1）略；（2）四边形EFGH是菱形，略；（3）四边形EFGH是正方形.6、（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里。

第一章三角形的证明单元测试一．选择题1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（）A．40°B．55°C．65°D．70°2．如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D 和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（）A．11B．12C．13D．144．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．105．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm9．如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（）A．B．C．3D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是．12．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB＝30°，BD＝1，则AB的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．16．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝，DE＝．17．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为．18．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．19．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD 交于点F．（1）求证：DC＝EB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．25．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AC＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？26．（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC＝62°，则∠P AC是度．27．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点O，作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．求证：OE＝OF．28．如图（1）将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α．（1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由；（2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC平行时，求旋转角α的值；（3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系．（温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A+∠B+∠C＝180°）参考答案一．选择题1．解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；即∠C的度数可以是70°或40°或55°，故选：C．2．解：设∠C＝x．∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB＝45°+x，在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，∴45°+45°+x+2x＝180°，∴x＝30°，∵∠EDC＝90°，DE＝2，∴AE＝EC＝2DE＝4，故选：D．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴CD＝2CE＝6，∵点D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝AC＝12，故选：B．4．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．5．解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．6．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2CB＝4，故选：C．7．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故选：C．8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．故选：B．9．解：∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，AN＝BN，AQ＝CQ，∴∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，∴∠ANQ＝∠B+∠BAN＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝60°，∴∠NAQ＝90°，∴BN＝AN＝NQ，AQ＝CQ＝NQ，∵BC＝，∴NQ+NQ+NQ＝3+，∴NQ＝2，∴AN＝，AQ＝1，∴阴影部分的面积＝AN•AQ＝＝，故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠A＝50°．∴∠C＝∠ABC＝＝＝65°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．12．解：设∠B＝x°，当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x+x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝80°故答案为：80．13．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠DCB＝30°，∴2BD＝BC，∵CD⊥AB，∴∠A＝∠DCB＝30°，∴2BC＝AB，∴AB＝4BD，∵BD＝1，∴AB＝4．故答案为：4．15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠NMC＝60°，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM＝ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MNCN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，16．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．17．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝20°；（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，∴∠BAE+∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∴9﹣8＜BC＜9+8，∴1＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．18．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+CB＝11，19．解：∵EF垂直平分AB于点F，∴AE＝BE，∵BE+CE＝20cm，∴AE+CE＝20cm，即AC＝20cm，∵AD垂直平分BC于点D，∴AB＝AC＝20cm，故答案为：20cm．20．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE＝AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．三．解答题21．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．22．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，，∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．23．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．24．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．25．解：∵△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，∴∠ACD＝∠DCE＝∠ECB＝30°，又∵CD⊥AB，AC＝20，∴∠A＝60°，AD＝10，∵∠ACB为直角，∴∠B＝30°∵AC＝20，∴AB＝40，∵CE是△ABC中线，∴AE＝BE＝20，∴DE＝10．26．解：（1）已知：△ABC．求证：∠ABC、∠BCA、∠ACB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等．证明：如图，作∠ABC的角平分线FB，作∠BCA的角平分线FC，两条线相交于点F，作FG⊥AB于点G，FD⊥BC边于点D，FE⊥AC于点E，∵点F是∠ABC平分线上的一点，∴FG＝FD，同理可得，FD＝FE，∴FG＝FD＝FE（等量代换），∴点F在∠BAC的平分线上，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）解：延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°，∴∠P AC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣62°）＝59°．故答案为：59．27．证明：作OG⊥BC，∵∠ABC的平分线，OE⊥AB，OG⊥BC，∴OE＝OG，∵∠BCD的平分线，OF⊥CD，OG⊥BC，∴OF＝OG，∴OE＝OF．28．解：（1）当α为60°时，AE⊥BC，如图（1），设AE与BC交于点F，∵∠CAE＝α＝60°，∠ACB＝30°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥BC；（2）当AD∥BC时，如图（2），∠DAC＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝α＝15°；当AE∥BC时，如图（3），∠B＝∠EAB＝60°，∴∠CAE＝α＝∠BAC+∠EAB＝150°，故旋转角α的值为15°或150°；（3）①如（2），当α≤45°时，α+∠BAE＝90°，α+∠CAD＝45°，∴∠BAE﹣∠CAD＝45°；②如图（1），当45°＜α＜90°时，∵∠DAE+∠CAD+∠BAE＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝45°．。

八年级数学下册第一次月考试卷北师大版总分150分一、选择题（共32分）1．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．6a 2b ＝3a 2·2bB ．mx ＋nxy －xy ＝mx ＋xy (n －1)C ．a m －a m －1＝a m －1(a －1)D ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1 2．在平面直角坐标系中，若点P （x －2, x ）在第二象限，则x 的取值范围为A ．x ＞0B ．x ＜2C ．0＜x ＜2D ．x ＞23．不等式组25x x >-⎧⎨⎩≤的解集在数轴上可表示为A B C D4．把b 2(x －2)＋b (2－x )分解因式的结果为（ ）A ．b (x －2)(b ＋1)B ．(x －2)(b 2＋b )C ．b (x －2)(b －1)D ．(x －2)(b 2－b )5．利用因式分解符合简便计算：57×99＋44×99－99正确的是（ ）A ．99×(57＋44)＝99×101＝9999B ．99×(57＋44－1)＝99×100＝9900C ．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10098D ．99×(57＋44－99)＝99×2＝1986．下列多项式不能用平方差公式分解的是（ ）A ．14122-b a B ．4－0.25m 4 C ．－1－a 2 D ．－a 4＋17．下列各式中，不能分解因式的是（ ） A ．4x 2＋2xy ＋41y 2 B ．x 2－2xy ＋41y 2 C ．4x 2－41y 2 D ．4x 2＋41y 28．若(x +2)是多项式4x 2+5x + m 的一个因式，则m 等于（ ） A.－6 B.6 C.－9 D.9 二、填空题（共32分）9.不等式(m-2)x>2-m 的解集为x<-1，则m 的取值范围是__________________。

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷（深圳专用）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。

5．难度系数：0.68。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列数中是无理数的是（）A．2πB．3.1415926C．117D． 3.6-2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．8，15，17B．7，24，25C．6，8，10D．1，13）A3=B=C6´=D+= 4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1695．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＞|b ||2a +b |的结果为（ ）A ．2a +b ．﹣2a +b C ．a +b D ．2a ﹣b6．使代数式y =有意义的自变量x 的取值范围是( )A ．4x ¹B ．3x >C ．3x ³D ．3x ³且4x ¹7．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D Ð=°，5AD =，3BC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A B C ．D ．48．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD ，交于点O ．若1AD =，4BC =，则22AB CD +等于（ ）A ．15B ．16C ．17D ．20第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

北师大版八年级数学第一次月考数学试卷（考试时间：100分钟，分值：120分）一．选择题（3×10=30分）1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（）A．x＞1B．3x2﹣2＜4C．＜2D．4x﹣3＜2y﹣7 2．如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（）A．AC，BC两边高线的交点处B．AC，BC两边中线的交点处C．AC，BC两边垂直平分线的交点处D．∠A，∠B两内角平分线的交点处第2题第 4题第7题第8题3. 将不等式组{4x>−83x−5≤1的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．4．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要直接根据“HL”证明Rt△ABE≅Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C C．AE＝BF D．AB＝DC5. 下列不一定成立的是（）A.若a<b,则 c−a>c−b .B. 若ac2<bc2,则 a<bC. 若a−c<b−c,则 a<b.D. 若a< b,则 ac2<bc2.6. 郑州市出租车的收费标准是：起步价10元（即行驶距离不超过3千米都需付10元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为18元，依题意，可列出不等式（）A．10+2x＜18 B．10+2x≤18 C．10+2（x-3）≤18 D．10+2（x-3）＜18 7.如图，直线y1＝kx+b，y2＝mx﹣n交于点P（1，m），则不等式mx﹣b＞kx+n的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（）A．15°B．16°C．18°D．20°9. 关于x的不等式组{x−a>02x−5<1−x有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣5＜a≤﹣4B．﹣5≤a＜﹣4C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣310.如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9 C．6 D．3二、填空题(3×5=15分)11 . 假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为km/h．12．已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设．13. 若（m-1）x＞m-1的解集为x＜1，则m的取值范围是.14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，角平分线BE，CD相交于点P，若AP＝4，AC＝6，则S△APC＝15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为．第14题第15题二、解答题16（10分）下面是小明同学解不等式x−13≥x−32+1的过程．去分母，得2（x-1）≥3（x−3）+1．①去括号，得2x-2≥3x−9+1. ②移项、合并同类项得﹣x≥﹣6．③两边都除以﹣1，得x≥6．④（1）他的解题过程中在第步和第步有错误，请你分别指出错误原因：；。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0C．有两个内角互余的三角形是直角三角形D．在任何一个直角三角形中，都没有钝角2、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（ ）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°4、如图，等边△AAA 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．125、如图，等腰△AAA 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④6、下列命题成立的有（ ）个．①等腰三角形两腰上的中线相等；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等；③三角形纸片中，AB =8cm ，BC =6cm ，AC =5cm ．沿过点B 的直线折叠这个三角形使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．则△AED 的周长为7cm ；④AD 是△ABC 的角平分线，则S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ．A ．1B ．2C ．3D ．47、下列命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．有三组对应角相等的两个三角形全等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等8、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧交于两点，过这两点作直线交AC 于点E ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADB 的周长为15，AE ＝4，则△ABC 的周长为（ ）A ．17B ．19C ．21D ．239、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°10、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△AAA 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使ACD △为等腰三角形．下列作法正确的有________个．2、如图，在△AAA 中，AD 是BAC ∠的平分线，10cm AB =，8cm AC ，则:ABD ACD S S =△△____________．3、如图，△ABC 中，AB 平分∠DAC ，AB ⊥BC ，垂足为B ，若∠ADC 与∠ACB 互补，BC ＝5，则CD 的长为_________．4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．在AB 、AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP ＝AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为______________．5、如图，AB＝BE，∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC BD＝2．求线段DF的长度．2、如图，在△AAA中，按以下步骤作图：①分别以点A和A为圆心，以大于12AA的长为半径作弧，两弧相交于点A和A；②作直线AA交AA于点A，连接AA．若AA=6，AA=4，求△AAA的周长．3、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．4、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN ＜45°，点B 是射线AM 上的一个定点，在射线AN 上求作点C ，使∠ACB ＝2∠A ． 下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB 的垂直平分线l ，直线l 交射线AN 于点D ；②以点B 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线AN 于另一点C ，则点C 即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD ，BC ，∵直线l 为线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝ ，( )（填推理的依据）∴∠A ＝∠ABD ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A ．∵BC ＝BD ，∴∠ACB ＝∠ ，( )（填推理的依据）∴∠ACB ＝2∠A ．5、如图，△AAA 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD ，AA ⊥AA 于点E ，CE 交AD 于点P ．求∠AAA 的度数．-参考答案-一、单选题1、D【分析】先写出每个选项中的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；B、对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命题为：对于有理数a，如果a＞0，则3a＞0，是真命题，不符合题意；C、有两个内角互余的三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形有两个内角互余的，是真命题，不符合题意；D、在任何一个直角三角形中，都没有钝角的逆命题为：没有钝角的三角形是直角三角形，是假命题，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了逆命题，判定命题真假，解题的关键在于能够熟知相关知识进行求解．2、A【分析】先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．3、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．4、C【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =， 7AD DC AQ QD ∴==+=， 作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='， 4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE∴+的最小值为10．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．5、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．6、C【分析】利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①等腰三角形两腰上的中线相等，故原命题正确；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误；③三角形纸片中，AB =8cm ，BC =6cm ，AC =5cm ．沿过点B 的直线折叠这个三角形使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．如图：由折叠知：BC=BE=6，CD=DE，则△AED的周长为AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE= AC+AB-BC=7cm，故原命题正确；④AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故原命题正确，成立的有3个，故选：C．【点睛】要题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质，难度不大．7、B【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质，角平分线的性质逐项分析．【详解】A.直角三角形两锐角互余，正确，是真命题；B.有三组对应角相等的两个三角形，因为它们的边不一定相等，所以不一定全等，故错误，是假命题；C.两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；D.角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．8、D【分析】由题意知，DE是线段AC的垂直平分线，据此得AD=CD，AE=EC，再由AB+BD+AD=15知AB+BD+CD=15，即AB+BC=15，结合AE=4可得答案．【详解】解：由题意知，DE是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=EC，∵AB+BD+AD=15，∴AB+BD+CD=15，即AB+BC=15，∵AE=4，即AC=2AE=8，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=15+8=23，故选：D．【点睛】本题主要考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．【详解】解：∵ABC DEC≌△△，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．10、B【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【详解】解：以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线BC 于两个点12,P P ，然后作AB 的垂直平分线交直线BC 于点3P ，如图所示：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60ABC ∠=︒，∵33AP BP =，∴3△ABP 是等边三角形，∴点32,P P 重合，∴符合条件的点P 有2个；故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题1、3【分析】根据图中的圆心、半径已经角平分线、垂直平分线的作法，依次判断即可得．【详解】解：第一个图以C 为圆心，AC 长为半径，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第二个图为作BAC ∠的角平分线，无法得到ACD △为等腰三角形，不符合题意；第三个图以B 为圆心，AB 长为半径，∴ABD △为等腰三角形，∵30C ∠=︒，∴60B ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，∴60BAD ∠=︒，∴906030DAC ∠=︒-︒=︒，∴C DAC ∠=∠，∴CD DA =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第四个图为作线段AC 的垂直平分线，可得DA DC =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；综上可得：有三个图使得ACD △为等腰三角形，故答案为：3．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及角平分线、垂直平分线的作法，熟练掌握各个图形的作法是解题关键．2、5：4【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质得到DE =DF ，再由三角形面积公式可求得结论．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，如图，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE =DF∵10cm AB =，8cm AC ， ∴110521842ABD ACDAB DE S AB S AC AC DF ∆∆====故答案为：5：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3、10【分析】构造ABE △，再证得ABE ABC ≌，求得EB =BC ,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E =∠CDE ，则CE =2BC =10．【详解】解：延长AD .和CB 交于点E .∵AB 平分∠DAC∴∠EAB =∠CAB又∵AB BC ⊥∴∠ABE =∠ABC又∵AB =AB∴ABE ABC ≌∴BC =EB =5，∠E =∠ACB ，180ADC CDE ∠+∠=︒又∵180ADC ACB ∠+∠=︒∴∠ACB =∠CDE∴∠E=∠CDE∴.CD=CE又∵CE=2BC=10∴CD=10故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．4、3【分析】根据题意依据等腰三角形的性质，即可得到BD=12BC，进而分析计算即可得出结论．【详解】解：由题可得，AR平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AD是三角形ABC的中线，∴BD=12BC=12×6=3.故答案为：3．【点睛】本题主要考查基本作图以及等腰三角形的性质，注意掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．5、①②④【分析】根据已知∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝1∠FBC，2∠ABE，∵∠DBC＝12∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．三、解答题1、1【分析】由勾股定理可求CD ＝1，由“AAS ”可证△BFD ≌△ACD ，可得CD ＝DF ＝1．【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°．∴∠C ＋∠DAC ＝90°；∠C ＋∠DBF ＝90°．∴∠DAC ＝∠DBF ．∵∠ABC ＝45°，∴∠DAB ＝45°．∴∠ABC ＝∠DAB ．∴DA ＝DB ．在△ADC 与△BDF 中，ADC BDF DA DBDAC DBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADC ≌△BDF （ASA ）．∴AC ＝BF在Rt △BDF 中，∠BDF ＝90°，∴BD 2＋DF 2＝BF 2．∵BD ＝2，BF∴DF ＝1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．2、10【分析】依据垂直平分线的性质得DB DC =．ABD ∆周长转化为+AB AC 即可求解．【详解】解：由已知作图方法可得，DN 是线段BC 的垂直平分线，所以，BD CD =，因为，6AC =，4AB =，所以，4610AB BD AD AB CD AD AB AC ++=++=+=+=，因此，ABD △的周长是10．【点睛】本题主要考查中垂线性质，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，将所求周长转化为+AB AC 的和即可．3、则该直线的解析式为：y =x +令x =0，则y =5，即B （0，5）；（2）由（1）知，C （-3，2）．如图1，设Q（a，-23 a）．∵S△QAC=2S△AOC，∴S△QAO=3S△AOC，或S△Q′AO=S△AOC，①当Q在第二象限即S△QAO=3S△AOC时，1 2OA•y Q=3×12OA•y C，∴y Q=3y C，即-23a=3×2=6，解得a=-9，∴Q（-9，6）；②当Q在第四象限S△Q′AO=S△AOC时，1 2OA•y Q=12OA•y C，∴y Q=2y C，即23a=2，解得a=3（舍去负值），综上，点Q的坐标为（-9，6）或（3，-2）；（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（-3，2），A（-5，0），∴AC∵P2H=P2G，P2H⊥CD，P2G⊥OC，∴CP2是∠OCD的平分线，∴∠OCP2=∠DCP2，∴∠AP2C=∠AOC+∠OCP2，∵∠ACP2=∠ACD+∠DCP2，∴∠ACP2=∠AP2C，∴AP2=AC，∴P2（0）．同理：P1（，0）．综上，点P的坐标为（0）或（0）．【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强．5．（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析【分析】（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠ADC=110°，∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，故答案为：40°；（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，∴∠DEC=100°－53°=47°，∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，∵∠B－∠BAE=27°，∴∠BAE=10°，故答案为：10°；（3）AB∥CF，理由为：如图，延长AC到G，∵AC=CF，∴∠F=∠FAC，∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，∵CF⊥CD，∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD，∴∠BCF=∠FCG=2∠F，∵∠B=2∠F，∴∠B=∠BCF，∴AB∥CF．【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．5、60APE ∠=︒【分析】由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，∴30BDE ∠=︒，∴2BD BE =，∵2BD CD =，∴BE CD =，∴BEC CDA ≌（SAS ），∴BCE =∠∠CAD ，∵,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，∴60APE ACB ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．。

八年级（下）第一次月考数学试卷一.选择题：（每题3分，共36分）1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞D．m2＞n22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或175．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形两底角的平分线相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则顶角的度数为（）A．40°B．80°C．100° D．80°或100°7．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣110．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处12．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是．（写出一种情况即可）14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．15．某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（﹣1）分，得分不低于60分则可以参加复试．那么，若要参加复试，初试的答对题数至少为．16．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．三.解答题（7个大题，共52分）17．解不等式（组）（1）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．（2），并写出不等式组的整数解．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD．（1）求证：AB垂直平分CD；（2）若AB=6，求BD的长．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．20．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，改经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？21．如图，△ABC，△CDE是等边三角形．（1）求证：AE=BD；（2）若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN；（3）连结MN，猜想MN与BE的位置关系．并加以证明．参考答案与试题解析一.选择题：（每题3分，共36分）1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选：D．2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴OE=OF；故选C．3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．4．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形两底角的平分线相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等；正确；②等腰三角形的两底角相等；正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．故选D．6．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则顶角的度数为（）A．40°B．80°C．100° D．80°或100°【考点】等腰三角形的性质．【分析】首先根据题意画出图形，然后根据直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥AC，∠CBD=40°，∴∠C=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=50°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=80°，即顶角的度数为80°．故选B．7．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围，它们相交的地方就是不等式组的解集．【解答】解：不等式可化为：在数轴上可表示为：故选C．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1时，直线y=k2x都在直线y=k1x+b，的上方，于是可得到不等式k2x＞k1x+b的解集．【解答】解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故选D．10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【考点】等腰三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的判定逐一进行判断即可．【解答】解：选②AD=BE；③AF=BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1=∠2，故不能判定△ABC是等腰三角形．故选C．11．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选C．12．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是AB=DC．（写出一种情况即可）【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠A=∠D=90°，隐含的条件是BC=BC，那么只需添加一个条件即可．添边的话可以是AB=DC，符合HL．【解答】解：所添加条件为：AB=DC，∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABC和△RtDCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（HL）．故答案为AB=DC．（答案不唯一）14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥10．【考点】不等式的解集．【分析】根据不等式组无解，可得出a≥10．【解答】解：∵关于x的不等式组无解，∴根据大大小小找不到（无解）的法则，可得出a≥10．故答案为a≥10．15．某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（﹣1）分，得分不低于60分则可以参加复试．那么，若要参加复试，初试的答对题数至少为17．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】设要参加复试，初试的答对题数至少为x道，根据某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（﹣1）分，得分不低于60分则可以参加复试，可列出不等式求解．【解答】解：设要参加复试，初试的答对题数至少为x道，4x﹣（25﹣x）≥60x≥17．若要参加复试，初试的答对题数至少为17道．故答案为：17．16．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是同位角相等，两直线平行．【考点】命题与定理．【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．三.解答题（7个大题，共52分）17．解不等式（组）（1）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．（2），并写出不等式组的整数解．【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．【分析】（1）不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．（2）先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．【解答】解：（1）去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，合并同类项，得﹣x≥1，系数化为1，得x≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：；（2）由①得x≥﹣1，由②得x＜3，所以不等式组的解集是﹣1≤x＜3，则整数解是﹣1，0，1，2．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD．（1）求证：AB垂直平分CD；（2）若AB=6，求BD的长．【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据旋转的性质得到△ACD是等边三角形，根据线段垂直平分线的概念判断即可；（2）根据直角三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，∴AD=AC，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∵∠BAC=30°，∴∠DAB=30°，∴∠BAC=∠DAB，∴AO⊥CD，又CO=DO，∴AB垂直平分CD；（2）解：∵AB垂直平分CD，∴BD=BC，∠ADB=∠ACB=90°，∴BD=AB=3．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；角平分线的性质．【分析】由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．20．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，改经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元，然后根据购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元列出组求解即可；（2）设购买电脑机箱x台，则购买液晶显示器（50﹣x）台，然后根据两种商品的资金不超过22240元，且利润不少于4100元列不等式组求解，从而可求得x 的范围，然后根据x的取值范围可确定出进货方案，并求得最大利润．【解答】解：（1）设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元．根据题意得：，解得：．答：设每台电脑机箱进价为60元、每台液晶显示器的进价为800元．（2）设购买电脑机箱x台，则购买液晶显示器（50﹣x）台．根据题意得：．解得：24≤x≤26．经销商共有三种进货方案：①购买电脑机箱24台，购买液晶显示器26台；②购买电脑机箱25台，购买液晶显示器25台；③购买电脑机箱26台，购买液晶显示器24台．第①种进货方案获利最大，最大利润=10×24+160×26=4400元．21．如图，△ABC，△CDE是等边三角形．（1）求证：AE=BD；（2）若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN；（3）连结MN，猜想MN与BE的位置关系．并加以证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）欲证明AE=BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS）即可．（2）欲证明CM=CN，只要证明△BCM≌△ACN（ASA）即可．（3）结论：MN∥BE．只要证明△MNC是等边三角形，即可推出∠CMN=∠BCM，推出MN∥BE．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD．（2）证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE，又∵BC=AC，∠BCM=∠ACN=60°，在△BCN和△ACN中，，∴△BCM≌△ACN（ASA）∴CM=CN（3）结论：MN∥BE．理由：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠MCN=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CM=CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠CMN=∠BCM=60°，∴MN∥BE．。

北师大版八(Ba)年级下册数学第一次月考试卷一．选择题（共(Gong)10小题）1．已知(Zhi)等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或(Huo)6cm2．如图是某商场一楼与二楼之间(Jian)的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升(Sheng)的高度h 是（）A． m B．4 m C．4 m D．8 m3．如(Ru)图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边(Bian)AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC=6，△BCD的周长为10，则BC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（）A．1 B．2 C． D．45．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜07．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（）A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax8．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）A．48 B．50 C．54 D．6010．如下图所示，D为BC上一点，且(Qie)AB=AC=BD，则图中∠1与(Yu)∠2的关系(Xi)是（）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°二(Er)．填空题（共10小题）11．等腰三角形的(De)一个内角为40°，则顶角的度数为．12．如(Ru)图，在△ABC中(Zhong)，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则(Ze)用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．13．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=度．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为．16．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于度．17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．18．如图所(Suo)示，△ABC中(Zhong)，∠C=90°，AD平(Ping)分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则(Ze)△ABD的面(Mian)积是．19．若关于x的不等(Deng)式（1﹣a）x＞2可化(Hua)为x＜，则a的(De)取值范围是．20．关于x的两个不等式＜1与1﹣3x＞0的解集相同，则a=．三．解答题（共10小题）21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．22．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．23．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．24．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，求AC的长．25．如图(Tu)，在△ABC中(Zhong)，∠C=90°，AD平(Ping)分∠BAC，DE⊥AB，如(Ru)果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度(Du)及∠B的度(Du)数．26．已知等腰(Yao)三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角(Jiao)形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=5，求OM的长度．28．如(Ru)图，在Rt△ABC中(Zhong)，∠C=90°，AD平(Ping)分∠CAB，DE⊥AB于点(Dian)E．若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的(De)长；（2）求(Qiu)△BDE的(De)周长．29．如(Ru)图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB、PF⊥BC、PD⊥AC，垂足分别为E、F、D，求PD的长．30．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN 相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若(Ruo)∠MFN=70°，求(Qiu)∠MCN的(De)度数．北师大版八年级下册数(Shu)学第一次月考试卷参考答(Da)案与试题解析一．选择(Ze)题（共10小题）1．已知等腰三角形的一边长为3cm，且(Qie)它的周长为12cm，则它的底边长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或(Huo)6cm【分(Fen)析】分3cm是等腰三角形的腰或底(Di)边两种情况进行讨论即可．【解(Jie)答】解：当3cm是等腰三角形的腰时，底边长=12﹣3×2=6cm，∵3+3=6，不能构成三角形，∴此种情况不存在；当3cm是等腰三角形的底边时，腰长==4.5cm．∴底为3cm，故选A．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意三角形三边要满足三边关系定理，属于中考常考题型．2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A． m B．4 m C．4 m D．8 m【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM 即可．【解答】解：过C作CM⊥AB于M则CM=h，∠CMB=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBM=30°，∴h=CM=BC=4m，故(Gu)选B．【点(Dian)评】本题考查了(Liao)含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．3．如(Ru)图，在△ABC中，DE垂直平分(Fen)AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC=6，△BCD的(De)周长为10，则BC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分(Fen)析】根(Gen)据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴CD+BD+BC=10，∴CD+AD+BC=10，即AC+BC=10，∴BC=4，故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（）A．1 B．2 C． D．4【分(Fen)析】作(Zuo)PE⊥OA于E，根据角(Jiao)平分线的性质解答．【解(Jie)答】解(Jie)：作PE⊥OA于(Yu)E，∵点(Dian)P是∠AOB平(Ping)分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．【解答】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；②是用“≤”连接的式子，是不等式；③是等式，不是不等式；④没有不等号，不是不等式；⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；∴不等式有①②⑤共3个，故选C．【点评】用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．6．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得x+y＞0，故(Gu)选：A．【点(Dian)评】本题考(Kao)查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解是解题关键．7．当(Dang)x＜a＜0时(Shi)，x2与ax的大(Da)小关系是（）A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax【分(Fen)析】根据不等式的两边(Bian)都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变求出即可．【解答】解：∵x＜a＜0，∴两边都乘以x得：x2＞ax，故选A．【点评】本题考查了对不等式性质的应用，注意：不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变．8．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a＞﹣2，由此求得a的取值．【解答】解：，解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，∵不等式组：不等式组有解，∴a＞﹣2，故选D．【点评】本题考查了不等式组有解的条件，属于中档题．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）A．48 B．50 C．54 D．60【分(Fen)析】作(Zuo)DE⊥AB于E，根据角平(Ping)分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可．【解(Jie)答】解(Jie)：作DE⊥AB于(Yu)E，∵AD是(Shi)△ABC的角(Jiao)平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．如下图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°【分析】由已知AB=AC=BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵AB=AC=BD，∴∠1=∠BAD，∠C=∠B，∠1是△ADC的外角，∴∠1=∠2+∠C，∵∠B=180°﹣2∠1，∴∠1=∠2+180°﹣2∠1即(Ji)3∠1﹣∠2=180°．故(Gu)选：D．【点(Dian)评】主要考查了等腰三角形的性(Xing)质及三角形的外角、内角和等知识；（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内(Nei)角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用(Yong)到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．二(Er)．填空题（共10小题）11．等腰三角形的一个(Ge)内角为40°，则顶角的度数为100°或40°．【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个角有可能是底角，也有可能是顶角，所以应该分情况进行分析，从而得到答案．【解答】解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2=100°，故其顶角的度数为100°或40°．故填100°或40°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平(Ping)分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长(Chang)为：AB+AC+BC=2a+3b故(Gu)答案为：2a+3b．【点(Dian)评】本题考查线段垂直平分线的性(Xing)质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．13．如(Ru)图，AB=AC，FD⊥BC于(Yu)D，DE⊥AB于(Yu)E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55度．【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根据四边形内角和为360°可得：∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF为55°．故填55．【点(Dian)评】本题考查的是四边形内角和定(Ding)理以及等腰三角形的性质；解题关键是先求出∠A的(De)度数，再利用四边形的内角和定理求出所求角．14．如(Ru)图，在△ABC中(Zhong)，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线(Xian)MN交AC于点D，则∠DBC=30度(Du)．【分(Fen)析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°﹣∠A）=×（180°﹣40°）=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：30．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为3．【分析】由垂直的定义得到∠DEB=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解(Jie)答】解(Jie)：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠C=∠DEB，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即(Ji)=，∴DE=3，故答(Da)案为：3．【点(Dian)评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练(Lian)掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．如(Ru)图，△ABC中(Zhong)，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于20度．【分析】图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答．【解答】解：∵DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线∴（1）DA=DB，则∠B=∠DAF，设∠B=∠DAF=x度（2）EA=EC，∠C=∠EAG，设∠C=∠EAG=y度因为∠BAC=100°所以x+y+∠DAE=100°根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠DAE=180°解得∠DAE=20°．【点评】主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．17．如图(Tu)，在△ABC中，DE是AC的垂直平分(Fen)线，AE=3cm，△ABD的周(Zhou)长为13cm，则△ABC的周(Zhou)长是19cm．【分(Fen)析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行(Xing)线段的等量代换可得答案．【解(Jie)答】解(Jie)：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为19．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．18．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则△ABD的面积是cm2．【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可知DE=CD=3，再根据S=AB•DE即可△ABD得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥AB，∵AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，S△ABD=AB×DE=×7×3=cm2．故答(Da)案为：cm2．【点(Dian)评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助(Zhu)线是解答此题的关键．19．若关于(Yu)x的不等式（1﹣a）x＞2可(Ke)化为x＜，则a的取值(Zhi)范围是a＞1．【分(Fen)析】依据不等式的(De)性质解答即可．【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，∴1﹣a＜0，解得：a＞1．故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．20．关于x的两个不等式＜1与1﹣3x＞0的解集相同，则a=1．【分析】求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可．【解答】解：由＜1得：x＜，由1﹣3x＞0得：x＜，由两个不等式的解集相同，得到=，解得：a=1．故答案为：1．【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．三．解答题（共10小题）21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．求(Qiu)证：AB=AC．【分(Fen)析】证(Zheng)明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形(Xing)的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三(San)角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得(De)到∠ABC=∠ACB，根据等(Deng)腰三角形的判定定理证明结论．【解(Jie)答】证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，，∴Rt△BOF≌Rt△COE，∴∠FBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的读数．【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，∵DC=DB，∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．【点(Dian)评】此题很简单，考查了等(Deng)腰三角形的性质，关键是根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理解答．23．如(Ru)图，△ABC中(Zhong)，∠B=90°，AB=BC，AD是(Shi)△ABC的角平分线(Xian)，若BD=1，求DC的长．【分(Fen)析】过(Guo)D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质求出DE=1，求出∠C=45°，解直角三角形求出DC即可．【解答】解：过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1，∴DE=BD=1，∵∠B=90°，AB=BC，∴∠C=∠BAC=45°，在Rt△DEC中，sin45°=，∴DC==．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．24．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，求AC的长．【分(Fen)析】根据线段垂直平分线上的点到(Dao)线段两端点的距离相等可得BD=CD，然后根据△ADB的周长(Chang)求出AC+AB=10cm，再求(Qiu)解即可．【解(Jie)答】解(Jie)：∵MN是线段BC的垂直平(Ping)分线，∴BD=CD，∵△ADB的(De)周长是10cm，∴AD+BD+AB=10cm，∴AD+CD+AB=10cm，∴AC+AB=10cm．∵AB=4cm，∴AC=6cm．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出AC+AB是解题的关键．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE=5cm，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．【点(Dian)评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关(Guan)键．26．已(Yi)知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分(Fen)成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【分(Fen)析】如图(Tu)，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，根据题意列方程(Cheng)即可得到结论．【解(Jie)答】解：如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，则+x=15，+y=12，解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，则+x=12，+y=15，解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=5，求OM的长度．【分析】作PH⊥MN于H，根据直角三角形的性质得到OH=OP=6，根据等腰三角形的性质求出MH，计算即可．【解(Jie)答】解(Jie)：作PH⊥MN于(Yu)H，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=6，∵PM=PN，PH⊥MN，∴MH=NH=2.5，∴OM=OH﹣MH=3.5．【点(Dian)评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所(Suo)对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．28．如(Ru)图，在Rt△ABC中(Zhong)，∠C=90°，AD平(Ping)分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△BDE的周长．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD；（2）利用勾股定理列式求出AB的长度，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出BE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3，∴DE=3；（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，在(Zai)Rt△ACD和(He)Rt△AED中(Zhong)，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=6，∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，∴△BDE的周(Zhou)长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=8+4=12．【点(Dian)评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在(Zai)于（2）三角形周长的转换．29．如(Ru)图，△ABC中(Zhong)，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB、PF⊥BC、PD⊥AC，垂足分别为E、F、D，求PD的长．【分析】连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．【解答】解：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PD=x．∵△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，∴AC=25．=×AB×CB=84，∵S△ABCS△ABC=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×56x=28x，则(Ze)28x=84，x=3．故PD的(De)长为3．【点(Dian)评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是(Shi)整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即（AB+AC+BC）x，然(Ran)后即可计算x的值．30．如(Ru)图，在△ABC中，DM、EN分别垂(Chui)直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若(Ruo)△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的(De)周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点(Dian)评】本题考查了线段(Duan)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．。

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．122．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，那么AE的为（）A．6B．4C．3D．24．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A、B，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．1.5D．2.55．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（）A．58°B．32°C．36°D．34°6．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（）A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C8．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根二．填空题（共8小题，满分24分）9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝3，则AC＝．10．如图，已知△ABC中，BC＝4，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6，则△BCD 的周长＝．11．如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了80°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则S△ABD＝．13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点O作EF∥BC，分别与边AB、AC相交于点E、F，AB＝8，AC＝7，那么△AEF的周长等于．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是．15．如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有个等边三角形．16．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，DF⊥BC于点F，求线段BF的长，BF＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．18．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．19．如图：△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CE是斜边AB上的高，且AC＝AD．（1）若∠DCE＝15°，求∠B的度数；（2）若∠B﹣∠A＝20°，求∠DCB的度数．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周长为12．故选：D．2．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．3．【解答】解：连接BE，∵DE是边AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣30°﹣30°＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝BE＝4，故选：B．4．【解答】解：∵OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，∴PB＝P A＝3，故选：B．5．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣106°＝74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝106°﹣74°＝32°．故选：B．6．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．7．【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．故选：B．8．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根．故选：B．二．填空题（共8小题）9．【解答】解：如图，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∵AB＝3，∴x2+32＝（2x）2解得：x＝或﹣（舍去），∴AC＝2x＝2，故答案为：2．10．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝10，故答案为：10．11．【解答】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝80°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣80°）＝50°．故答案为50°．12．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×10×4＝20，故答案为20．13．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝EB，FO＝FC，∵AB＝8cm，AC＝7cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+7＝15（cm）．故△AEF的周长为15，故答案为：15．14．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．15．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵DF∥BC，∴∠F AC＝∠ACB＝60°，∠DAB＝∠ABC＝60°，同理：∠ACF＝∠BAC＝60°在△AFC中，∠F AC＝∠ACF＝60°∴△AFC是等边三角形，同理可证：△ABD△BCE都是等边三角形，因此∠E＝∠F＝∠D＝60°，△DEF是等边三角形，故有5个等边三角形，故答案为：5．16．【解答】解：连接BD，∵△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，∴AC＝BC＝8，AD＝DC＝4，∠DBF＝ABC＝＝30°，由勾股定理得：BD＝＝4，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴DF＝BD＝＝2，在Rt△DFB中，由勾股定理得：BF＝＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共7小题）17．【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．19．【解答】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADC＝75°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCB＝15°，∵∠ADC＝∠B+∠DCB，∴∠B＝75°﹣15°＝60°．（2）设∠DCB＝x，则∠ADC＝∠ACD＝∠B+x＝90°﹣x，∴2x＝90°﹣∠B，∵∠A+∠B＝90°，∠B﹣∠A＝20°，∴∠B＝55°，∴2x＝35°，∴x＝17.5°，∴∠DCB＝17.5°20．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB∴∠A＝∠ABE＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；（2）∵△ABC的周长为43cm，BC＝11cm∴AB＝AC＝16cm，又∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．21．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，过D作DH⊥CE于H，∵BD＝2，∠DBH＝60°，∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．22．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x∴∠DAE＝∠BAC．23．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N 运动的时间为16秒．。

2023-2024学年八年级数学下学期第一次月考卷01基础知识达标测（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下列数学表达式中：①20-<，②230x y +>，③2x =，④222x xy y ++，⑤3x ≠，⑥12x +>中，不等式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法不正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b +>+ B ．若a b >，则1122a b -<- C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22a b >，则a b >3．不等式组10240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若不等式组12x x k <≤⎧⎨>⎩有解，则k 的取值范围是（ ）A ．12k ≤<B ．2k ≥C ．1k <D ．2k <5．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ ） A ．每一个内角都大于等于45° B ．每一个内角都小于45° C ．有一个内角大于等于45°D ．有一个内角小于45°6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A ．50︒B ．130︒C ．50︒或130︒D ．140︒7．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即PM PN =，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠．作图过程用了OMP ONP ≌△△，那么OMP ONP ≌△△所用的判定定理是（ ）A ．SSSB ．AASC ．HLD ．ASA8．到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A ．三角形的三条角平分线的交点 B ．三角形的三边垂直平分线的交点 C ．三角形的三条高线的交点 D ．三角形的三条中线的交点9．如图，在ABC 中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以A 为圆心、任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心、大于MN 的长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，给出下列说法：①AD 是BAC ∠的平分线；②120ADB ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④D 点是线段BC 的中点．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示三角形纸片ABC 中，B C ∠=∠，将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD ． 再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF ，若2AE =，则ABC 的周长为13，则AF 长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．1.4D ．111．一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列结论：①当0x >时，10y >，20y >；②函数y ax d =+的图象不经过第一象限；③3d ba c --=；④d a b c <++．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．2第II 卷二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．已知a 、b 为常数，且0a ≠，如果不等式0ax b +<的解集是1x >，那么不等式ax b >-的解集是 ．14．如图，在ABC 中，9060C BAC ADC ∠=︒∠=∠=︒，，则CD 与BD 的数量关系是 ．15．我们用[]a 表示不大于a 的最大整数，例如：[]1.51=，[]2.32=，若[]41x +=，则x 的取值范围是 ．16．如图，ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M 、N ，且MN BC ∥，7cm AB =，9cm AC =，则AMN 的周长为 ．17．关于x 的不等式组36152x m x x >-⎧⎨-<+⎩的整数解仅有4个，则m 的取值范围是 ．18．如图，M N ，为44⨯方格纸中格点上的两点，若以MN 为边（P 在格点上），使得MNP △为等腰三角形，则点P 的个数为 个．三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解不等式：()3312x x ---≤，并把它的解集在数轴上表示出来．20．解不等式组()211212x x x ⎧-<+⎪⎨+>⎪⎩，并求不等式组的正整数解．21．如图，已知ABC ，(1)根据要求作图，在边BC 上求作一点D ．使得点D 到点AB 、AC 的距离相等，在边AB 上求作一点E ．使得点E 到A 、D 的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） (2)在第（1）小题所作的图中，求证：∥DE AC ．22．如图，在四边形ABCD 中，90,A B E ∠=∠=︒是AB 上的一点，且AD BE ==,12DE CE ∠=∠、．(1)求证：Rt Rt ADE BEC △≌△； (2)若30AED ∠=︒，求CD 的长．23．西安某校计划购买A ，B 两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A 种树木3棵，B 种树木4棵，共需470元，购买A 种树木5棵，B 种树木2棵，共需410元． (1)求A ，B 两种树木每棵各多少元？(2)布局需要，决定再次购进A ，B 两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行调价，A 种树木售价比第一次购买时提高了8%，B 种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A ，B 两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B 种树木？ 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,5C ，且与x 轴相交于点()6,0B ，与一次函数26y x =-的图象相交于点A ，点A 的横坐标为4．(1)求k ，b 的值；(2)请直接写出关于x 的不等式26kx b x +>-的解集；(3)设点E 在直线y kx b =+上，且2BCD BDE S S =△△，求点E 的坐标．25．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =．(1)求证：DB DE =；(2)过点A 作AF BC ∥，交ED 延长线于点F ，交AB 于M ，连接BF ． ①若12EM =，则BD = ． ②求证：AB 垂直平分DF ．26．如图①，在ABC 中，延长AC 到D ，使CD AB =，E 是AD 上方一点，且A BCE D ∠=∠=∠，连接BE ．(1)求证：BCE 是等腰三角形；(2)如图①，若90ACB ∠=︒，将DE 沿直线CD 翻折得到DE '，连接BE '和CE '，BE '与CE 交于F ，若BE ED '∥，求证：F 是BE '的中点；(3)在如图②，若90ACB ∠=︒，AC BC =，将DE 沿直线CD 翻折得到DE '，连接BE '交CE 于F ，交CD 于G ，若AC a =，()0AB b b a =>>，求线段CG 的长度．12023-2024学年八年级数学下学期第一次月考卷·答题卡一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。

八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里．每小题4分，共40分.1．若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C． D．﹣3x＞﹣3y2．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或123．已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是（）A．B．C．m＜4 D．m＞44．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣26．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．57．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC 恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k 的取值范围是（）A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥310．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分11．不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为．12．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是．13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）14．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为．15．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．16．在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为．三．解答题：本大题共6小题，满分56分．17．解不等式：．18．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．19．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．20．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．21．某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果，每名工人只能做其中一项工作．苹果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的苹果加工成罐头出售．直接出售每吨获利4000元；加工成罐头出售每吨获利10000元．采摘的工人每人可以采摘苹果0.4吨；加工罐头的工人每人可加工0.3吨．设有x名工人进行苹果采摘，全部售出后，总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式．（2）如何分配工人才能获利最大？22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里．每小题4分，共40分.1．若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C． D．﹣3x＞﹣3y【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A、B；根据不等式的性质2，可判断C；根据不等式的性质3，可判断D．【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两边都乘以，不等号的方向不变，故C正确；D、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D错误；故选：D．【点评】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．3．已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是（）A．B．C．m＜4 D．m＞4【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．【分析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可．【解答】解：由2x+4=m﹣x得，x=，∵方程有负数解，∴＜0，解得m＜4．故选C．【点评】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．5．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．【解答】解：不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2故选D．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解本题的关键．6．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】动点型．【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．7．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD 的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选：C．【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC 恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．9．如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k 的取值范围是（）A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】把点的坐标代入直线方程得到a=﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y=kx+b，得b=3．则a=﹣，∵﹣3≤a＜0，∴﹣3≤﹣＜0，解得：k≥1．故选C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式．把点的坐标代入直线方程得到a=﹣是解题的关键．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE=，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°，∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，∴AC•BC=AB•CE，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE==，∴DF=EF﹣ED=，∴B′F==．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分11．不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为4．【考点】解一元一次不等式．【分析】先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合并同类项求出x的取值范围，再与已知解集相比较即可求出m的取值范围．【解答】解：去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），去括号得，x﹣m＞9﹣3m，移项，合并同类项得，x＞9﹣2m，∵此不等式的解集为x＞1，∴9﹣2m=1，解得m=4．故答案为：4．【点评】考查了解一元一次不等式，解答此题的关键是掌握不等式的性质，（1）不等式两边同加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个负数，不等号的方向改变．12．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是3．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式求出ab的值．【解答】解：∵a、b是直角三角形的两条直角边，直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b=3.5，a2+b2=2.52=6.25，（a+b）2=12.25，∴a2+b2+2ab=12.25，∴2ab=6，解得：ab=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是①②④．（填写所有真命题的序号）【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．14．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为x＞．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＞ax+4的解集即可．【解答】解：∵函数y=2x过点A（m，3），∴2m=3，解得：m=，∴A（，3），∴不等式2x＞ax+4的解集为x＞．故答案为：，【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．15．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．【解答】解：如图所示：，由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S△ABC=AC•BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=．=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FINS五边形NIGHM=×42﹣×22﹣××1=，故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．16．在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为或．【考点】勾股定理；等腰直角三角形．【专题】分类讨论．【分析】分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过点D作DE⊥BC 交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD=AB=×2=4，∵∠ABC=45°，∴BE=DE=AD=×4=2，BE⊥AD，∵BC=1，∴CE=BE﹣BC=2﹣1=1，在Rt△CDE中，CD===；②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=AB=2，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE=×2=2，∵BC=1，∴CE=BE+BC=2+1=3，在Rt△CDE中，CD===，综上所述，线段CD的长为或．故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．三．解答题：本大题共6小题，满分56分．17．解不等式：．【考点】解一元一次不等式．【分析】利用不等式的基本性质，即可求得原不等式的解集．【解答】解：去分母得：6（5x+1）﹣3（x﹣2）＞2（5x﹣1）+4（x﹣3），去括号得：0x+6﹣3x+6＞10x﹣2+4x﹣12，移项得：30x﹣3x﹣10x﹣4x＞﹣2﹣12﹣6﹣6，合并同类项得：13x＞﹣26，系数化为1得：x＞﹣13．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．18．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．【专题】计算题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用．【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．【解答】解：方程组，解得：，∴x+y=1+a，∵x+y＜2，∴1+a＜2，解得：a＜4．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．19．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．【解答】解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．证明：如图1，，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC=∠C0B，又∵CD∥OB，∴∠DCO=∠C0B，∴∠DOC=∠DC0，∴OD=CD=DM+CM，∵E是线段OC的中点，∴CE=OE，∵CD∥OB，∴，∴CM=ON，又∵OD=DM+CM，∴OD=DM+ON．（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．证明：如图2，，由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，又∵CM=ON，∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，即OD=ON﹣DM．【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．20．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】连接BE，根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根据勾股定理求出AB，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根据AB、AE的值，求出BE，从而得出AD．【解答】解：如图，连接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵AC=BC，DC=EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∵AC=BC=6，∴AB=6，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，∴BE====9，∴AD=9．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，证出△ACD≌△BCE．21．某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果，每名工人只能做其中一项工作．苹果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的苹果加工成罐头出售．直接出售每吨获利4000元；加工成罐头出售每吨获利10000元．采摘的工人每人可以采摘苹果0.4吨；加工罐头的工人每人可加工0.3吨．设有x名工人进行苹果采摘，全部售出后，总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式．（2）如何分配工人才能获利最大？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意可知进行加工的人数为（30﹣x）人，采摘的数量为0.4x吨，加工的数量为（9﹣0.3x）吨，直接出售的数量为0.4x﹣（9﹣0.3x）=（0.7x﹣9）吨，由此可得出y与x的关系式；（2）先求出x的取值范围，再由x为整数即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得，进行加工的人数为（30﹣x）人，采摘的数量为0.4x吨，加工的数量为（9﹣0.3x）吨，直接出售的数量为0.4x﹣（9﹣0.3x）=（0.7x﹣9）吨，y=4000×（0.7x﹣9）+10000×（9﹣0.3x）=﹣200x+54000；（2）根据题意得，0.4x≥9﹣0.3x，解得x≥12，∴x的取值是12≤x≤30的整数．∵k=﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=13时利润最大，即13名工人进行苹果采摘，17名工人进行加工，获利最大．【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出关于x、y的关系式是解答此题的关键．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步测试2（附答案）1．在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC 的度数是．2．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝．3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝66°，D，E分别为AB，BC上一点，AF∥DE，若∠BDE＝30°，则∠F AC的度数为．6．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有个．7．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则最长边上的中线长为．8．如图，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠BCE＝32°，则∠ANM等于．9．如图，AB、CD相交于点E，AD＝DE，BC＝BE，F、G、H分别为AE、CE、BD的中点，∠A＝α．则∠FHG＝．（用含α的代数式表示）10．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝．11．如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝．12．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝1，则DF＝．13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列三个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC ＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；其中正确的结论有（填序号）16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC 于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E、F分别是AC、BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab，其中正确的是．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝°．18．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB 角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝度．19．如图，点O是△ABC的内一点，OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，M、N是AC上一点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B＝100°，则∠MON＝．20．如图，在△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，△ABC内一点P到各边的距离相等，则这个距离是．21．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．22．如图所示，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②CD＝CG；③AD＝BD；④BC＝BE．正确结论的序号．23．在三角形内部到三边距离相等的点有个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有个．24．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．25．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC 的长．28．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．29．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数°．30．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．31．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．32．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．33．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△P AB＝S△ABC，请你求出a的值．34．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△DCB为等腰三角形，D是AB边上一点，过BC上一点P，PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥CD，垂足为点F，已知AD：DB＝1：3，BC＝，求PE+PF的长．35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC为等腰三角形，AB＝BC＝10，点B，C 在X轴上，B（﹣8，0），△ABC的周长为27，D为X轴上一个动点，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向点C运动，到点C停止，设点D的运动时间为t秒（1）求点C的坐标及AC的长．（2）当t为何值时，△ADC的面积等于△ABC面积的？并求出此时D的坐标．（3）连接AD，当t为何值时，线段AD把△ABC的周长分成15和12两部分？并求出此时D的坐标．36．已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．37．引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AD＝DB＝AB 应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DB＝AB如图2所示已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC 上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE＝DF；②试说明CG＝GH；（本题需要用引理）（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．38．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．参考答案1．解：如图1，∵DC＝DA，EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°；如图2，∵DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C﹣∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝220°，解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，故答案为：70°或110°．2．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，∴IE＝IF＝IH，则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，解得，IH＝2，故答案为：23．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵S△ABD＝AB•DE，∴×4×DE＝2，解得DE＝1，∵AD平分∠BAC，∴DF＝DE＝1，∴S△ACD＝AC•DF＝×2×1＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝2+1＝3，故答案为3．4．解：AC与DE相交于G，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，∴∠CGD＝30°，∵∠ACB＝∠CGD+∠D，∴∠D＝30°，∴CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x，∴AB＝BC＝AC＝5x，∴BE＝4x，BF＝5x﹣6，在Rt△BEF中，BE＝2BF，即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2，∴AC＝5x＝10．故答案为10．5．解：∵AB＝AC，∠B＝66°，∴∠C＝66°，∴∠BAC＝48°，∵AF∥DE，∠BDE＝30°，∴∠BAF＝∠BDE＝30°，∠F AC＝18°，故答案为：18°．6．解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝2，∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝2，∴OA＝OP＝2，∴P的坐标是（﹣2，0）．综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．7．解：∵△ABC的三边长分别为5、12、13，52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，∴最长边上的中线长＝．故答案为：．8．解：过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，∴FN∥BM，BF∥MN，∴四边形BFNM是平行四边形，∴BF＝MN，∵CE＝MN，∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL），∴∠ABF＝∠MCE＝32°，∵∠A＝90°，∴∠AFB＝58°，∴∠ANM＝∠AFB＝58°，故答案为58°．9．解：如图，连接DF，BG．∵DA＝DE，BE＝BC，AF＝EF，EG＝CG，∴DF⊥AE，BG⊥EC，∴∠DFB＝∠DGB＝90°，∵DH＝BH，∴FH＝DH＝BH＝GH，∴∠HFB＝∠HBF，∠HDG＝∠HGD，∵DA＝DE，∴∠A＝∠DEA＝α，∵∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴∠EDB+∠EBD＝α，∴∠FHG＝180°﹣∠FHD﹣∠GHB＝180°﹣2∠HBF﹣2∠HDG＝180°﹣2α，故答案为180°﹣2α．10．解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEO＝∠DFO＝90°，∵OD平分∠MON，∴DE＝DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB＝∠CDF，∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝50°．∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO＝360°，∴∠MON＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；故答案为：130°．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝28°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣28°）＝76°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝76°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°+76°＝104°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD＝（180°﹣104°）＝38°，故答案为38°．12．解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝1．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝2．故答案为213．解：∵BD垂直平分线段AG，∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，∵CE垂直平分线段AF，∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，故答案为：15．14．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．15．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，FG＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正确；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正确；过G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；故答案为：①②③．16．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，同理EO＝EA，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，∴S△CEF＝×CF×OD+×CE×OH＝ab，④正确．故答案为①②④．17．解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∵∠CDA＝∠B+∠DCB，∴∠B＝84°﹣45°＝39°故答案为：39．18．解：如图，连接OA．∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴∠E＝90°+∠BAC，∵∠BOC+∠E＝180°，∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝36°，故答案为36．19．解：连接OB，∵OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，∴∠BCO＝∠MCO，∠BAO＝∠NAO，在△BCO和△MCO中∴△BCO≌△MCO（SAS），∴∠CMO＝∠CBO，同理∠ABO＝∠ANO，∵∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝100°，∴∠CMO+∠ANO＝100°，∴∠MON＝180°﹣（∠CMO+∠ANO）＝80°，故答案为：80°．20．解：连接AP，BP，CP，设PE＝PF＝PG＝x，∵AB＝7，BC＝24，∴AC＝＝25，再根据直角三角形的面积，S△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，∴28x＝84，解得：x＝3，故答案为：3．21．解：连接AP，在Rt△ASP和Rt△ARP中，∴Rt△ASP≌Rt△ARP（HL），∴①AS＝AR正确；∵AQ＝PQ，∴∠QAP＝∠QP A，又∵Rt△ASP≌Rt△ARP，∴∠P AR＝∠P AQ，于是∠RAP＝∠QP A，∴②PQ∥AR正确；③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故答案为：①②．22．解：∵Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，∴∠A+∠ABC＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF；故①正确；∵∠CDG+∠CBD＝90°，∠BGF+∠ABD＝90°，且BD是△ABC的角平分线，∴∠CDG＝∠BGF，∵∠BGF＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，故②正确；无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，故AD不一定等于BD，故③错误．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CDB＝∠EDB，∴BC＝BE，故④正确；故答案为：①②④．23．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．故填1，3．24．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．25．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC；（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．28．解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．29．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝32cm，∴OA＝OB＝OC＝10cm；（3）∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．故答案为：（2n﹣180）．30．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．31．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAD＝70°，∴∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，∴∠E＝70°﹣15°＝55°，∴∠ADE＝∠AED＝55°，∴∠ADC＝40°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，∴∠BAD＝30°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α∴，∴2α＝β，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．32．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．33．解：（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积＝×6×1＝3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a，∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴a2+22＝（a+1）2，解得a＝，∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△P AB＝S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，设直线CP解析式为y＝﹣x+b，把C（4，0）代入，可得0＝﹣2+b，解得b＝2，∴直线CP解析式为y＝﹣x+2，∴F（0，2），当x＝﹣4时，y＝2+2＝4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3，∴OE＝4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y＝﹣x﹣4，当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．34．解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD＝BD•PE+CD•PF＝BD•AC，∴PE+PF＝AC，设AD＝x，BD＝CD＝3x，AB＝4x，∵AC2＝CD2﹣AD2＝（3x）2﹣x2＝8x2，∵AC2＝BC2﹣AB2＝（6）2﹣（4x）2，∴x＝3，∴AC＝2x＝6，∴PE+PF＝6．35．解：（1）﹣8+10＝2，则C（2，0），AC＝27﹣10﹣10＝7；（2）10×＝2.5（10﹣2.5）÷2＝3.75，2﹣2.5＝0，D的坐标（﹣0.5，0）；（3）①15﹣10＝5，t＝5÷2＝2.5，﹣8+5＝﹣3，D的坐标（﹣3，0）；②12﹣10＝2，t＝2÷2＝1，﹣8+2＝﹣6D的坐标（﹣6，0）．36．解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，∴OP＝OM，又点M的坐标为（1，0），∴OP＝OM＝1，∴符合条件的等腰三角形有2个，则点P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，则点P在线段OM的垂直平分线上，∴点P的坐标为：（，4），则符合条件的等腰三角形有1个；（3）如图，∵OP＝OM，∴OP＝4，∴BP＝＝，∴点P的坐标为（﹣，），由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（2，4），P′′′的坐标为（4，4），符合条件的等腰三角形有4个，即符合条件的点P的坐标为（﹣，）、（0，4）、（2，4）、（4，4）．37．解：（1）①连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝BC，∴CD＝AD＝BD，又∵AC＝BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC＝90°，∠DCF＝∠DAE＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．②连接DG，∵∠ACB＝90°，G为EF的中点，∴CG＝EG＝FG，∵∠EDF＝90°，G为EF的中点，∴DG＝EG＝FG，∴CG＝DG，∴∠GCD＝∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH＝90°，∴∠GHD+∠GCD＝90°，∠HDG+∠GDC＝90°，∴∠GHD＝∠HDG，∴GH＝GD，∴CG＝GH．（2）分两种情况：①如图，当E在线段AC上时，∵CG＝GH＝EG＝GF，∴CH＝EF＝5，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝3+4＝7；②如图，当E在线段CA延长线上时，AC＝EC﹣AE＝4﹣3＝1．③E在AC延长线上时，AC＝AE﹣CE，AC＝3﹣4＝﹣1（舍去）．综合上述，AC＝7或1．38．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．∴△ABC的准外心有无数个．故答案为：无数；（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB，与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°；（3）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，∴x＝，即P A＝，②若P A＝PC，则P A＝2，③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或．。

东 华 中 学 试 题 库 命题人：刘倩 审卷人：杨学松第 1 页 共 2 页东华中学2012—2013年第二学期八年级数学第一次月考试卷温馨提示：自信、认真、绝不放弃是一个人成功必备的良好品质，相信同 学们能通过自己的努力给自己一个满意的答复。

一.选择题（每空３分，共30分）1．已知a b >，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b ->-D ．33a b ->-2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是 （ ）( A ) x 2-16 ( B ) x 2 +10x+25 ( C ) x 2 +4 ( D ) )x 2+5x 3.下列各式从左．到右．是因式分解的是 （ ） A 、(a ＋3)(a －3)=a 2－9 B 、x 2＋x －5=(x －2)(x ＋3)＋1 C 、a 2b ＋ab 2=ab(a ＋b) D 、x 2＋1=x(x ＋x1)4．如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是 （ ） A 、 15 B 、 ±5 C 、 30 D ±30 5．不等式组2112x x -<⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示为 （ ）6.下列各式是完全平方式的是 （ ）A.212+-x xB.x x 212-+C.22y xy x ++D.122-+x x7．若)5)(3(+-x x 是qpx x++2的因式，则p 为 （ ）A 、－15B 、－2C 、8D 、28.不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 62的解集是4>x ，那么m 的取值范围是 （ ）A ．4≥mB ．4≤mC ．4<mD ．4=m9.关于x 的方程632=-x a 的解是非负数，那么a 满足的条件是 ( )A ．3>aB ．3≤aC ．3<aD ．3≥a10.把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于 （ ）A 、))(2(2m m a +-B 、))(2(2m m a --C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m+1)二．填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）11．x 与5的差不小于x 的2倍.用不等式表示为12.中各项的公因式是_______13. 分解因式：x 2－4= ________14. 因式分解=________________.15．－5x ＞3的解集是16. 已知函数y=2x —3，当x 时，y ＜5.17. 已知,a+b=13 ,ab=10, 则22ab b a += ．18. 不等式组⎩⎨⎧-<-<-2235x x 的解集是 。